北师大版数学九年级上册第六章 反比例函数综合素质评价（含答案）

第六章综合素质评价
一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)
1．已知反比例函数y＝，则下列描述正确的是(　　)
A．图象位于第二、四象限内 B．图象必经过点
C．图象必经过点 D．y随x的增大而减小
2．已知反比例函数y＝(k≠0)的图象经过点(2，3)，那么该反比例函数的图象也一定经过点(　　)
A．(3，2) B．(1，4) C． D．(2，－3)
3．[2023济南]已知点A(－4，y1)，B(－2，y2)，C(3，y3)都在反比例函数y＝(k＜0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为(　　)
A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
4．已知甲、乙两地相距40千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间t(单位：小时)关于行驶速度v(单位：千米/小时)的函数关系式是(　　)
A．t＝40v B．t＝ C．t＝ D．t＝
5. 阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为1 200 N和 0.5 m，则这一杠杆的动力F和动力臂l之间的函数图象大致是(　　)
6．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，AC平行于x轴，点B，C的横坐标都是3，BC＝2，点D在AC上，且其横坐标为1，若反比例函数y＝(x＞0)的图象经过点B，D，则k的值是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．
7．[2023成都郫都区期中]若ab＜0，则正比例函数y＝ax与反比例函数y＝在同一坐标系中的图象可能是图中的(　　)
8．[2024石家庄藁城区二模]已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在反比例函数y＝的图象上，当x1＜x2＜0时，y1＞y2，则m的取值范围为(　　)
A．m＞ B．m＜ C．m＞ D．m＜
9．[2024济宁任城区期末]如图，在平面直角坐标系中，△AOB的面积为，BA垂直x轴于点A，OB与双曲线y＝相交于点C，且BC：OC＝1：2，则k的值为(　　)
A．－3 B．－ C．3 D．
10. 一款简易电子秤的工作原理：一个装有踏板(踏板质量忽略不计)的可变电阻R2，R2与踏板上人的质量m之间的函数关系式为 R2＝－2m＋240(0≤m≤120)，其图象如图①所示；图②的电路中，电源电压恒为12 V，定值电阻R1的阻值为60 Ω，接通开关，人站上踏板，电流表显示的读数为I A，该读数可以换算为人的质量m，电流表量程为0～0.2 A(温馨提示：导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I＝)，则下面结论错误的为(　　)
A．用含I的代数式表示m为m＝150－
B．电子秤可称的最大质量为120 kg
C．当m＝115 kg时，若电源电压U为12 V，则定值电阻R1最小为70 Ω
D．当m＝115 kg时，若定值电阻R1为40 Ω，则电源电压U最大为10 V
二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分)
11．若y是x的反比例函数，且x＝2时，y＝7，则y与x之间的函数关系式是y＝________．
12．已知反比例函数y＝，当x＞3时，y的取值范围是________．
13.在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p(kPa)与汽缸内气体的体积V(mL)成反比例关系，p关于V的函数图象如图所示．若压强由75 kPa加压到100 kPa，则气体体积压缩了________mL.
14．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，点A(1，0)，点C(0，5)，反比例函数y＝的图象经过点B，则k的值为________．
15．[2023菏泽开发区一模]如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5，过点A1，A2，A3，A4，A5分别作x轴的垂线与反比例函数y＝(x≠0)的图象相交于点P1，P2，P3，P4，P5，得Rt△OP1A1，Rt△A1P2A2，Rt△A2P3A3，Rt△A3P4A4，Rt△A4P5A5，并设其面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，则S2 024＝________．
三、解答题(共5小题，共75分)
16．(12分)已知y＝y1＋y2，y1与x成反比例，y2与(x－2)成正比例，并且当x＝3时，y＝5；当x＝1时，y＝－1，求y与x之间的函数表达式．
17．(14分)为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏法进行消毒，已知药物燃烧时，室内空气中的含药量y(毫克/立方米)与药物点燃后的时间x(分钟)满足函数关系式y＝2x，药物点燃6分钟后燃尽，药物燃尽后，校医每隔6分钟测一次空气中的含药量，测得数据如下表：
药物点燃后的时间x/分钟 6 12 18 24
空气中的含药量y/(毫克/立方米) 12 6 4 3
(1)在如图所示的平面直角坐标系中描出以表格中数据为坐标的各点；
(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一个反比例函数的图象上，如果在同一个反比例函数的图象上，求出这个反比例函数图象所对应的函数表达式；如果不在同一个反比例函数的图象上，请说明理由；
(3) 研究表明：空气中每立方米的含药量不低于8毫克，且持续 4分钟以上才能有效杀灭空气中的病菌，应用上述发现的规律估算此次消毒能否有效杀灭空气中的病菌．
18．(14分)[2023枣庄]如图，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y＝的图象交于A(m，1)，B(－2，n)两点．
(1)求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出这个 一次函数的图象；
(2)观察图象，直接写出不等式kx＋b＜的解集；
(3)设直线AB与x轴交于点C，若P(0，a)为y轴上的一动点，连接AP，CP，当△APC的面积为时，求点P的坐标．
19．(16分)[2023泰州海陵区二模]反比例函数y1＝，y2＝(n＜0)的图象如图所示，P为x轴上不与原点重合的一动点，过点P作AB∥y轴，分别与y1，y2的图象交于A，B两点．
(1)当n＝－10时，求S△OAB；
(2)延长BA到点D，使得DA＝AB，求在点P的整个运动过程中，点D所形成的函数图象的表达式(用含有n的代数式表示)．
20．(19分)[2023盐城盐都区二模]盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是2米与3米，若把这块矩形布料按照如图①的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形布料的一边加长a米，另一边加长b米，可得a与b之间的函数关系式为b＝－2.某校“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数y＝－2，现对这个函数的图象和性质进行探究，探究过程如下：
(1)如图②，在平面直角坐标系xOy中，请用描点法画出y＝－2的图象，并完成如下问题：
①函数y＝－2的图象可由函数y＝的图象(如图)向左平移______个单位长度，再向下平移______个单位长度得到，其对称中心的坐标为________；
②根据该函数图象指出，当x在什么范围内变化时，y≥－1
(2)若要使面积扩大到原来的2倍后这块布料的周长最小，请你帮助该校“数学兴趣小组”设计出符合要求的方案．
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答案
一、1.C　2.A　3.C　4.C　5.B　6.C　7.B　8.D
9．A 【点拨】如图，过点C作CD⊥x轴于点D.
∵＝，∴＝.
∵BA⊥x轴，CD⊥x轴，
∴CD∥AB.
∴易得△DOC∽△AOB.
∴＝＝＝.
又∵S△AOB＝，
∴S△DOC＝S△AOB＝×＝.∵双曲线y＝在第二象限内，∴k＝－＝－3.故选A.
10．C 【点拨】由题意得I＝＝＝，变形得m＝150－，
∴A选项正确，不符合题意．
由m＝150－得m随I的增大而增大．
∵0≤I≤0.2，∴当I＝0.2时，m取得最大值120.
∴B选项正确，不符合题意．
当m＝115时，R2＝10.
∴当U＝12时，I＝＝.
∵12＞0，∴I随R1的增大而减小．
又∵0≤I≤0.2，
∴当I＝0.2时，R1取得最小值50.
∴C选项错误，符合题意．
∵当m＝115时，R2＝10，
∴U＝(R1＋R2)I＝(40＋10)I＝50I.
∵50＞0，∴U随I的增大而增大．
∵0≤I≤0.2，
∴当I＝0.2时，U的值最大，最大值为10.
∴D选项正确，不符合题意．故选C.
二、11.　12.0＜y＜2　13.20
14．9 【点拨】如图，过点B分别作BE⊥x轴于点E，BF⊥y轴于点F，则∠AEB＝∠CFB＝∠EBF＝90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°.
∴∠EBF＝∠ABC.
∴∠ABE＝∠CBF.
在△ABE和△CBF中，
∴△ABE≌△CBF(AAS)．
∴BE＝BF，AE＝CF.
∴易得四边形OEBF是正方形．
设正方形OEBF的边长为m.
∵点A(1，0)，点C(0，5)，∴OA＝1，OC＝5.
∴AE＝m－1，CF＝5－m.
∴m－1＝5－m.
∴m＝3.∴B(3，3)．
∵反比例函数y＝的图象经过点B，
∴k＝3×3＝9.
15. 【点拨】设OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5＝m，则P1，P2，P3，P4(4m，)，P5，
∴P1A1＝，P2A2＝，P3A3＝，P4A4＝，P5A5＝.
∴S1＝×m·＝1，S2＝×m·＝，
S3＝×m·＝，S4＝×m·＝，
S5＝×m·＝.
由此可得S2 024＝×m·＝.
三、16.【解】设y1＝(m≠0)，y2＝k(x－2)(k≠0)，
则y＝y1＋y2＝＋k(x－2)．
由题意得解得
∴y与x之间的函数表达式为y＝＋4(x－2)＝＋4x－8.
17．【解】(1)如图所示．
(2)观察各点的分布规律，易得它们在同一个反比例函数的图象上．
设反比例函数的表达式为y＝，
把点(6，12)的坐标代入，得k＝12×6＝72，
∴这个反比例函数的表达式为y＝.
(3)把y＝8代入y＝2x，得8＝2x，
∴x＝4.
把y＝8代入y＝，得＝8，∴x＝9.
∵9－4＝5(分钟)＞4分钟，
∴此次消毒能有效杀灭空气中的病菌．
18．【解】(1)∵反比例函数y＝的图象经过A(m，1)，B(－2，n)两点，
∴m＝4，n＝＝－2.
∴A(4，1)，B(－2，－2)．
将A(4，1)，B(－2，－2)的坐标分别代入y＝kx＋b，
得解得
∴一次函数的表达式为y＝x－1.该函数的图象如图所示．
(2)由图可得，不等式kx＋b＜的解集是x＜－2或0＜x＜4.
(3)设直线AB交y轴于点D，如图．
在y＝x－1中，当x＝0时，y＝－1，
∴D(0，－1)．
当y＝0时，x－1＝0，解得x＝2，
∴C(2，0)．∴OC＝2.
∵P(0，a)，D(0，－1)，
∴PD＝|a＋1|.
易证S△APC＝S△PDC.
∵S△APC＝，∴|a＋1|·2＝，
解得a＝或－.
∴点P的坐标为或.
19．【解】(1)当n＝－10时，y2＝－，
∴S△BOP＝×|－10|＝5.
∵点A在y1＝的图象上，
∴S△AOP＝×8＝4.
∴S△OAB＝S△BOP＋S△AOP＝9.
(2)设P(m，0)，则A，B，
∴AB＝＝AD，AP＝.
当m＞0时，AD＝，AP＝，
∴DP＝AD＋AP＝＋＝.∴D.
设x＝m，y＝，则xy＝16－n，
∴y＝，即点D所形成的函数图象的表达式为y＝；　
当m＜0时，AD＝，AP＝－.
同理可得y＝.
综上所述，点D所形成的函数图象的表达式为y＝.　
20．【解】(1)y＝－2的图象略．
①3；2；(－3，－2)
②当y＝－1时，－1＝－2，∴x＝9.
由图象可得，当－3＜x≤9时，y≥－1.
(2)面积扩大到原来的2倍后这块布料的周长＝2(a＋3)＋2(b＋2)＝2(a＋3)＋(米)．
∵2(a＋3)，都为正数，
∴≥0，
∴2(a＋3)＋－2≥0，
即2(a＋3)＋≥8.
故当2(a＋3)＝，即a＝2－3(负值已舍去)时，这块布料的周长最小，此时b＝2－2.
2－3＋3＝2(米)，
2－2＋2＝2(米)．故将原矩形布料的边长均扩大到2米时，这块布料的周长最小．