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分课时学案
课题 16.4.1零指数幂与负整数指数幂 单元 第一单元 学科 数学 年级 七年级下
学习目标 1．知道负整数指数幂=（a≠0，n是正整数）.2．掌握整数指数幂的运算性质．
重点 整数指数幂的运算．
难点 掌握整数指数幂的运算性质．
教学过程
导入新课 【引入思考】 回忆正整数指数幂的运算性质：（1）同底数的幂的乘法： . （2）幂的乘方： . （3）积的乘方： . （4）同底数的幂的除法： . （5）分式的乘方： . 问题思考：在同底数幂的除法公式时，有一个附加条件：m＞n，即被除数的指数大于除数的指数.当被除数的指数不大于除数的指数，即m = n或m＜n时，情况怎样呢？
新知讲解 本节课来研究：标明学习内容探索发现1： 零指数幂先考察被除数的指数等于除数的指数的情况.例如考察下列算式：52÷52，103÷103，a5÷a5(a≠0).一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得52÷52＝52-2＝ ，103÷103＝103-3＝ ，a5÷a5＝a5-5＝a0(a≠0).另一方面，由于这几个式子的被除式等于除式，由除法的意义可知，所得的商都等于1.概括: 1cnjy由此启发，我们规定：50=1，100=1，a0=1（a≠0）.这就是说： . 探索发现2： 负整指数幂我们再来考察被除数的指数小于除数的指数的情况，例如考察下列算式 ( 21世纪教育网版权所有 )：52÷55， 103÷107，一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得 ( 21世纪教育网版权所有 ) 52÷55＝52-5＝ ， 103÷107＝103-7＝ .另一方面，我们可利用约分，直接算出这两个式子的结果为 52÷55＝＝＝ 103÷107＝＝＝概括：由此启发，我们规定： 5-3＝， 10-4＝.一般地，我们规定： (a≠0，n是正整数)即： . 提炼概念（本节课主要内容提炼） 这就是说，任何不等于零的数的－n （n为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数. 典例精讲 例1、计算：（1） (2) 探索： 0.1=10-1 0.01= 0.001= 0.0001= 0.00001= 归纳： . 例2 用小数表示下列各数：（1）10-4 （2）2.1×10-5
课堂练习 巩固训练 1、x0＝1，则（ ）A．x＝0 B ．x＝1 C ．x为任意数 D ．x ≠02、计算式子 ，得（ ）A．2 B ．－2 C ． 1/2 D ． －13、把下列各式写成分式的形式：4、用小数或分数表示下列各数：(1)10 3 (2)70×10 2 (3)1.6×10 4课后作业必做题：1、用小数表示6.12×10－3为（ ） A．0.0612 B ．6120 C ．0.00612 D ．612000选做题：2.计算(1)( 1/2) 1 (√2 1)0+(1/3) 1(2)(52×5 2+50)×5 3(3)103+(1/30) 2×[( 2)2005]0 ( 3)3×0.3 1+| 15|【综合拓展类作业】3、阅读材料：①1的任何次幂都等于1；②－1的偶次幂都等于1；③任何不等于零的数的零次幂都等于1．试根据以上材料探索：等式（x＋3）x＋2018＝1成立的x的值．
课堂小结
零的零次幂没有意义！
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学 科 数学 年 级 八年级 设计者
教材版本 华师大版 册、章 八年级下册 第16章
课标要求 以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式．类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．类比分数的四则运算法则，探究分式的四则运算，掌握这些法则．结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的知识体系．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想．
内容分析 分式的概念，分式的基本性质，分式的约分与通分，分式的加、减、乘、除运算，整数指数幂的概念及运算性质，分式方程的概念及可化为一元一次方程的分式方程的解法。重视分式与实际的联系，体现数学建模思想由于分式是在分数基础上再次抽象的产物，所以相对说来就与客观实际的联系而言，分式不如分数更直接．重视分式方程的特殊性，突出其解法的关键步骤本章所讨论的主要对象是分式，分式方程与分式有直接的关系。本章之前，已经出现过整式方程，对于解方程就是使方程逐步化为 的形式这一基本思路，学生已经比较熟悉．与整式方程相比，分式方程的特殊性是其未知数在分母中。该教材内容丰富、结构清晰，注重理论与实践的结合，有助于学生全面掌握分式知识。同时，教材还配备了大量的例题和练习题，便于学生进行巩固和拓展．
学情分析 应重视分数与分式的联系，考虑到学生对分数已有一定认识的基础，要发挥这样的认识基础的作用，通过分式与分数的类比，从具体到抽象、从特殊到一般地认识分式，这将有助于理解和记忆所学的分式内容。同时，这样的学习过程对于培养良好的学习方法也会起到引导作用．重视分式与实际的联系，体现数学建模思想由于分式是在分数基础上再次抽象的产物，所以相对说来就与客观实际的联系而言，分式不如分数更直接。但是，如果我们不仅考虑实际问题中的具体数值，而且考虑其中的运算或对应规律，那么仍然有与分式存在密切联系的实际问题情景．
单元目标 教学目标使学生理解并掌握分式的概念，了解有理式的概念； 使学生能够求出分式有意义的条件； 通过类比分数研究分式的教学，培养学生运用类比转化的思想方法解决问题的能力； 4．通过类比方法的教学，培养学生对事物之间是普遍联系又是变化发展的辨证观点的再认识.．（二）教学重点、难点教学重点：掌握分式的概念、基本性质、化简、四则运算．教学难点：分式的四则混合运算．
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架1.教材特点分析：（一）反映分式和分式方程等概念的实际背景，体现数学概念来自实际、服务于实际 本章在引出分式的概念之前，安排了“思考”如何用式子表示实际问题中的数量关系；在讨论分式的乘除和加减的过程中，前后安排了涉及容积、工作效率、耕作面积、工程进度、增长率等多个实际问题；在讨论分式方程时，更注意结合分析、解决实际问题逐步深入。解方程中要应用分式的基本性质，并且出现了必须检验（验根）的环节，这是不同于解以前学习的方程的新问题。根据实际问题列出分式方程，是本章教学中的另一个难点，克服它的关键是提高分析问题中数量关系的能力．（二）通过类比分数，从具体到抽象、从特殊到一般地认识分式人们认识事物往往经历“从具体到抽象，从特殊到一般”的过程，本章教科书对几个内容的安排正是按照这样的过程展现的。在学生对分数已有认识的基础上，通过分式与分数的类比，从具体到抽象、从特殊到一般地认识分式。（三）分析分式方程的特点，明确指出解分式方程的基本思路在学习本章之前，学生已经分两次学习过整式方程（一元一次方程、二元一次方程组），他们对于整式方程特别是一元一次方程的解法及其基本思路（使方程逐步化为的形式）已经比较熟悉。分式方程的未知数在分母中，它的解法比以前学过的方程复杂，随着问题复杂性的增加，人们需要不断地提高认识问题的水平，这里包括提高对新事物与已熟悉的事物之间的联系的认识。这种认识水平的提高，是构建知识体系的过程中不可缺少的。2.本章教学建议：本套教科书力求体现的一个特点，就是使它成为反映科学发展和文化进步的一面镜子，使学生通过这面镜子的照射更清楚地认识数学的本来面目、更清楚地认识世界。本章中安排大量实际问题，也是为更好地体现本套教科书非常重视的一点，即通过分析与解决实际问题，提高学生联系实际地应用数学知识的意识、兴趣和能力，更好地培养他们的创新精神．教科书没有对解分式方程中增根的理论问题进行深入的讨论，而是通过具体例子展现了解分式方程时可能出现增根的现象，并结合例子分析了什么情况下产生增根，然后归纳出检验增根的方法，这样处理是想以典型例子简明地说明检验增根方法的依据．3.重视数学思想方法的教学解分式方程时，化归思想很有用，分式方程一般要先化为整式方程再求解，并且要注意检验是必不可少的步骤．分式的基本性质、约分与通分、四则运算法则等应该与分数的基本性质、约分与通分、四则运算法则等相对应，即两者具有一致性，这也可以说是数式通性。“从具体到抽象，从特殊到一般”，是人们认识事物往往经历的过程，本章教科书对分式的概念、基本性质、约分与通分、四则运算法则等内容的展开，充分地考虑了这样的认识过程．通过运用分式为工具分析与解决实际问题，提高学生把实际问题转化为数学形式的能力，即结合本章内容体现数学建模思想，进一步加强学生应用数学知识于实际问题的兴趣和意识，从长远看这将有助于培养学生的创新精神．4.单元知识结构框架：课时安排课时编号单元主要内容课时数17.116.1.1 分式116.1.2分式的基本性质1 16.2.1 分式的乘除116.2.2分式的加减116.3.1 分式方程及解法116.3.2 16.3.2 分式方程的应用116.4.1零指数幂与负整数指数幂1 16.4.2 科学记数法1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务16.1.1 分式1.使学生了解分式的概念，有理式的概念．2.理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 1.准确理解分式的意义，能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件．2.归纳分式的概念及探索分式有意义的条件．活动一：复习整式的概念，初步理解分式与整式的不同．活动二：通过对比分数和分式异同点，渗透类比的思想方法，学会用运动、变化的观点分析问题．16.1.2分式的基本性质1．理解和掌握分式的基本性质．2．掌握约分的方法和最简分式的概念．3．能够理解通分的意义，能找到几个分式的最简公分母，会对分式进行通分．1.分式的基本性质及运用分式的基本性质进行约分和通分．2.灵活运用分式的基本性质进行分式的恒等变形及最简分式的化简方法.活动一：通过计算对分数的通分进行回顾，为分式的通分的学习做好铺垫．活动二：通过类比分数通分的概念对分式的通分进行猜想，并归纳出分式通分的概念．16.2.1 分式的乘除1．正确掌握分式的乘除法的法则．2．能熟练地运用分式的乘除法的法则进行计算．3.理解分式乘方的运算法则．1.会用分式乘除的法则进行运算．2．灵活运用分式乘除的法则进行运算．活动一：通过计算回顾分数乘除法法则，分式乘除法法的探究奠定基础．活动二：归纳出分子和分母都是多项式的分式乘除法的解题步骤.活动三：巩固例题．16.2.2分式的加减1、会根据同分母分式的加减法法则，熟练地进行同分母分式的加减法．2、理解异分母分数加减法必须先通分的道理，掌握异分母分数加减法的计算方法，能正确地进行计算． 1.掌握分式的加减法法则并能运用法则进行有关的运算．2.分式的分子是多项式的分式加减的相关运算．活动一：通过回顾同分母分数加减法法则的回顾，运用类比的方法为同分母分式加减法法则的探究做好铺垫.活动二：用类比分数的加减法法则，说说分式的加减法法则．16.3.1 分式方程及解法1.使学生了解分式方程的特征；2.使学生掌握解分式方程的基本原理和方法；3.使学生知道解方程中验根的必要性、验根方法及产生增根的原因.1.理解分式方程的意义，会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程.2.使学生理解增根的概念，了解增根产生的原因，知道解分式方程须验根并掌握验根的方法.活动一：通过问题情境观察所列方程的特征引入分式方程的概念.活动二：引出增根的概念，了解增根产生的原因，知道验根的并归纳总结解分式方程的步骤．简记为：“一化二解三检验．方法.16.3.2 分式方程的应用1.理解并熟悉解分式方程的一般步骤.?2.会解简单的分式方程的应用题.1.1.让学生学会审明题意设未知数，列分式方程.?2.由实际问题中抽象出分式方程模型，设元列分式方程.活动一：既要检验所求的解是否是原分式方程的解，还要检验是否符合题意.活动二：读题、审题、设元、找相等关系列方程．活动三：巩固例题．16.4.1零指数幂与负整数指数幂1．知道负整数指数幂=（a≠0，n是正整数）.2．掌握整数指数幂的运算性质.1.整数指数幂的运算掌握一次函数图象的性质.2.掌握整数指数幂的运算性质.活动一：通过探索，让学生体会到从特殊到一般的方法是研究数学的一个重要方法.活动二：世解决有关零次幂的意义类型的题目时，可列出关于底数不等于0的式子求解即可.16.4.2 科学记数法1.借助学身边所熟悉的事物进一步体会和感受较小数．2.并会用科学计数法表示较小数，并能比较大小.1.用科学记数法表示绝对值小于1的数．2.探究绝对值大于1及绝对值小于1的数的科学记数法的异同点，以及处理方法．活动一：通过对用科学记数法表示较大数的方法，为本节课的探究活动奠定基础.活动二：通过把小数表示成分数和负整数指数幂的形式发现一般性的规律.活动三：巩固例题．
《第16章 分式》单元教学设计
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16.4.1零指数幂与负整数指数幂
华师大版 八年级 下册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
学习目标
1.理解负整数指数幂、0次幂的性质并应用其解决问题.
2.理解并掌握整数指数幂的运算性质并能够熟练计算.
新知导入
幂的运算性质：
（1）am·an= ；
（2） (am)n = ；
（3）(ab)n = ；
（4）am÷an = ．
注意：这里的m、n均为正整数．
am+n
am-n
amn
anbn
（m＞n，且a≠0）
当被除数的指数不大于除数的指数，即m=n或m新知讲解
合作学习
结论:
……
【同底数幂的除法法则】
……
【除法的意义】
……
1
1
1(a≠0)
am ÷an （a≠0，m、n都是正整数）
当m＝n时，
am ÷an ＝ am－n ＝ ．
所以，当m＝n时， am ÷an ＝ a0＝1．
任何不等于零的数的零次幂都等于1．
零的零次幂没有意义哦．
问题：计算：a3 ÷a5= (a ≠0)
解法1
解法2 再假设正整数指数幂的运算性质am÷an=am-n
(a≠0,m,n是正整数，m>n)中的m>n这个条件去掉，那么a3÷a5=a3-5=a-2.
于是得到：
结论:
……
【同底数幂的除法法则】
……
【除法的意义】
……
提炼概念
am ÷an （a≠0，m、n都是正整数）
当m＜n时，
am ÷an ＝ am－n ＝ ．
所以，当m ＜ n时， am ÷an ＝ am－n＝ ．
任何不等于零的数的－n(n为正整数)次幂，等于这个数的n次幂的倒数．
典例精讲
例1 计算：
（1） ； （2） ．
解：（1） ；
（2） ．
10－1＝
10－2＝
10－3＝
10－4＝
10－n＝
例2 用小数表示下列和数．
（1）10-4； （2）2.1×10-5．
解：（1）10-4= ；
（2）2.1×10-5 = ．
归纳概念
结论：指数从正整数推广到了整数，正整数指数幂的各种运算性质对整数指数幂都适用．
现在，我们已经引进零指数幂和负整数指数幂，指数的范围扩大到了全体整数，正整数指数幂的各种运算性质是否还成立呢？也就是说，这些性质中，原来的限制是否可以取消，只要m，n是整数就可以了呢？请同学们取m，n的一些特殊值，来验证一下上述性质是否成立．
课堂练习
必做题
1、x0＝1，则（ ）
A．x＝0 B ．x＝1 C ．x为任意数 D ．x ≠0
2、计算式子 ，得（ ）
A．2 B ．－2 C ． D ． －1
D
A
选做题
3、把下列各式写成分式的形式：
综合拓展题
4、用小数或分数表示下列各数：
(1) (2) (3)1.6
课堂总结
整数
指数幂
1.零指数幂：当a≠0时，a0=1.
2.负整数指数幂：当n是正整数时，a－n=
整数指数幂的运算性质：
（1）am·an=am+n（m，n为整数，a≠0）
（2）（ab）m=ambm（m为整数，a≠0，b≠0）
（3）（am）n=amn（m，n为整数，a≠0）
作业布置
必做题
1、用小数表示6.12×10－3为（ ）
A．0.0612 B ．6120
C．0.00612 D．612000
C
选做题
2.计算
(1)
(2)
(3)
解：(1)原式=
(2)原式=(25)
=
(3)原式=1000+900×1-(-27)×+15
=1900+90+15
=2005
综合拓展题
3、阅读材料：①1的任何次幂都等于1；②－1的偶次幂都等于1；③任何不等于零的数的零次幂都等于1．试根据以上材料探索：等式（x＋3）x＋2018＝1成立的x的值．
解：当x＝－2时，（－2＋3）－2＋2018＝12016＝1；
当x＝－4时，（－4＋3）－4＋2018＝（－1）2014＝1；
当x＝－2018时，（－2018＋3）－ 2018 ＋2018＝（－2015）0＝1；
谢谢
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分课时教学设计
第7课时《16.4.1零指数幂与负整数指数幂 》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 使学生掌握不等于零的零次幂的意义.使学生掌握（a≠0，n是正整数）并会运用它进行计算.
学习者分析 掌握不等于零的数的零次幂的意义以及理解和应用负整数指数幂的性质.通过探索，让学生体会到从特殊到一般的方法是研究数学的一个重要方法.
教学目标 1．知道负整数指数幂=（a≠0，n是正整数）. 2．掌握整数指数幂的运算性质．
教学重点 整数指数幂的运算．
教学难点 掌握整数指数幂的运算性质．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：情境引入 回忆正整数指数幂的运算性质： （1）同底数的幂的乘法： . （2）幂的乘方： . （3）积的乘方： . （4）同底数的幂的除法： . （5）分式的乘方： . 在学习同底数幂的除法公式时，有一个附加条件：m＞n，即被除数的指数大于除数的指数.当被除数的指数不大于除数的指数，即m = n或m＜n时，情况怎样呢？ 学生活动1： 通过探究活动理解．学生通过已学习的知识经过个人思考、小组合作等方式推导出本课新知. 通过问题情境导入，引发学生思考，激发学生的学习兴趣活动意图说明： 从实际出发，从学生已有的生活经验出发．掌握不等于零的数的零次幂的意义以及理解和应用负整数指数幂的性质．环节二：新课讲解探究发现一 先考察被除数的指数等于除数的指数的情况.例如考察下列算式： 52÷52，103÷103，a5÷a5(a≠0). 一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得 52÷52＝52-2＝50，103÷103＝103-3＝100，a5÷a5＝a5-5＝a0(a≠0). 概括：由此启发，我们规定：50=1，100=1，a0=1（a≠0）. 任何不等于零的数的零次幂都等于1 探究发现二 我们再来考察被除数的指数小于除数的指数的情况，例如考察下列算式： 52÷55， 103÷107， 一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得 52÷55＝52-5＝5-3， 103÷107＝103-7＝10-4. 另一方面，我们可利用约分，直接算出这两个式子的结果为 52÷55＝＝＝； 103÷107＝＝＝. 概括：由此启发，我们规定： 5-3＝， 10-4＝. 一般地，我们规定： (a≠0，n是正整数). 学生活动2： 学生相互交流． 学生可相互交流，学生自主探究，得出结论 ． 活动意图说明： 导学生建立模型，鼓励学生大胆探索，掌握不等于零的数的零次幂的意义以及理解和应用负整数指数幂的性质.通过探索，让学生体会到从特殊到一般的方法是研究数学的一个重要方法．环节三：例题讲解 例1、计算：（1） (2) 探索： 0.1=10-1 0.01= 0.001= 0.0001= 0.00001= 归纳： . 例2 用小数表示下列各数： （1）10-4 （2）2.1×10-5 结论：指数从正整数推广到了整数，正整数指数幂的各种运算性质对整数指数幂都适用． 学生活动3： 学生观察并回答教师规范解答，教师出示练习题组，学生尝试练习师巡视，个别指导. ． 活动意图说明： 让学生在一定的数学活动中去体验、感受数学，掌握整数指数幂的运算性质．
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1、x0＝1，则（ ） A．x＝0 B ．x＝1 C ．x为任意数 D ．x ≠0 2、计算式子 ，得（ ） A．2 B ．－2 C ． 1/2 D ． －1 选做题： 3、.把下列各式写成分式的形式： 【综合拓展类作业】 4、用小数或分数表示下列各数： (1)10 3 (2)70×10 2 (3)1.6×10 4
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1、用小数表示6.12×10－3为（ ） A．0.0612 B ．6120 C ．0.00612 D ．612000 选做题： 2.计算 (1)( 1/2) 1 (√2 1)0+(1/3) 1 (2)(52×5 2+50)×5 3 (3)103+(1/30) 2×[( 2)2005]0 ( 3)3×0.3 1+| 15| 【综合拓展类作业】 3、阅读材料：①1的任何次幂都等于1；②－1的偶次幂都等于1；③任何不等于零的数的零次幂都等于1．试根据以上材料探索：等式（x＋3）x＋2018＝1成立的x的值．
教学反思
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