广东省汕头市潮阳区2023-2024学年高二上学期1月期末教学质量监测数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024高二上·潮阳期末）拼音chao所有字母组成的集合记为，拼音yang所有字母组成的集合记为，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二上·潮阳期末）设，则（ ）
A．1 B． C． D．2
3．（2024高二上·潮阳期末）已知为抛物线：（）上一点，点到的焦点的距离为8，到轴的距离为5，则（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
4．（2024高二上·潮阳期末）已知函数，若实数是函数的零点，且，则的值（ ）
A．恒为正 B．等于0 C．恒为负 D．不大于0
5．（2024高二上·潮阳期末）设，，，则有（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二上·潮阳期末）若等差数列的前项和为，且，，，则满足的最大自然数的值为（ ）
A．6 B．7 C．12 D．13
7．（2024高二上·潮阳期末）已知函数，则（ ）
A．在单调递增 B．在单调递减
C．的图像关于点对称 D．的图像关于直线对称
8．（2024高二上·潮阳期末）如图，在一个单位正方形中，首先将它等分成4个边长为的小正方形，保留一组不相邻的2个小正方形，记这2个小正方形的面积之和为；然后将剩余的2个小正方形分别继续四等分，各自保留一组不相邻的2个小正方形，记这4个小正方形的面积之和为．以此类推，操作次，若，则的最小值是（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2024高二上·潮阳期末）若直线与圆相切，则的取值可以是（ ）
A． B． C．2 D．
10．（2024高二上·潮阳期末）已知一组样本数据，，…，，其中（），由这组数据得到另一组新的样本数据，，…，，其中，则（ ）
A．两组样本数据的样本方差相同
B．两组样本数据的样本平均数相同
C．，，…，样本数据的第30百分位数为
D．将两组数据合成一个样本容量为30的新的样本数据，该样本数据的平均数为5
11．（2024高二上·潮阳期末）在长方体中，已知，，点在线段上运动（不含端点），则下列说法正确的是（ ）
A．
B．三棱锥的体积为
C．平面平面
D．若点是线段的中点，则三棱锥的外接球的表面积为
12．（2024高二上·潮阳期末）设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第一象限，为的内心，且内切圆半径为1，则（ ）
A． B．
C． D．、、三点共线
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2024高二上·潮阳期末）将函数的图象纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，则得到了函数为 ．
14．（2024高二上·潮阳期末）已知数列为等比数列，，，则 ．
15．（2024高二上·潮阳期末）如图，正方形中，，是线段上的动点且（，），则的最小值为 ．
16．（2024高二上·潮阳期末）定义：点为曲线外的一点，，为上的两个动点，则取最大值时，叫点对曲线的张角．已知点为双曲线：上的动点，设对圆：的张角为，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，第17题满分10分，其它5个小题满分均为12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2024高二上·潮阳期末）已知 的内角 的对边分别是 ，且 .
（1）求A；
（2）若 ， 的面积为 ，求 的周长.
18．（2024高二上·潮阳期末） 2023年上海书展于8月16日至22日在上海展览中心举办.展会上随机抽取了50名观众，调查他们每个月用在阅读上的时长，得到如图所示的频率分布直方图：
（1）求x的值，并估计这50名观众每个月阅读时长的平均数；
（2）用分层抽样的方法从这两组观众中随机抽取6名观众，再若从这6名观众中随机抽取2人参加抽奖活动，求所抽取的2人恰好都在这组的概率.
19．（2024高二上·潮阳期末）已知正项数列的前项和，满足：．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，设数列的前项和为，求．
20．（2024高二上·潮阳期末）如图，已知长方体中，，，连接，过点作的垂线交于，交于．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）求直线与平面所成角的正弦值．
21．（2024高二上·潮阳期末）随着科技的发展，手机上各种APP层出不穷，其中抖音就是一种很火爆的自媒体软件，抖音是一个帮助用户表达自我，记录美好生活的视频平台．在大部分人用来娱乐的同时，部分有商业头脑的人用抖音来直播带货，可谓赚得盆满钵满，抖音上商品的价格随着播放的热度而变化．经测算某服装的价格近似满足：，其中（单位：元）表示开始卖时的服装价格，（单位：元）表示经过一定时间（单位：天）后的价格，（单位：元）表示波动价格，（单位：天）表示波动周期．某位商人通过抖音卖此服装，开始卖时的价格为每件120元，波动价格为每件20元，服装价格降到70元每件时需要10天时间．
（1）求的值；
（2）求服装价格降到60元每件时需要的天数．（结果精确到整数）
参考数据：
22．（2024高二上·潮阳期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆E的离心率为，过且不与坐标轴垂直的直线与椭圆E交于A，B两点，的周长为8．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过且与垂直的直线与椭圆E交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：拼音chao所有字母组成的集合，
拼音yang所有字母组成的集合，
则.
故选：C.
【分析】本题考查集合交集的定义.先写出集合，再根据集合交集的定义可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：，则
故选：B
【分析】本题考查复数的除法运算，复数的模长公式.先利用复数除法运算求出复数z，再利用复数的模长公式，可求出模长.
3．【答案】C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程
【解析】【解答】解：由点为抛物线上一点，且到轴的距离为，可得，
又由点到的焦点的距离为，根据抛物线的焦半径可得，
即，解得.
故选：C.
【分析】本题考查抛物线的定义.先根据题意，求出点A的横坐标，再利用抛物线的定义，可列出方程，解方程可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：根据已知条件可知，函数是定义域内递减函数，
若实数是函数的零点，那么可知，
因为
所以.
故答案为：A.
【分析】本题考查函数零点的定义，函数的单调性.先根据函数解析式，利用指数函数和对数函数的单调性，判断出函数的单调性，再根据函数零点的定义可得：，利用函数的单调性可推出答案.
5．【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；二倍角的正切公式；单位圆与三角函数线
【解析】【解答】解：由，，，
如图所示，
根据三角函数线，可得，即，
所以.
故选：D.
【分析】本题考查二倍角公式，三角函数线的应用.先利用正弦，余弦，正切的二倍角公式化简a，b，c可得：，，，再观察三角函数线可得出a，b，c的大小.
6．【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：由，利用等差数列的性质可得：，
又<0，>0，∴>0，<0.
∴，
则满足Sn>0的最大自然数n的值为12.
故答案为：C.
【分析】本题考查等差数列的性质，等差数列的前n项和公式.先利用等差数列的性质，再结合符号法则分析出，>0，<0，再结合等差数列的前n项和公式分析出：，据此可推出n的值.
7．【答案】D
【知识点】函数的单调性及单调区间；奇偶函数图象的对称性；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意知，，所以的图象关于直线对称，故D正确，C错误；
又（），由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以A，B错误.
故答案为：D．
【分析】本题考查函数的对称性，单调性.先根据对数的运算法则，化简解析式可得：，利用复合函数的单调性可判断其单调性，进而确定A，B选项.通过计算可得：，据此可判断出的图象关于直线对称，确定C，D选项.
8．【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意可知操作1次时有个边长为的小正方形，即，
操作2次时有个边长为的小正方形，即，
操作3次时有个边长为的小正方形，即，
以此类推可知操作次时有个边长为的小正方形，即，
由等比数列前项和公式有，
从而问题转换成了求不等式的最小正整数解，
将不等式变形为，注意到，，且函数在上单调递减，
所以的最小值是11.
故选：B.
【分析】本题考查等差数列的通项公式，等比数列的前n项和公式.根据题意进行归纳可找出操作次时有个边长为的小正方形，即，再利用等比数列的前n项和公式求出，不等式通过化简可得：，利用指数函数的单调性可求出n的最小值.
9．【答案】A,C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为直线与圆相切，所以，解得：.
故选：AC
【分析】本题考查直线与圆的位置关系.先根据题意得直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，可列出方程，解方程可求出答案.
10．【答案】A,C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：由题意可得：，
∵，则，，故A正确，B错误；
由于求第30百分位数：15×0.3=4.5，故为第5个数，
的排列为：，
因此，第30百分位数为，C正确；
将两组数据合成一个样本容量为30的新的样本数据，
新样本的平均数为，D错误，
故选：AC．
【分析】本题考查平均数以及方差的性质.先根据一组数据加减一个数，平均数会发生改变，方差不发生改变，据此可判断A和B选项；先求出百分位数的排序，再写出数据，根据百分位数的定义可找出第30百分位数；利用加权平均数的计算方式可求出两组数据合成后的平均数 ；
11．【答案】B,C,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：点在线段上运动（不含端点），平面，，，， A错误；
以D为原点，，，所在方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，，，
∴，令，则，
又，
所以点到平面的距离，从而，B正确；
由题可得，，平面，平面，
从而平面，平面，因此平面平面，C正确；
由点P是线段的中点，则是直角三角形，外接圆圆心为AD中点，
是直角三角形，外接圆圆心为中点，过两个中点分别作所在平面的垂线，这两条垂线的交点刚好是中点，
即三棱锥的外接球的球心是中点，又，
因此外接球半径为，球表面积为，D正确.
故选：BCD.
【分析】本题考查平面与平面垂直的判定，三棱锥的体积公式，几何体外接球问题.先利用直线与平面垂直的定义，根据不含端点，据此可判断A选项.建立空间直线坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面的距离的向量公式可求出点到平面的距离，代入三棱锥的体积公式可求出体积；可判断B；利用已知条件先证明平面，利用平面与平面垂直的判定定理可证明平面平面 ，进而判断C；利用球的截面的性质可得三棱锥的外接球的球心是中点，进而求出球的半径，代入球的表面积公式可求出表面积，进而可判断D选项.
12．【答案】B,C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：如图所示，设切点为，内切圆半径为，
对于A，由椭圆方程得，
则，
所以，，
所以，故A错误；
由题意得
，
又因为，解得，B正确；
从而，
所以，
所以，而，
所以，，C正确；
由题知，若、、三点共线，
则为的中线，
又因此时为的角平分线，
所以只能是时，上述成立，
而在上且在第一象限，
所以、、三点不可能共线，D错误.
故选：BC
【分析】本题考查椭圆的简单几何性质.根据题意作图，根据椭圆的定义，再结合三角形内心定义，利用勾股定理可求出.结合三角形内心的性质。利用等面积法可列出方程，解方程可求出；利用焦半径公式，结合三角形内心的性质可求出，再结合，可求出的坐标，进而求出的长度；利用中位线的性质和三角形角平分线的性质可推出当时，、、三点共线 ，而点P在第一象限，据此可知不成立.
13．【答案】
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：根据三角函数的图象变换得：将的图象纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，得到了函数的图象.
故答案为：.
【分析】本题考查三角函数的图象变换.根据三角函数的图象变换可知：纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，x缩小为原来的，据此可求出答案.
14．【答案】4
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，
因为，可得，可得，
所以
故答案为：.
【分析】本题考查等差数列的通项公式.先根据已知条件，利用等差数列的通项公式可推出，再根据等差数列的通项公式可知：，代入数据可求出答案.
15．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因是线段上的动点，不妨设，则，又，
则，
又，故得：，解得：.
因，于是由，
当且仅当时等号成立，即时，的最小值为.
故答案为：.
【分析】本题考查平面向量基本定理，利用基本不等式求最值.先利用平面向量的线性运算可得：，再根据题意可求出，采用1的代换法，用 先乘以1，再将1进行替换，化简可得：，观察可知积为定值，使用基本不等式可求出答案.
16．【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：如图所示，可得，
要使得最小，则最大，即取得最小值即可，
设，则，可得，
又由圆，可得圆心，
则，其中，
当时，，此时，
所以，
即最小值为.
故答案为：.
【分析】本题考查双曲线的简单几何性质.由题可知，要使得最小，则最大，所以取得最小值，设，利用两点间的距离公式可得：，其中，利用二次函数的性质可求出，进而求出.的值，代入的计算式可求出答案.
17．【答案】（1）解：由 ，得 ，
由正弦定理，得 ，
由于 ，所以 .
因为 ，所以 .
（2）解：由余弦定理，得 ，
又 ，所以 .①
又 的面积为 ，即 ，即 ，即 .②
由①②得 ，
则 ，
得 .所以 的周长为 .
【知识点】二倍角的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据 ，由二倍角正弦公式得到 ，然后由正弦定理求解.（2）根据 ，利用余弦定理，得到 ，再根据 的面积为 ，得到 ，两式联立求解.
18．【答案】（1）解：由频率分布直方图得：，解得，
阅读时长在区间内的频率分别为，
所以阅读时长的平均数.
（2）解：由频率分布直方图，得数据在两组内的频率比为，
则在内抽取人，记为，在内抽取 人，记为，
从这名志愿者中随机抽取人的不同结果如下：
，共15个，
其中抽取的人都在内的有，共6个，
所以所抽取2人都在内的概率．
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；概率的基本性质；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再结合频率之和等于1，进而得出x的值；再利用频率分布直方图求平均数公式，进而估计出这50名观众每个月阅读时长的平均数.
（2）利用频率分布直方图和分层抽样的方法，得出从这两组观众中随机抽取6名观众所占的人数，再利用古典概型求概率公式，进而得出所抽取的2人恰好都在这组的概率.
19．【答案】（1）解：当时，，解得．
当时，由①，可得，②
①②得：，即．
，
．
是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列的通项公式．
（2）解：由（1）可得，
，
【知识点】数列的求和；数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】本题考查数列的通项公式与前n项和公式的关系，裂项相消求和.
（1）当时，求出，当时，，l利用两式相减可得，据此推出是以1为首项，以2为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式可求出答案.
（2）由（1）可得，进而求出，利用裂项相消求和可求出答案.
20．【答案】（1）证明：如图，分别以，，为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
、
，，
因为在上，故可设，又，
所以，解得，所以，
，
，即
，平面．
所以平面．
（2）解：设平面的一个法向量为，，
则，，令，得，，
所以所求的距离为；
（3）解：由（2）知，，，
与所成角为，则
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】本题考查直线与平面垂直的判定，点到平面的距离公式，直线与平面所成的角.
（1）分别以，，为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，写出对应向量，根据可求出点E的坐标，利用向量法可证明，，根据直线与平面垂直的判定定理可证明结论；
（2）先平面的法向量，再利用点到平面的距离公式可求出距离．
（3）根据（2）中的法向量，利用直线与平面所成角的向量公式可求出答案．
21．【答案】（1）解：在中，，
则有，
整理得，
即，解得，
所以h的值为10．
（2）解：由（1）知，，
当时，，即有，
取常用对数得：，
解得，
而，则，
所以服装价格降到60元每件时需要14天．
【知识点】根式与有理数指数幂的互化；指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；“对数增长”模型
【解析】【分析】本题考查函数模型的应用，指数式与对数式的互化公式，对数的运算法则.
（1）先将给定的数据代入公式可得，利用指数式与对数式的互化公式可求出答案.
（2）由（1）求出函数关系，结合题意可得：，利用指数式与对数式的互化公式，再结合对数的运算法则可得.，代入参考数据可得求出答案.
22．【答案】（1）解：由题意，椭圆的离心率为，可得，
又由椭圆的定义，可知，所以，所以，
又因为，所以，
所以椭圆E的标准方程为．
（2）解：设，直线的方程为，
由，整理得，
则有，，
故，
又由直线的方程为，设，，
联立方程组，整理得，
则有，，
则，
所以四边形的面积：
，
因为，
当且仅当时，等号成立，
所以，
综上，四边形ACBD面积的最小值为．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 由椭圆的离心率为，得到，再由椭圆的定义知求得，进而求得椭圆E的标准方程；
（2） 设直线的方程为，联立方程组，根据弦长公式求得，又由直线的方程为，联立方程组，利用弦长公式求得，得到四边形的面积，结合基本 不等式，即可求解.
1 / 1广东省汕头市潮阳区2023-2024学年高二上学期1月期末教学质量监测数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024高二上·潮阳期末）拼音chao所有字母组成的集合记为，拼音yang所有字母组成的集合记为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：拼音chao所有字母组成的集合，
拼音yang所有字母组成的集合，
则.
故选：C.
【分析】本题考查集合交集的定义.先写出集合，再根据集合交集的定义可求出答案.
2．（2024高二上·潮阳期末）设，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：，则
故选：B
【分析】本题考查复数的除法运算，复数的模长公式.先利用复数除法运算求出复数z，再利用复数的模长公式，可求出模长.
3．（2024高二上·潮阳期末）已知为抛物线：（）上一点，点到的焦点的距离为8，到轴的距离为5，则（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程
【解析】【解答】解：由点为抛物线上一点，且到轴的距离为，可得，
又由点到的焦点的距离为，根据抛物线的焦半径可得，
即，解得.
故选：C.
【分析】本题考查抛物线的定义.先根据题意，求出点A的横坐标，再利用抛物线的定义，可列出方程，解方程可求出答案.
4．（2024高二上·潮阳期末）已知函数，若实数是函数的零点，且，则的值（ ）
A．恒为正 B．等于0 C．恒为负 D．不大于0
【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：根据已知条件可知，函数是定义域内递减函数，
若实数是函数的零点，那么可知，
因为
所以.
故答案为：A.
【分析】本题考查函数零点的定义，函数的单调性.先根据函数解析式，利用指数函数和对数函数的单调性，判断出函数的单调性，再根据函数零点的定义可得：，利用函数的单调性可推出答案.
5．（2024高二上·潮阳期末）设，，，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；二倍角的正切公式；单位圆与三角函数线
【解析】【解答】解：由，，，
如图所示，
根据三角函数线，可得，即，
所以.
故选：D.
【分析】本题考查二倍角公式，三角函数线的应用.先利用正弦，余弦，正切的二倍角公式化简a，b，c可得：，，，再观察三角函数线可得出a，b，c的大小.
6．（2024高二上·潮阳期末）若等差数列的前项和为，且，，，则满足的最大自然数的值为（ ）
A．6 B．7 C．12 D．13
【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：由，利用等差数列的性质可得：，
又<0，>0，∴>0，<0.
∴，
则满足Sn>0的最大自然数n的值为12.
故答案为：C.
【分析】本题考查等差数列的性质，等差数列的前n项和公式.先利用等差数列的性质，再结合符号法则分析出，>0，<0，再结合等差数列的前n项和公式分析出：，据此可推出n的值.
7．（2024高二上·潮阳期末）已知函数，则（ ）
A．在单调递增 B．在单调递减
C．的图像关于点对称 D．的图像关于直线对称
【答案】D
【知识点】函数的单调性及单调区间；奇偶函数图象的对称性；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意知，，所以的图象关于直线对称，故D正确，C错误；
又（），由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以A，B错误.
故答案为：D．
【分析】本题考查函数的对称性，单调性.先根据对数的运算法则，化简解析式可得：，利用复合函数的单调性可判断其单调性，进而确定A，B选项.通过计算可得：，据此可判断出的图象关于直线对称，确定C，D选项.
8．（2024高二上·潮阳期末）如图，在一个单位正方形中，首先将它等分成4个边长为的小正方形，保留一组不相邻的2个小正方形，记这2个小正方形的面积之和为；然后将剩余的2个小正方形分别继续四等分，各自保留一组不相邻的2个小正方形，记这4个小正方形的面积之和为．以此类推，操作次，若，则的最小值是（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意可知操作1次时有个边长为的小正方形，即，
操作2次时有个边长为的小正方形，即，
操作3次时有个边长为的小正方形，即，
以此类推可知操作次时有个边长为的小正方形，即，
由等比数列前项和公式有，
从而问题转换成了求不等式的最小正整数解，
将不等式变形为，注意到，，且函数在上单调递减，
所以的最小值是11.
故选：B.
【分析】本题考查等差数列的通项公式，等比数列的前n项和公式.根据题意进行归纳可找出操作次时有个边长为的小正方形，即，再利用等比数列的前n项和公式求出，不等式通过化简可得：，利用指数函数的单调性可求出n的最小值.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2024高二上·潮阳期末）若直线与圆相切，则的取值可以是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A,C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为直线与圆相切，所以，解得：.
故选：AC
【分析】本题考查直线与圆的位置关系.先根据题意得直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，可列出方程，解方程可求出答案.
10．（2024高二上·潮阳期末）已知一组样本数据，，…，，其中（），由这组数据得到另一组新的样本数据，，…，，其中，则（ ）
A．两组样本数据的样本方差相同
B．两组样本数据的样本平均数相同
C．，，…，样本数据的第30百分位数为
D．将两组数据合成一个样本容量为30的新的样本数据，该样本数据的平均数为5
【答案】A,C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：由题意可得：，
∵，则，，故A正确，B错误；
由于求第30百分位数：15×0.3=4.5，故为第5个数，
的排列为：，
因此，第30百分位数为，C正确；
将两组数据合成一个样本容量为30的新的样本数据，
新样本的平均数为，D错误，
故选：AC．
【分析】本题考查平均数以及方差的性质.先根据一组数据加减一个数，平均数会发生改变，方差不发生改变，据此可判断A和B选项；先求出百分位数的排序，再写出数据，根据百分位数的定义可找出第30百分位数；利用加权平均数的计算方式可求出两组数据合成后的平均数 ；
11．（2024高二上·潮阳期末）在长方体中，已知，，点在线段上运动（不含端点），则下列说法正确的是（ ）
A．
B．三棱锥的体积为
C．平面平面
D．若点是线段的中点，则三棱锥的外接球的表面积为
【答案】B,C,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：点在线段上运动（不含端点），平面，，，， A错误；
以D为原点，，，所在方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，，，
∴，令，则，
又，
所以点到平面的距离，从而，B正确；
由题可得，，平面，平面，
从而平面，平面，因此平面平面，C正确；
由点P是线段的中点，则是直角三角形，外接圆圆心为AD中点，
是直角三角形，外接圆圆心为中点，过两个中点分别作所在平面的垂线，这两条垂线的交点刚好是中点，
即三棱锥的外接球的球心是中点，又，
因此外接球半径为，球表面积为，D正确.
故选：BCD.
【分析】本题考查平面与平面垂直的判定，三棱锥的体积公式，几何体外接球问题.先利用直线与平面垂直的定义，根据不含端点，据此可判断A选项.建立空间直线坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面的距离的向量公式可求出点到平面的距离，代入三棱锥的体积公式可求出体积；可判断B；利用已知条件先证明平面，利用平面与平面垂直的判定定理可证明平面平面 ，进而判断C；利用球的截面的性质可得三棱锥的外接球的球心是中点，进而求出球的半径，代入球的表面积公式可求出表面积，进而可判断D选项.
12．（2024高二上·潮阳期末）设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第一象限，为的内心，且内切圆半径为1，则（ ）
A． B．
C． D．、、三点共线
【答案】B,C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：如图所示，设切点为，内切圆半径为，
对于A，由椭圆方程得，
则，
所以，，
所以，故A错误；
由题意得
，
又因为，解得，B正确；
从而，
所以，
所以，而，
所以，，C正确；
由题知，若、、三点共线，
则为的中线，
又因此时为的角平分线，
所以只能是时，上述成立，
而在上且在第一象限，
所以、、三点不可能共线，D错误.
故选：BC
【分析】本题考查椭圆的简单几何性质.根据题意作图，根据椭圆的定义，再结合三角形内心定义，利用勾股定理可求出.结合三角形内心的性质。利用等面积法可列出方程，解方程可求出；利用焦半径公式，结合三角形内心的性质可求出，再结合，可求出的坐标，进而求出的长度；利用中位线的性质和三角形角平分线的性质可推出当时，、、三点共线 ，而点P在第一象限，据此可知不成立.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2024高二上·潮阳期末）将函数的图象纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，则得到了函数为 ．
【答案】
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：根据三角函数的图象变换得：将的图象纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，得到了函数的图象.
故答案为：.
【分析】本题考查三角函数的图象变换.根据三角函数的图象变换可知：纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，x缩小为原来的，据此可求出答案.
14．（2024高二上·潮阳期末）已知数列为等比数列，，，则 ．
【答案】4
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，
因为，可得，可得，
所以
故答案为：.
【分析】本题考查等差数列的通项公式.先根据已知条件，利用等差数列的通项公式可推出，再根据等差数列的通项公式可知：，代入数据可求出答案.
15．（2024高二上·潮阳期末）如图，正方形中，，是线段上的动点且（，），则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因是线段上的动点，不妨设，则，又，
则，
又，故得：，解得：.
因，于是由，
当且仅当时等号成立，即时，的最小值为.
故答案为：.
【分析】本题考查平面向量基本定理，利用基本不等式求最值.先利用平面向量的线性运算可得：，再根据题意可求出，采用1的代换法，用 先乘以1，再将1进行替换，化简可得：，观察可知积为定值，使用基本不等式可求出答案.
16．（2024高二上·潮阳期末）定义：点为曲线外的一点，，为上的两个动点，则取最大值时，叫点对曲线的张角．已知点为双曲线：上的动点，设对圆：的张角为，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：如图所示，可得，
要使得最小，则最大，即取得最小值即可，
设，则，可得，
又由圆，可得圆心，
则，其中，
当时，，此时，
所以，
即最小值为.
故答案为：.
【分析】本题考查双曲线的简单几何性质.由题可知，要使得最小，则最大，所以取得最小值，设，利用两点间的距离公式可得：，其中，利用二次函数的性质可求出，进而求出.的值，代入的计算式可求出答案.
四、解答题：本题共6小题，第17题满分10分，其它5个小题满分均为12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2024高二上·潮阳期末）已知 的内角 的对边分别是 ，且 .
（1）求A；
（2）若 ， 的面积为 ，求 的周长.
【答案】（1）解：由 ，得 ，
由正弦定理，得 ，
由于 ，所以 .
因为 ，所以 .
（2）解：由余弦定理，得 ，
又 ，所以 .①
又 的面积为 ，即 ，即 ，即 .②
由①②得 ，
则 ，
得 .所以 的周长为 .
【知识点】二倍角的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据 ，由二倍角正弦公式得到 ，然后由正弦定理求解.（2）根据 ，利用余弦定理，得到 ，再根据 的面积为 ，得到 ，两式联立求解.
18．（2024高二上·潮阳期末） 2023年上海书展于8月16日至22日在上海展览中心举办.展会上随机抽取了50名观众，调查他们每个月用在阅读上的时长，得到如图所示的频率分布直方图：
（1）求x的值，并估计这50名观众每个月阅读时长的平均数；
（2）用分层抽样的方法从这两组观众中随机抽取6名观众，再若从这6名观众中随机抽取2人参加抽奖活动，求所抽取的2人恰好都在这组的概率.
【答案】（1）解：由频率分布直方图得：，解得，
阅读时长在区间内的频率分别为，
所以阅读时长的平均数.
（2）解：由频率分布直方图，得数据在两组内的频率比为，
则在内抽取人，记为，在内抽取 人，记为，
从这名志愿者中随机抽取人的不同结果如下：
，共15个，
其中抽取的人都在内的有，共6个，
所以所抽取2人都在内的概率．
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；概率的基本性质；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再结合频率之和等于1，进而得出x的值；再利用频率分布直方图求平均数公式，进而估计出这50名观众每个月阅读时长的平均数.
（2）利用频率分布直方图和分层抽样的方法，得出从这两组观众中随机抽取6名观众所占的人数，再利用古典概型求概率公式，进而得出所抽取的2人恰好都在这组的概率.
19．（2024高二上·潮阳期末）已知正项数列的前项和，满足：．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，设数列的前项和为，求．
【答案】（1）解：当时，，解得．
当时，由①，可得，②
①②得：，即．
，
．
是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列的通项公式．
（2）解：由（1）可得，
，
【知识点】数列的求和；数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】本题考查数列的通项公式与前n项和公式的关系，裂项相消求和.
（1）当时，求出，当时，，l利用两式相减可得，据此推出是以1为首项，以2为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式可求出答案.
（2）由（1）可得，进而求出，利用裂项相消求和可求出答案.
20．（2024高二上·潮阳期末）如图，已知长方体中，，，连接，过点作的垂线交于，交于．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：如图，分别以，，为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
、
，，
因为在上，故可设，又，
所以，解得，所以，
，
，即
，平面．
所以平面．
（2）解：设平面的一个法向量为，，
则，，令，得，，
所以所求的距离为；
（3）解：由（2）知，，，
与所成角为，则
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】本题考查直线与平面垂直的判定，点到平面的距离公式，直线与平面所成的角.
（1）分别以，，为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，写出对应向量，根据可求出点E的坐标，利用向量法可证明，，根据直线与平面垂直的判定定理可证明结论；
（2）先平面的法向量，再利用点到平面的距离公式可求出距离．
（3）根据（2）中的法向量，利用直线与平面所成角的向量公式可求出答案．
21．（2024高二上·潮阳期末）随着科技的发展，手机上各种APP层出不穷，其中抖音就是一种很火爆的自媒体软件，抖音是一个帮助用户表达自我，记录美好生活的视频平台．在大部分人用来娱乐的同时，部分有商业头脑的人用抖音来直播带货，可谓赚得盆满钵满，抖音上商品的价格随着播放的热度而变化．经测算某服装的价格近似满足：，其中（单位：元）表示开始卖时的服装价格，（单位：元）表示经过一定时间（单位：天）后的价格，（单位：元）表示波动价格，（单位：天）表示波动周期．某位商人通过抖音卖此服装，开始卖时的价格为每件120元，波动价格为每件20元，服装价格降到70元每件时需要10天时间．
（1）求的值；
（2）求服装价格降到60元每件时需要的天数．（结果精确到整数）
参考数据：
【答案】（1）解：在中，，
则有，
整理得，
即，解得，
所以h的值为10．
（2）解：由（1）知，，
当时，，即有，
取常用对数得：，
解得，
而，则，
所以服装价格降到60元每件时需要14天．
【知识点】根式与有理数指数幂的互化；指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；“对数增长”模型
【解析】【分析】本题考查函数模型的应用，指数式与对数式的互化公式，对数的运算法则.
（1）先将给定的数据代入公式可得，利用指数式与对数式的互化公式可求出答案.
（2）由（1）求出函数关系，结合题意可得：，利用指数式与对数式的互化公式，再结合对数的运算法则可得.，代入参考数据可得求出答案.
22．（2024高二上·潮阳期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆E的离心率为，过且不与坐标轴垂直的直线与椭圆E交于A，B两点，的周长为8．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过且与垂直的直线与椭圆E交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值．
【答案】（1）解：由题意，椭圆的离心率为，可得，
又由椭圆的定义，可知，所以，所以，
又因为，所以，
所以椭圆E的标准方程为．
（2）解：设，直线的方程为，
由，整理得，
则有，，
故，
又由直线的方程为，设，，
联立方程组，整理得，
则有，，
则，
所以四边形的面积：
，
因为，
当且仅当时，等号成立，
所以，
综上，四边形ACBD面积的最小值为．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 由椭圆的离心率为，得到，再由椭圆的定义知求得，进而求得椭圆E的标准方程；
（2） 设直线的方程为，联立方程组，根据弦长公式求得，又由直线的方程为，联立方程组，利用弦长公式求得，得到四边形的面积，结合基本 不等式，即可求解.
1 / 1
