9.1.2 不等式的性质
【知识要点聚焦】
要点感知1：运用不等式的性质将不等式进行变形时，可以先在不等式两边同时加上一个适当的代数式，使含未知数的项在不等式的左边，常数项在不等式的右边，然后把未知数的系数化为1.
要点感知2：解不等式的本质是利用 ，对已知不等式进行同解变形，将其化为未知数x与具体数（或代数式）之间的不等式.
要点感知3：“≤”和“≥”的含义：符号“≥”读作“ ”，也可说是“ ”；符号“≤”读作“ ”，也可说是“ ”.
知识点1：不等式的性质
1.如果a＞b，那么下列运算正确的是 （ ）
A.a－3＜b－3 B.a＋3＜b＋3
C.3a＜3b D.＜
2.若x＜y，且（a＋5）x＜（a＋5）y，则a的取值范围是 （ ）
A.a＞－5 B.a＞0 C.a＜－5 D.a＞5
3.下列说法不一定成立的是 （ ）
A.若a＜b，则a＋c＜b＋c
B.若a＋c＜b＋c，则a＜b
C.若a＜b，则ac2＜bc2
D.若ac2＜bc2，则a＜b
4.教材P117练习变式设a＞b，用“＞”或“＜”填空：
（1）a－4 b－4.
（2）a＋c b＋c.
（3）－6a －6b.
（4）2a＋1 2b＋1.
（5）a（a－b） b（a－b）.
知识点2：利用不等式的性质解不等式
5.不等式4＋2x＞0的解集在数轴上表示为 （ ）
A. B.
C. D.
6.如果不等式ax＞1的解集是x＜，那么 （ ）
A.a≥0 B.a≤0 C.a＞0 D.a＜0
7.用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：
（1）x＋3＞－1；
（2）7＋4x＜3；
（3）－x＜.
知识点3： 含“≤”和“≥”的不等式
8.“数a不大于5”是指 （ ）
A.a＞5 B.a≥5 C.a≤5 D.a＜5
9.生活情境如果某市去年6月1日最高气温是33℃，最低气温是24℃，则当天该市气温t（℃）的变化范围是 （ ）
A.t＞33 B.t≤33
C.24＜t＜33 D.24≤t≤33
10.不等式2x＋1≥3的最小整数解为 （ ）
A.－2 B.－1 C.1 D.2
11.用不等式表示下列语句并写出解集，并在数轴上表示解集：
（1）x与4的和不大于8；
（2）x与1的差是非负数.
【课堂达标训练】
1.若a＞b，则a－b＞0，其依据是 （ ）
A.不等式的性质1 B.不等式的性质2 C.不等式的性质3 D.以上都不对
2.设a＞b，用“＜”或“＞”填空：
（1）a＋3 b＋3； （2）3a 3b； （3）－a －b；
（4）2a－2b 0； （5）－a＋5 －b＋5； （6）a－b2 b－b2.
3.不等式5（x－1）＜3x＋1的解集是 .
4.已知关于x的不等式x－m＜1的解集为x＜3，则m的值为 .
5.小华家距离学校2.4km，某天小华从家出发去上学，恰好行走了一半的路程时，发现离学校上课的时间只有12min，如果小华要按时到学校，那么他行走剩下的一半路程的平均速度至少要达到 km/min.
6.利用不等式的性质，把下列不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式：
（1）x＋＜； （2）6x－4＞2；
（3）3x－8＞1； （4）x＋5＜4＋3x.
【能力提升训练】
7.如果a＞b，c＜0，那么下列不等式一定成立的是 （ ）
A.ac2＜bc2 B.a（c－1）＜b（c－1）
C.ac－1＞bc－1 D.a＋c＞b－c
8.关于x的一元一次不等式x－1≤m的解集在数轴上的表示如图所示，则m的值为（ ）
A.3 B.2 C.1 D.0
9.已知关于x的不等式（a＋1）x＞1可化为x＜，则｜1－a｜－｜a－2｜＝ .
10.用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：
（1）1－2x≥3； （2）2x－5＜7－x.
11.阅读下列解题过程，再解题.
已知m＜n，试比较－2023m＋1与－2023n＋1的大小.
解：因为m＜n，①
所以－2023m＜－2023n.②
故－2023m＋1＜－2023n＋1.③
问：
（1）上述解题过程中，从第 步开始出现错误.
（2）错误的原因是什么？
（3）请写出正确的解题过程.
【拓展创新训练】
12.类比思想根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
若a－b＞0，则a＞b；若a－b＝0，则a＝b；若a－b＜0，则a＜b.反之也成立.这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”.
请运用这种方法尝试解决下面的问题：
（1）比较4＋3a2－2b＋b2与3a2－2b＋1的大小.
（2）若2a＋2b－1＞3a＋b，直接写出a，b的大小关系.9.1.2 不等式的性质
【知识要点聚焦】
要点感知1：运用不等式的性质将不等式进行变形时，可以先在不等式两边同时加上一个适当的代数式，使含未知数的项在不等式的左边，常数项在不等式的右边，然后把未知数的系数化为1.
要点感知2：解不等式的本质是利用 不等式的性质 ，对已知不等式进行同解变形，将其化为未知数x与具体数（或代数式）之间的不等式.
要点感知3：“≤”和“≥”的含义：符号“≥”读作“ 大于或等于 ”，也可说是“ 不小于 ”；符号“≤”读作“ 小于或等于 ”，也可说是“ 不大于 ”.
知识点1：不等式的性质
1.如果a＞b，那么下列运算正确的是 （ D ）
A.a－3＜b－3 B.a＋3＜b＋3
C.3a＜3b D.＜
2.若x＜y，且（a＋5）x＜（a＋5）y，则a的取值范围是 （ A ）
A.a＞－5 B.a＞0 C.a＜－5 D.a＞5
3.下列说法不一定成立的是 （ C ）
A.若a＜b，则a＋c＜b＋c
B.若a＋c＜b＋c，则a＜b
C.若a＜b，则ac2＜bc2
D.若ac2＜bc2，则a＜b
4.教材P117练习变式设a＞b，用“＞”或“＜”填空：
（1）a－4 ＞ b－4.
（2）a＋c ＞ b＋c.
（3）－6a ＜ －6b.
（4）2a＋1 ＞ 2b＋1.
（5）a（a－b） ＞ b（a－b）.
知识点2：利用不等式的性质解不等式
5.不等式4＋2x＞0的解集在数轴上表示为 （ A ）
A. B.
C. D.
6.如果不等式ax＞1的解集是x＜，那么 （ D ）
A.a≥0 B.a≤0 C.a＞0 D.a＜0
7.用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：
（1）x＋3＞－1；
x＞－4
（2）7＋4x＜3；
x＜－1
（3）－x＜.
x＞－2
知识点3： 含“≤”和“≥”的不等式
8.“数a不大于5”是指 （ C ）
A.a＞5 B.a≥5 C.a≤5 D.a＜5
9.生活情境如果某市去年6月1日最高气温是33℃，最低气温是24℃，则当天该市气温t（℃）的变化范围是 （ D ）
A.t＞33 B.t≤33
C.24＜t＜33 D.24≤t≤33
10.不等式2x＋1≥3的最小整数解为 （ C ）
A.－2 B.－1 C.1 D.2
11.用不等式表示下列语句并写出解集，并在数轴上表示解集：
（1）x与4的和不大于8；
解：用不等式表示为x＋4≤8，解集为x≤4.在数轴上表示解集如图所示.
（2）x与1的差是非负数.
解：用不等式表示为x－1≥0，解集为x≥1.在数轴上表示解集如图所示.
【课堂达标训练】
1.若a＞b，则a－b＞0，其依据是 （ A ）
A.不等式的性质1 B.不等式的性质2 C.不等式的性质3 D.以上都不对
2.设a＞b，用“＜”或“＞”填空：
（1）a＋3 ＞ b＋3； （2）3a ＞ 3b； （3）－a ＜ －b；
（4）2a－2b ＞ 0； （5）－a＋5 ＜ －b＋5； （6）a－b2 ＞ b－b2.
3.不等式5（x－1）＜3x＋1的解集是 x＜3 .
4.已知关于x的不等式x－m＜1的解集为x＜3，则m的值为 2 .
5.小华家距离学校2.4km，某天小华从家出发去上学，恰好行走了一半的路程时，发现离学校上课的时间只有12min，如果小华要按时到学校，那么他行走剩下的一半路程的平均速度至少要达到 0.1 km/min.
6.利用不等式的性质，把下列不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式：
（1）x＋＜； （2）6x－4＞2；
x＜ x＞1
（3）3x－8＞1； （4）x＋5＜4＋3x.
x＞3 x＞
【能力提升训练】
12.如果a＞b，c＜0，那么下列不等式一定成立的是 （ B ）
A.ac2＜bc2 B.a（c－1）＜b（c－1）
C.ac－1＞bc－1 D.a＋c＞b－c
13.关于x的一元一次不等式x－1≤m的解集在数轴上的表示如图所示，则m的值为（ B ）
A.3 B.2 C.1 D.0
14.已知关于x的不等式（a＋1）x＞1可化为x＜，则｜1－a｜－｜a－2｜＝ －1 .
15.用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：
（1）1－2x≥3；
x≤－1
（2）2x－5＜7－x.
x＜4
16.阅读下列解题过程，再解题.
已知m＜n，试比较－2023m＋1与－2023n＋1的大小.
解：因为m＜n，①
所以－2023m＜－2023n.②
故－2023m＋1＜－2023n＋1.③
问：
（1）上述解题过程中，从第 ② 步开始出现错误.
（2）错误的原因是什么？
（3）请写出正确的解题过程.
解：（2）错误的原因是不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变.
（3）正确的解题过程如下：
因为m＜n，
所以－2023m＞－2023n.
故－2023m＋1＞－2023n＋1.
【拓展创新训练】
17.类比思想根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
若a－b＞0，则a＞b；若a－b＝0，则a＝b；若a－b＜0，则a＜b.反之也成立.这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”.
请运用这种方法尝试解决下面的问题：
（1）比较4＋3a2－2b＋b2与3a2－2b＋1的大小.
（2）若2a＋2b－1＞3a＋b，直接写出a，b的大小关系.
解：（1）4＋3a2－2b＋b2－（3a2－2b＋1）＝b2＋3＞0，∴4＋3a2－2b＋b2＞3a2－2b＋1.
（2）a＜b.
