2023-2024学年宁夏石嘴山三中高二（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年宁夏石嘴山三中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某班有名同学，春节期间若互发一条问候微信，则他们发出的微信总数是( )
A. B. C. D.
2.关于线性回归的描述，下列表述错误的是( )
A. 回归直线一定经过样本中心点 B. 相关系数越大，相关性越强
C. 决定系数越接近，拟合效果越好 D. 残差图的带状区域越窄，拟合效果越好
3.从、、、、、中任取两个数，事件：取到两数之和为偶数，事件：取到两数均为偶数，则( )
A. B. C. D.
4.甲、乙两人下象棋，赢了得分，平局得分，输了得分，共下三局用表示甲的得分，则表示( )
A. 甲赢三局 B. 甲赢一局输两局
C. 甲、乙平局二次 D. 甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
5.某工厂节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量吨与相应的生产能耗吨的几组对应数据如表，现发现表中有个数据看不清，已知回归直线方程为，则看不清的数据的值为( )
A. B. C. D.
6.某种作物的种子每粒的发芽概率都是，现计划种植该作物株，若对首轮种植后没有发芽的每粒种子，需再购买粒种子用以补种及备用，则购买该作物种子总数的期望值为( )
A. B. C. D.
7.某车间使用甲、乙、丙三台车床加工同一型号的零件，车床甲和乙加工此型号零件的优质品率分别为，，且甲和乙加工的零件数分别占总数的，如果将三台车床加工出的零件全部混放在一起，并随机抽出一件，得到优质品的概率是，则车床丙加工此型号零件的优质品率是( )
A. B. C. D.
8.算筹是一根根同样长短和粗细的小棍子，是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具，是中国古代的一项伟大、重要的发明在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如表：
项目
纵式
横式
用算筹计数法表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如“
”表示的三位数为如果把根算筹以适当的方式全部放入表格“
”中，那么可以表示不同的三位数的个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.有一散点图如图所示，在个数据中去掉后，下列说法中正确的是( )
A. 残差平方和变小
B. 相关系数变小
C. 决定系数变小
D. 解释变量与响应变量的相关性变强
10.已知随机变量满足，，则下列选项正确的是( )
A. B. C. D.
11.一个袋中有个大小相同的球，其中有个黄球，个白球，从中随机摸出个球作为样本若有放回摸球，用表示样本中黄球的个数，则其分布列，，，，，；若无放回摸球，用表示样本中黄球的个数，则分布列为，，，，，利用统计软件计算出和的分布列的概率值如下表：
则下面选项正确的是( )
A.
B.
C. 有放回抽样中，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，误差的绝对值不超过的概率约为
D. 无放回抽样中，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，误差的绝对值不超过的概率约为
12.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关甲乙两个口袋中各装有个黑球和个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有个黑球的概率为，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 数列是等比数列 D. 的数学期望
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率为，乙闹钟准时响的概率为，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是______．
14.一批产品的一等品率为，从这批产品中每次抽取一件，有放回地抽取次，用表示抽到的一等品的件数，若，，则满足条件的的一个取值为______．
15.名同学到个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去个小区，每个小区至少安排名同学，则不同的安排方法共有______种．
16.红铃虫是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关现收集到一只红铃虫的产卵数个和温度的组观测数据，制成图所示的散点图现用两种模型，分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图所示的残差图．
根据收集到的数据，计算得到如下值：
表中；；；；
根据残差图，比较模型、的拟合效果，模型______比较合适？
根据中所选择的模型，求出关于的回归方程______．
附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
四、解答题：本题共5小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
名男生，名女生，站成一排照相．
两名女生不排在队伍两头的排法有多少种？
两名女生不相邻的排法有多少种？
两名女生中间有且只有一人的排法有多少种？
18.本小题分
已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为，各项的系数之和为，．
求的值；
求其展开式中所有的有理项．
19.本小题分
某工厂每天生箱某型号口罩，每箱个，该型号口罩吸气阻力还超过的为合格品，否则为不合格品，不可出厂销售生声过程中随机抽取了个口罩进行检测，其吸气阻力值单位：如表所示：
Ⅰ从样本中随机抽取个口罩，求其为不合格品的概率；
Ⅱ从样本中随机抽取个口罩，求其中含有不合格品的概率；
Ⅲ已知每个口罩的检测费用为元按有关规定，该型号口罩出厂前，工厂要对每一个口罩进行吸气阻力检测，为督促工厂执行此规定，每天生产的口罩出厂后，质检部门将随机抽取箱，每箱抽个口罩进行检测，每检测出一个不合格品，罚款元这个处罚标准是否合理？说明理由．
20.本小题分
为了研究某种疾病的治愈率，某医院对名患者中的一部分患者采用了疗法，另一部分患者采用了疗法，并根据两种治疗方法的治愈情况绘制了等高堆积条形图，如下：
未治煎 治煎
疗法
疗法
根据图表，得到关于治疗方法和治愈情况的列联表：
求列联表中的，，的值，并依据的独立性检验，能否认为此种疾病是否治愈与治疗方法有关；
现从采用疗法的患者中任取名，设治愈的患者数为，求的分布列与期望．
附：，．
21.本小题分
随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，年的考研人数是万人，年考研人数是万人某中学数学兴趣小组统计了本省所大学年的毕业生人数及考研人数单位：千人，经计算得：，，，．
利用最小二乘估计建立关于的线性回归方程；
该小组又利用收集的数据建立了关于的线性回归方程，并把这两条拟合直线画在同一坐标系下，横坐标，纵坐标的意义与毕业人数和考研人数一致．
比较前者与后者的斜率与的大小；
求这两条直线公共点的坐标．
附：关于的回归方程中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．
相关系数：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查排列的应用，注意排列、组合的不同，属于基础题．
根据题意，分析可得该问题为排列问题，由排列数公式计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，某班有名同学，春节期间若互发一条问候微信，是排列问题，
则他们发出的微信总数是．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：对于，根据回归直线方程中知，回归直线一定经过样本中心点，故A正确；
对于，相关系数越大，相关性越强，故B错误；
对于，决定系数越接近，拟合效果越好，故C正确；
对于，残差图的带状区域越窄，说明拟合效果越好，故D正确．
故选：．
根据相关概念直接判断即可得解．
本题主要考查了相关系数的性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：从、、、、、中任取两个数，
基本事件总数，
事件：取到两数之和为偶数，事件：取到两数均为偶数，
事件包含的基本事件有：
，，，，，，共个，
事件包含的基本事件有：
，，，共个，
，，
则．
故选：．
基本事件总数，利用列举法求出事件包含的基本事件有个，事件包含的基本事件有个，从而，，利用条件概率计算公式能求出．
本题考查概率的求法，考查条件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为甲、乙两人下象棋，赢了得分，平局得分，输了得分，
故表示两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．
故选：．
列举出的所有可能的情况，即得．
本题考查随机变量的定义和应用，涉及随机事件的定义，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：设看不清的数据的值为，则，
将样本中心点的坐标代入回归直线方程可得，解得．
故选：．
设看不清的数据的值为，求出样本中心点的坐标，代入回归直线方程可求得结果．
本题考查线性回归方程，考查学生的运算能力，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：设没有发芽的种子粒数为，则，
所以，
故需要购买粒种子．
故选：．
根据二项分布的期望公式求值即可．
本题主要考查离散型随机变量的数学期望，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：设车床丙加工此型号零件的优质品率为，
则，
解得．
故选：．
根据全概率公式列出方程求解．
本题考查全概率公式，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：共有根算筹，
当百位数为根，十位根，个位根时，则有个三位数；
当百位数为根，十位根，个位根时，则有个三位数；
当百位数为根，十位根，个位根时，则有个三位数；
当百位数为根，十位根，个位根时，则有个三位数；
当百位数为根，十位根，个位根时，则有个三位数；
当百位数为根，十位根，个位根时，则有个三位数；
当百位数为根，十位根，个位根时，则有个三位数；
当百位数为根，十位根，个位根时，则有个三位数；
当百位数为根，十位根，个位根时，则有个三位数；
当百位数为根，十位根，个位根时，则有个三位数，
所以共有个．
故选：．
利用题中表格中的信息结合分类计数原理进行分析求解，即可得到答案．
本题主要考查了分类计数原理的应用，属于基础题．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了利用散点图分析数据，判断变量的相关性问题，属于基础题．
利用散点图分析数据可判断相关系数，决定系数，残差的平方和的变化情况．求解即可．
【解答】
解：从散点图知，只有点偏离直线最远，
若去掉点，则变量与变量的线性相关性变强，
相关系数变大，决定系数变大，残差的平方和变小，
故选：．
10.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
利用数学期望以及方差的运算性质，求解即可．
本题考查期望方差的性质，属基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，由题意可知，个黄球，个白球，从中随机摸出个球作为样本．
若有放回摸球，用表示样本中黄球的个数，每次取得黄球的概率都为，
相当于把一次试验重复做次，所以服从二项分布，即，故A正确；
对于，若无放回摸球，用表示样本中黄球的个数，则服从超几何分布，，故B正确；
对于，有放回抽样中，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，由分布列可知误差的绝对值不超过的概率，
即，约为，故C正确；
对于，无放回抽样中，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，误差的绝对值不超过的概率，
即，故D错误．
故选：．
由题意可知，个黄球，个白球，从中随机摸出个球作为样本．若有放回摸球，则抽到黄球的个数服从二项分布，若不放回摸球，则抽到黄球的个数服从超几何分布，计算均值即可，对于选项根据题意计算判断即可．
本题考查了二项分布和超几何分布，考查了转化思想，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：由题意，，故A正确；
，，故B错误；
当时，
整理得，
，
故可知是以为首项，以为公比的等比数列，故C正确；
，
，
，
因，
，故D正确．
故选：．
利用已知条件求出，，即可判断，；
利用推出，可判断；
利用可判断．
本题考查离散型随机变量的期望，考查等比数列的应用，是中档题．
13.【答案】．
【解析】解：设两个闹钟至少有一个准时响为事件，
则两个闹钟至少有一个准时响的概率是，
故答案为：．
利用相互独立事件的概率乘法公式求解．
本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
14.【答案】答案不唯一
【解析】解：根据题意可知，，
，，
又，，
是的倍数．
故答案为：答案不唯一．
根据二项分布公式计算即可．
本题考查离散型随机变量的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查排列组合及分步计数原理的运用，属于基础题．
先从人中选出人作为一组有种方法，再与另外人一起进行排列有种方法，相乘即可．
【解答】解：因为有一小区有两人，则不同的安排方式共有种．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：应该选择模型由于模型残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型的带状宽度窄，
所以模型的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型比较合适；
令，与温度可以用线性回归方程来拟合，则，
所以，
所以，
即关于的线性回归方程为于是有，
所以产卵数关于温度的回归方程为．
故答案为：；．
根据残差图判断即可；
令则，利用参考数据求出，的值，进而得到产卵数关于温度的回归方程．
本题主要考查了经验回归方程的求解，考查了残差图的应用，属于中档题．
17.【答案】解：中间个位置先排名女生，有种排法，
然后其余个位置排剩下的人，有种排法，
故共有种排法；
先排名男生，有种排法，
然后在名男生排列的个空中选个空插入名女生，有种排法，
故共有种排法；
两名女生有种排法，从剩下的人中选一人插入两名女生中间，有种，
然后再将三人看作一个元素，和其他四个元素作全排列，有种排法，
故共有种排法．
【解析】中间个位置先排名女生，然后其余个位置排剩下的人，由分步乘法计数原理即可求解；
利用插空法，结合分步乘法计数原理即可求解；
先利用插空法将名男生插入名女生中，结合捆绑法和分步乘法计数原理即可求解；
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
18.【答案】解：因为，，所以，
当为奇数时，此方程无解，
当为偶数时，方程可化为，解得；
由通项公式，
当为整数时，是有理项，则，，，
所以有理项为．
【解析】先利用题给条件列出关于的方程，解之即可求得的值；
利用二项展开式的通项公式即可求得其展开式中所有的有理项．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
19.【答案】解：Ⅰ设“从样本中随机抽取个口罩，其为不合格”为事件，
由表可知，个口罩，吸气阻力值超过的，即不合格品恰有个，
所以，即为不合格品的概率为．
Ⅱ设“从样本中随机抽取个口罩，其中含有不合格品”为事件，
由Ⅰ，个样本中不合格品恰有个，合格品恰有个，
所以，
即含有不合格品的概率为．
Ⅲ这个处罚标准不合理，
依题意，若工厂执行此规定，则每天需要检测费元，
由Ⅰ，用频率估计每个口罩是不合格品的概率为，
若工厂不进行检测，设质检部门抽检一个口罩，罚款元，
依题意，的取值为，，
，，


所以，
所以若工厂不进行检测，每天需交罚款的期望为元，
若工厂执行此规定，除了检测费外，还需要将不合格品更换为合格品，
故这个处罚标准偏低，达不到监督工厂执行此规定的目的．
【解析】Ⅰ根据图表中的数据，得到合格品个，不合格品有个，即可求解为不合格品的概率．
Ⅱ由Ⅰ知合格品个，不合格品有个，利用组合数公式，即可求得含有不合格品的概率．
Ⅲ根据题意，分别求出检测费用和箱的罚钱总额，比较即可得到结论．
本题主要考查了函数的实际应用，古典概型的概率公式，同时考查了学生的计算能力，是中档题．
20.【答案】解：由等高堆积条形图可得，
解得，
所以得到列联表如下：
未治愈 治愈 总计
疗法
疗法
总计
则，
因为，
所以有的把握认为此种疾病是否治愈与治疗方法有关；
由题意可知：的取值为、、，
则，
故的分布列为：
所以．
【解析】根据题意列出关于，，的方程组，解出，，的值，得到列联表，计算的值，再与临界值比较即可；
由题意可知，的取值为、、，利用古典概型的概率公式求出相应的概率，进而可得的分布列，再结合期望公式求解即可．
本题主要考查了独立性检验的应用，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
21.【答案】解：，，
，，
所以关于的线性回归方程为．
因为关于的线性回归方程与关于的线性回归方程的斜率分别为，，
所以，，其中，
所以，
因为，，所以．
因为两条直线都经过样本中心点，所以这两条直线公共点的坐标为．
【解析】本题考查线性回归方程的求法，相关系数的含义，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
根据参考数据与公式求得，，和的值，即可得线性回归方程；
由题意知，，，从而有，得解；
根据两条直线都经过样本中心点，得解．
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