2023-2024学年安徽省合肥市百花中学等四校联考高二（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年安徽省合肥市百花中学等四校联考高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列满足，，则( )
A. B. C. D.
2.设函数，则( )
A. 为的极大值点 B. 为的极小值点
C. 为的极大值点 D. 为的极小值点
3.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍，则塔的顶层共有灯( )
A. 盏 B. 盏 C. 盏 D. 盏
4.函数的单调递减区间为( )
A. B. C. D. 和
5.已知函数的图象如图所示其中是函数的导函数，则函数的图象可能为( )
A.
B.
C.
D.
6.已知曲线在点处的切线方程为，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
7.已知数列满足，，则下列结论正确的是( )
A. 数列是公差为的等差数列 B. 数列是公差为的等差数列
C. 数列是公比为的等比数列 D. 数列是公比为的等比数列
8.若函数在区间单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，下列结论中正确的是( )
A. ，
B. 函数的值域为
C. 若是的极值点，则
D. 若是的极小值点，则在区间单调递减
10.公差为的等差数列，其前项和为，，，下列说法正确的有( )
A. B. C. 中最大 D.
11.若，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则的值为______．
13.函数的最大值为______．
14.记为数列的前项和，若，则______
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等差数列的前项和为，，．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
已知函数在处取得极大值为．
求，的值；
求函数在区间上的最大值．
17.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
若恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
已知数列满足：．
证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；
若数列是首项为，公比为的等比数列，求数列的前项和．
19.本小题分
已知函数．
设是的极值点，求，并求的单调区间；
证明：当时，．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由，，
可得，，
．
故选：．
由数列的递推式，分别求得，，．
本题考查数列的递推式，考查运算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由于，可得，
令可得
令可得，即函数在上是增函数
令可得，即函数在上是减函数
所以为的极小值点
故选：．
由题意，可先求出，利用导数研究出函数的单调性，即可得出为的极小值点
本题考查利用导数研究函数的极值，解题的关键是正确求出导数及掌握求极值的步骤，本题是基础题，
3.【答案】
【解析】【分析】
设塔的顶层共有盏灯，则数列公比为的等比数列，利用等比数列前项和公式能求出结果．
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
【解答】
解：设塔的顶层共有盏灯，
则数列公比为的等比数列，
，
解得．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：因为的定义域为，
，
令，即，得且，
所以的单调递减区间为和．
故选：．
求出的定义域和导数，解不等式结合定义域即可得答案．
本题主要考查利用导函数研究函数单调性，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：当时，，
所以，
所以在上单调递减，
当时，，
所以，
所以在上单调递增，
故选：．
当时，，可得在上单调性，当时，，可得在上单调性，即可得出答案．
本题考查函数的单调性，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：，
，
将代入，得，．
故选：．
通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了利用等比数列的递推公式构造等比数列，还考查了等比数列的定义，属于基础题．
对已知递推公式进行变形得，，结合等比数列的定义即可判断．
【解答】
解：，
，
，
数列是公比为的等比数列．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：在区间单调递增，
所以在区间恒成立，即在区间恒成立，
故．
故选：．
由题意可得在区间恒成立，分离参数后即可求解．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用及不等式的恒成立问题的求解，属于基础试题．
9.【答案】
【解析】解：因为三次函数的三次项系数为正值，若函数存在极值点，则必有两根，
所以函数必有两个极值点，设为，，则极小值点，
所以函数在，递增，在递减，故D错误，
根据，递增，可得函数的值域为，均正确．
故选：．
分析可知函数必有两个极值点，设为，，且在，递增，在递减，由此可得正确答案．
本题考查三次函数的图象及性质，考查利用导数判断函数的单调性，极值，考查运算求解能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由，得，
又，得，
，，，
数列是递减数列，其前项为正，从第项起均为负数，因此前六项和最大，
，，，即，
故A，B错误；，D正确．
故选：．
利用等差数列性质结合给定条件可得，，再逐项分析判断作答．
本题主要考查等差数列的前项和公式，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：令，，
则，
故在上恒为正数，
即在上单调递增，
又，可得，即，故A对，错；
令，，
则，
故在上恒为负数，
即在上单调递增减
又，可得，，故C对，错．
故选：．
根据选项的特点构造函数，研究函数的单调性，进而求解结论．
本题主要考查导数知识的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：，
求导可得，，令，
则，解得．
故答案为：．
对函数求导，再将代入导函数，即可求解．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：函数，
所以，
因为，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以函数在时，．
故答案为：．
求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，即可求出函数的最大值．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：，
，
，即，
，
又，
．
数列是以为首项，为公比的等比数列，
．
故答案为：．
由已知可得，而，两式相减，可得，再结合，令求出，从而可得数列是以为首项，为公比的等比数列，再根据等比数列的通项公式求解即可．
本题考查了数列递推式，考查了数列的通项公式，是基础题．
15.【答案】解：设等差数列的公差为，
由，，得，解得，
所以；
由可知，
所以．
【解析】设等差数列的公差为，根据，可得，则，从而即可求出；
由可知，从而即可利用裂项相消求和法求出．
本题考查等差数列的通项公式，裂项相消求和法，考查学生逻辑推理与运算求解的能力，属于中档题．
16.【答案】解：，
因为在处取得极大值为，
则，
即，解得，，
经检验，上述结果满足题意，
由得，，
令，得；令，得或，
在上的单调递减区间是，单调递增区间为．
，函数在区间上的最大值为．
【解析】先求出函数的导数，利用导函数的符号，通过函数的极大值，求出的值；
先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，得到函数的单调区间，然后求出函数的最值．
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，属于中档题．
17.【答案】解：．
当时，在上恒成立，
所以在上单调递增；
当时，令，解得，
当时，，
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
的定义域为，
若恒成立，则恒成立，
即恒成立，
令，只需，
又，
令得，
所以当时，，单调递增，
时，，则单调递减，
所以在时取得极大值，也时最大值，
所以，
解得，
所以的取值范围是．
【解析】求定义域，求导，分与两种情况，求解单调性．
参变分离，得到，构造，求导，得到其单调性，求出最大值，得到．
本题考查导数的综合应用，恒成立问题，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
18.【答案】解：，，
是以首项为，公差为的一个等差数列，
，；
根据题意可得，，
，
，
，
．
【解析】由，可得是首项为，公差为的等差数列，从而即可求出；
由题意可得，则，从而利用错位相减求和法即可求出．
本题考查数列的递推公式，错位相减求和法，考查学生逻辑推理与运算求解的能力，属于中档题．
19.【答案】解：函数．
，，
是的极值点，
，解得，
，
，显然在上单调递增，
当时，，当时，，
在单调递减，在单调递增．
证明：当时，，
设，则，
由，得，且在上单调递增，
当时，，
当时，，
是的极小值点，也是最小值点，
故当时，，
当时，．
【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查利用导数证明不等式，同时考查逻辑思维能力，是中档题．
推导出，，由是的极值点，解得，从而，进而，由此能求出的单调区间．
当时，，设，利用导数求得函数的最小值，即能证明当时，．
第1页，共1页