合肥一中 2023-2024 学年度高二年级下学期期中联考
数学参考答案
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每个小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的．
1.【答案】A
【解析】 y = f (x) 在点 (1， f （1） )处的切线的斜率为 f ′（1）
lim f (1) f (1 2 x)= = 1，
x→0 2 x
故选：A．
2.【答案】D
【解析】由题意知本题是一个分步乘法问题，首先每名学生报名有 3 种选择，有 4 名学生
根据分步计数原理知共有34 种选择，每项冠军有 4 种可能结果，3 项冠军根据分步计数原
理知共有 43 种可能结果．
故选：D．
3.【答案】A
5
3
【解析】由二项式 x 3 x
展开式的通项为
15 5r
T r 5 r 3 rr+1 = C5 ( x ) ( ) = ( 3)
r Cr 6
3 5
x ，
x
令15 5r = 0 ，可得 r = 3 3 3，所以展开式的常数项为 ( 3) C5 = 270 .
故选：A.
4.【答案】A
【解析】∵ f (x) = 2x ln x, x > 0 ,
' 1 2x 1
∴ f (x) = 2 = , x > 0,
x x
令 f ' (x) < 0,解得0 < x
1
< ,故 f (x) 1的递减区间为（0，）.
2 2
故选：A.
5.【答案】C
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{#{QQABIYCEoggAQIJAARhCEwGwCAAQkAGCAKoGhBAAIAIASAFABAA=}#}
1
【解析】函数 f (x) = x sin 2x + asin x
2
的导数为 f ′(x) =1 cos 2x + a cos x ，
3 3
由题意可得 f ' (x) ≥ 0恒成立，
即为1 2 cos 2x + a cos x ≥ 0，
3
5 4
cos2即有 x + a cos x ≥ 0，
3 3
设 t = cos x( 1≤ t ≤1)，即有5 4t 2 + 3at ≥ 0，
当 t = 0 时，不等式显然成立；
5
当0 < t ≤1时，3a ≥ 4t ，
t
由 4t
5
在 (0 ，1]递增，可得 t =1时，取得最大值 1，
t
1
可得3a ≥ 1，即a ≥ ，
3
5
当 1≤ t < 0时，3a ≤ 4t ，
t
由 4t
5
在[ 1
1
， 0) 递增，可得 t = 1时，取得最小值 1，可得3a ≤1，即a ≤ ,
t 3
1 1
综上可得 a的范围是[ ， ]．
3 3
故选：C ．
6.【答案】B．
【解析】把学生分成两类：311，221，
C3C1C1 C 2C 2C13 3
根据分组公式共有 5 2 1 A 5 3 1
A2 3
+ 2 A3 =150种报考方法，
2 A2
故选： B ．
7.【答案】C.
【解析】对于 A，取 x = 3， e3 >1+ 3+ 32 ，所以不等式不恒成立；
1
对于 B ， x =1 2 6时，左边 = ，右边 = 0.75，不等式成立； x = 时，左边 = ，右边
2 2 3
13
= ，左边大于右边，所以 x∈[0， +∞) ，不等式不恒成立；
16
1 2
对于C ，构造函数 h(x) = cos x 1+ x ， h′(x) = sin x + x， h '' (x) =1 cos x ≥ 0，又
2
x ≥ 0 ∴h′(x) 在 [0 ， +∞) 上单调递增，
又 h ' (0) = 0, 所以函数h ' (x) ≥ 0, x ≥ 0
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{#{QQABIYCEoggAQIJAARhCEwGwCAAQkAGCAKoGhBAAIAIASAFABAA=}#}
1
∴函数 h(x) = cos x 1
1
+ x2 在 [0 2， +∞) 上单调增，∴h(x) ≥ 0，∴ cos x ≥1 x ；
2 2
9
对于 D ，取 x = 3， ln(1+ 3) < 3 ，所以不等式不恒成立；
8
故选：C ．
8.【答案】C.
2x + 3 x
【解析】 f ′ (x) = x f (x)即 e f ′(x) + f (x) = 2x + 3， e
x2 + 3x + c
所以 e
x f (x) x 2 ′ = 2x + 3，则e f (x) = x + 3x + c，所以 f (x) = ， ex
c x2 + 3x +1
因为 f (0) =1，所以 f (0) = 0 = c =1，所以 f (x) = ， e ex
(2x + 3)ex ex (x2 + 3x +1( ) ) (x
2 + x 2) x + 2
f ′ x ( )(x 1)= 2x = = ， e ex ex
由 f ' (x) > 0得 2由 f ′(x) < 0得 x< 2或 x >1，此时 f (x)单调递减，
f (x) f (1) 5所以 x =1时， 取得极大值为 = ，
e
当 x = 2时， f (x) 2取得极小值 f ( 2) = e < 0，
又因为 f ( 1) = e < 0， f (0) =1> 0， f ( 3) = e3 > 0 ，且 x >1时， f (x) > 0，
2
f (x) m < 0 x + 3x +1的解集中恰有两个整数等价于 f (x) = 在 y = m下方的图象只有
ex
2 个横坐标为整数的点，结合函数图象可得：则 f ( 1) < m ≤ 0 ，解得 e < m ≤ 0，
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{#{QQABIYCEoggAQIJAARhCEwGwCAAQkAGCAKoGhBAAIAIASAFABAA=}#}
所以 e < m ≤ 0时， f (x) m < 0的解集中恰有两个整数 1, 2，
故实数m 的取值范围是 ( e,0]
故选：C
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项
中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，选对但不全的得部分分，有选
错的得 0 分.
9.【答案】BD.
【解析】因为 n+1=13，所以 n=12，所以所有奇数项的二项式系数和为 211，故 A 错误；
令 x=1，得所有项的系数和为 312，故 B 正确；
由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第 7 项，故 C 错误；
(2x 1
1 4
因为 + )12 12 r3 展开式的通项为T r 12 r 3 r 12 r r x 3r+1 = C12 (2x) (x ) = 2 C12x
当 12 - 4 r 为整数时，r=0,3,6,9，12，共有 5 项，故 D 正确.
3
故选 ：BD.
10.【答案】AC.
【解析】对于 A，采用组合先选出座位，再根据排列方法安排座位，
C3A3 5×4×35 3 = ×3×2×1= 60 ，故正确； 3×2×1
A3C2 3 2 1 4×3对于 B，利用插空法， 3 4 = × × × = 36，故错误； 2×1
3
对于 C，利用捆绑法，A3 ×4 = 3×2×1×4 = 24，故正确；
对于 D，利用特殊元素优先法，3×2×3 =18，故错误，
故选：AC.
11.【答案】ABD.
x
【解析】对于 A 选项，∵ f (x) = e ax ，
∴ f '(x) = ex a ，令 f '(x) = ex a > 0，
x
当 a ≤ 0时， f '(x) = e a > 0在 x∈R 上恒成立，
∴ f (x)在 R 上单调递增.
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{#{QQABIYCEoggAQIJAARhCEwGwCAAQkAGCAKoGhBAAIAIASAFABAA=}#}
当 a > 0时，由 f '(x) > 0，解得 x > ln a；由 f '(x) < 0，解得 x < ln a；
∴ f (x)在 ( ∞, ln a)单调递减，在 (ln a,+∞)单调递增.
f (x) = ex∵函数 ax 有两个零点 x1， x2 ， x1 < x2 ，
∴ a > 0， f (ln a) < 0，即eln a a ln a < 0，即a a ln a < 0，
解得：a > e；所以 A 正确；
对于 B 选项，因为函数 f (x) = ex ax 有两个零点 x1， x2 ，
x x
所以 x1， x 是方程ex2 ax = 0的两根，即e 1 = ax 21,e = ax2 ，
ex x x2 t x2 1 2所以 = ，设 = ，则 t >1， x1 x1
e(t 1) x t x ln t所以 1 = 1 = t 1
因此 x1 + x2 2 = (t +1)x
t +1
1 2 = (ln t
t 1
2× ) t +1(ln t 2 4= + )
t 1 t +1 t 1 t +1
2
g(t) 4= ln t 2+ g ′令 ，则 (t) 1 4 (t 1)= 2 = 2 > 0 , t +1 t (t +1) t(t +1)
所以 g(t)在（1，+∞）上为增函数，所以 g(t) > g(1) = 0，
因此 x1 + x2 2 > 0 ，即 x1 + x2 > 2，所以 B 正确；
对于 C 选项，
x x 1 tx 2 ln t ln t t t 1 ln t由于 1 2 = 1 1= ( t 1)( t +1) = (ln t )( t +1) t 1 t 1 t 1 t t 1
2
令 h(t) = ln t
t 1
h′(t) 1 t +1 ( t 1)，则 = = < 0，
t t 2t t 2t t
所以h(t)在（1，+∞）上单调递减，
所以h(t) < h(1) = 0，因此 x1x2 1< 0 ，即： x1x2 <1，故 C 错误；
对于 D 选项，由 f (x)在 ( ∞, ln a)单调递减，在 (ln a,+∞)单调递增，
所以 f (x) = ex ax有极小值点 x0 = ln a ，
由 ex1 = ax x21,e = ax2 得 x1 = ln a + ln x1, x2 = ln a + ln x2 ，
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{#{QQABIYCEoggAQIJAARhCEwGwCAAQkAGCAKoGhBAAIAIASAFABAA=}#}
因此 x1+x2 = 2ln a + ln x1 + ln x2 x1+x2 2ln a = ln x1x2 < 0 x1+x2 < 2ln a = 2x0.
故 D 正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分
12.【答案】7.
【解析】按照排列数和组合数的定义计算即可.
(n +1)n(n 1)
由题意可得 n+1≥3，由公式可得：（n +1)n = ，解得 n=7.
6
13.【答案】180.
【解析】根据题意，其QQ 号由共 6 个数字组成，将这 6 个数字全排列，有 A66 种情况，
A6
而这 6 个数字中有两个 5 和两个 8，则共可以组成 62 2 =180个六位数， A2 A2
那么他找到自己的QQ 号最多尝试 180 次.
(1 2ln 214.【答案】 ,0) .
4
【解析】
2x2 2x + a
定义域是（0，+∞），∴ f ′(x) = ,
x
f (x)有两个极值点，
∴ f ′(x) = 0,2x2 2x + a = 0在（0，+∞）有两个不等根
g(x) 2x2 2x a, x 1令 = + 对称轴为 =
2
= 4 8a > 0 1
∴ ∴0 < a <
f (0) = a > 0 2
x , x ,x x , 1两个极值点为 1 2 1< 2 则 < x2 <1,a = 2x
2
2 + 2x2 2
,
f (x2 ) = x
2
2 2x
2
2 +1+ a ln x2 = x2 2x2 +1+ (2x2 2x
2
2 ) ln x2 ,
令h(x) = x2 1 2x +1+ (2x 2x2 ) ln x( < x <1)
2
h′(x) = 2(1 2x) ln x, 1 < x <1,∴h′(x) > 0,
2
∴h(x) 1在（ ，1）单调递增
2
h(x) h(1) 1 2ln 2∴ > = ,h(x) < h(1) = 0
2 4
1- 2ln 2
∴ < f (x2 ) < 04
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{#{QQABIYCEoggAQIJAARhCEwGwCAAQkAGCAKoGhBAAIAIASAFABAA=}#}
四 解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步
骤.
15. （本题满分 13 分）
3 f ′(1)
解：(1) 函数 f (x) = x2 10x + 3 f ′(1) ln x ，求导得 f ′(x) = 2x 10+ ， ……2 分
x
则 f ′(1) = 8+ 3 f ′(1) ，解得 f ′(1) = 4，于是 f (x) = x2 10x +12ln x ， f (1) = 9
所以切线方程为： y + 9 = 4(x 1) ，即 y = 4x 13 …………………6 分
(2)由（1）知，函数 f (x) = x2 10x +12ln x ，定义域为 (0,+∞)，
求导得 f ′(x) 2x 10 12 2(x 2)(x 3)= + = …………………8 分
x x
当0 < x < 2或 x > 3时， f ′(x) > 0 ，当2 < x < 3时， f ′(x) < 0 ， …………………10 分
因此函数 f (x)在 (0, 2), (3,+∞) 上单调递增，在 (2,3) 上单调递减，当 x = 2时， f (x)取得极
大值 f (2) = 16+12ln 2，当 x = 3时， f (x)取得极小值 f (3) = 21+12ln 3，
所以函数 f (x)的递增区间为 (0, 2), (3,+∞) ，递减区间为 (2,3) ，极大值为 16+12ln 2，
极小值为 21+12ln 3 …………………13 分
16.（本题满分 15 分）
解：（1）展开式中含 x3的项为：
1×C3 ( 3x)3 +C14 5 2x C24 ( 3x)
2 +C25 (2x)
2 C14 ( 3x) +C3
3 3
5 (2x) ×1= 32x ………………5 分
（2）①令 x =1得：36 = a0 + a1 + a2 + a3 + + a12 ①
令 x = 1得：1= a0 a1 + a2 a3 + + a12②
① +② 36得： +1= 2(a0 + a2 + + a12 )
得：a0 + a2 + + a12 = 365 ……………………………………………………………………………………………..10 分
②等式两边分别求导得：
6( 51+ x + x2 ) (2x +1) = a1 + 2a2x + 3a 2 113x + +12a12x
令 x =1得：6×36 = a1 + 2a2 + 3a3 + +12a12
即：a1 + 2a2 + 3a3 + +12a12 = 4374 …………………………………………………..15 分
17、（本题满分 15 分）
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{#{QQABIYCEoggAQIJAARhCEwGwCAAQkAGCAKoGhBAAIAIASAFABAA=}#}
1 f '(x) (x 2)(e
x kx)
（ ） = （x＞0） ………………3 分
x3
当 k ≤ 0 时，令 f ' (x) = 0，则 x = 2，∴当0 < x < 2时， f ' (x) < 0， f (x) 单调递减；
当 x > 2时， f ' (x) > 0， f (x) 单调递增，
∴ f (x) 的单调递减区间为（0，2）单调递增区间为（2，+∞） ………………6 分
（2）由（1）知， k ≤ 0 时，函数 f (x) 在（0，2）内单调递减，
故 f (x) 在（0，2）内不存在极值点； ………………8 分
当 k > 0时，令 g(x) = ex kx, x∈ (0,+∞)．∴ g ' (x) = ex k = ex eln k ,
当0 < k ≤1时，当 x∈（0,2）时， g ' (x) = ex k > 0， y = g(x) 单调递增，
故 f (x) 在（0，2）内不存在两个极值点； ………………10 分
当 k >1时，当 x∈（0, ln k）时， g ' (x) < 0，函数 y = g(x) 单调递减，
当 x∈（ln k，+∞）时， g ' (x) > 0，函数 y = g(x) 单调递增，
∴函数 y = g(x) 的最小值为 g(ln k) = k(1 ln k)
g(0) > 0
g(ln k ) < 0 e2
要使函数 f (x) 在（0，2）内存在两个极值点当且仅当 ( ) 解得：g 2 0 e < k < < 2
0 < ln k < 2
e2
综上所述，函数 f (x) 在（0，2）内存在两个极值点时，k 的取值范围为 e, .……15 分 2
18. （本题满分 17 分）
解：（1）本题分 2 步：①第三个格子不能填 0，则 0 有 4 种选法；②将其余的 4 个数字全
排列安排在其他四个格子中有 A4 种情况，则一共有 4A44 4 = 96 种不同的填法； ………5
分
（2）根据题意，第一个格子有 3 种颜色可选，即有 3 种情况，第二个格子与第一个格子的
颜色不能相同，有 2 种颜色可选，即有 2 种情况，同理可得：第三、四、五个格子都有 2
种情况，则五个格子共有3× 2× 2× 2× 2 = 48 种不同的涂法 ………10 分
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{#{QQABIYCEoggAQIJAARhCEwGwCAAQkAGCAKoGhBAAIAIASAFABAA=}#}
（3）法一：根据题意，有一家企业与 2 位校长谈，其余 4 家企业只与 1 位校长谈
第 1 步：从 5 家企业中选一家C15 ，
第 2 步：从 3 位校长中选 2 位C 23 ，
第 3 步：从剩下 4 家企业中选 2 家安排另外一位校长C 24 ，
第 4 步：在第 2 步选中的两位校长，每位还要安排一家企业 A22 ，
因此有C15C
2 2 2
3 C4 A2 =180种. ……………17 分
法二：五家企业记为 A,B,C,D,E,把这五家企业分为 3 份，如（AB）,（CD）,（E），含有 E
的这一份要从 A,B,C,D 取一家组成 2 家，如取 A 得（EA），前面分三份会出现（AE），因
C 25 C
2 1 C 2 23 C1 C 1此有 × 4 × ，然后再分给 3 位校长2 A
3
3 ，因此总排法有
5 3 1
2 ×C4 × × A
3
3 =180A2 2 A2 2
种.
19. （本题满分 17 分）
（1）当m =1时， f (x) = ex + x2 e, f ′(x) = ex + 2x，故
f ′(0) = e0 + 2×0 = 1, f (0) = 1 e，
故在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y = x +1 e； ………………4 分
（2）由题意知 f ′(x) = ex + 2mx = 0有且只有一个根且 f ′ (x) 有正有负，
令 g(x) = f ′(x) ，则 g′(x) = ex + 2m .
①当m > 0时， g′(x) > 0当 x∈R 时恒成立， g(x)在R 上单调递增，
1 1
因为 g = e 2m 1< 0, g(0) = 1> 0，所以 g(x)有一个零点，即为 f (x)的一个极值
2m
点； ……………6 分
②当m = 0时， g(x) = f ′(x) = ex > 0 在R 上恒成立，即 f (x)无极值点； ……………7
分
③当m < 0时，当 x < ln( 2m), g′(x) < 0 ；当 x > ln( 2m), g′(x) > 0，
所以 g(x)在 ( ∞, ln( 2m))单调递减，在 (ln( 2m),+∞)上单调递增，
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故 g(x)min = g(ln( 2m)) = 2m + 2m ln( 2m)，
e
若 g(x)min < 0，则 1+ ln( 2m) > 0，即m< . 2
因为m < 0，所以当 x < 0 时， g(x) > 0 ，
当 x > 0时， g(2 ln( 2m)) = 4m2 + 4m ln( 2m) = 4m[ m ln( 2m)]，
令 m = t ，则 s(t) = t ln(2t), t e> ，故 s′(t) t 1= > 0 ，
2 t
e e
s(t) ,+∞ e e e故 在 上为增函数.故 s(t) > s = ln = 1+ ln 2 > 0，
2 2 2 2 2
故 2m[ 2m ln( 2m)] > 0，
e
故当m < 时， g(x)有两个零点，此时 f (x)有两个极值点，
2
当 g(ln( 2m)) ≥ 0时， g(x) ≥ 0当 x∈R 时恒成立，即 f (x)无极值点；
综上所述：m > 0 ……………10 分
(3)对于任意的 x∈R ，要使 f (x) ≥ n 恒成立，则当n 取最大值时m n取到最小值.
当m = 0时，因为 f (x) = ex e > 0 e = e，故当n = e 时，m n的最小值为 e；
………………11 分
当m < 0时，当 x < 0 时， f (x) = ex +mx2 e < mx2 e +1，所以 f (x)无最小值，即
m n无最小值； ……………12 分
当m > 0 x时，由（2）得 f ′ (x) 只有一个零点 x 00 ，即e + 2mx0 = 0且 x0 < 0 ，
当 x < x0 时， f ′(x) < 0 ，当 x > x0 时， f ′(x) > 0 ，所以 f (x)在 ( ∞, x0 )上单调递减，在
(x0 ,+∞)上单调递增， f (x) x0 2min = f (x0 ) = e +mx0 e = n ，此
m n = m ex0 mx20 + e，
x0
ex 2mx 0 e因为 0 + 0 = ，所以m = ， 2x0
ex0 ex0m n ex 1
1
代入得 = 0 + x2 + e = ex0 x 2 + e ，
2x0 2x
0 0
0 2 x0
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(x) 1 ex x 1 2 e(x 0), ′(x) e
x (x 1)2(x +1)
令 = + < = 2 (x < 0)， 2 x 2x
当 x < 1时， ′(x) < 0，当 1< x < 0时， ′(x) > 0 ，
所以 (x) 在 ( ∞, 1)上单调递减，在 ( 1,0) 上单调递增，
(x)min = ( 1) e
1 1 3
= ，此时m = ,n = e ，
e 2e 2e
1
所以m n的最小值为e ………………17 分
e
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{#{QQABIYCEoggAQIJAARhCEwGwCAAQkAGCAKoGhBAAIAIASAFABAA=}#}合肥一中2023-2024学年度高二年级下学期期中联考
5.若函数f()=x-2sin2.xr+asinx在(-o,+o)单调递增，则a的取值范围是(
)
数学试题
A.[-1,]
B.
c
D.H1,
6.班有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校，若这三所高校巾
(考试时间：150分钟满分：120分)
每个学校都至少有1名同学报考，.则这5名同学不同的报考方法种数共有()
A,144种
B.150种
C.196种
D.256种
注意事项：
1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自已的姓名、准考证号和座位号后两位。
7.若x∈[0，+o),则下列不等式恒成立的是()
2,答题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答策标号涂黑。如需改动，用
A.e≤1+x+x2
橡皮擦干净后，再选涂共他答策标号。
1
3.答题时，必须使用0.5毫米的黑色器水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作
B.-
-<1-
1+x
图题可先用船笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必
须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。
C.cosx≥1
2
4,考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交。
1
D.nl+对2x-g
第1卷（选择题共58分）
8.已知函数f(x)的导函数为f"(x),x∈R,都有f(x)=e(2x+3)-f(x)(e是自然对数的
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项
底数)，且f(O)=1,若关于x的不等式f(x)一m<0的解集中恰有两个整数，则实数m的取值
是符合题目要求的.请把正确答案涂在答题卡上)
范围是()
1.函数了)存在宁函数且满足m0-f0-2△0。-1，则y=f网上的点1，∫（1)处的切线的
A.[-e,0)
B.「-e2,0)
c.（-e,0]
D.（-e2,0
2x
斜率为()
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
A.-1
B.-2
求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.请把正确答案涂在答题卡上)
C.1
D.2
2.设4名学生报名参加同一时问安排的3项课外活动方案有种，这4名学生在运动会上共同争夺100
9已知2x+的辰开式共有13项，则下列说法中正确的有()
米、跳远、铅球3项比卷的冠军的可能结果有b种，则(，)为()
A.所有奇数项的二项式系数和为22
B.所有项的系数和为32
A,(34,3)
B.(4,3)
C.(4,A)
D.(34,4)
C.二项式系数最大的项为第6项或第7项D.有理项共5项
的展开式中的常数项是(
10.3个人坐在排5个座位上，则下列说法正确的是()
A.共有60种不同的坐法
B.空位不相邻的坐法有72种
A.-270
B.270
C.-540
D.540
C.空位相邻的坐法有24种
D.两端不是空位的坐法有27种
4.函数f(x)=2x-nx的单调递减区间为()
11.函数f(x)=e-ax有两零点x,x2Hx()
D.（-0,2)
A.a>e
B.x1+x2>2
C.x2>1
D.x,+x2<2x
高二年皱下学期期中联考·数学第1页（共4页）
省十联考
高二年级下学期期中联考·数学第2页（共4页）省十跳考
