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2023-2024华师大版七年级数学下册第9章《多边形》
单元综合测试提升卷（原卷版）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．如图，将一个等腰直角三角形放在两条平行线上，若∠1＝50°，则∠2的度数为（ ）
A．75° B．80° C．85° D．90°
2．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则S阴影等于…（ ）
A．2cm2 B．1cm2 C． cm2 D． cm2
3．由下列条件不能判定 为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D． ， ，
4．如图，∠1是五边形ABCDE的一个外角，若∠1=65°，则∠A+∠B+∠C+∠D等于（ ）
A．540° B．420° C．425° D．400°
5．如图，在⊙O中，OC⊥AB，若∠BOC＝40°，则∠OAB等于（ ）
A．40° B．50° C．80° D．120°
6．如图，点O是内一点，，、分别是和的角平分线，则等于（ ）
A． B． C． D．无法确定
7．如图，在正方形中，点，分别在，上，且保持，在上取一点，连结，使恰好平分，连结．若要求正方形的面积，则只需要知道
A． 的面积 B． 的面积
C． 的周长 D． 的周长
8．长为1的一根绳，恰好可围成两个全等三角形，则其中一个三角形的最长边x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．下图是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”（图1）和梅花图案（图2）（图中的折扇无重叠），则梅花图案中的五角星的五个锐角均为（ ）
10．如图，已知△ABC的内角∠A=α，分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…以此类推得到∠A2017，则∠A2017的度数是（ ）
A． α B．90+ α C． α D． α
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．如图，的两边被一张长方形纸片部分遮挡．若，，则 ．
12．“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，如图所示为一农村民居侧面截图，屋坡 ， 分别架在墙体的点 ， 处，且 ，侧面四边形 为矩形，若测得 ，则 .
13．如图，矩形的对角线与相交于点，过点作，交于点，连接若，则 度
14．如图， 、 、 、 为一个外角为 的正多边形的顶点.若 为正多边形的中心，则 .
15．如图，△ABC各边长都大于4，⊙A、⊙B、⊙C的半径都等于2，则图中三个阴影部分的面积之和为 (结果保留π) ；
16．如图，在边长为 的等边△ABC中，动点D，E分别在BC，AC边上，且保持AE＝CD，连接BE，AD，相交于点P，则CP的最小值为 .
17．如图，已知直线y=x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y= x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM﹣MC|的值最大，求出点M的坐标 .
18．如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB、BC可分别绕点A、B转动，当AB、BC转别到∠BAE=60°，∠ABC=45°时，连结BE，∠ABE =70°，延长BC交射线AE于D．AB不动，当BC绕点B顺时针转动 度或逆时针转动 度时，△BDE是等腰三角形．
三、解答题（共66分）
19．（6分）如图，在ABC中，AE是边BC上的高线．
（1）若AD是BC边上的中线，AE=3cm，．求DC的长．
（2）若AD是∠BAC的平分线，∠B=40°，∠C=50°，求∠DAE的大小．
20．（8分）如图，已知AB∥CD，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD.
（1）若∠1＝50°，求∠2的度数；
（2）若EH平分∠AEF，判断EH，FG是否平行，并说明理由.
21．（8分）如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形，如图，就是一组正多边形，观察每个正多边形中∠的变化情况，解答下列问题．
（1）将如表的表格补充完整：
正多边形的边数 3 4 5 6 …… n
∠的度数 ……
（2）根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠＝20°？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．
22．（8分）如图，已知图形A，B，C，D，E，F分别是由3，4，5，6，7，8个“单位正方形”（每个小正方形的边长为1）组成的图形，它们之中的五个可以拼成一个大正方形．
（1）填空：能拼成的大正方形的面积等于 ，多余的那一个图形的编号是 从A，B，C， D，E，F中选择一个）
（2）请在下图中画出拼接正方形的方法，要求：标注所使用五个图形的编号，并用实粗线画出边界线．（说明：所使用的五个图形可以旋转，也可以翻转）
23．（12分）如图1，点分别是边长为的等边的边上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为．
图1 图2
（1）连接交于点，则在运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数；
（2）点在运动过程中，设运动时间为，当为何值时，为直角三角形？
（3）如图2，若点在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为，在运动的过程中，的大小变化吗？若变化请说明理由：若不变，请求出它的度数．
24．（12分）如图，四边形内接于，，交于点E．已知的半径为3，，．
（1）求的度数．
（2）求的长．
（3）当的面积最大时，求的值．
25．（12分）阅读理解
如图①，△ABC 中，沿∠BAC 的平分线 AB1 折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C 的平分线 A1B2 折叠，剪掉重复部分；….；将余下部分沿∠BnAnC 的平分线 AnBn+1 折叠， 点 Bn 与点 C 重合.无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC 是△ABC 的好角. 小丽展示了确定∠BAC 是△ABC 的好角的两种情形.情形一：如图②，沿等腰三角形ABC 顶角∠BAC 的平分线 AB1 折叠，点 B 与点 C 重合；情形二：如图③，沿∠BAC 的平分线 AB1 折叠，剪掉重复部分；将余下的部分沿∠B1A1C 的平分线 A1B2 折叠，此时点 B1 与点 C 重合.
探究发现
（1）△ABC 中，∠B=2∠C，∠BAC 是不是△ABC 的好角？ （填“是”或“不是”）
（2）猜想：若经过 n 次折叠后发现∠BAC 是△ABC 的好角，则∠B 与∠C（不妨设∠B > ∠C ）之间的等量关系为 ；
（3）应用提升
小丽找到一个三角形，三个角分别为 15°、60°、105°，发现 60°和 105°的两个角都是此三角形的好角.
请你完成，如果一个三角形的最小角是 12°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角.
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2023-2024华师大版七年级数学下册第9章《多边形》
单元综合测试提升卷（答案解析版）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．如图，将一个等腰直角三角形放在两条平行线上，若∠1＝50°，则∠2的度数为（ ）
A．75° B．80° C．85° D．90°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，
∵ 等腰直角三角形放在两条平行线上
∴∠3=180°-∠1-45°=180°-50°-45°=85°
∵a∥b，
∴∠2=∠3=85°.
故答案为：C.
2．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则S阴影等于…（ ）
A．2cm2 B．1cm2 C． cm2 D． cm2
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，点D是BC的中点，
∴ =2cm2，
∵在△ABD和△ACD中，点E是AD的中点，
∴ =1 cm2， =1 cm2，
∴ =2 cm2，
∵在△BEC中，点F是CE的中点，
∴ =1 cm2，即S阴影=1 cm2
故答案为：B．
3．由下列条件不能判定 为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D． ， ，
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：选项A：由三角形内角和定理可知∠A+∠B+∠C=180°，结合已知，得到2∠C=180°，∴∠C=90°，故△ABC为直角三角形，选项A不符合题意；
选项B：∵a +b ≠c ，由勾股定理逆定理可知，△ABC不是直角三角形，选项B符合题意；
选项C：对等式左边使用平方差公式得到：b -c =a ，再由勾股定理逆定理可知△ABC为直角三角形，选项C不符合题意；
选型D：由勾股定理逆定理可知：a +b =1+2=3=c ，∴△ABC为直角三角形，选项D不符合题意.
故答案为：B.
4．如图，∠1是五边形ABCDE的一个外角，若∠1=65°，则∠A+∠B+∠C+∠D等于（ ）
A．540° B．420° C．425° D．400°
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵∠1+∠AED=180°，
∴∠AED=180°-65°=115°；
∵∠A + ∠B + ∠C+∠D=（5-2）×180°-∠AED=540°-115°=425°.
故答案为：C.
5．如图，在⊙O中，OC⊥AB，若∠BOC＝40°，则∠OAB等于（ ）
A．40° B．50° C．80° D．120°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；垂径定理
【解析】【解答】解：在⊙O中，OA=OB，
∴△AOB为等腰三角形，
∵OC⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC=40°，
∴∠AOB=80°，
∴∠OAB=（180°-∠AOB）÷2=50°．
6．如图，点O是内一点，，、分别是和的角平分线，则等于（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解： ∵，
∴，
∵、分别是和的角平分线，
∴，
∴．
故答案为：B．
7．如图，在正方形中，点，分别在，上，且保持，在上取一点，连结，使恰好平分，连结．若要求正方形的面积，则只需要知道
A． 的面积 B． 的面积
C． 的周长 D． 的周长
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等及其性质；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：在CD上取一点H，使，连接EH，FH，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，
则，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∴，
即要求正方形的面积，则只需要知道的周长，
故答案为：C.
8．长为1的一根绳，恰好可围成两个全等三角形，则其中一个三角形的最长边x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质
【解析】【解答】当两全等三角形三边各自都相等时，x最小为；
∵围成两个全等的三角形可得两个三角形的周长相等，
∴x+y+z=
∵y+z＞x
∴可得，
所以，
故选Ａ．
9．下图是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”（图1）和梅花图案（图2）（图中的折扇无重叠），则梅花图案中的五角星的五个锐角均为（ ）
A．36° B．42° C．45° D．48°
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】根据图（1）先求出梅花扇的内角的度数是120°，则两锐角的和等于60°，把梅花图案连接成正五边形，求出每一个内角的度数，然后解答即可．
【解答】如图，梅花扇的内角的度数是：360°÷3=120°，
180°-120°=60°，
正五边形的每一个内角=（5-2) 180°÷5=108°，
∴梅花图案中的五角星的五个锐角均为：108°-60°=48°．
故选：D．
10．如图，已知△ABC的内角∠A=α，分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…以此类推得到∠A2017，则∠A2017的度数是（ ）
A． α B．90+ α C． α D． α
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】△ABC中，∵∠A=∠ACD ∠ABC，A1是∠ABC角平分与∠ACD的平分线的交点，∠A=α，
∴∠A1=∠A1CD ∠A1BC= (∠ACD ∠ABC)= ∠A；
同理可得，∠A2= ∠A1= ∠A，
∠A3= ∠A2= ∠A，
…
依此类推，∠An= ∠A.
∴∠A2017= α，
故答案为：D.
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．如图，的两边被一张长方形纸片部分遮挡．若，，则 ．
【答案】52°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=120°，
∴∠3=180°-∠1=60°，
∵a∥b，
∴∠4=∠3=60°，
∴∠P=180°-∠4-∠2=52°.
故答案为：52°.
12．“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，如图所示为一农村民居侧面截图，屋坡 ， 分别架在墙体的点 ， 处，且 ，侧面四边形 为矩形，若测得 ，则 .
【答案】110
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】 解： 四边形BDEC为矩形
，
故答案为：110.
13．如图，矩形的对角线与相交于点，过点作，交于点，连接若，则 度
【答案】35
【知识点】三角形的外角性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：
∵OE⊥BD，∴∠BOE＝90°，∴∠COB＝∠BOE-∠COE＝90°-20°＝70°，
由矩形的性质可知OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA
∴∠COB＝∠OAB+∠OBA＝2∠OBA＝70°，∴∠OBA＝35°
即∠ABD＝35°
故答案为：35 .
14．如图， 、 、 、 为一个外角为 的正多边形的顶点.若 为正多边形的中心，则 .
【答案】30°
【知识点】等腰三角形的性质；多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：多边形的每个外角相等，且其和为 ，
据此可得多边形的边数为： ，
∴∠AOD=3× =120°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA= =30°.
故答案为：30°.
15．如图，△ABC各边长都大于4，⊙A、⊙B、⊙C的半径都等于2，则图中三个阴影部分的面积之和为 (结果保留π) ；
【答案】2π
【知识点】三角形内角和定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由于∠A+∠B+∠C=180°，
因此阴影部分的面积为半径为2的半圆面积，即π×22=2π，
故答案为：2π．
16．如图，在边长为 的等边△ABC中，动点D，E分别在BC，AC边上，且保持AE＝CD，连接BE，AD，相交于点P，则CP的最小值为 .
【答案】2
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；三角形的外角性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图：
∵CD=AE，BC=AC，
∴BD=CE，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠APE=∠ABE+∠BAD，∠APE=∠BPD，∠ABE+∠CBE=60°，
∴∠BPD=∠APE=∠ABC=60°，
∴∠APB=120°，
∴点P的运动轨迹是 ，∠AOB=120°，连接CO，
∵OA=OB，CA=CB，OC=OC，
∴△AOC≌△BOC（SSS），
∴∠OAC=∠OBC，∠ACO=∠BCO=30°，
∵∠AOB+∠ACB=180°，
∴∠OAC+∠OBC=180°，
∴∠OAC=∠OBC=90°，
∴OC=AC÷cos30°=4，OA= OC=2，
∴OP=2，
∵PC≥OC-OP，
∴PC≥2，
∴PC的最小值为2.
故答案为：2.
【分析】根据线段的和差关系可得BD=CE，证明△ABD≌△BCE，得到∠BAD=∠CBE，由外角的性质得∠APE=∠ABE+∠BAD，根据对顶角的性质可得∠APE=∠BPD，求出∠BPD=∠APE=∠ABC=60°，∠APB=120°，证△AOC≌△BOC，得∠OAC=∠OBC，∠ACO=∠BCO=30°，∠OAC=∠OBC=90°，利用三角函数的概念求出OC、OA，进而得到OP，当点O、P、C三点共线时，PC取得最小值，为OC-OP，据此解答.
17．如图，已知直线y=x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y= x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM﹣MC|的值最大，求出点M的坐标 .
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形三边关系；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】（1）将A（0，1）、B（1，0）坐标代入y=x2+bx+c，
得，
解得，
∴抛物线的解折式为y=x2-x+1；
∴抛物线的对称轴为x=，
∵B、C关于x=对称，
∴MC=MB，
要使|AM-MC|最大，即是|AM-MB|最大，
由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时|AM-MB|的值最大．
易知直线AB的解析式为y=-x+1
∴由，
得，
∴M（，-）．
【分析】将A（0，1）、B（1，0）代入解析式中求出b、c值，即得y=x2-x+1，可得抛物线的对称轴为x=，根据抛物线的对称性可得MC=MB，要使|AM-MC|最大，即是|AM-MB|最大，可知
当A、B、M在同一直线上时|AM-MB|的值最大，求出此时直线AB的解析式，再求出x=时y值，即得点M坐标.
18．如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB、BC可分别绕点A、B转动，当AB、BC转别到∠BAE=60°，∠ABC=45°时，连结BE，∠ABE =70°，延长BC交射线AE于D．AB不动，当BC绕点B顺时针转动 度或逆时针转动 度时，△BDE是等腰三角形．
【答案】25或40；50
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；图形的旋转
【解析】【解答】解：如图，
∵∠AEB=180°-∠ABE-∠BAE=180°-70°-60°=50°，
∠DBE=∠ABE-∠ABC=70°45°=25°，
当BC绕点B顺时针转动时，
①当BD1=ED1，
∠EBD1=∠E=50°，
∴∠DBD1=∠EBD1-∠EBD=50°-25°=25°；
②当ED2=EB，
∠EBD2==65°，
∴∠DBD2=∠EBD2-∠EBD=65°-25°=40°；
当BC绕点B逆时针转动时，
∵∠BED3=180°-∠AEB=130°，
∵BE=BD3，
∴∠EBD2==25°，
∴∠DBD3=∠EBD+∠EBD2=25°+25°=50°.
故答案为： 25或40 ，50.
【分析】根据题意作图，先根据三角形内角和定理求出∠AEB的度数，根据角的和差关系求出∠DBE的度数，当BC绕点B顺时针转动时，分两种情况讨论，即①当BD1=ED1，②当ED2=EB，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质分别求出∠EBD1和∠EBD2的度数，然后根据角的和差关系求旋转角即可；当BC绕点B逆时针转动时，先根据邻补角的性质求出∠BED3，然后根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质分别求出∠EBD3度数，再求旋转角即可.
三、解答题（共66分）
19．（6分）如图，在ABC中，AE是边BC上的高线．
（1）若AD是BC边上的中线，AE=3cm，．求DC的长．
（2）若AD是∠BAC的平分线，∠B=40°，∠C=50°，求∠DAE的大小．
【答案】（1）解：∵AE=3cm，=12，
∴BC=12×2÷3=8（cm），
∵AD是BC边上的中线，
∴DC=BC=4cm
（2）解：∵∠B=40°，∠C=50°，
∴∠BAC=90°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=45°，
∠ADE是ABD的一个外角，
∴∠ADE=∠B+∠BAD=40°+45°=85°，
在直角三角形ADE中，∠DAE=90°85°=5°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的外角性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式计算出BC的长，再根据中线的概念求得DC的长；
(2)利用三角形内角和定理求得∠BAC=90°，然后利用角平分线的定义求出∠BAD=45°，根据外角定理求出∠ADE=85°，再利用直角三角形的性质求得∠DAE。
20．（8分）如图，已知AB∥CD，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD.
（1）若∠1＝50°，求∠2的度数；
（2）若EH平分∠AEF，判断EH，FG是否平行，并说明理由.
【答案】（1）解：∵EG平分∠BEF，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵FG平分∠EFD，
∴ .
（2）解：∵EG平分∠BEF，EH平分∠AEF，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
同理，由EG平分∠BEF，FG平分∠EFD， ，
可得： ，
∴ ，
所以 ，
∴ .
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义可得，从而求出，根据平行线的性质可得，由角平分线的定义可得（2）由角平分线的定义可得从而求出∠HEG=，同理求出，利用三角形内角和求出∠G=90°，从而得出，利用平行线的判定即证结论.
21．（8分）如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形，如图，就是一组正多边形，观察每个正多边形中∠的变化情况，解答下列问题．
（1）将如表的表格补充完整：
正多边形的边数 3 4 5 6 …… n
∠的度数 ……
（2）根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠＝20°？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：
观察上面每个正多边形中的，填写下表：
正多边形边数 3 4 5 6
的度数 60° 45° 36° 30°
（2）解：存在，理由如下：
设存在正边形使得，
得．
解得：，
存在正边形使得．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；正多边形的性质
【解析】【分析】本题考查了多边形的内角和=（n-2）×180°，利用三角形的内角和等于180°和等腰三角形的两底角相等；
（1）根据计算、观察，可发现规律：正n边形中的 ∠ =；
（2）根据正n边形中的 ∠ =，可得答案.
22．（8分）如图，已知图形A，B，C，D，E，F分别是由3，4，5，6，7，8个“单位正方形”（每个小正方形的边长为1）组成的图形，它们之中的五个可以拼成一个大正方形．
（1）填空：能拼成的大正方形的面积等于 ，多余的那一个图形的编号是 从A，B，C， D，E，F中选择一个）
（2）请在下图中画出拼接正方形的方法，要求：标注所使用五个图形的编号，并用实粗线画出边界线．（说明：所使用的五个图形可以旋转，也可以翻转）
【答案】（1）25；F
（2）解：如图所示．
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】（1）组成大正方形的小正方形数量可能是1、4、9、16、25、36…
而3＋4＋5＋6＋7＋8＝33在25和36之间，
所以组成大正方形的小正方形数量25个，多余8个．
故答案为：25，F．
【分析】（1）先求出3＋4＋5＋6＋7＋8＝33，再计算求解即可；
（2）根据题意作图即可。
23．（12分）如图1，点分别是边长为的等边的边上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为．
图1 图2
（1）连接交于点，则在运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数；
（2）点在运动过程中，设运动时间为，当为何值时，为直角三角形？
（3）如图2，若点在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为，在运动的过程中，的大小变化吗？若变化请说明理由：若不变，请求出它的度数．
【答案】（1）解：在P、Q运动的过程中，∠CMQ=60°，度数始终不变，理由如下：
为等边三角形，
，，
点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，
，
在和中
，
，
，
在P、Q运动的过程中，∠CMQ=60°，度数始终不变；
（2）解：运动时间为，则，
，
当时，
，
，
，解得，
当时，
，
，
，解得，
当为或 时，为直角三角形；
（3）解：在P、Q运动的过程中，∠CMQ=120°，度数始终不变，理由如下：
在等边三角形中，，，
，且，
在和中
，
，
又，
，
在P、Q运动的过程中，∠CMQ=120°，度数始终不变．
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）在P、Q运动的过程中，∠CMQ=60°，度数始终不变，理由如下：求出AP=BQ，用SAS证明△APC≌△BQA，可得∠BAQ=∠ACP，然后根据三角形外角的性质求出∠CMQ=60°即可；
（2）分别表示出BP和BQ，然后分∠PQB=90°和∠BPQ=90°两种情况，分别利用含30°直角三角形的性质得到关于的方程，进而可求得的值；
（3）用SAS证明△PBC≌△QCA，得∠BPC=∠MQC，然后结合对顶角相等及三角形内角和定理得∠CMQ=∠PBC=120°.
24．（12分）如图，四边形内接于，，交于点E．已知的半径为3，，．
（1）求的度数．
（2）求的长．
（3）当的面积最大时，求的值．
【答案】（1）解：如图1，连接，．
∵的半径为3，，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
∵，
∴．
（2）解：如图2，连接，，
则．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图3，过点E作于点F．
由（1）知，则，
∴，．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴当EF的值最大时，的面积最大．
∵的半径为3，
∴，
∴，
∴，
即，
∴EF的最大值为，
∴，，
∴
．
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理；圆的综合题
【解析】【分析】（1）连接，，先证明是等边三角形， 得到． 利用圆周角定理得到，从而求解；
（2）连接，， 可得，结合， 得到，利用三角形的外角性质求得，， 从而得到，最后利用等腰直角三角形的性质即可求解；
（3）过点E作于点F，可得， 进而得到，，根据直角三角形中30°角的性质得到， 利用勾股定理求得，，然后利用得到． 再根据， 求得， 进一步得到EF的最大值为，从而求解.
25．（12分）阅读理解
如图①，△ABC 中，沿∠BAC 的平分线 AB1 折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C 的平分线 A1B2 折叠，剪掉重复部分；….；将余下部分沿∠BnAnC 的平分线 AnBn+1 折叠， 点 Bn 与点 C 重合.无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC 是△ABC 的好角. 小丽展示了确定∠BAC 是△ABC 的好角的两种情形.情形一：如图②，沿等腰三角形ABC 顶角∠BAC 的平分线 AB1 折叠，点 B 与点 C 重合；情形二：如图③，沿∠BAC 的平分线 AB1 折叠，剪掉重复部分；将余下的部分沿∠B1A1C 的平分线 A1B2 折叠，此时点 B1 与点 C 重合.
探究发现
（1）△ABC 中，∠B=2∠C，∠BAC 是不是△ABC 的好角？ （填“是”或“不是”）
（2）猜想：若经过 n 次折叠后发现∠BAC 是△ABC 的好角，则∠B 与∠C（不妨设∠B > ∠C ）之间的等量关系为 ；
（3）应用提升
小丽找到一个三角形，三个角分别为 15°、60°、105°，发现 60°和 105°的两个角都是此三角形的好角.
请你完成，如果一个三角形的最小角是 12°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角.
【答案】（1）是
（2）∠B = n∠C
（3）解：由（2）知设∠A＝12°，
∵∠C是好角，
∴∠B＝12n°；
∵∠A是好角，
∴∠C＝m∠B＝12mn°，其中m、n为正整数得12+12n+12mn＝180
∴1+n+mn＝15
∴n(1+ m) = 14
∴如果一个三角形的最小角是12°，三角形另外两个角的度数是24°、144°；12°、156°；84°、84°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：（1）△ABC中，∠B＝2∠C，经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好角；理由如下：
小丽展示的情形二中，如图③，
∵沿∠BAC的平分线AB1折叠，
∴∠B＝∠AA1B1；
又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，
∴∠A1B1C＝∠C；
∵∠AA1B1＝∠C+∠A1B1C（外角定理），
∴∠B＝2∠C，∠BAC是△ABC的好角.
故答案为：是；
（ 2 ）∠B＝n∠C；理由如下：
在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，则∠BAC是△ABC的好角.
理由如下：∵根据折叠的性质知，∠B＝∠AA1B1，∠C＝∠A2B2C，∠A1B1C＝∠A1A2B2，
∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2＝∠C+∠A2B2C＝2∠C；
∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1﹣∠A1B1C＝∠BAC+2∠B﹣2∠C180°，
根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝3∠C；
由小丽展示的情形一知，当∠B＝∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
由小丽展示的情形二知，当∠B＝2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
由小丽展示的情形三知，当∠B＝3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量系为∠B＝n∠C；
故答案为：∠B＝n∠C；
【分析】（1）在小丽展示的情形二中，如图3，根据根据三角形的外角定理、折叠的性质推知∠B＝2∠C；（2）根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知∠A1A2B2＝∠C+∠A2B2C＝2∠C；根据四边形的外角定理知∠BAC+2∠B﹣2C＝180°①，根据三角形ABC的内角和定理知∠BAC+∠B+∠C＝180°②，由①②可以求得∠B＝3∠C；利用数学归纳法，根据小丽展示的三种情形得出结论：∠B＝n∠C；（3）利用（2）的结论知∠B＝n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∠C＝n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A＝n∠B，∠BCA是△ABC的好角；然后三角形内角和定理可以求得另外两个角的度数.
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