辽宁省大连市滨城高中联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含答案)

滨城高中联盟2023-2024学年度下学期高二期中考试
数学
一 单选题（本题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.函数的导数为（ ）
A.
B.
C.
D.
2.函数的单调增区间是（ ）
A. B. C. D.
3.已知是可导函数，且对于恒成立，则（ ）
A.
B.
C.
D.
4.在正项等比数列中，为其前项和，若，则的值为（ ）
A.50 B.70 C.90 D.110
5.已知某种零件的尺寸（单位：）在[83.8，86.2]内的为合格品.某企业生产的该种零件的尺寸服从正态分布，且，则估计该企业生产的2000个该种零件中合格品的个数为（ ）
A.1700 B.1600 C.1400 D.600
6.一袋中装有10个球，其中3个黑球，7个白球，从中先后随机各取一球（不放回），则第二次取到的是黑球的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.在某次美术专业测试中，若甲 乙 丙三人获得优秀等级的概率分别是和0.5，且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲 乙 丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知数列满足，对任意都有，且对任意都有，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二 多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，错选得0分.）
9.下列结论正确的是（ ）
A.标准差越大，则反映样本数据的离散程度越小.
B.在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，则预报变量减少0.8个单位
C.在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合程度越好.
D.对分类变量和来说，它们的随机变量的观测值越大，“与有关系”的把握程度越小
10.设为等差数列的前项和，若，则（ ）
A.数列的公差小于0
B.
C.的最小值为
D.使成立的的最小值是4045
11.甲 乙 丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记次传球后球在甲手中的概率为，则（ ）
A.
B.数列为等比数列
C.
D.第4次传球后球在甲手中的不同传球方式共有6种
三 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12.数列为其前项和，则__________.
13.已知，则曲线在点处切线方程为__________.
14.已知在上存在单调增区间，则实数的取值范围__________.
四 解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤）
15.（13分）有甲，乙，丙三位同学进行象棋比赛，其中每局只有两人比赛，每局比赛必分胜负，本局比赛结束后，负的一方下场.第1局由甲，乙对赛，接下来丙上场进行第2局比赛，来替换负的那个人，每次比赛负的人排到等待上场的人之后参加比赛，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立.
（1）求前3局比赛甲都取胜的概率；
（2）用表示前3局比赛中乙获胜的次数，求的分布列和数学期望.
16.（15分）在数列中，.
（1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和是，求证：.
17.（15分）已知
（1）当时，求的单调减区间
（2）若函数在上单调，求的取值范围.
18.（17分）清明小长假期间，大连市共接待客流322.11万人次，游客接待量与收入达到同期历史峰值，其中到东港旅游的人数达到百万之多.现对到东港旅游的部分游客做问卷调查，其中的人只游览东方水城，另外的人游览东方水城和港东五街.若某位游客只游览东方水城，记1分，若两项都游览，记2分.视频率为概率，解答下列问题.
（1）从到东港旅游的游客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为，求的分布列和数学期望；
（2）从到东港旅游的游客中随机抽取人，记这人的合计得分恰为分的概率为，求；
（3）从到东港旅游的游客中随机抽取10人，其中两处景点都去的人数为.记两处景点都去的人数为的概率为，写出的表达式，并求出当为何值时，最大？
19.（17分）已知函数
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（3）求证：：
（参考数据：）
滨城高中联盟2023-2024学年度下学期高二期中考试
数学答案
一 单选题
1 2 3 4 5 6 7 8
C B D B C C B C
二 多选题
9 10 11
BC BD ABD
三 填空题
12.2277 13. 14.
解：易得，根据题意，得在上有解.
令，即在上有解，即在上有解.令，则，令得，令得，因为，故，所以，则实数的取值范围是.
四 解答题
15.解：（1）前3局甲都获胜的概率为
（2）的所有可能取值为.
其中，表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙输，则；
表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙赢；或第1局乙赢，且第2局乙输，
则；
表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局是乙输，则；
表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局是乙赢，则；
所以的分布列为
0 1 2 3
故的数学期望为.
16.解：（1）由题设得，又，
所以数列是首项为2，公比为的等比数列，
所以，故.
（2）证明：由（1）知，
因为对任意恒成立，所以（时取等号），
所以，故成立.
17.解：（1）由题意得，函数的定义域为，当时，，当时，，故的单调递减区间是
（2）由题意，函数在上为单调函数.
①若为上的单调增函数，则在上恒成立，
即在上恒成立，
设对于恒成立，在上单调递减，
②若为上的单调减函数，则在上恒成立，即在上恒成立，同①，在上单调递减，，显然不可能.
实数的取值范围为
18.解：（1）的可能取值为，，
所以的分布列如下表所示：
3 4 5 6
所以
（2）因为这人的合计得分为分，则其中只有1人计划参观东方水城，所以，
设，则，
由两式相减得，
所以.
（3）法一：
当最大，需满足
解得，因为
此时
法二：记
时，随的值增加而增加.当时，随的值增加而减小.本题中，，故取7时最大
19.解：（1）当时，，所以求在处的切线方程为：.
（2），若函数在定义域上单调递增，则对于恒成立.令，则；则函数在上单调递增，所以，故.
（3）法一：由（2）可知，当时，在上单调递增，由得，即在上总成立，令得，化简得：，所以，，累加得，即命题成立.
法二：也可设数列的前项和，已知求可得，
本题即证，以下证明同法一.
法三：用数学归纳法证明：
（i）当时，左式，右式显然成立.
（ii）假设当不等式成立，即，那么当时，左式，
下面用分析法证明，即需证，设
，则，即只需证，即，设在单调增加，，可知不等式是也成立.
综上可知，不等式对于任意正整数都成立.
注意：中，写成或都可以.