八年级数学下册试题22.3 特殊平行四边形--动态几何-沪教版（含答案）

22.3 特殊平行四边形--动态几何
一、解答题
1．如图1，正方形的边长为1，为边上一点（不与点、重合），垂直于的一条直线分别交、、于点、、．
　　
(1)①求证：；
②连接、、，直接写出四边形的面积S的取值范围．
(2)如图2，若垂足为的中点，连接，交于点，连接，求的度数．
(3)如图3，当垂足在正方形的对角线上时，作，垂足为，点在边上运动过程中，的长度是否变化？若不变，求出的长；若变化，说明变化规律．
2．在矩形中，，，、是直线上的两个动点，分别从、两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为秒，其中．
(1)如图1，、分别是、中点，当四边形是矩形时，求的值．
(2)若、分别从点、沿折线，运动，与相同的速度同时出发．
①如图2，若四边形为菱形，求的值；
②如图3，作的垂直平分线交、于点、，当四边形的面积是矩形面积的，则的值是________．
③如图4，在异于、所在矩形边上取、，使得，顺次连接，请直接写出四边形周长的最小值：________．
3．如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE'（点A的对应点为点C）．延长AE交CE'于点F，连接DE．
猜想证明：
(1)四边形BE'FE的形状是______；
(2)如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE的数量关系并加以证明；
(3)如图①，若AB＝15，CF＝3，求DE的长．
4．如图，正方形ABCD的顶点C处有一等腰直角三角形CEP，∠PEC＝90°，连接AP，BE．
（1）若点E在BC上时，如图1，线段AP和BE之间的数量关系是 　 　；
（2）若将图1中的△CEP顺时针旋转使P点落在CD上，如图2，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）在（2）的基础上延长AP，BE交于F点，若DP＝PC＝2，求BF的长．
5．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EFAB交PQ于F，连接BF．
（1）求证：四边形BFEP为菱形；
（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；
①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；
②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．
6．如图所示，在正方形ABCD中，点E是边AB上一动点(不与A，B重合)，延长BA至点F，使AF=BE，连接CE，DF．
(1) 判断四边形CEFD的形状，并说明理由；
(2) 如图①，连接AC，过点E作EH⊥AC，垂足为点H．
①证明：AH=EH；
②若BE：AE=1：，求∠BCE的度数；
③如图②，连接FH，在点E的运动过程中，的值是否发生变化？若不变，求出的值；若变化，请说明理由．
7．已知，四边形和四边形都是正方形，点为的中点．
(1)连接、．
①如图1，若点在边上，猜想和的关系，并给予证明：
②若将图1中的正方形绕点顺时针旋转，使点落在对角线的延长线上，请你在图2中补全图形，猜想和的关系，并给予证明．
(2)如图3，若，，将正方形绕点旋转，连接．请你直接写出的取值范围___________．
8．如图1所示，将一个边长为2的正方形和一个长为2、宽为1的长方形拼在一起，构成一个大的长方形．现将小长方形绕点C顺时针旋转至，旋转角为．
(1)当点恰好落在边上时，点到边的距离为____________，旋转角____________；
(2)如图2，G为的中点，且，求证：；
(3)小长方形绕点C顺时针旋转一周的过程中，与能否全等？若能，直接写出旋转角的值；若不能，说明理由．
9．如图，四边形为菱形，，，点E为边上动点（不含端点）点B关于直线的对称点为点F，点H为中点．
（1）若，求的长；
（2）作，垂足为G，当时，求的度数；
（3）在（2）的条件下，设射线交于M，求的长．
10．如图1，矩形ABCD中，AB＝，AD＝4，在BC边上取点E，使BE＝AB，将△ABE向左平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD．
（1）求证：四边形AEFD是菱形；
（2）如图2，将△DCF绕点D旋转至△DGA，连接GE，求线段GE的长；
（3）如图3，设P、Q分别是EF、AE上的两点，且∠PDQ=67.5°，试探究线段PF、AQ、PQ之间的数量关系，并说明理由．
11．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝4，E为对角线AC上的动点（点E不与A，C重合），连接BE，将射线EB绕点E逆时针旋转120°后交射线AD于点F．
（1）如图1，当AE＝AF时，求∠AEB的度数；
（2）如图2，分别过点B，F作EF，BE的平行线，且两直线相交于点G．
①试探究四边形BGFE的形状，并求出四边形BGFE的周长的最小值；
②连接AG，设CE＝x，AG＝y，请直接写出y与x之间满足的关系式，不必写出求解过程．
12．在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF(点E、F是折痕与矩形的边的交点)，再将纸片还原．
（1）若点P落在矩形ABCD的边AB上(如图1)．
①当点P与点A重合时，∠DEF=　　　　°，当点E与点A重合时，∠DEF=　　　　°．
②当点E在AB上时，点F在DC上时(如图2)，若AP=，求四边形EPFD的周长．
（2）若点F与点C重合，点E在AD上，线段BA与线段FP交于点M(如图3)，当AM=DE时，请求出线段AE的长度．
（3）若点P落在矩形的内部(如图4)，且点E、F分别在AD、DC边上，请直接写出AP的最小值．
13．如图1，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．
（1）求证：EB=GD且EB⊥GD；
（2）若AB=2，AG=，求的长；
（3）如图2，正方形AEFG绕点A逆时针旋转连结DE，BG，与的面积之差是否会发生变化？若不变，请求出与的面积之差；若变化，请说明理由．
14．如图．四边形ABCD、BEFG均为正方形．
（1）如图1，连接AG、CE，请直接写出AG和CE的数量和位置关系（不必证明）．
（2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转角（），如图2，直线AG、CE相交于点M．
①AG和CE是否仍然满足（1）中的结论？如果是，请说明理由：如果不是，请举出反例：
②连结MB，求证：MB平分．
（3）在（2）的条件下，过点A作交MB的延长线于点N，请直接写出线段CM与BN的数量关系．
15．图1，在正方形中，，为线段上一点，连接，过点作，交于点．将沿所在直线对折得到，延长交于点．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
（3）如图2，延长交的延长线于点，若，记的面积为，求与之间的函数关系式．
16．如图1，正方形CEFG绕正方形ABCD的顶点C旋转，连接AF，点M是AF中点．
（1）当点G在BC上时，如图2，连接BM、MG，求证：BM=MG；
（2）在旋转过程中，当点B、G、F三点在同一直线上，若AB=5，CE=3，则MF=　　　　；
（3）在旋转过程中，当点G在对角线AC上时，连接DG、MG，请你画出图形，探究DG、MG的数量关系，并说明理由．
17．如图，在等腰中，，点E在AC上且不与点A、C重合，在的外部作等腰，使，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．
（1）请直接写出线段AF，AE的数量关系；
（2）①将绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；
若，，在图的基础上将绕点C继续逆时针旋转一周的过程中，当平行四边形ABFD为菱形时，直接写出线段AE的长度．
18．如图1，将纸片沿中位线折叠，使点的对称点落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰的底边上的高线、折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形.
(1)将纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形，则操作形成的折痕分别是线段______和______；______.
(2)纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形，若，，求的长；
(3)如图4，梯形纸片满足，，，，.小明把该纸片折叠，得到叠合正方形.请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出、的长.
19．在正方形中，，点为边上一点（不与点、重合），垂直于的一条直线分别交，，于点，，．
(1)①如图1，判断线段与之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，若垂足为的中点，连接，交于点，连接，则______．
(3)若垂足在对角线上，正方形的边长为．
①如图3，若，，则______；
②如图4，连接，将沿着翻折，点落在点处，的中点为，则的最小值为______．
20．在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边（A，，按逆时针排列），点的位置随点的位置变化而变化．
(1)如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是________，与的位置关系是________；
(2)如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
(3)当点在直线上时，其他条件不变，连接，若，，请直接写出的面积．
21．如图1，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点．
(1)求证：，．
(2)若，，求的长．
(3)如图2，正方形绕点逆时针旋转，连结、，与的面积之差是否会发生变化？若不变，请求出与的面积之差；若变化，请说明理由．
22．已知：正方形中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交，或它们的延长线于点，当绕点A旋转到时如图，易证．
(1)当绕点A旋转到时如图，线段，和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
(2)当绕点A旋转到如图的位置时，线段，和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
(3)图中若，，求的面积为______．
23．（探索发现）如图①，四边形是正方形，分别在边上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，如图①，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．
(1)试判断之间的数量关系，并写出证明过程；
(2)如图①如果正方形的边长为4，求三角形的周长；
(3)如图②，点分别在正方形的边的延长线上，，连接，请写出之间的数量关系，并写出证明过程．
24．已知矩形中，，是边上一点，连接，将沿着直线折叠得到．
(1)若；
①如图1，若点在边上，的长为　　；
②、、三点在同一直线上时，求的长；
(2)如图3，当点是的中点时，此时点落在矩形内部，延长交于点，若点是的三等分点，求的长．
25．在学习了正方形后，数学小组的同学对正方形进行了探究，聪明的你也加入探究吧：
(1)如图1，在正方形ABCD中，点E为BC边上任意一点（点E不与B，C重合），点F在线段AE上，过点F的直线MN⊥AE，分别交AB，CD于点M，N．
此时，①∠AEB与∠AMN有什么数量关系？（直接写出即可）
②AE与MN之间又有什么数量关系？并说明理由；
(2)如图2：当点F为AE中点时，其他条件不变，连接正方形的对角线BD，MN与BD交于点G，连接BF，此时有结论：BF＝FG，请利用图2做出证明．
(3)如图3：当点E为直线BC上的动点时，如果（2）中的其他条件不变，直线MN分别交直线AB，CD于点M，N，请你继续探究线段BF与FG之间的数量关系．并证明你的结论．
26．点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形．
(1)如图，连结、，判断与的位置关系和数量关系，并证明．
(2)如图，将正方形绕点逆时针旋转，使得点落在线段上，交于点，若，，求．
(3)如图，将方形绕点旋转至如图的位置，且，连结，作的角平分线交于点，请写出、、之间的数量关系，并证明．
答案
一、解答题
1．
（1）
①证明：由正方形的性质可知，，．
如图，过点B作于点F．
∴四边形MBFN为平行四边形，
∴MN=BF，，
∴．
∵，
∴．
∴在和中，
∴(ASA)，
∴AE=BF，
∴AE=MN；
②∵，
∴，
∵E为边BC上一点（不与点、重合），
∴．
∵正方形的边长为1，
∴，，
∴，
∴；
（2）
如图，连接AF，过点F作，分别交AD，BC于点H，I，
∵四边形ABCD是正方形，
∴．
∵，
∴，
∴四边形ABIH为矩形，
∴，．
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴HD=HF，AH=FI．
∵MN是AE的垂直平分线，
∴AF=FE．
∴在Rt和Rt中，
∴(HL)，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（3）
PH的长度不变，理由如下：
过点P作于点Q，于点G，延长MN，使PF=PN，连接AF、BF、AN，过点N作，交BD于点K，
∵四边形ABCD是正方形，
∴．
∵，，
∴，．
∵，
∴．
又∵，
∴(ASA)，
∴．
又∵，
∴．
∵PF=PN，，
∴AF=AN，
∴，
∴，
∴．
又∵AB=AD，
∴(SAS)，
∴，
∴，
∴F，B，C三点共线．
∵，
∴，，
∴DN=KN．
又∵，
∴DH=HK．
∵，
∴．
又∵，PN=PF，
∴(ASA)，
∴BP=PK，
∴．
2．（1）解：连接交于点，如图所示
∵四边形是矩形，，
∴
∵、分别是、中点
∴，
∵四边形是矩形
∴
∴
当点在点上方时，
当点在点下方时，
∵速度均为每秒2个单位长度
∴ 的值为或
（2）解：①连接、，交于点，如图所示
∵四边形为菱形
∴，，，
∵，
∴
∵矩形
∴
在和中
∵
∴
∴
∴
∴直线是线段的垂直平分线
∴
设，则
在中，
∴，解得：
∴
∴的值为7
②连接、，如图所示
∵四边形的面积是矩形面积的
∴四边形的面积为：
∵是的垂直平分线
∴，
由①可得：，
由题意可得：，
∴
∴
同理可得：
∴
∴四边形是平行四边形
∴
由题意可得：
∵
∴，解得：
∴当四边形的面积是矩形面积的，则的值是，
故答案是：；
③作关于的对称点为点，连接、，过点作的垂线，交延长线于点，如图所示
由②可得：四边形是平行四边形
∴四边形周长
∵对称
∴
∴
当、、三点共线时，的值最小，即的值最小，最小值为的长度，此时四边形周长最小
∵
∴
∵=
∴四边形周长最小值为．
故答案是：．
3．（1）四边形BE′FE是正方形．
理由如下：由旋转得，∠E′＝∠AEB＝90°，∠EBE′＝90°，
∵∠BEF＝180°﹣∠AEB＝90°，
∴四边形BE′FE是矩形，
由旋转得，BE′＝BE，
∴四边形BE′FE是正方形．
（2）CF＝FE'，
证明：如图2，过点D作DG⊥AE于点G，则∠DGA＝∠AEB＝90°，
∵DA＝DE，
∴AG＝AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠BAE+∠DAG＝90°，
∵∠ADG+∠DAG＝90°，
∴∠ADG＝∠BAE，
在△ADG和△BAE中
，
∴△ADG≌△BAE（AAS），
∴AG＝BE；
∵四边形BE′FE是正方形，
∴BE＝FE′，
∴AG＝FE′，
由旋转得，AE＝CE′，
∴AE＝CE′，
∴FE′＝AE＝CE′，
∴CF＝FE'．
（3）如图3，过点D作DG⊥AE于点G，
∵BE＝FE′，CF＝3，
∴AE＝CE′＝FE′+CF＝FE′+3＝BE+3，
∵AE2+BE2＝AB2，且AB＝，
∴(BE+3)2+BE2＝()2，
解得，BE＝9或BE＝﹣12（不符合题意，舍去），
∴AE＝9+3＝12，
由（2）得，△ADG≌△BAE，
∴DG＝AE＝12，AG＝BE＝9，
∴GE＝AE﹣AG＝12﹣9＝3，
∵∠DGE＝90°，
∴DE＝＝＝．
4．解：（1）∵点E在BC上，△PEC为等腰直角三角形，
∴PE=CE，∠PCE=45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=45°，
∴A，P，C三点共线，设正方形ABCD的边长为1，CE=x，
∴PE=x，PC=x，AC=，
∴AP=AC-PC=，BE=BC-CE=1-x，
∴AP=BE；
（2）成立，
如图，过点B作BH⊥BE，且BH=BE，连接AH，EH，
∵∠ABC=∠EBH=90°，
∴∠CBE+∠ABE=∠ABH+∠ABE=90°，
∴∠CBE=∠ABH，
又∵BH=BE，AB=BC，
∴△ABH≌△BEC（SAS），
∴AH=EC=PE，∠AHB=∠CEB，
∴∠AHE=∠AHB-∠EHB=∠CEB-45°，
∵∠HEP=360°-∠CEB-∠HEB-∠CEP
=360°-∠CEB-45°-90°
=225°-∠CEB，
∴∠AHE+∠HEP=∠CEB-45°+225°-∠CEB=180°，
∴AH∥PE，
∴四边形AHEP是平行四边形，
∴AP=EH=BE；
（3）如图，过B，D分别作AF的垂线，垂足为K，M，
∵∠BAD=∠BAK+∠DAM=90°，∠ABK+∠BAK=90°，
∴∠ABK=∠DAM，
又∵AB=AD，∠AKB=∠AMD=90°，
∴△ABK≌△DAM（AAS），
∴BK=AM，
∵四边形ABCD是正方形，DP=PC=2，
∴AD=CD=4，∠AHE=90°，
∴AP=，
∴S△ADP=，
∴，
∴，
∴AM=，
由（2）可知：△EBH为等腰直角三角形，HE∥AP，
∴∠KBF=∠HBE=45°，
∴∠F=45°，
∴BF==．
5．（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，
∴点B与点E关于PQ对称，
∴PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，
又∵EFAB，
∴∠BPF＝∠EFP，
∴∠EPF＝∠EFP，
∴EP＝EF，
∴BP＝BF＝EF＝EP，
∴四边形BFEP为菱形；
（2）解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°，
∵点B与点E关于PQ对称，
∴CE＝BC＝5cm，
在RtCDE中，DE＝＝4cm，
∴AE＝AD﹣DE＝5cm﹣4cm＝1cm；
在RtAPE中，AE＝1，AP＝3﹣PB＝3﹣PE，
∴EP2＝12+（3﹣EP）2，
解得：EP＝cm，
∴菱形BFEP的边长为cm；
②当点Q与点C重合时，如图2：
点E离点A最近，由①知，此时AE＝1cm；
当点P与点A重合时，如图3所示：
点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝3cm，
∴点E在边AD上移动的最大距离为2cm．
6．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=AB=BC，CD∥AB．
∵AF=BE，
∴AB=EF．
∴CD=EF，CD∥EF．
∴四边形CEFD是平行四边形．
（2）①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAH=45°，
∵EH⊥AC，
∴∠AHE=90°，
∴△AEH是等腰直角三角形，
∴AH=EH；
②∵△AEH是等腰直角三角形，
∴，
∵BE：AE=1：，
∴，
∴，
∵CE=CE，∠B=∠CHE=90°，
∴△BCE≌△HCE（HL），
∴∠BCE=∠HCE，
∵∠BCH=45°，
∴∠BCE=22.5°；
③由△AEH是等腰直角三角形，
∴∠EAH=∠HEA=45°，
在等腰直角△ABC中，有，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴△ACE∽△EFH，
∴；
∴的值不变，．
7．（1）①如图，连接，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴,，
∴，
∵为的中点，
∴，则，
在中，
，
∴，
∴，，
在中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
②，
证明：如图，延长交于点，连接，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，
∵落在对角线的延长线上，
∴，
∴，
∴在的延长线上，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，
,
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴ ，
设，，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴；
（2）如图，连接，
∵
∴当在上时，如图，此时最大，，
由（1）可知是等腰直角三角形，
∵，，
∴，，
∴
∴，
∴
当在上时，最小，同理可得是等腰直角三角形，
此时，
综上所述，．
8．（1）解：由题意可知，当点恰好落在边上时，点到边的距离等于F到边的距离，即DF=1，
∴点到边的距离为：1，
∵CE=1，，
∴在中，，
∵，
∴，
故答案为：1，30；
（2）证明：∵G为中点，
∴，
∴，
∵长方形绕点C顺时针旋转至，
∴，
∴，
在和中，
∵
∴，
∴；
（3）能，理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴CB=CD，
∵，
∴和为腰相等的两等腰三角形，
当时，，
当和为钝角三角形时，则旋转角=，
当和为锐角三角形时， ，
则=，
即旋转角的值为135°或315°时，和全等．
9．解：（1）如图1中，
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，此时点与重合，
．
（2）如图2中，连接．
是等边三角形，
，，
，，
，
，
，
．
（3）如图3中，
由翻折可知，，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
过点作交的延长线于，在上取一点，使得，连接，
，
，
设，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
．
10．（1）由平移，得AE∥DF，AE＝DF，
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵矩形ABCD，∴∠B=90°，∵BE=AE＝，
∴AE＝4，
又∵AE＝AD＝4，
∴四边形AEFD是菱形．
（2）由（1）得：△ABE是等腰直角三角形∴∠AEB=45°，
∵AE∥DF，
∴∠F=∠AEB=45°，
∵矩形ABCD，∴AD∥BC
∴∠DAE=∠AEB=45°，
∴∠GAE=90°，
∵△DCF绕点D旋转得到△DGA，
∴GA=CF＝，
∴．
（3）PF、AQ、PQ之间的数量关系为：
PQ2＝PF2+AQ2．
理由如下：
由（2）得：∠AEB=45°，∴∠ADF=∠AEF=135°，∵AD＝DF，
∴将△DFP绕点D逆时针旋转135°得△DAG，
连GQ，如图，∴GA＝PF，DG＝DP，∠GDA＝∠PDF，∠GAD＝∠F=45°，
∴∠GAQ＝∠GAD+∠DAE＝90°，
∴GQ2＝GA2+AQ2＝PF2+AQ2；
又∵∠ADF＝135°，而∠PDQ＝67.5°，∴∠PDF+∠ADQ＝135°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠GDA+∠ADQ＝∠GDQ=67.5°，∴∠PDQ＝∠GDQ
而DG＝DP，DQ为公共边，∴△PDQ≌△GDQ，
∴PQ＝GQ，
∴PQ2＝PF2+AQ2．
11．解：（1）如图1中，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC∥AD，∠BAC＝∠DAC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BAD＝60°，
∴∠EAF＝30°，
∵AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE＝75°，
∵∠BEF＝120°，
∴∠AEB＝120°﹣75°＝45°．
（2）①如图2中，连接DE．
∵AB＝AD，∠BAE＝∠DAE，AE＝AE，
∴△BAE≌△DAE（SAS），
∴BE＝DE，∠ABE＝∠ADE，
∵∠BAF+∠BEF＝60°+120°＝180°，
∴∠ABE+∠AFE＝180°，
∵∠AFE+∠EFD＝180°，
∴∠EFD＝∠ABE，
∴∠EFD＝∠ADE，
∴EF＝ED，
∴EF＝BE，
∵BE∥FG，BG∥EF，
∴四边形BEFG是平行四边形，
∵EB＝EF，
∴四边形BEFG是菱形，
∴当BE⊥AC时，菱形BEFG的周长最小，此时BE＝AB sin30°＝2，
∴四边形BGFE的周长的最小值为8．
②如图2﹣1中，连接BD，DE，过点E作EH⊥CD于H．
∵AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝BA，∠ABD＝60°，
∵BG∥EF，
∴∠EBG＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ABD＝∠GBE，
∴∠ABG＝∠DBE，
∵BG＝BE，
∴△ABG≌△DBE（SAS），
∴AG＝DE＝y，
在Rt△CEH中，EH＝EC＝x．CH＝x，
∴DH＝|4﹣x|，
在Rt△DEH中，∵DE2＝EH2+DH2，
∴y2＝x2+（4﹣x）2，
∴y2＝x2﹣12x+48，
∴y＝（0＜x＜12）．
12．解：（1）①当点与点重合时，
是的中垂线，
，
当点与点重合时，
此时，
故答案为：90，45．
②如图2中，设与交于点，由折叠知垂直平分．
，，
矩形，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
当时，设菱形边长为，则，
在中，，
，
菱形的周长．
（2）如图3中，连接，设．
由折叠知，，，
，，
，
，
，，
在中，
解得．
．
（3）如图中，连接，，．
，，
，此时的最小值，
，
，
当与重合时，的值最小，由折叠得：，
由勾股定理得：，
，
当，，共线时，有最小值，
，
则的最小值是1．
13．(1)如图1，
∵四边形EFGA和四边形ABCD是正方形，
∴AG=AE，AB=AD，∠EAG=90°，∠DAB=90°，
∠GAD=90°+∠EAD，∠EAB=90°+∠EAD，
∴∠GAD=∠EAB，
在△EAB和△GAD中，
，
∴EAB≌GAD(SAS)，
∴EB=GD；∠AEB=∠AGD，
∵∠EOH=∠AOG，
∴∠EHG=∠EAG=90°，
∴EB=GD且EB⊥GD；
(2)如图2，连接BD，BD与AC交于点O，
∵AB=AD=2，
在RtABD中，，
∴AO=DO=，
∴，
∴；
(3)不变，．理由如下：
作BQ⊥GA交GA的延长线于Q，作DP⊥EA交EA于P，如图3，
正方形ABCD和正方形AEFG中，
∠EAG=∠DAB=90°，AD=AB，
∴∠EAD+∠BAG+∠EAG+∠DAB =360，则∠BAG=180°-∠EAD，
∵∠1=90°-∠EAD，∠2=∠BAG -90°=180°-∠EAD -90°=90°-∠EAD，
∴∠1=∠2，
在△PDA和△QBA中，
，
∴△PDA≌△QBA(AAS)，
∴DP=BQ，
∵，，
∴．
14．解：（1）AG=EC，AG⊥EC，理由为：
∵正方形BEFG，正方形ABCD，
∴GB=BE，∠ABG=90°，AB=BC，∠ABC=90°，
在△ABG和△BEC中，
，
∴△ABG≌△BEC（SAS），
∴CE=AG，∠BCE=∠BAG，
延长CE交AG于点M，
∴∠BEC=∠AEM，
∴∠ABC=∠AME=90°，
∴AG=EC，AG⊥EC；
（2）①满足，理由是：
如图2中，设AM交BC于O．
∵∠EBG=∠ABC=90°，
∴∠ABG=∠EBC，
在△ABG和△CEB中，
，
∴△ABG≌△CEB（SAS），
∴AG=EC，∠BAG=∠BCE，
∵∠BAG+∠AOB=90°，∠AOB=∠COM，
∴∠BCE+∠COM=90°，
∴∠OMC=90°，
∴AG⊥EC．
②过B作BP⊥EC，BH⊥AM，
∵△ABG≌△CEB，
∴S△ABG=S△EBC，AG=EC，
∴EC BP=AG BH，
∴BP=BH，
∴MB平分∠AME；
（3）CM=BN，
理由为：在NA上截取NQ=NB，连接BQ，
∴△BNQ为等腰直角三角形，即BQ=BN，
∵∠AMN=45°，∠N=90°，
∴△AMN为等腰直角三角形，即AN=MN，
∴MN-BN=AN-NQ，即AQ=BM，
∵∠MBC+∠ABN=90°，∠BAN+∠ABN=90°，
∴∠MBC=∠BAN，
在△ABQ和△BCM中，
，
∴△ABQ≌△BCM（SAS），
∴CM=BQ，
则CM=BN．
15．（1）在正方形ABCD中
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）在正方形ABCD中
连接，如下图：
由折叠知BC=，
又AB=BC，∠BAN=90°
∴， ，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
，
．
（3）如下图，作，垂足为，
由（1）知
∵∠MBQ=∠CQB=∠MQB
∴BM=MQ
设，则．
，
，
，
故．
16．解：(1) 连接MG并延长交AB于N点，如下图所示：
∵GF∥AN，
∴∠NAM=∠GFM，
在△ANM和△FGM中，
，∴△ANM≌△FGM(ASA)，
∴MG=MN，CG=GF=AN，
∴AB-AN=BC-CG，
∴NB=GB，
∴△NBG为等腰直角三角形，
又M是NG的中点，
∴由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知：
故有：MG=MB.
(2)分类讨论：
情况一：当B、G、F三点在正方形ABCD外同一直线上时，
延长MG到N点，并使得MG=MN，连接AN，BN，
∴，∴△AMN≌△FMG(SAS)，
∴AN=GF=GC，∠NAM=∠GFM，
∴AN∥GF，
∴∠NAB+∠ABG=180°，
又∠ABC=90°，
∴∠NAB+∠CBG=90°，
又在△BCG中，∠BCG+∠CBG=90°，
∴∠NAB=∠BCG，
∴在△ABN中和△CBG中：，∴△ABN≌△CBG(SAS)，
∴BN=BG，∠ABN=∠CBG，
∴∠ABC=∠NBG=90°，
∴△NBG是等腰直角三角形，且∠BGN=45°，
在Rt△BCG中，，
过M点作MH⊥BG于H点，∴△MHB为等腰直角三角形，
∴MH=BH=HG=BG=2，
在Rt△MFH中，，
情况二：当B、G、F三点在正方形ABCD内同一直线上时，
如下图所示，延长MG到MN，并使得MG=MN，连接NA、NB，
同情况一中证明思路，
，△AMN≌△FMG(SAS)，
∴AN=GF=GC，∠NAM=∠GFM，
∴AN∥GF，
∴∠NAB=∠ABG，
又∠ABG+∠GBC=90°，∠GBC+∠BIF=90°，
∴∠BIF=∠ABG，
又∠BIF=∠BCG，∠ABC=∠NAB，
∴∠NAB=∠GCB，
∴在△ABN中和△CBG中：，∴△ABN≌△CBG(SAS)，
∴BN=BG，∠ABN=∠CBG，
∴∠ABC=∠NBG=90°，
∴△NBG是等腰直角三角形，且∠BGN=45°，
在△BCG中，，
过M点作MH⊥BG于H点，∴△MHB为等腰直角三角形，
∴MH=BH=HG=BG=2，
∴HF=HG-GF=2-1=1，
在Rt△MFH中，，
综上得：或
(3)由题意作出图形如下所示：
DG、MG的数量关系为：DG=MG，理由如下：
∵G点在AC上
∴∠DAG=∠BAG=45°
在△ADG和△ABG中：
，∴△ADG≌△BAG(SAS)，
∴DG=BG，
又由(2)中的证明过程可知：△MBG为等腰直角三角形，
∴BG=MG，
∴DG=MG，
所以：DG=MG.
17．（1）如图①中，结论：．
理由：四边形ABFD是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
．
（2）①如图②中，结论：．
理由：连接EF，DF交BC于K．
四边形ABFD是平行四边形，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
是等腰直角三角形，
．
②如图③中，当时，四边形ABFD是菱形，
设AE交CD于H，
∵AC=AD，CE=DE，AE=AE，
∴△ADE≌△ACE（SSS），
∴∠DEH=∠CEH，
∵ED=EC，EH=EH，
∴△DHE≌△CHE（SAS），
∴∠EHD=∠EHC，
∴，
∴，
∴，
如图④中当时，四边形ABFD是菱形，同理可求，
综上所述，满足条件的AE的长为或．
18．解：（1）根据题意得：操作形成的折痕分别是线段AE、GF；
由折叠的性质得：△ABE≌△AHE，四边形AHFG≌四边形DCFG，
∴△ABE的面积=△AHE的面积，四边形AHFG的面积=四边形DCFG的面积，
∴S矩形AEFG=S平行四边形ABCD，
∴S矩形AEFG：S平行四边形ABCD=1：2；
故答案为AE，GF，1：2；
（2）∵四边形EFGH是矩形，
∴∠HEF=90°，
∴FH==13，
由折叠的性质得：AD=FH=13；
由折叠的对称性可知：DH=NH，AH=HM，CF=FN．
易得△AEH≌CGF，
所以CF=AH，
所以AD=DH+AH=HN+FN=FH=13．
（3）有3种折法，如图4、图5、图6所示：
①折法1中，如图4所示：
由折叠的性质得：AD=BG，AE=BE=AB=4，CF=DF=CD=5，GM=CM，∠FMC=90°，
∵四边形EFMB是叠合正方形，
∴BM=FM=4，
∴GM=CM==3，
∴AD=BG=BM-GM=1，BC=BM+CM=7；
②折法2中，如图5所示：
由折叠的性质得：四边形EMHG的面积=梯形ABCD的面积，AE=BE=AB=4，DG=NG，NH=CH，BM=FM，MN=MC，
∴GH=CD=5，
∵四边形EMHG是叠合正方形，
∴EM=GH=5，正方形EMHG的面积=52=25，
∵∠B=90°，
∴FM=BM==3，
设AD=x，则MN=FM+FN=3+x，
∵梯形ABCD的面积=（AD+BC）×8=2×25，
∴AD+BC=，
∴BC=-x，
∴MC=BC-BM=-x-3，
∵MN=MC，
∴3+x=-x-3，
解得：x=，
∴AD=，BC=-=；
③折法3中，如图6所示，作GM⊥BC于M，
则E、G分别为AB、CD的中点，
则AH=AE=BE=BF=4，CG=CD=5，正方形的边长EF=GF=4，
GM=FM=4，CM==3，
∴BC=BF+FM+CM=11，FN=CF=7，DH=NH=8-7=1，
∴AD=5．
19．（1）∵四边形是正方形，
，，，
过点作分别交、于点、，如图所示：
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
（），
，
；
（2）连接，过点作，分别交、于点、，如图所示：
四边形是正方形，
四边形为矩形，
，，，
是正方形的对角线，
，
是等腰直角三角形，，，
是的垂直平分线，
，
在和中，
，
（），
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故答案为：．
（3）①解：如图所示，
过点分别作垂足分别为，则
在正方形对角线上，
，是等腰直角三角形，
，
，
又，
，
，
，
设，
，，
解得：，
则，
故答案为：．
连接交于点，如图所示：
则的直角顶点在上运动，
设点与点重合时，则点与点重合；设点与点重合时，则点的落点为，
，，
，
当点在线段上运动时，过点作于点，过点作交延长线于点，连接，
点在上，
，
在和中，
，
（），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
由翻折性质得：，
在和中，
，
（），
，'，
是正方形的对角线，
，
则，
，
，
，故，
点在线段上运动；
过点作，垂足为，
点为的中点，
，则的最小值为．
20．（1）解：如图，连接，延长交于H， 如图所示，
∵四边形是菱形，，
∴，都是等边三角形，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可证是等边三角形，
∴，
∴，即，
又∵，
∴．
故答案为：；
（2）解：（1）中结论仍然成立，理由如下：
如图，连接，如图所示，
∴，为等边三角形，
在和中，，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
设与交于点H，
同理可得，
∴，
又∵，
∴．
（3）解：如图3中，当点P在的延长线上时，连接交于点O，连接，作于F，如图所示，
∵四边形是菱形，
∴，平分，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（2）知，
∵，，
∴，
由（2）知，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，
∴；
如图4中，当点P在的延长线上时，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的面积为或．
21．（1）证明：如图1，∵四边形和是正方形，
∴∠ABC=∠EBG=900，，
∴∠ABC+∠ABE=∠EBG+∠ABE，
即，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图2，连接与交于点M，
∵，
在中，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：与的面积之差不变，且，
如图3，过A作于P，过C作交其延长线于Q，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，，
又，
∴，
∴．
22．（1）解：猜想：，证明如下：
如图，在的延长线上，截取，连接，
∵在和中，
∴，
，，
，，
，
，
，
∵在和中，
，
，
又，
；
（2）解：，证明如下：
如图，在上截取，连接，
∵和中，
，
，，
，
即，
，
，
∵在和中，
∴，
，
，
；
（3）解：∵，
，
的面积为：，
则的面积为．
故答案为：．
23．（1）解：，理由如下，
证明：∵是绕点A顺时针旋转 得到，
∴，，，
∵，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：由（1）得，
；
∴，
∵正方形的边长为4，
∴；
（3）解：在上取，连接，
在与中，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
24．（1）解：四边形是矩形，
∴BC=AD=10，，，
①如图1，点在边上，
∴根据折叠有：，
∴四边形是正方形，
，
故答案为：6．
②如图2，由折叠得，，
，
，
，
，
，
的长为2．
（2）解：如图3，连接，
点是的中点，
，
由折叠得，，，
，，
在和中，
，
，
设，
点是的三等分点，
，，
，
，解得，（不符合题意，舍去），
，
的长为．
25．
（1）
解：①，②
理由如下：在图1中，过点D作PDMN交AB于P，则∠APD=∠AMN，
∵正方形ABCD，
∴ AB=AD，ABDC，∠DAB =∠B=90°，
∴四边形PMND是平行四边形，PD=MN．
∵∠B=90°，
∴∠BAE＋∠BEA= 90°，
∵MN⊥AE于F，
∴∠BAE＋∠AMN = 90°，
∴∠BEA=∠AMN=∠APD，
又∵AB=AD，∠B=∠DAP=90°，
∴，
∴AE=PD=MN．，∠APD=∠AMN，
∴，
（2）
解：BF=FG
理由如下：
在图2中连接AG、EG、CG，
由正方形的轴对称性得ABG△CBG，
∴AG = CG，∠GAB=∠GCB，
∵ MN⊥AE于F，F为AE中点，
∴AG=EG，
∴EG=CG，
∴∠GEC=∠GCE，
∴∠GAB=∠GEC，
由图可知∠GEB＋∠GEC=180°，
∴∠GEB＋∠GAB =180°，
又∵四边形ABEG的内角和为360°，∠ABE= 90°，
∴∠AGE = 90°，
在Rt△ABE 和Rt△AGE中，AE为斜边，F为AE的中点，
∴BF=AE，FG=AE，
∴BF= FG；
（3）
解：BF= FG，理由如下：
过点M作MH⊥CD于H，
∴∠MHD=∠ADC=∠DAB= 90°，
∴四边形ADHM是矩形，
∴AD=MH=AB，∠AMH= 90°，
∴∠AMF+∠HMN= 90°，
∵∠AMF+∠BAE= 90°，
∴∠BAE=∠HMN，
∴，
∴AE=MN；
连接AG、EG、CG，
由正方形的轴对称性得ABG ≌ △CBG，
∴AG = CG，∠GAB=∠GCB，
∵ MN⊥AE于F，F为AE中点，
∴ AG = EG，
∴ EG = CG，
∴∠GEC=∠GCE，
∴∠GAB=∠GEC，
∵∠GAD+∠BAG=90°，
∴∠GEC+∠GAD=90°，
∵ADBC，
∴∠DAE＋∠AEB =180°，
∴∠GAE+∠AEG=90°，
∴ ∠AGE = 90°，
在Rt△ABE和Rt△AGE中，AE为斜边，F为AE的中点，
∴BF=AE，FG=AE，
∴BF= FG．
26．（1）解：，．
证明：如图，延长交于点，
在正方形和正方形中，，，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
；
（2）过点作于点，
，
，
，，
，
又，，
≌，
，
，，，
≌，
，，
，
，
∴EG∥PB，
，
；
（3）．
证明：在上截取，连接，
正方形和正方形中，，
，，
，
≌，
，，
平分，
，
又，，
≌，
，
，
，
，
，
，
．