北师大版数学九年级上册第二章 一元二次方程 综合素质评价（含答案）

第二章综合素质评价
一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是(　　)
A．2(x2＋2x)＝2x2－1 B．ax2＋bx＋c＝0
C．(x＋1)2＝2x＋1 D．＋x＋1＝0
2．如果关于x的方程(x－9)2＝m＋4可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是(　　)
A．m＞3 B．m≥3 C．m＞－4 D．m≥－4
3．将一元二次方程2x2－6x＋1＝0配方，得(x＋h)2＝k，则h，k的值分别为(　　)
A．3、8 B．－3、8 C．、 D．－、
4．[2024北京海淀区月考]在下列方程中，有一个方程有两个实数根，且它们互为相反数，这个方程是(　　)
A．x－1＝0 B．x2＋x＝0 C．x2－1＝0 D．x2＋1＝0
5. 加快推动生态建设步伐，形成“城在林中、园在城中、山水相依、林路相随”的生态格局，市政府计划在某街心公园的一块矩形空地上修建草坪．如图，矩形长为40 m，宽为30 m，在矩形内的四周修筑同样宽的道路，余下的部分(图中阴影部分)铺上草坪．要使草坪的面积为816 m2，道路的宽度应为多少？设矩形地块四周道路的宽度为x m，根据题意，下列方程不正确的是(　　)
A．1 200－(80x＋60x－4x2)＝816 B．(40－x)(30－x)＝816
C．(40－2x)(30－2x)＝816 D．80x＋2x(30－2x)＝1 200－816
6．[2023威海统考]关于x的一元二次方程x2＋ax－6＝0的解为x1＝2，x2＝b，则代数式(2a＋b)2 023的值为(　　)
A．1 B．0 C．－1 D．52 023
7. 如图，四边形ABCD是边长为5的菱形，对角线AC，BD的长度分别是一元二次方程x2＋mx＋24＝0的两个实数根，DH是AB边上的高，则DH的长为(　　)
A．1.2 B．2.4 C．3.6 D．4.8
8.设x1与x2为一元二次方程x2＋2tx－t2＝0的两根，则－x1x2＋x1＋x2＋2的最小值为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
9. 定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.4]＝－2，[－3]＝－3.函数y＝[x](－2≤x＜3)的图象如图所示，则方程[x]＝x2的解为x＝(　　)
A．0或或2 B．0或 C．1或－ D.或－
10．一元二次方程M：ax2＋bx＋c＝0；N：cx2＋bx＋a＝0，其中ac≠0，a≠c，给出以下四个结论：①若方程M有两个不相等的实数根，则方程N也有两个不相等的实数根；②若方程M的两根符号相同，则方程N的两根符号也相同；③若m是方程M的一个根，则是方程N的一个根；④若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根必是x＝1，其中正确的结论是(　　)
A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①③④
二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分)
11. 若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋6x＋k2－k＝0的一个根是0，则k的值是________．
12．若关于x的一元二次方程x2－6x＋k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．
13．一个两位数，其个位上的数与十位上的数的和等于6，而个位与十位上的数的积等于这两位数的三分之一，则这个两位数为________．
14. 《代数学》中记载，形如x2＋10x＝39的方程，求正数解的几何方法是：“如图①，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为39＋25＝64，则该方程的正数解为8－5＝3.”小聪按此方法解关于x的方程x2＋12x＋m＝0，构造图②，已知阴影部分的面积为60，则该方程的正数解为________．
15．[2024无锡期末]若方程x2－4 096 576＝0的两根为x1＝2 024， x2＝－2 024，则方程x2－2x－4 096 575＝0的两根为______________．
三、解答题(共7小题，共75分)
16．(8分)解方程：
(1)x2＋2x－3＝0；　　　　　　　　(2)3x(x－2)＝8－4x.
17．(8分)[2023廊坊安次区期末]如图，某学校有一块长32米、宽20米的矩形试验田，为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，要使种植面积为570平方米，则小道的宽为多少米？
18．(10分)在欧几里得的《几何原本》中，形如x2＋ax＝b2的一元 二次方程通过图解法能得到其中的一个正根：如图，先画Rt△ACB，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝，连接CD，那么图中某条线段的长就是一元二次方程的其中一个正根．
(1)用含a，b的代数式表示AD的长．
(2)图中哪条线段的长是一元二次方程x2＋ax＝b2的一个正根？请说明理由．
19．(10分)关于x的一元二次方程a(1－x2)－2bx＋c(1＋x2)＝0中，a，b，c是Rt△ABC的三条边，其中∠C＝90°.
(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个根是x1，x2，且x12＋x22＝12，求a：b：c.
20．(12分) 阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．材料：为解方程x4－x2－6＝0，可将方程变形为(x2)2－x2－6＝0，然后设x2＝y，则(x2)2＝y2，原方程化为y2－y－6＝0…①
解得y1＝－2，y2＝3，当y1＝－2时，x2＝－2无意义，舍去；
当y2＝3时，x2＝3，解得x＝±；
所以原方程的解为x1＝，x2＝－.
问题：(1)在原方程得到方程①的过程中，利用________法达到了降次的目的，体现了________的数学思想；
(2)利用以上学习到的方法解方程(x2＋5x＋1)(x2＋5x＋7)＝7.
21．(12分)某种商品的标价为200元/件，经过两次降价后的价格为162元/件，并且两次降价的百分率相同．
(1)求该种商品每次降价的百分率；
(2)若该种商品进价为156元/件，以200元/件的价格售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用150元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出 5件，如果每天盈利1 450元，每件应降价多少元？
22．(15分) 如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm.
(1)点P从点A开始沿AB边向B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经过几秒，△PBQ的面积等于8 cm2
(2)在(1)的基础上，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由．
(3)若点P沿射线AB方向从点A出发以1 cm/s的速度移动，同时点Q沿射线CB方向从C点出发以2 cm/s的速度移动，经过几秒，△PBQ的面积为1 cm2
INCLUDEPICTURE"章3.EPS" INCLUDEPICTURE \d "D:\\0\\初中\\24秋 典中点 9 数学 BS\\章3.EPS" \* MERGEFORMATINET 答案
一、1.C　2.D　3.D　4.C　5.B
6．C 【点拨】将x1＝2代入x2＋ax－6＝0，得22＋2a－6＝0，
解得a＝1，
∴关于x的一元二次方程为x2＋x－6＝0，
解得x1＝2，x2＝－3，即b＝－3.
将a＝1，b＝－3代入(2a＋b)2 023，
得(2a＋b)2 023＝[2×1＋(－3)]2 023＝(－1)2 023＝－1，
故选C.
7．B 【点拨】∵四边形ABCD是边长为5的菱形，DH是AB边上的高，
∴S菱形ABCD＝AC·BD＝AB·DH，AB＝5.
∴AC·BD＝5DH.
∵对角线AC，BD的长度分别是一元二次方程x2＋mx＋24＝0的两实数根，
∴AC·BD＝x1·x2＝＝24.
∴×24＝5DH.
∴DH＝＝2.4.
故选B.
8．A 【点拨】根据题意，得x1x2＝－t2，x1＋x2＝－2t，
则－x1x2＋x1＋x2＋2＝t2－2t＋2＝(t－1)2＋1.
∵(t－1)2≥0，
∴(t－1)2＋1≥1.
∴－x1x2＋x1＋x2＋2的最小值为1.
故选A.
9．A 【点拨】当2≤x<3时，x2＝2，
解得x1＝2，x2＝－2(舍去)；
当1≤x<2时，x2＝1，
解得x1＝，x2＝－(舍去)；
当0≤x<1时，x2＝0，解得x＝0；
当－1≤x<0时，x2＝－1，方程没有实数解；
当－2≤x<－1时，x2＝－2，方程没有实数解，
∴方程[x]＝x2的解为x＝0或x＝或x＝2.
故选A.
10．B 【点拨】∵M：ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2－4ac>0.
∵N：cx2＋bx＋a＝0的判别式为Δ＝b2－4ca＝b2－4ac>0，
∴方程N也有两个不相等的实数根，故①正确；
∵M：ax2＋bx＋c＝0的两根符号相同，
∴Δ＝b2－4ac≥0，>0.
∴Δ＝b2－4ac≥0, >0.
∴方程N的两根符号也相同，故②正确；
∵m是方程M：ax2＋bx＋c＝0的一个根，
∴am2＋bm＋c＝0.
∵＋b×＋a＝＝0，
∴是方程N的一个根，故③正确；
设方程M和方程N相同的根为x0，
根据题意，得ax02＋bx0＋c＝0，cx02＋bx0＋a＝0，
∴(a－c)x02＝a－c.
∵ac≠0，a≠c，
∴x02＝1，解得x0＝±1，
故这个根是x＝±1，故④错误；
故选B.
二、11.0　12.k＜9
13．24或15 【点拨】设个位上的数为x，
则十位上的数为(6－x)，
由题意得，x(6－x)＝[10(6－x)＋x]，
解得x1＝4，x2＝5.
∴十位上的数为6－4＝2或6－5＝1.
∴这个两位数是24或15.
14．4－6 【点拨】x2＋12x＋m＝0，
x2＋12x＝－m.
∵阴影部分的面积为60，
∴x2＋12x＝60.
设矩形的宽为a，∴4a＝12，则a＝3.
同理：先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为3x的矩形，得到大正方形的面积为60＋32×4＝60＋36＝96，则该方程的正数解为－6＝4－6.
15．x1＝2 025，x2＝－2 023 【点拨】x2－2x－4 096 575＝0，
则x2－2x＝4 096 575，
∴x2－2x＋1＝4 096 575＋1.
∴(x－1)2＝4 096 576.
∴x－1＝±2 024.
∴x1＝2 025，x2＝－2 023.
三、16.【解】(1)原方程变为(x＋3)(x－1)＝0，
∴x＋3＝0或x－1＝0.
∴x1＝－3，x2＝1.
(2)原方程变为3x(x－2)＋4(x－2)＝0，
∴(x－2)(3x＋4)＝0.
∴x－2＝0或3x＋4＝0.
∴x1＝2，x2＝－.
17．【解】设小道的宽为x米，则剩余部分可合成长为(32－2x)米，宽为(20－x)米的矩形，
根据题意得(32－2x)(20－x)＝570，
整理得x2－36x＋35＝0，
解得x1＝1，x2＝35(不符合题意，舍去)．
∴小道的宽为1米．
18．【解】(1)∵∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，
∴AB＝＝＝.
∴AD＝AB－BD＝－＝.
(2)线段AD的长是一元二次方程x2＋ax＝b2的一个正根．理由如下：
设AD＝m，则AB＝AD＋BD＝m＋.
在Rt△ABC中，由勾股定理得b2＋＝，
整理，得m2＋am＝b2，
∴线段AD的长是一元二次方程x2＋ax＝b2的一个正根．
19．(1)【证明】关于x的一元二次方程a(1－x2)－2bx＋c(1＋x2)＝0去括号，整理为一般形式为(c－a)x2－2bx＋a＋c＝0，
∴Δ＝(－2b)2－4(a＋c)(c－a)＝4(2b2＋a2－c2)．
∵a，b，c是Rt△ABC的三条边，其中∠C＝90°，
∴b2＋a2－c2＝0.
∴2b2＋a2－c2＞0.
∴Δ＝4(2b2＋a2－c2)＞0.
∴此方程有两个不相等的实数根．
(2)【解】∵方程的两个根是x1，x2，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝.
∵x12＋x22＝12，
∴(x1＋x2)2－2x1x2＝12，即－＝12.
∵b2＝c2－a2，∴－＝12.
∴－＝12.
∴＝12.
∴c＋a＝2c－2a.
∴3a＝c.
∴b2＝8a2.
∴b＝2a.
∴a：b：c＝1：2：3.
20．【解】(1)换元；化归
(2)令y＝x2＋5x，
则原方程化为(y＋1)(y＋7)＝7，
整理，得y2＋8y＝0，
解得y1＝0，y2＝－8.
当y＝0时，x2＋5x＝0，
解得x1＝0，x2＝－5；
当y＝－8时，x2＋5x＝－8，即x2＋5x＋8＝0.
∵Δ＝52－4×1×8＝－7＜0，
∴此方程无实数解．
综上，方程(x2＋5x＋1)(x2＋5x＋7)＝7的解
为x1＝0，x2＝－5.
21．【解】(1)设该种商品每次降价的百分率为x，
依题意，得200(1－x)2＝162，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不合题意，舍去)．
∴该种商品每次降价的百分率为10%.
(2)设每件商品应降价y元，根据题意，得
(200－156－y)(20＋5y)－150＝1 450，
解方程得y1＝4，y2＝36.
∵降价幅度不超过10元，
∴y＝36不合题意，舍去．
∴每件应降价4元．
22．【解】(1)设经过x s，△PBQ的面积等于8 cm2，依题意，
得AP＝x cm，BQ＝2x cm，∴BP＝(6－x)cm.
∴(6－x)·2x＝8，
解得x1＝2，x2＝4，
经检验，x1，x2均符合题意．
故经过2 s或4 s，△PBQ的面积等于8 cm2.
(2)线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分，
理由如下：
假设经过y s，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分，依题意，得△ABC的面积＝×6×8＝24(cm2)，
易得(6－y)·2y＝24×，
整理，得y2－6y＋12＝0.
∵Δ＝b2－4ac＝36－4×12＝－12＜0，
∴此方程无实数根．
∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分．
(3)①点P在线段AB上，点Q在线段CB上．
设经过m s，依题意易得
(6－m)(8－2m)＝1(0＜m≤4)，
整理，得m2－10m＋23＝0，
解得m1＝5＋，m2＝5－.
经检验，m1＝5＋不符合题意，舍去，
∴m＝5－；
②点P在线段AB上，点Q在射线CB上(B点下边)，
设经过n s，依题意易得
(6－n)(2n－8)＝1(4＜n≤6)，
整理，得n2－10n＋25＝0，
解得n1＝n2＝5，
经检验，n＝5符合题意；
③点P在射线AB上(B点右边)，点Q在射线CB上(B点下边)，设经过k s，依题意易得
(k－6)(2k－8)＝1(k＞6)，
整理，得k2－10k＋23＝0，
解得k1＝5＋，k2＝5－，
经检验，k2＝5－不符合题意，舍去，
∴k＝5＋.
综上所述，经过(5－)s或5 s或(5＋)s，
△PBQ的面积为1 cm2.