2023-2024学年北京十三中高二（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年北京十三中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数在处的瞬时变化率为( )
A. B. C. D.
2.设函数的导函数图象如图所示，则的解析式可能是( )
A.
B.
C.
D.
3.设的分布列如表所示，又设，则等于( )
A. B. C. D.
4.已知函数，为的导函数，则( )
A. B.
C. D.
5.从，，，，中不放回地抽取个数，则在第次抽到偶数的条件下，第次抽到奇数的概率是( )
A. B. C. D.
6.某校高二年级计划举办篮球比赛，采用抽签的方式把全年级个班分为甲、乙两组，每组个班，则高二班、高二班恰好都在甲组的概率是( )
A. B. C. D.
7.投篮测试中，每人投次，至少投中次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )
A. B. C. D.
8.设函数的极小值为，其导函数的图象过点，
如图所示，则( )
A.
B.
C.
D.
9.一道考题有个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来某考生知道正确答案的概率为，而乱猜时，个答案都有机会被他选择，则他答对正确答案的概率是( )
A. B. C. D.
10.设为曲线上一点，为曲线上一点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.设函数，则______．
12.某不透明纸箱中共有个小球，其中个白球，个红球，它们除颜色外均相同一次性从纸箱中摸出个小球，摸出红球个数为，则 ______．
13.已知随机变量的分布列如下：
若，则 ______；当 ______时，最大．
14.李明自主创业，经营一家网店，每售出一件商品获利元现计划在“五一”期间对商品进行广告促销，假设售出商品的件数单位：万件与广告费用单位：万元符合函数模型若要使这次促销活动获利最多，则广告费用应投入 万元．
15.函数为常数的图象可能为______选出所有可能的选项
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知函数；
求的图象在点处的切线方程；
求的单调区间．
17.本小题分
某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竞答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：假设所有学生的获奖情况相互独立．
性别 人数 获奖人数
一等奖 二等奖 三等奖
男生
女生
Ⅰ分别从上述名男生和名女生中各随机抽取名，求抽到的名学生都获一等奖的概率；
Ⅱ用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取名，从该地区高一女生中随机抽取名，以表示这名学生中获奖的人数，求的分布列和数学期望；
Ⅲ用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高一男生中随机抽取名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高一女生中随机抽取名，设抽到的学生获奖的概率为，试比较与的大小结论不要求证明
18.本小题分
为了解甲、乙两厂的产品质量，从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取了几件测量产品中的微量元素的含量单位：毫克规定微量元素的含量满足：单位：毫克为优质品甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表如下：
含量 频数
从乙厂抽取的产品中随机抽取件，求抽取的件产品中优质品数的分布列及其数学期望；
从甲乙两厂的产品中各随机抽取件，求其中优质品数之和为的概率；
在的条件下，写出甲乙两厂的优质品数之和的数学期望结论不要求证明
19.本小题分
已知函数．
当时，求的极值；判断此时是否有最值，如果有请写出最值结论不要求证明；若是单调函数，求的取值范围．
20.本小题分
已知函数，．
Ⅰ若，求在区间上的最大值和最小值；
Ⅱ设，求证：恰有个极值点；
Ⅲ若，不等式恒成立，求的最小值．
21.本小题分
对任意正整数，记集合，，，均为非负整数，且，集合，，，均为非负整数，且设，，若对任意都有，则记．
Ⅰ写出集合和；
Ⅱ证明：对任意，存在，使得；
Ⅲ设集合，，，求证：中的元素个数是完全平方数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由，求导得，所以．
故选：．
根据给定条件，求出函数在处的导数值即得．
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：观察图象知，函数的导函数定义域为，且在上单调递增，有一个正零点，
对于，，其定义域为，无零点，不符合题意，不正确；
对于，定义域为，求导得，函数在上单调递减，不符合题意，不正确；
对于，定义域为，而零点为，不符合题意，不正确；
对于，函数定义域为，在上单调递增，
有唯一零点，符合题意，D正确．
故选：．
由图象可得导函数的定义域及单调性，再逐项求导并判断得解．
本题主要考查利用导函数研究函数单调性，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
则．
故选：．
根据已知条件，结合期望的公式，以及期望的线性公式，即可求解．
本题主要考查期望的公式，以及期望的线性公式，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，，
，A错误，B正确；
，、D错误．
故选：．
根据导数的公式即可得到结论．
本题主要考查导数的基本运算，比较基础．
5.【答案】
【解析】解：设事件为第次抽到偶数，，，
则，，
在第次抽到偶数的条件下，第次抽到奇数的概率为：
．
故选：．
设事件为第次抽到偶数，，，利用条件概率计算公式能求出在第次抽到偶数的条件下，第次抽到奇数的概率．
本题考查在第次抽到偶数的条件下，第次抽到奇数的概率的求法，考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：易知将个班分为甲、乙两组共有种分组方式，
其中高二班、高二班恰好都在甲组的情况共有种，
所以高二班、高二班恰好都在甲组的概率是．
故选：．
利用概率的古典概型计算公式结合组合的应用即可求得结果．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可．
本题考查独立重复试验概率的求法，基本知识的考查．
【解答】
解：由题意可知：同学次测试投中次数满足，
该同学通过测试的概率为．
故选：．
8.【答案】
【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查了数形结合思想，属基础题．
由题设，根据所过的点可得，结合图象求出极小值点并代入求参数，即可得解析式，注意验证所得参数是否符合题设．
解：由题设，，
则，故，
由图知且处有极小值，
所以，即，，经验证满足题设，
故．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：根据题意可设“知道正确答案”为事件，“他答对正确答案”为事件，
易知，
而，
因此他答对正确答案的概率是．
故选：．
依题意分两种情况对答对正确答案进行讨论，再利用全概率公式计算可得结论．
本题主要考查了全概率公式的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】【分析】本题考查互为反函数的函数图象的对称性以及导数的几何意义，考查曲线的切线方程的求法，考查化归与转化思想，属于中档题．
两曲线关于直线对称，求的最小值可转化为求到直线的最小距离，再利用导数的几何意义，求曲线上斜率为的切线方程，再由点到直线的距离公式求解．
【解答】解：曲线与曲线互为反函数，其图象关于对称，
故可先求点到直线的最近距离，
设曲线上斜率为的切线为，
，由，得，
故切点坐标为，即，
，
的最小值为，
故选：．
11.【答案】
【解析】本题考查函数求导运算，属于基础题．
利用求导法则，先求出，再求．
解：，
故答案为：
12.【答案】
【解析】解：依题意，摸出红球个数服从超几何分布，，
所以．
故答案为：．
根据给定条件，可得服从超几何分布，再利用超几何分布的期望公式计算即得．
本题主要考查了离散型随机变量的期望值的求解，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：由，得，因此；
依题意，，，
因此，
则当时，取得最大值．
故答案为：；．
根据给定条件，利用分布列的性质，期望公式计算得值；利用方差与期望的关系建立关于的函数，探讨函数的最大值即可．
本题考查分布列的性质，期望公式，方差公式，属于中档题．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用导数求最值，考查运算求解能力，是中档题．
由题意知，每售出万件商品获利万元，可得售出万件商品的总获利为，设，利用导数求最值得答案．
【解答】
解：由题意知，每售出万件商品获利万元，
售出万件商品的总获利为：
，
设，
则，令，
即，
解得，
当时，，函数在单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
则当时，函数取得极大值，即最大值，
要使这次促销活动获利最多，则广告费用应投入万元．
故答案为．
15.【答案】
【解析】解：根据题意，函数的定义域为，
则，
令，可得；
显然当时，，没有对应函数图象；
因此，当时，易知在恒成立，
可知在上单调递减，
易知，即；当趋近于时，趋近于；
即存在，使得，也即；
所以当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
又易知，且时，时，此时图象可能为；
当时，令，解得；
当时，，此时在上单调递减；
当时，，此时在上单调递增；
即，
若时，，即恒成立，
此时函数单调递增，且，此时图象可能为；
若时，，
即存在两个实数根，，且，满足，
不妨取，
因此可得当时，，此时在上单调递增；
当时，，此时在上单调递减；
当时，，此时在上单调递增；
且，因此图象可能为．
由于时，，函数不可能有个零点，故不可能，
故答案为：．
根据题意，求出函数的导数可得，并构造函数，对参数的取值进行分类讨论并得出函数的最值，进而求得函数的单调性，即可求得结论．
本题考查函数的图象，关键在于对函数求导，构造函数并对参数的取值进行分类讨论，进而得出函数单调性即可得出结论，属于中档题．
16.【答案】解：函数，求导得，则，而，
所以的图象在点处的切线方程为，即．
函数的定义域为，由得，
由，得或，由，得，
所以函数的单调递增区间是，，单调递减区间是．
【解析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程即得；
由的导函数，解导函数大于，小于的不等式即可．
本题主要考查利用导函数研究函数单调性，属于基础题．
17.【答案】解：Ⅰ设事件为“分别从上述名男生和名女生中各随机抽取名，抽到的名学生都获一等奖”，
则．
Ⅱ随机变量的所有可能取值为，，，
记事件为“从该地区高一男生中随机抽取名，该学生获奖”，
事件为“从该地区高一女生中随机抽取名，该学生获奖”，
由题设知，事件，相互独立，
且，，
所以，
，
，
所以的分布列为：
故的数学期望．
Ⅲ，理由：根据频率估计概率得
，由Ⅱ知，，
故，
则．
【解析】Ⅰ根据古典概型公式计算即可；
Ⅱ的所有可能取值为，，，求出高一男生获奖概率和高一女生获奖概率，再计算概率得到分布列，最后计算期望即可；
Ⅲ计算出，，比较大小即可．
本题主要考查离散型随机变量的分布列及期望，是中档题．
18.【答案】解：乙厂抽取的件产品中优质品数有件，的可能取值为，，，
，
所以的分布列为：
数学期望为；
记甲乙两厂的优质品数分别为，，
由样本频率估计：甲厂产品中优质品率为，乙厂产品中优质品率为，
，
，
，
所以优质品数之和为的概率为；
由知，的可能值为，，，，，
，
，
所以的数学期望．
【解析】求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出数学期望；
利用频率估计概率，求出甲乙厂产品中优质品率，再分别求出抽出的件产品中优质品数的概率，进而求出优质品数和为的概率；
由的信息求出的分布列及数学期望．
本题考查了离散型随机变量的分布列与期望计算，属于中档题．
19.【答案】解：易知的定义域为，
由可得，
当时，，令可得；
因此当时，，此时在上单调递减，
当时，，此时在上单调递增，
因此可得在处取得极小值；
所以的极小值为，无极大值；
根据极值与最值得关系可得，此时在处也取得最小值，无最大值；
由可知，，
显然当时，恒成立，此时为上单调递减函数，满足题意；
当时，令，解得；
由一次函数的性质可知，
当时，为单调递减，
若，，此时为上单调递增函数；
若，，此时为上单调递减函数；
显然此时不是单调函数，不满足题意；
当时，为单调递增，
若，，此时为上单调递减函数；
若，，此时为上单调递增函数；
显然此时不是单调函数，不满足题意；
综上可知，；
即的取值范围为．
【解析】求函数求导，代入得出函数在定义域内的单调性可得在处取得极小值，也是最小值；
对参数的取值范围进行分类讨论，得出不同情况下的单调性，满足是单调函数即可得出结论．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，极值与最值，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：Ⅰ时，，
则，
令，解得，令，解得，
故在递增，在递减，
，而，，
．
Ⅱ证明：，
则，
令
则，
故有个零点，即有个零点，
故恰有个极值点．
Ⅲ若，不等式恒成立，
则在恒成立，
令，，
则，
令，解得，令，解得，
故在递增，在递减，
故，
，的最小值是．
【解析】Ⅰ代入的值，求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的最值即可；
Ⅱ求出函数的导数，根据函数的零点个数证明即可；
Ⅲ问题转化为在恒成立，令，，根据函数的单调性求出函数的最大值，求出的最小值即可．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题．
21.【答案】解：Ⅰ，，，，，，，．
Ⅱ对任意，设，
则，，，均为非负整数，且．
令，则，
所以，且．
Ⅲ对任意，，
记，
则，，，均为非负整数，且，
所以，且，．
设集合中的元素个数为，设
设集合，，，，，，，．
对任意，都有，，，，
且，，，，．
所以．
若，其中，，
设，因为，所以，
记，则，
所以，并且有，所以，所以．
所以．
因为集合中的元素个数为，
所以中的元素个数为，是完全平方数．
【解析】本题主要考查新定义问题，集合与元素的关系的判断与应用，考查逻辑推理能力．
Ⅰ根据已知即可求出集合和；
Ⅱ对任意，设，令，可得，即可得证；
Ⅲ设集合中的元素个数为，设，设集合，，，，，，，，推导出，，从而可得由集合中的元素个数为，即可得证．
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