2023-2024学年陕西省西安市西工大附中高二（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年陕西省西安市西工大附中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算的值是( )
A. B. C. D.
2.已知等比数列的公比为正数，且，，则( )
A. B. C. D.
3.某校迎新晚会上有，，，，，共个节目，为了考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目，不相邻，节目，必须连在一起，则不同的节目编排方案种数为( )
A. B. C. D.
4.已知函数的图象如图所示，则其导函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
5.设随机变量服从两点分布，若，则( )
A. B. C. D.
6.的展开式中，第四项和第五项的二项式系数相等，则该展开式中有理项的项数是( )
A. B. C. D.
7.将种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是
( )
A. B. C. D.
8.已知实数，，成公差非零的等差数列，集合，，，，若，则的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，，，则下列说法正确的是( )
A. B. 事件与相互独立
C. D.
10.在平面直角坐标系中，过抛物线：的焦点作直线交抛物线于，两点，则( )
A. 的最小值为 B. 以线段为直径的圆与轴相切
C. D.
11.若，则下列等式正确的有( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数为______用数字作答．
13.设，为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若，则 ______．
14.设函数在区间上总存在零点，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
中国传统文化中，过春节吃饺子，饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有盒肉馅的“饺子”，盒三鲜馅的“饺子”和盒青菜馅的“饺子”，乙箱中有盒肉馅的“饺子”，个三鲜馅的“饺子”和个青菜馅的“饺子”问：
从甲箱中取出一盒“饺子”是肉馅的概率是多少？
若依次从甲箱中取出两盒“饺了”，求第一盒是肉馅的条件下，第二盒是三鲜馅的概率；
若先从甲箱中随机取出一盒“饺子”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒“饺子”，从乙箱取出的“饺子”是肉馅的概率．
16.本小题分
已知函数．
求的最值；
求曲线过点的切线方程．
17.本小题分
某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的件产品作为样本称出它们的质量单位：克，质量的分组区间为，，，由此得到样本的频率分布直方图如图．
根据频率分布直方图，求质量超过克的产品数量；
在上述抽取的件产品中任取件，设为质量超过克的产品数量，求的分布列；
从该流水线上任取件产品，设为质量超过克的产品数量，求的数学期望和方差．
18.本小题分
已知双曲线：经过点，右焦点为，且，，成等差数列．
求的方程；
过的直线与的右支交于，两点在的上方，的中点为，在直线：上的射影为，为坐标原点，设的面积为，直线，的斜率分别为，，证明：是定值．
19.本小题分
已知函数的定义域为区间，若对于给定的非零实数，存在，使得，则称函数在区间上具有性质．
判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由；
若函数在区间上具有性质，求的取值范围；
已知函数的图像是连续不断的曲线，且，求证：函数在区间上具有性质
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．
故选：．
利用排列数和组合数的定义求解．
本题考查排列数和组合数的计算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：设等比数列的公比为，
由，得，则，解得，
又，所以．
故选：．
设等比数列的公比为，由可得，从而求出值后再根据即可求解．
本题考查等比数列的通项公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：先将两个节目，捆绑成一个元素，与节目，进行全排列，
再将节相，插入四个空档中，所以共有种不同的结果．
故选：．
排列问题中相邻元素用捆绑法，不相邻元素用插空法，求解即可．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：观察函数的图象知，
在上是减函数，故在恒成立，故排除，，
在从左到右，先增再减最后增，故在从左到右，先“”再“”最后“”恒成立，故排除，
故选：．
观察函数的图象知，在上是减函数，在从左到右，先增再减最后增；从而确定导数的正负，从而求解．
本题考查了导数的综合应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于基础题
5.【答案】
【解析】解：因为随机变量服从两点分布，所以，
又，所以解得，，
所以，．
故选：．
利用两点分布，结合已知条件求出，，再根据方差公式求解即可．
本题主要考查期望、方差的求解，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由于的展开式中，第四项和第五项的二项式系数相等，
故，故．
所以，
当，，，时，展开式为有理项，
故有理项的项数为．
故选：．
直接利用二项展开式和组合数的应用求出有理项的项数．
本题考查的知识要点：二项展开式，组合数，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，注意分析图形中区域相邻的情况，属于基础题．
由于规定一个区域只种植一种花卉，相邻的区域花卉不同，可分步进行，区域有种种植方法，有种种植方法，讨论，同种植一种花卉和不同种植一种花卉，根据乘法原理可得结论．
【解答】
解：由题意，由于规定一个区域只种植一种花卉，相邻的区域花卉不同，可分步进行，
区域有种种植方法，有种种植方法，
，不种植同一种花卉，有种种植方法，有种种植方法，有种；
，种植同一种花卉，有种种植方法，有种种植方法，有种，
共有种不同的种植方法．
故选B．
8.【答案】
【解析】解：、、成公差非零的等差数列，则，
动直线：变形为，
令，解得，动直线过定点，
直线：的一个法向量为，
若，则直线，点在以为直径的圆上，
圆心为中点，半径，，
则的最大值为．
故选：．
实数、、成公差非零的等差数列，则直线：过定点，由，点在以为直径的圆上，可求圆外的点到圆上的点的最大距离．
本题考查等差数列的性质，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，变形可得，A正确；
对于，，则事件、不相互独立，B错误；
对于，，C正确；
对于，，，
，D正确．
故选：．
根据题意，由条件概率公式变形求出的值，可得A正确，由相互独立事件的性质分析，由概率的性质分析，由条件概率性质分析，综合可得答案．
本题考查条件概率的计算，涉及相互独立事件的判断，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由题意可知：抛物线：的焦点，准线为，
且直线的斜率可以不存在，但不为，
设直线：，，，
联立方程，消去可得，
则，可得，，
可得，
，
对于选项A：因为，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为，故A错误；
对于选项B：因为线段的中点为，
则到轴的距离，以线段为直径的圆的半径为，
即圆心到轴的距离等于该圆半径，故轴与该圆相切，故B正确；
对于选项C：因为
，
所以，故C正确；
对于选项D：因为
，故D错误．
故选：．
根据题意设直线：，，，联立方程可得，，进而可得，根据抛物线的定义结合韦达定理逐项分析判断即可得．
本题考查了抛物线的性质，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于，令，则，故A正确，
对于，，因此，故B错误，
对于，令，则，令，则，两式相加可得，故C正确，
对于，对两边求导得，
令得，故D正确．
故选：．
利用赋值法即可求解，求导后结合赋值法可判断，利用通项的特征可判断．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：由已知可得，
所以由二项式定理可得多项式的展开式中含的项为，
的展开式中的系数为．
故答案为：．
化简已知关系式为：，然后根据二项式定理求出展开式中含的项，由此即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：已知点在椭圆上，且，可得，
又由椭圆，得，
，
，
而，可得．
故答案为：．
由已知可得，再由椭圆的标准方程和定义得，结合勾股定理即可求解的值．
本题考查椭圆的几何性质，涉及勾股定理与椭圆定义的应用，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：设为函数在区间上的零点，
函数在区间上总存在零点，
，即，
点是直线上的点，
，化为：，
令，，
则，
，
函数在上单调递减．在上单调递增．
时，函数取得极小值即最小值，，
，
则的最小值为．
故答案为：．
设为函数在区间上的零点，由函数在区间上总存在零点，，即，点是直线上的点，可得，化为：，令，，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、点到直线的距离公式、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
15.【答案】解：设事件“取出饺子是肉馅”，，
设事件“甲箱中取出的第一盒饺子是肉馅”，
事件“取出第二个盒饺子是三鲜馅”，
设事件“从乙箱取出的“饺子”是肉馅”．
设事件，，分别是甲箱中取出肉馅的“饺子”，三鲜馅的“饺子”和青菜馅的“饺子”，

【解析】利用古典概型求解；
利用条件概率求解；
利用全概率求解．
本题考查古典概型、条件概率、全概率相关公式，属于中档题．
16.【答案】解：由已知可得，的定义域为，
且．
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增．
所以在处取得唯一极小值，也是最小值．
所以的最小值为，无最大值．
设切点为，则
根据导数的几何意义可知，
曲线在处的斜率，
则，
所以，
整理可得，．
设，则在上恒成立，
所以在上单调递增．
又，所以存在唯一解．
所以的解为，切点，
此时斜率为，
切线方程为，整理可得切线方程为．
【解析】求出函数的定义域，得出导函数，根据导函数得出函数的单调性，即可得出答案；
设切点为，根据导数的几何意义得出斜率根据已知结合斜率的公式即可得出联立得出方程，求出方程的根，得出切点坐标以及斜率，代入点斜式方程，即可得出答案．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，导数的几何意义，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：质量超过克的产品的频率为，
所以质量超过克的产品数量为件；
重量超过的产品数量为件，则重量未超过克的产品数量为件，
的取值可能为，，，，服从超几何分布，
，
，
故的分布列为：


由质量超过克的产品的频率为，
故可估计从该流水线上任取件产品质量超过克的产品的概率为，
从流水线上任取件产品互不影响，该问题可看成次独立重复试验，
即，
则，．
【解析】结合频率分布直方图计算即可得；
结合超几何分布及古典概型求的分布列即可得；
先分析服从二项分布，再利用二项分布期望与方差的公式求解即可得．
本题考查了离散型随机变量的分布列与期望、方差的计算，属于中档题．
18.【答案】解：因为，，成等差数列，所以，
又，所以．
将点的坐标代入的方程得，解得，
所以，所以的方程为．
证明：依题意可设：，
由，得，
设，，，则．
，，
则，
而，
所以，
所以是定值．
【解析】根据题意和可得，然后根据点在双曲线上即可求解；
依题意可设：，将直线方程与圆锥曲线方程联立得到，利用韦达定理和已知条件求出的表达式，然后求出的表达式，化简即可求证．
本题主要考查直线与双曲线的综合，考查转化能力，属于难题．
19.【答案】解：函数在区间上具有性质，
若，则，
因为，且，
所以函数在区间上具有性质
由题意，存在，使得，
由正弦线的定义得舍或，
则得，
因为，所以，
又因为且，
所以，即所求的取值范围是．
证明：设，，
则有，，，，，，，，
以上各式相加得，
即，
当、、、、、中有一个为时，不妨设，，
即，即，，
所以函数在区间上具有性质
当、、、、、中均不为时，由于其和为，
则其中必存在整数和负数，不妨设，，
其中，，，
由于函数的图像是连续不断的曲线，所以当时，至少存在一个实数当时，至少存在一个实数，
其中，，使得，即，
即存在，使得，
所以函数在区间上也具有性质，
综上所述，函数在区间上具有性质
【解析】若，则，显然函数在区间上具有性质
由题意，存在，使得，由三角函数的性质可得，又因为且，从而求出的取值范围．
设，，则有，，，，，，，，以上各式相加得，再对其中是否有为的数，分情况讨论，结合性质的定义，即可证得函数在区间上具有性质
本题主要考查了新定义问题，考查了函数性质的应用，同时考查了学生分析问题和转化问题的能力，是中档题．
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