2024北京顺义一中高二（下）期中数学（pdf版，无答案）

顺义一中 2023-2024 学年度第二学期高二年级期中考试
数学试卷
本试卷共 4页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡交回。
一．选择题（本大题共 10 小题，共 40.0 分）
1．A24 C
3
4 （ ）
A．6 B．8 C．12 D．20
1
2．已知离散型随机变量 X 的分布列为 P X i i 1,2,3,4 ，则 P X 2 （ ）
4
1 1 3A． B． 2 C． D．14 4
3．下列求导运算中错误的是（ ）

A． (3x ) 3x ln 3 B ln x 1 ln x．
x x 2

C 1 1． x 1 D． (sin x cos x) cos 2x
x x 2
4．已知某生物技术公司研制出一种新药，并进行了临床试验，该临床试验的成功概率是失败概率的 2
倍.若记一次试验中成功的次数为 X，则随机变量 X的数学期望为（ ）
2 1 1 1A． 3 B． 2 C． D．3 6
5．8名学生和 2位老师站成一排照相，2位老师不相邻且不在两端的排法种数为（ ）
A 2．A8A
2
9 B．A
8 2
8C9 C A
8A2 8 2． 8 7 D．A8C7
6．现从 3名男同学和 2名女同学中选取两人加入“数学兴趣小组”，用 A表示事件“抽到两名同学性别
相同”，B表示事件“抽到两名女同学”，则在已知A事件发生的情况下 B事件发生的概率即 P B A （ ）
1 1 2
A． B． C． D 1．
4 3 5 2
7 10．已知 x 1 a0 a1x a 2 102x a10x ，则 a1 a2 a10 （ ）
A． 10 B．101 C．1 D． 1
8．已知函数 f x 和 g x 的导函数 f x g x 图象分别如图所示，则关于
函数 y g(x) f (x)的判断正确的是（ ）
A．有 3个极大值点 B．有 3个极小值点
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C．有 1个极大值点和 2个极小值点
D．有 2个极大值点和 1个极小值点
9．已知数列 an 的前 n项和 Sn n2 10n n 1,2,3,L ，下列判断中正确的是（ ）
A． a5 0 B．数列 an 是单调递减数列
C．数列 an 前n项的乘积有最大值 D．数列 an 前 n项的乘积有最小值
10．已知函数 f (x) e x 1n(x 3) ,则下面对函数 f (x)的描述正确的是（ ）
A． x ( 3, ), f (x)
1 1
B． x ( 3, ), f (x)
3 2
C． x0 ( 3, ), f (x0 ) 1 D． f (x)min (0,1)
二．填空题（本大题共 5 小题，共 25.0 分）
11 x2 2
3

．在 的展开式中，常数项为 .（用数字作答）
x
7
12．已知随机变量 X 的分布列如下，且 E X ：
6
则 p ；a .
13．哥德巴赫猜想描述为：任何不小于 4的偶数，都可以写成两个质数之和．（质数是指在大于1的自
然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数）．在不超过17的质数中，随机选取两个不同的
数，其和为奇数取法有 种．
14．若 f (x) x2 a ln x在[1,3]上是单调递增的，则 a的取值范围是 .
15．设随机变量 的分布列如右：
给出下列四个结论：
①当 a 1n 为等差数列时， a5 a6 ；5
②当 a 1n 为等差数列时，公差0 d ；45
③当数列 an
1 1
满足 an n n 1, 2, ,9 时， a2 10 ；29
11
④当数列 an 满足时， P k k 2ak k 1,2, 10 时， an 10n n 1 .
其中所有正确结论的序号是 .
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三、解答题（本大题共 6 小题，共 85.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
n
16 ( 14.0 ) 2x 1 ． 本小题 分 在已知 的展开式中各项的二项式系数之和为 32．
x
(1)求 n；
(2)求展开式各项系数之和；
(3)求展开式中二项式系数取得最大值的项．
17．(本小题 14.0 分)某中学羽毛球兴趣小组有甲、乙、丙三位组员，在单打比赛中，没有平局，且甲
赢乙的概率为 0.5，甲赢丙的概率为 0.6．甲想挑战乙和丙．于是甲和乙、丙两位组员各自进行了一场
比赛．
(1)若甲两场比赛都赢了，则挑战成功，求甲挑战成功的概率；
(2)设甲赢的场数为随机变量 X，求 X的分布列及数学期望．
18．(本小题 14.0 分)在公差不为 0的等差数列 an 中， a4 5，且 a2，a3， a6成等比数列．
(1)求 an 的通项公式和前 n 项和 Sn；
1
(2)设bn a a ，求数列 bn 的前 n项和Tn．n n 1
19．(本小题 14.0 分)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，对该流水线上的产品进行简
单随机抽样，获得数据如下表：
分组区间(单位：克) (490,495] (495,500] (500,505] (505,510] (510,515]
产品件数 3 4 7 5 1
包装质量在 (495,510]克的产品为一等品，其余为二等品
（1）估计从该流水线任取一件产品为一等品的概率；
（2）从上述抽取的样本产品中任取 2件，设 X为一等品的产品数量，求 X的分布列；
（3）从该流水线上任取 2件产品，设 Y为一等品的产品数量，求 Y的分布列；
试比较期望 EX 与期望 EY 的大小.
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20．（本小题 15.0 分)已知函数 f (x) ex ax 1(a R) .
(1)求曲线 y f (x)在点 (0, f (0)) 处的切线方程；
(2)讨论函数 f (x)的单调性；
(3)判断 e0.01与 1.01的大小关系，并说明理由.
21．(本小题 14.0 分)正实数构成的集合 A a1,a2 , ,an (n 2)，定义 A A ai a∣j ai ,a j A，且
i j n(n 1).当集合 A A中的元素恰有 个数时，称集合 A具有性质 .
2
(1)判断集合 A1 {1, 2, 4}, A2 {1, 2, 4,5}是否具有性质 ；
(2)设集合B 1,3, p,q ( p,q N,且3 p q)具有性质 ，若 B B中的所有元素能构成等差数列，求
p,q的值；
(3)若集合 A具有性质 ，且 A A中的所有元素能构成等差数列.问：集合 A中的元素个数是否存在最
大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.
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