2024年黑龙江省齐齐哈尔地区中考数学预测卷（二）（含解析）

2024年齐齐哈尔地区中考数学预测卷（二）
满分：120分 时间：120分钟
评卷人得分
一、单选题（共10小题，每小题3分，共计30分）
1．的倒数的相反数为（ ）
A．10 B． C． D．
2．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．水是生命之源．为了倡导节约用水，随机抽取某小区7户家庭上个月家里的用水量情况（单位：吨），数据为：10，5，6，8，9，9，7，这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．9，8 B．9，9 C．8.5，9 D．8，9
5．如图，直线，A、B是上两点，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点C，连接，分别以B，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点D，作射线，交于点E，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
（第5题图） （第6题图） （第7题图）
6．如图，电路图上有个开关，电源、小灯泡和线路都能正常工作，若随机闭合个开关，则小灯泡发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．如图1所示的几何体是由8个大小相同的小正方体组合而成，现要得到一个几何体，它的主视图与左视图如图2，则至多还能拿走这样的小正方体（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图1，点P从正方形的顶点A出发，沿直线运动到该正方形内部一点，再从该点沿另一条直线运动到顶点D，设点P的运动路程为x，，图2是点P运动时y随x的变化的关系图象，则正方形的边长为（ ）
A．4 B． C．2 D．1
（第8题图） （第10题图）
9．“母亲节”当天，小明去花店为妈妈选购鲜花，若康乃馨每枝2元，百合每枝3元，小明计划用30元购买这两种鲜花（两种都买），则不同的购买方案共有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
10．如图，二次函数的图象与x轴负半轴交于，顶点坐标为，有以下结论：①；②；③若点，，，均在函数图象上，则；④对于任意m都有；⑤点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得，则a的范围为．其中结论正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
评卷人得分
二、填空题（共7小题，每小题3分，共计21分）
11．福岛第一核电站核废水即便被海水稀释后放射量仍达到贝克勒尔，数据用科学记数法表示为 ．
12．如图，点在同一直线上， ，要使，则只需添加一个适当的条件是 ．
13．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的轴截面面积为 ．
14．如图，在中，，点A在反比例函数（，）的图象上，点B，C在x轴上，，若的面积等于2，则k的值为 ．
15．若关于的分式方程有正整数解，则整数 ．
16．在△ABC中，CO是AB边上的中线，∠AOC＝60°，AB＝2，点P是直线OC上的一个动点，则当△PAB为直角三角形时，边AP的长为 ．
（第12题图） （第13题图） （第14题图） （第17题图）
17．抛物线的图象如图所示，点在抛物线第一象限的图象上．点在y轴的正半轴上，都是等腰直角三角形，则 ．

评卷人得分
三、解答题（共7小题，共计69分）
18．（1）（6分）计算：．
（2）（4分）因式分解：
19．（5分）解方程：
20．（8分）2024年3月22日是第32届世界水日，为了解同学们对节约和保护水资源知识的掌握情况，学校开展了节约和保护水资源的知识竞赛，从全校1000名学生中随机抽取部分学生的竞赛成绩进行调查分析，并将成绩（满分：100分）制成如图所示的扇形统计图和条形统计图．
请根据统计图回答下列问题；
(1)补全上面不完整的条形统计图；
(2)被抽取的学生成绩的平均数是________分，这些学生成绩的中位数是______分；
(3)求扇形图中得100分学生的圆心角度数；
(4)根据比赛规则，98分及以上（含98分）的学生有资格进入第二轮知识竞赛环节，请你估计全校1000名学生进入第二轮知识竞赛环节的人数是多少
21．（10分）如图，是的直径，四边形内接于，连接，，过点D作交的延长线于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，的半径为，求的长．
22．（10分）五一小长假时，小鑫和小许相约去龙沙动植物园游玩，小鑫骑自行车，小许骑电动车先后从学校出发沿同一路线匀速骑行，小鑫先出发，小许到达龙沙动植物园后原地等待小鑫．小许在骑行过程中的速度始终保持．设小鑫骑行的时间为（单位：），小许、小鑫两人之间的距离（单位：）关于的函数图象如图所示，请解决以下问题：

(1)小鑫的速度为______，学校与动植物园相距______，点的坐标为______；
(2)求小许和小鑫第一次相遇后，两人之间的距离与小鑫骑行的时间之间的函数关系式，并写出的取值范围；
(3)请直接写出小许出发多长时间，两人相距．
23．（12分）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断：
操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接．
（2）迁移探究：
①如图1，当点M在上时，______°，______°．
②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图2，判断与的数量关系，并说明理由．
③已知正方形纸片的边长为8，当时，直接写出的长．
（3）拓展应用：
正方形的边长为8，点P在边上，将沿直线翻折，使得点A落在正方形内的点M处，连接并延长交正方形一边于点G．当时，则的长为______．
24．（14分）综合与探究：
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点且与轴的正半轴交于点．
(1)求的值及抛物线的解析式．
(2)如图①，若点为直线上方抛物线上一动点，当时，求点的坐标；
(3)如图②，若是线段的上一个动点，过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点、，连接．设点的横坐标为．
①当为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少；
②是否存在以，，为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】本题主要考查相反数，倒数的概念及性质．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
求一个数的相反数，即在这个数的前面加上负号；求一个数的倒数，即用1除以这个数．本题先求出的倒数，再求出的倒数的相反数．
【详解】解：的倒数为，的相反数为，
∴的倒数的相反数为，
故选：C．
2．B
【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
3．B
【分析】本题主要考查了完全平方公式，同底数幂乘法，合并同类项和二次根式的加法，熟知相关计算法则是解题的关键．根据完全平方公式，同底数幂乘法，合并同类项和二次根式的加法等计算法则求解判断即可．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
故选B．
4．A
【分析】本题考查了众数和中位数的定义，根据众数和中位数的定义解答即可．
【详解】解：数据为：10，5，6，8，9，9，7，从小至大排列为，
故这组数据的众数和中位数分别是9，8．
故选：A．
5．C
【分析】根据得到，根据基本作图，得到，继而得到；结合，得到，结合得到，本题考查了角的平分线的基本作图，等腰三角形的三线合一性质，平行线的性质，直角三角形的特征，熟练掌握平行线的性质，基本作图，三线合一性质是解题的关键．
【详解】∵，
∴，
根据基本作图，
∴，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
故选C．
6．A
【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图，根据树状图即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键．
【详解】解：画树状图如下：
由树状图可知，共有种等结果，其中能使小灯泡发光的有种，
∴小灯泡发光的概率为，
故选：．
7．C
【分析】本题考查了由三视图判断几何体，正确地得出小正方体的个数是解题的关键．根据题中主视图和左视图即可得到结论．
【详解】解：由题意可知，该几何体的底层至少需要3个小正方体，上层至少需要2个小正方体，
所以至多还能拿走这样的小正方体3个．
故选：C．
8．C
【分析】本题考查了正方形的性质，函数动点图象，勾股定理，由图象知，当时，点P在的垂直平分线上，当时，逐渐为0，且点P运动的两段路径都为直线，因此点P先运动到正方形的中心，然后到点D，据此列式作答即可．
【详解】解：∵设点P的运动路程为x，，图2是点P运动时y随x的变化的关系图象，
∴当时，点P在的垂直平分线上，
当时，逐渐为0，且点P运动的两段路径都为直线，
如图：连接，且它们的交点为O，
∴，
∵四边形为正方形，
则，
，
故选：C．
9．B
【分析】设可以购买x支康乃馨，y支百合，根据总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数即可得出小明有4种购买方案．
【详解】解：设可以购买x支康乃馨，y支百合，
依题意，得：，
∴．
∵x，y均为正整数，
∴或或或，
∴小明有4种购买方案．
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
10．B
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数之间的关系，二次函数图象的性质等等，根据抛物线开口方向可判断a的取值范围，由对称轴的位置及a的符号可判断b的符合，由抛物线与y轴交点位置可判断c的符号，从而可判断①错误；由图象过 及对称轴可判断②正确；由抛物线开口向上，离对称轴水平距离越大，y越大，可判断③正确；根据函数开口向上，在对称轴处有最小值，即可判断④正确；由M，N到对称轴的距离为，当抛物线的顶点到x轴的距离不小于时，在x轴下方的抛物线上存在点P，使得，即，得可判断⑤正确．
【详解】解：∵函数开口向上，与y轴交于负半轴，
∴，，
∵顶点坐标为，即对称轴为直线，
，
，
，故①错误；
由图可知，当时，，
，即，故②正确；
抛物线开口向上，
∴离对称轴距离越大，y越大，
又∵，，，
∴；故③正确；
∵函数开口向上，
∴在对称轴处函数有最小值，
∴，即故④正确；
由题意可知：M，N到对称轴的距离为，
当抛物线的顶点到x轴的距离刚好等于时，此时顶点与M、N两个点恰好构成等腰直角三角形，
∴当抛物线的顶点到x轴的距离大于等于时在x轴下方的抛物线上存在点P，使得，
∴，
把代入解析式得，
∴，
，
，
解得：，故⑤正确；
故选：B．
11．
【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：．
故答案为：．
12．（答案不唯一）
【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据全等三角形的判定方法进行作答即可．
【详解】解：∵，
∴，即：，
∵，
∴，
∴，即：，
∴当时，根据，可得：；
故答案为：（答案不唯一）．
13．
【分析】先求得圆锥的底面周长，即侧面展开图的弧长，后利用弧长公式即可求得圆锥的母线长，然后再求得圆锥的高，最后根据三角形的面积公式即可解答．
【详解】解：圆锥的底面周长cm，
设圆锥的母线长为，
由题意得，解得，
由勾股定理可得：圆锥的高
所以该圆锥的轴截面面积为
故答案为．
【点睛】本题考查了圆锥的计算、弧长公式、圆锥的母线、圆锥的截面等知识点，掌握圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长以及弧长公式为 是解答本题的关键．
14．3
【分析】本题考查了反比例函数比例图象上点的特征、等腰三角形三线合一的性质、三角形的面积．要求学生掌握设而不求的方法解题．设，过点A作轴于点E，表示出、，结合的面积即可求出k的值．
【详解】解：设，则，
，
，
，
过点A作轴于点E，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
15．2或/或2
【分析】先去分母解整式方程得，根据分式方程有正整数解，得到的值为1或2或4，且，由此求出答案．
【详解】解：去分母得，，
整理得，，
解得，
∵分式方程有正整数解，
∴的值为1或2或4，且，
解得或，
故答案为：2或．
【点睛】此题考查了根据分式方程的解的情况求参数，正确掌握解分式方程的步骤及法则是解题的关键．
16．或或1
【分析】当∠ABP＝90°时，如图2，易得∠BOP＝60°，进而可利用三角函数求出BP的长，再根据勾股定理即可求出AP的长；当∠APB＝90°时，分两种情况讨论：①如图1，点P在CO的延长线上时，利用直角三角形的性质可得PO＝BO，进而可得△BOP为等边三角形，然后利用锐角三角函数可得AP的长；②如图3，点P在CO上时，易证△AOP为等边三角形，再利用等边三角形的性质可得结论．
【详解】解：如图1，当∠APB＝90°，点P在CO的延长线上时，
∵AO＝BO，∴PO＝BO，
∵∠AOC＝60°，∴∠BOP＝60°，
∴△BOP为等边三角形，
∴∠ABP＝60°，
∵AB＝2，
∴AP＝AB sin60°＝2×；
如图2，当∠ABP＝90°时，
∵∠AOC＝∠BOP＝60°，
∴BP＝，
在直角△ABP中，由勾股定理，得AP＝；
如图3，当∠APB＝90°时，点P在CO上时，
∵AO＝BO，∠APB＝90°，
∴PO＝AO，
∵∠AOC＝60°，
∴△AOP为等边三角形，
∴AP＝AO＝1；
综上，AP＝或或1．
故答案为：或或1．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理和解直角三角形等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基础知识是解答的关键．
17．
【分析】设第一个等腰直角三角形的直角边长为x,表示出点的坐标，再代入二次函数的解析式求出x；设第二个等腰直角三角形的直角边长为m,表示出的坐标，代入二次函数的解析式求出m,同理求出第2024个等腰直角三角形的直角边长，最后求出斜边即可解答．掌握利用等腰直角三角形的性质和二次函数的点坐标特征是解决本题的关键．
【详解】解：设,
∵是等腰直角三角形，
∴,
∴的坐标为，代入二次函数，则，解得或（舍），
设,
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴的坐标为，代入二次函数，得，解得或（舍），
同理可求出，，
∴，
根据勾股定理可得，
故答案为．
18．（1）；（2）
【详解】（1）解：
．
（2）原式=
=
=
19.
∵，
∴，
∴，
∴，
解得．
20．(1)见解析
(2)96.4，96
(3)
(4)450名
【分析】本题考查扇形统计图和条形统计图的关联、用样本估计总体，读懂题意，能从统计图中获取相关信息是解答的关键．
（1）先求得抽查总人数，再求得94分的学生人数，进而可求解；
（2）根据加权平均数和中位数的求解方法求解即可；
（3）用乘以得100分的学生所占比例求解即可；
（4）用全校总人数乘以样本中得98分及以上（含98分）的学生所占的比例求解即可．
【详解】（1）解：由图象可知：分数为92分的人数为：6，其所占比为：10%．
∴随机被抽查的学生总数：（人），
∵分数为94分的人数所占比为：20%．
∴分数为94分的人数为： （人），
（2）解：被抽取的学生成绩的平均数是分，
根据图象，这些学生成绩的中位数是96分，
故答案为：96.4，96；
（3）解：扇形图中得100分学生的圆心角度数为；
（4）解： （名），
答：估计全校1000名学生进入第二轮知识竞赛环节的人数是450名．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图，连接，由，是半径，可得，由是的直径，可得，则，，进而结论得证；
（2）由勾股定理得，，由是的直径，可得，证明，则，即，计算求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，是半径，
∴，
∵是的直径，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：由题意知，，
由勾股定理得，，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得，，
∴的长为．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，垂径定理，切线的判定，同弧或等弧所对的圆周角相等，勾股定理，相似三角形的判定与性质．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，垂径定理，切线的判定，同弧或等弧所对的圆周角相等，勾股定理，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
22．(1)10，25，
(2)
(3)小时或小时
【分析】（1）根据题意和图象中的数据，可以计算出小鑫的速度，然后再计算出小鑫走的总路程，然后即可计算出的值，再计算的值即可确定点的坐标；
（2）设两人相遇对应的时间为，根据图象中的数据，计算出，即两人第一次相遇时对应的点的坐标为，再分和的范围下求出函数关系式即可；
（3）根据题意和（2）中的结果，可以计算出小许出发多长时间，两人相距．
【详解】（1）解：由图可得，小鑫的速度为：，
小鑫走的总路程为：，
，
∴学校与动植物园相距25km；
解得：，
，
∴点的坐标为；
故答案为：，25，；
（2）解：设两人相遇对应的时间为，
，
解得，
即两人第一次相遇时对应的点的坐标为，
当时，设两人之间的距离与小鑫骑行的时间之间的函数关系式是，
点，在函数图象上，
，
解得，
即当时，两人之间的距离与小鑫骑行的时间之间的函数关系式是；
当时，设两人之间的距离与小鑫骑行的时间之间的函数关系式是，
点，在该函数图象上，
，
解得，
即当时，设两人之间的距离与小鑫骑行的时间之间的函数关系式是；
所以；
（3）解：由题意可得：或，
解得或，
，，
答：小许出发或，两人相距．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23．（2）①，；②．理由见解析；③或；（3）4或
【分析】（2）①由折叠的性质可得，，，再由锐角三角函数可得，再证明，即可求解；②根据，即可求解；③分两种情况讨论：当点Q在线段上时，当点Q在线段上时，即可求解；
（3）分两种情况分别画出图形，即可求解．
【详解】解：①由折叠的性质得：，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
故答案为：30；15
②．理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，由折叠的性质得：，，
，
，
；
③由折叠的性质得，
∵，
∴，
当点Q在线段上时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
当点Q在线段上时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
综上所述，的长为或；
（3）解：如图，连接交于点J，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵由折叠得到的，
∴，
∴；
如图，连接交于点O，过点M作，
∵，
，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴，
∴；
综上所述，的值为4或．
故答案为：4或
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
24．(1)，
(2)的坐标为
(3)①当时，线段有最大值为4；②存在，当的值为或时，以，，为顶点的三角形与相似
【分析】本题是二次函数的综合题，主要考查的是待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质，解题的关键是第（3）问中需分两种情况讨论．
（1）将点的坐标直接代入直线解析式可得出的值；再求出点的坐标，将，的坐标代入抛物线解析式，即可得出结论；
（2）由（1）可得，则，所以，过点作轴交抛物线于点，过点作的垂线，垂足为，则，设，可表达点的坐标，代入抛物线的解析式即可得出结论；
（3）①由点，坐标可得出直线的解析式，由此可表达点，的坐标，进而表达的长度，结合二次函数的性质可得出结论；②根据题意需要分两种情况，当时，当时，分别求出的值即可．
【详解】（1）解：直线与轴交于点，
，
，
直线的表达式为；
当时，，
点的坐标为，
将点的坐标为，点的坐标为，代入，
得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）如图，过点作轴交抛物线于点，过点作的垂线，垂足为，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
的坐标为，
将点的坐标代入解析式可得，，
解得或（舍去）
的坐标为；
（3）①由（1）可知，直线的解析式为：，
点的横坐标为，
点的坐标为，点的坐标为，
设线段的长度为，
则
，
当时，线段有最大值为4；
②存在，理由如下：
由图形可知，
若与相似，则需要分两种情况，
当时，由（2）可知，，此时；
当时，过点作轴交抛物线于点，
令，
解得（舍或，
综上，当的值为或时，以，，为顶点的三角形与相似．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页