抢分模拟卷02
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A．（0，ln3） B．（－1，ln3） C．（0，1] D．[－3，ln3）
【答案】C
【详解】由，即，解得，
所以，
又，所以．
故选：C．
2．已知，且，则是的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】若，符合，但此时，不满足充分性，
若，符合，但是，不满足必要性.
故选：D
3．的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
，
故选：A．
4．如图，已知AB是圆的直径，是圆上一点，，点是线段BC上的动点，且的面积记为，圆的面积记为，当取得最大值时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意可知：，以为坐标原点建立平面直角坐标系，
不妨设，则，
可知直线对应的一次函数解析式为，可设，
可得，
则，且，
因为开口向上，对称轴为，
且，可知当时，即点与点重合时，取到最大值，
此时，且，所以.
故选：A.
5．在的展开式中，含项的系数是（ ）
A．16 B．19 C．21 D．24
【答案】B
【详解】因为展开式的通项为，
所以的展开式中含项为，
所以展开式中含项的系数是.故选：B
6．早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径．假设一种理想状态：地球E和某小行星M绕太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置如图所示．地球在位置时，测出；行星M绕太阳运动一周回到原来位置，地球运动到了位置，测出，．若地球的轨道半径为R，则下列选项中与行星M的轨道半径最接近的是（参考数据：）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】连接，在中，，又，则是正三角形，，
由，，得，，
在中，，由正弦定理得，则，
在中，由余弦定理得.
故选：A
7．已知椭圆（）的左、右焦点为、，圆与的一个交点为，直线与的另一个交点为，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意知，圆过椭圆的两个焦点，
因为为圆与椭圆的交点，所以，
因为，
设，可得，，
所以，所以，
在中，，
即，解得或，
解得或（舍去），
此时点为椭圆短轴的顶点，
又，解得（负值舍去），
且，，
在中，由余弦定理可得，
整理可得，所以．故选：B．
8．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦-曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路．下图展示了如何按照图①的分形规律生长成一个图②的树形图，则在图②中第2023行的黑心圈的个数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】设题图②中第行白心圈的个数为，黑心圈的个数为，
依题意可得，且有，
故有，
所以是以为首项，3为公比的等比数列，
为常数数列，且，
所以是以为首项，1为公比的等比数列，
故故所以.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若复数z 满足（i为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．
B．z的虚部为
C．
D．若复数ω满足，则的最大值为
【答案】AC
【详解】对于A，因为，
所以，
所以，A正确；
对于B，由上可知，z 的虚部为，故B错误，
对于C，因为，所以，故C正确；
对于D，记复数对应的点为，复数对应的点为，
则由可得，即点在以B为圆心，1为半径的圆上，
所以，的最大值为，即的最大值为，D错误.
故选：AC
10．下列说法中，正确的是（ ）
A．设有一个经验回归方程为，变量增加1个单位时，平均增加2个单位
B．已知随机变量，若，则
C．两组样本数据和.若已知且，则
D．已知一系列样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则
【答案】BC
【详解】若有一个经验回归方程，随着的增大，会减小，A错误；
曲线关于对称，因为，所以，
所以，B正确；
因为，
所以，
故，C正确；
经验回归方程为，且样本点与的残差相等，
则，所以，D错误.
故选：BC.
11．孔明锁是中国古代传统益智游戏.左下图即是一个孔明锁.其形状可视为右下图所示的一个几何体：如图，三个轴线相互垂直的长方体的公共部分为一个棱长为1的立方体，且，，，，为其表面上的一个动点，球为能够使该几何体在其内能够自由转动的最小球体.其中为球上的一个动点，以下说法正确的是（ ）
A．最大值为.
B．若在公共正方体的外接球上，那么其轨迹长度为
C．
D．若满足，则的轨迹长度为 注：表示椭圆的周长大小
【答案】BD
【详解】
根据题目条件可知，球为该几何体的外接球，其半径.
对于A，由于当位于长方体的某个顶点，而位于其对径点处时，
有，故A错误；
对于B，由于公共正方体的外接球和几何体的交线是公共正方体的个面各自的外接圆，
这些圆的半径都是，所以其轨迹长度为，故B正确；
对于C，设到平面的距离为，由于点都在球上，所以，
从而到平面的距离的取值范围是，再记的面积为，
则的取值范围是，从而不等式并不一定成立，故C错误；
对于D，由，可知此时的轨迹分为以下几个部分：
①两个同时包含两点（且位于一条边上）的面和上都各有两段轨迹，
两个同时包含两点（位于一组对边上）的面和上都各有一段轨迹，
这些轨迹都是椭圆的一部分，且可以拼成一个完整的椭圆，其半长轴为，半焦距为（从而半短轴为）；
②四个恰包含两点中的一点的面上都各有一段轨迹，
每段轨迹都是一个圆的，对应圆的半径满足，
解得，从而圆弧部分的总长度为，
所以的轨迹长度为，故D正确.
故选：BD.
第II卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．2024年春耕期间，某农业局将含甲 乙在内的6位农业干部分配到3个村庄去指导农民春耕，要求每人只去1个村庄，每个村庄至少有1人前去，且甲 乙不分配到同一个村庄，则不同的分配方法共有 种.（用数字作答）
【答案】390
【详解】①6人分成的形式，则共有种分组方式，
若甲 乙同组，则还需选择两人成组，共有种选法，故共有种分组方式；
②6人分成的形式，则共有种分组方式，
其中甲 乙同组，剩下四人还可以分为的形式，共有种分法，
或者分为的形式，共有种分法，故共有种分组方式；
③6人分成的形式，共有种分组方式，
其中甲 乙同组，剩下四人还可以分为的形式，
所以共有种分组方式，故共有种分组方式.
综上，共有种分组方式，所以共有种分配方法.
故答案为：390.
13．已知数列满足，，，数列的前项和为，则 ．
【答案】3
【详解】，，，
故数列的奇数项构成以1为首项、2为公比的等比数列，偶数项构成以2为首项、2为公比的等比数列，
则，，
故，故．
故答案为：.
14．在区间的两端存在两只兔子，在区间的内部标出了一些点，兔子可以经过标点沿区间跳动，并且其跳动之前与其跳动之后的位置关于所经过的标点相对称，而且只允许进行不越出区间的跳动，每只兔子都不依赖于另一只兔子或进行跳动或停止行动.若使两只兔子就一定可以位于标点所分出的同一个小区间，最少能跳 次.
【答案】2
【详解】把区间中由标出点所分成的小区间称为小段.
如图：
易看出，如果所标出的点为，，，则两只兔子不可能一步就跳到同一个小段中.
下面证明，不论有多少个标出点，也不论它们如何分布，两只兔子都各至多需要两步就能跳到同一个小段中，确切地说，要证明它们各至多需要两步就能都跳到最长的小段中.利用对称性，只需对开始时位于区间左端点处的兔子A证明这一结论.
设最长小段的长度为，它的左端点为（如果长度为的小段多于一个，则考察它们中的任意一个）.
如果，如图：
则兔子A只需越过分点，直接到达小段之中，一步即可（如果，则兔子A本来就在小段之中，无需跳动）.
如果，如图：
在长度为的区间中至少包含一个标出点，因若不然，包含这个区间的小段的长度就大于，导致矛盾.兔子A越过标出点，落到点；如果点不在小段中，则兔子A再跳一次，越过标出点，落入小段中，一共不多于两步.
故答案为：2
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知在△中，内角的对边分别为，且．
(1)若为边上的高线，求的最大值；
(2)已知为上的中线，的平分线交于点，且，求△的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）方法一：由余弦定理得
，
所以（当且仅当时取等号）．
又因为，
所以．
故的最大值为.
方法二：由知，点A在的优弧上运动（如图所示）．
显然，当点A在的中垂线上时，即点位于点处时，边上的高最大．
此时△为等腰三角形，
又，故△为正三角形，
根据得．故的最大值为.
（2）方法一：因为，
所以，
所以，
即．
由正弦定理得，
结合（1）可得，所以，
所以．
因为平分，所以，
所以．
又因为是边上的中线，所以，
所以．
方法二：同方法一可得．
又因为，所以△是以角为直角的直角三角形．
由于平分是边的中线，且
所以，
所以，
所以，
所以，
所以．
方法三：由得，
则．
又因为，所以．
由是角平分线知，
在中易得，
又因为，所以，
所以．
16．第24届哈尔滨冰雪大世界开园后，为了了解进园游客对本届冰雪大世界的满意度，从进园游客中随机抽取50人进行调查并统计其满意度评分，制成频率分布直方图如图所示，其中满意度评分在的游客人数为18．
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)从抽取的50名游客中满意度评分在及的游客中用分层抽样的方法抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求2人中恰有1人的满意度评分在的概率．
【答案】(1)，
(2)．
【详解】（1）由题知，，
，解得．
（2）由题知，抽取的50名游客中满意度评分在的人数为，
满意度评分在的人数为，
抽取的5人中，满意度评分在的人数为2，设为，满意度评分在的人数为3，设为，
从5人中随机抽取2人的不同取法为，，共有10种不同取法，
设“2人中恰有1人的满意度评分在”为事件，
则事件包含的取法为，，共有6种不同取法．
．
17．如图所示，用一个不平行于圆柱底面的平面，截该圆柱所得的截面为椭圆面，得到的几何体称之为“斜截圆柱”.图一与图二是完全相同的“斜截圆柱”，AB是底面圆的直径，，椭圆所在平面垂直于平面ABCD，且与底面所成二面角为，图一中，点是椭圆上的动点，点在底面上的投影为点，图二中，椭圆上的点在底面上的投影分别为，且均在直径AB的同一侧.
(1)当时，求的长度；
(2)（i）当时，若图二中，点将半圆均分成7等份，求；
（ii）证明:.
【答案】(1)；
(2)（i） ；（ii）证明见解析
【详解】（1）
如图，取CD中点，过作与该斜截圆柱的底面平行的平面，交DA于点，交BC延长线于点，与交于点，
因则，，过作GH的垂线，交圆于J、K两
点.
过作交JK于点，又由圆M，因圆M,则,又因 ,故平面 ,
因平面,故 ，所以为椭圆面与圆所在平面的夹角，也即椭圆面与底面所成角，
所以.则为等腰直角三角形，.
设，如图作圆所在平面的俯视图，则，
由，所以，则有，所以，
所以，当时，;
（2）（i）时，，
所以，…
所以
（ⅱ）
证明：由（1）知，也即是关于的函数，
也即将斜截圆柱的侧面沿着AD展开，其椭圆面的轮廓线即为函数的图象，
如图，将绘制于函数图象上，
并以，（）为边作矩形，则矩形的面积即为，
所以即为这些矩形的面积之和.
而两个该斜截圆柱可拼成一个底面半径为1，高为4的圆柱，
因此该斜截圆柱的侧面积为，
所以函数与坐标轴围成的面积为，
又因为无论点是否均匀分布在半圆弧AB上，
这些矩形的面积之和都小于函数与坐标轴围成的面积.
所以，得证.
18．已知函数．
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，讨论的极值；
(2)若是的两个不同的零点，求证：．
【答案】(1)有极大值，无极小值．
(2)证明见解析
【详解】（1）由求导得：，
当时，，
根据导数的几何意义求知曲线在点处的切线斜率为，
因为该切线与直线垂直，由斜率之积为得：，
解得，所以，
因为的定义域为，所以由可解得（舍去）或，
即当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
即有极大值，无极小值．
（2）因为是的两个不同的零点，
所以，，
两式相减可得，故，
，
不妨设，则， 根据上式可知，
要证，只需证明，即证．
设，
则，
在上单调递减，，
故．
19．约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数.设正整数共有个正约数，即为.
(1)当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；
(2)当时，若构成等比数列，求正整数；
(3)记，求证：.
【答案】(1)8
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）当时,正整数的4个正约数构成等比数列，
比如为8的所有正约数，即.
（2）由题意可知，，
因为，题意可知，所以，
化简可得，所以，
因为，所以，
因此可知是完全平方数.
由于是整数的最小非1因子，是的因子，且，所以，
所以为，
所以.
（3）由题意知，，
所以，
因为，
所以
，
因为，，所以，
所以，即.抢分模拟卷02
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A．（0，ln3） B．（－1，ln3） C．（0，1] D．[－3，ln3）
2．已知，且，则是的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知AB是圆的直径，是圆上一点，，点是线段BC上的动点，且的面积记为，圆的面积记为，当取得最大值时，（ ）
A． B． C． D．
5．在的展开式中，含项的系数是（ ）
A．16 B．19 C．21 D．24
6．早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径．假设一种理想状态：地球E和某小行星M绕太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置如图所示．地球在位置时，测出；行星M绕太阳运动一周回到原来位置，地球运动到了位置，测出，．若地球的轨道半径为R，则下列选项中与行星M的轨道半径最接近的是（参考数据：）（ ）
A． B． C． D．
7．已知椭圆（）的左、右焦点为、，圆与的一个交点为，直线与的另一个交点为，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦-曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路．下图展示了如何按照图①的分形规律生长成一个图②的树形图，则在图②中第2023行的黑心圈的个数是（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若复数z 满足（i为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．
B．z的虚部为
C．
D．若复数ω满足，则的最大值为
10．下列说法中，正确的是（ ）
A．设有一个经验回归方程为，变量增加1个单位时，平均增加2个单位
B．已知随机变量，若，则
C．两组样本数据和.若已知且，则
D．已知一系列样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则
11．孔明锁是中国古代传统益智游戏.左下图即是一个孔明锁.其形状可视为右下图所示的一个几何体：如图，三个轴线相互垂直的长方体的公共部分为一个棱长为1的立方体，且，，，，为其表面上的一个动点，球为能够使该几何体在其内能够自由转动的最小球体.其中为球上的一个动点，以下说法正确的是（ ）
A．最大值为.
B．若在公共正方体的外接球上，那么其轨迹长度为
C．
D．若满足，则的轨迹长度为 注：表示椭圆的周长大小
第II卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．2024年春耕期间，某农业局将含甲 乙在内的6位农业干部分配到3个村庄去指导农民春耕，要求每人只去1个村庄，每个村庄至少有1人前去，且甲 乙不分配到同一个村庄，则不同的分配方法共有 种.（用数字作答）
13．已知数列满足，，，数列的前项和为，则 ．
14．在区间的两端存在两只兔子，在区间的内部标出了一些点，兔子可以经过标点沿区间跳动，并且其跳动之前与其跳动之后的位置关于所经过的标点相对称，而且只允许进行不越出区间的跳动，每只兔子都不依赖于另一只兔子或进行跳动或停止行动.若使两只兔子就一定可以位于标点所分出的同
一个小区间，最少能跳 次.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知在△中，内角的对边分别为，且．
（1）若为边上的高线，求的最大值；
（2）已知为上的中线，的平分线交于点，且，求△的面积．
16．（15分）第24届哈尔滨冰雪大世界开园后，为了了解进园游客对本届冰雪大世界的满意度，从进园游客中随机抽取50人进行调查并统计其满意度评分，制成频率分布直方图如图所示，其中满意度评分在的游客人数为18．
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）从抽取的50名游客中满意度评分在及的游客中用分层抽样的方法抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求2人中恰有1人的满意度评分在的概率．
17．（15分）如图所示，用一个不平行于圆柱底面的平面，截该圆柱所得的截面为椭圆面，得到的几何体称之为“斜截圆柱”.图一与图二是完全相同的“斜截圆柱”，AB是底面圆的直径，，椭圆所在平面垂直于平面ABCD，且与底面所成二面角为，图一中，点是椭圆上的动点，点在底面上的投影为点，图二中，椭圆上的点在底面上的投影分别为，且均在直径AB的同一侧.
（1）当时，求的长度；
（2）（i）当时，若图二中，点将半圆均分成7等份，求；
（ii）证明:.
18．（17分）已知函数．
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，讨论的极值；
（2）若是的两个不同的零点，求证：．
19．（17分）约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数.设正整数共有个正约数，即为.
（1）当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；
（2）当时，若构成等比数列，求正整数；
（3）记，求证：.
