江苏省苏州市第五中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题

苏州五中2015-2016学年第一学期期中考试
高二数学
2015.11
注意事项:
1.本试卷分填空题和解答题两部分，共160分，考试用时120分钟.
2.答题前，考生务必将自己的班级、姓名、学号写在答题纸的密封线内．答题时，填空题和解答题的答案写在答题纸对应的位置上，答案写在试卷上无效，本卷考试结束后，上交答题纸.
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
点到直线的距离是 ▲ ．
若三个球的半径之比是，则它们的体积之比是 ▲ ．
过点且垂直于直线的直线方程为 ▲ ．
若三条直线两两互相垂直，则下列结论正确的是 ▲ ．
①这三条直线共点； ②其中必有两条直线是异面直线；
③三条直线不可能在同一平面内； ④其中必有两条在同一平面内．
方程表示圆，则的取值范围是 ▲ ．
已知是不重合的直线，是不重合的平面，则下列命题中正确的序号为 ▲ ．
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则；
（4）若，则．
已知正三棱锥P—ABC中，侧棱，D、E分别是侧棱PB、PC上的点，则的周长的最小值是 ▲ ．
直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程是 ▲ ．
若,则直线2cos＋3y＋1=0的倾斜角的取值范围 ▲ ．
点，到平面的距离分别为和，则线段的中点到平面的距离为 ▲ ．
已知球O的面上有四点A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=，则球O的体积等于 ▲ ．
已知，，是直线上的动点，则的最小值为 ▲ ．
若圆与圆相交，则m的取值范围是
▲ ．
若直线y=x+b与曲线x=恰有一个公共点，则b的取值范围是 ▲ ．
二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
（本题14分）
如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥CD，正方形ADEF所在的平面和平面ABCD垂直，点H是BE的中点，点G是AE、DF的交点．
求证：GH∥平面CDE；
求证：BD⊥平面CDE.
（本题满分14分）
已知直线，．
求两直线的交点P；
求经过点P且平行于直线的直线方程；
求以点P为圆心，且与直线相切的圆的标准方程．
（本题满分14分）
如图，在四棱锥中，侧面是正三角形，且与底面垂直，底面是边长为2的菱形，，是中点，截面交于，是中点，求证：
；
平面；
平面．
.（本题满分16分）
如图，在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知，，．
设是上的一点，证明：平面平面；
当点位于线段PC什么位置时，平面？
求四棱锥的体积．
（本题满分16分）
已知圆C:,直线．
无论m取任何实数，直线必经过一个定点P，求出定点P的坐标；
过点P作圆C的切线，求切线方程；
以CP为直径的圆与圆C交于A、B两点，求线段AB的长．
（本题满分16分）
方程的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，求：
的值域；
的值域；
的值域．
苏州五中2015-2016学年第一学期期中考试
高二数学
2015.11
一、填空题：本大题共14小题．每小题5分，共70分．
1．________________________；2．________________________；3．________________________；
4．________________________；5．________________________；6．________________________；
7．________________________；8．________________________；9．________________________；
10．_______________________；11．_______________________；12．_______________________；
13．_______________________；14．_______________________．
二、解答题
15．(本题14分)
16．(本题14分)
17．(本题14分)
18．(本题16分)
19．(本题16分)
20．(本题16分)
苏州五中2015-2016学年第一学期期中考试
高二数学 （参考答案）
2015.11
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．； 2．； 3．； 4．③；
5．； 6．； 7．； 8．；
9．； 10．或； 11．； 12．；
13．； 14．．
二、解答题
15．（本题满分14分）
证明　(1)因为G是AE与DF的交点，
所以G是AE的中点．…………２分
又H是BE的中点，
所以在△EAB中，GH∥AB. …………４分
因为AB∥CD，
所以GH∥CD. …………５分
又CD 平面CDE，GH 平面CDE，
所以GH∥平面CDE. …………７分
(2)平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD，
因为ED⊥AD，ED 平面ADEF，
所以ED⊥平面ABCD. …………１０分
所以ED⊥BD. …………１１分
又BD⊥CD，CD∩ED＝D，
所以BD⊥平面CDE. …………１４分
16．（本题满分14分）
解：(1)由，得，
所以…………４分
(2)设，…………５分
则…………6分
为所求…………8分
(3) …………10分
因为相切，所以半径…………12分
所以圆方程为…………14分
17．（本题满分14分）
证明：（1）∵，平面，
∴平面，…………2分
∵平面，
平面平面，
∴．…………4分
（2）连结
∵和都是正三角形，
∴，，又，…………6分
∴平面，…………7分
（3）又平面，…………9分
∴，…………10分
∵，是中点，
∴，…………12分
又，
∴⊥平面．…………14分
18．（本题满分16分）
证明：（1）在中，
∵，，，∴．
∴．…………2分
又 ∵平面平面，
平面平面，平面，
∴平面．
又平面，
∴平面平面．…………4分
（2）当点位于线段PC靠近C点的三等分点处时，平面．……5分
证明如下：连接AC，交于点N，连接MN．
∵，所以四边形是梯形．
∵，∴．
又 ∵，
∴，∴MN．…………7分
∵平面，∴平面．…………9分
（3）过作交于，
∵平面平面，
∴平面．
即为四棱锥的高．…………11分
又 ∵是边长为4的等边三角形，∴．…………12分
在中，斜边边上的高为，此即为梯形的高．
∴梯形的面积．…………14分
故．…………16分
19．（本题满分16分）
解：(1) 直线:
可变形…………2分
。
因此直线恒过定点P（－2，2）…………5分
(2)因为
所以点P在圆外…………6分
若切线斜率不存在，
则切线方程为，经检验，成立…………7分
②若切线斜率存在，则设切线方程为
因为，所以
解得
即切线方程为…………10分
综上，切线方程为或…………11分
(3)以CP为直径的圆的方程为…………13分
所以公共弦AB所在直线方程为…………14分
圆心C到直线AB的距离…………15分
所以…………16分
20．（本题满分16分）
解：由题意：，…………3分
画出可行域…………7分
可行域是由A（-3，1）、B（-2，0）、C（-1，0）所构成的三角形区域，
利用各式的几何意义分别可得值域为：
（1）可行域内的点与点（1，2）的连线的斜率，
…………10分
（2）可行域内的点到点（1，2）的距离的平方
（8，17）…………13分
（3）为求目标函数的最值
．…………16分