北师大版数学九年级上册第四章 图形的相似 综合素质评价（含答案）

第四章综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1．[2023金昌]若＝，则ab＝(　　)
A．6 B． C．1 D．
2．下列命题正确的是(　　)
A．有一个角对应相等的平行四边形都相似
B．对应边成比例的两个平行四边形相似
C．有一个角对应相等的两个等腰梯形相似
D．有一个角对应相等的菱形是相似多边形
3．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则AC的长为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
4．如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上，若线段AB＝4，则线段BC的长为(　　)
A．6 B．8 C．10 D．12
5．如图，由下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是(　　)
A．＝ B．∠B＝∠ADE C．＝ D．∠C＝∠AED
6．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC.在图中的三角形中，两两相似的三角形对数为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，2)，B(4，1)，以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大，则点A的对应点A′的坐标是(　　)
A．(1，1) B．(4，4)或(8，2)
C．(4，4) D．(4，4)或(－4，－4)
8．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，AC与BD相交于点E，连接AB，CD，则△ABE与△CDE的周长比为(　　)
A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1
9．如图是一张矩形纸片ABCD，点E为AD中点，点F在BC上，把该纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，A′E与BC相交于点G，B′A′的延长线过点C.若＝，则的值为(　　)
A．2 B． C． D．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ACC1B1，使矩形ACC1B1∽矩形ADCB；再连接AC1，以对角线AC1为边，按逆时针方向作矩形AC1C2B2，使矩形AC1C2B2∽矩形ACC1B1，…，按照此规律作下去，则边AC2 024的长为(　　)
A．× B．2× C．×22 024 D．×
二、填空题(每题3分，共15分)
11．[2024汉中汉台区期中]如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，则∠D′的度数为________．
12．[2022北京]如图，在矩形ABCD中，若AB＝3，AC＝5，＝，则AE的长为________．
13．[2024台州椒江区期中]顶角为36°的等腰三角形我们把这种三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为黄金比，如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，若CD＝1，则AC的长为________．
14．[2023北京海淀区一模]综合实践课上，小宇设计用光学原理来测量公园假山的高度．如图，把一面镜子放在与假山AC距离为 21米的B处，然后沿着射线CB后退到点E，这时恰好在镜子里看到山顶A，利用皮尺测量BE＝2.4米，若小宇的眼睛到地面的距离是1.6米，则假山AC的高度为________米．(结果保留整数)
15．如图，D为Rt△ABC斜边AB的中点，连接CD，过点D作 DE⊥CD交BC于E，若BE＝2，AC＝5，则CE＝________．
三、解答题(共6小题，共75分)
16．(10分)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O(0，0)，A(4，0)，B(6，4)，C(0，6)，将其各顶点的横、纵坐标均缩小为原来的，画出得到的四边形．并判断这两个四边形是位似图形吗？若是，位似比是多少？
17．(12分)如图，△ABC中，BC＝24 cm，高AD＝12 cm，矩形EFGH的两个顶点E，F在BC上，另两个顶点G，H分别在AC，AB上，且EF：EH＝4：3，求矩形EFGH的面积．
18．(12分)[2023湘潭雨湖区三模]如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F.
(1)求证：△EDC∽△DAF；
(2)若AB＝3，AD＝2，当点E为BC的中点时，求线段EF的长度．
19．(12分)[2024西安灞桥区三模]大雁塔是现存最早规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，被国务院批准列入第一批全国重点文物保护单位，某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，古塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝ 1.28米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，古塔的塔尖点B正好在同一直线上(点F，点G，点E，点C与古塔底处的点A在同一直线上)，这时测得FG＝1.92米，CG＝20米，请你根据以上数据，计算古塔的高度AB.
20．(14分)如图，在△ABC中，BA＝BC＝20 cm，AC＝30 cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4 cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿着CA以每秒3 cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒．
(1)x为何值时，PQ∥BC；
(2)是否存在某一时刻，使△APQ∽△CQB？若存在，求出此时AP的长；若不存在，请说明理由．
21．(15分)在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，D，E分别是线段BC，AC上的点，且满足＝＝，连接DE，将△CDE绕着点C逆时针旋转，记旋转角为α.
(1)①当α＝0°时，＝________；
②当α＝90°时，＝________．
(2)如图②，当0°＜α＜90°时，过点D作DM⊥BC于点M，过E作EN⊥AC于点N，求出的值；
(3)当0°＜α＜360°时，若O为DE的中点，求在旋转过程中，线段OB长的最大值和最小值．
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答案
一、1.A　2.D　3.C　4.D　5.C　6.B　7.D　8.D
9．A 【点拨】解法一：过点G作GT⊥AD于点T.
设AB＝x，AD＝y.
∵＝，∴设BF＝2k，CG＝3k.
∵AE＝DE＝y，由翻折的性质可知EA＝EA′＝y，
BF＝FB′＝2k，∠AEF＝∠GEF.
∵AD∥CB，∴∠AEF＝∠EFG.
∴∠GEF＝∠GFE.∴EG＝FG＝y－5k.
∴GA′＝y－(y－5k)＝5k－y.
∵C，A′，B′共线，GA′∥FB′，∴＝.
易得CF＝y－2k.
∴＝.
∴y2－12ky＋32k2＝0.
∴y＝8k或y＝4k(舍去)．
∴AE＝DE＝4k.
易得四边形CDTG是矩形，∴CG＝DT＝3k.
∴ET＝k.
∵EG＝8k－5k＝3k，
∴AB＝CD＝GT＝＝2k.
∴＝＝2.
解法二：不妨设BF＝2，CG＝3，连接CE，则Rt△CA′E≌Rt△CDE，推出A′C＝CD＝AB＝A′B′，推出＝＝1，推出GF＝CG＝3，推出BC＝AD＝8.
在Rt△CB′F中，由勾股定理得CB′＝4，
则A′B′＝AB＝2，则＝＝2.故选A.
10．A 【点拨】∵四边形ABCD是矩形，
∴AB⊥BC.∴AC＝＝＝.
∵按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形ACC1B1，
∴矩形ACC1B1的边长和矩形ABCD的相似比为：2.
∴矩形ACC1B1的对角线和矩形ABCD的对角线的比为：2.
∵矩形ABCD的对角线长为，
∴矩形AB1C1C的对角线AC1＝×＝，
依此类推，矩形AB2C2C1的对角线和矩形AB1C1C的对角线的比为：2，
∴矩形AB2C2C1的对角线AC2＝×.
∴矩形AB3C3C2的对角线AC3＝×，
按此规律第n个矩形的对角线ACn＝×，
∴AC2 024的长为×，故选A.
二、11.48°　12.1　13.　14.14
15. 【点拨】如图，取CE的中点为F，连接DF.
∵DE⊥CD，∴DF＝CF＝EF.
∴∠FCD＝∠FDC.
∵∠ACB＝90°，D是AB上的中点，
∴AD＝BD＝CD.∴∠DCF＝∠B.
∴△FCD∽△DCB.∴＝.
设CF＝x，CD＝a，
则DF＝EF＝x，BD＝AD＝a，
∴BC＝2x＋2.∴＝.
∴a2＝2x＋2x2.
在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，
∴52＋(2x＋2)2＝(2a)2.
∴4x2＋8x＋29＝4a2.
∴4x2＋8x＋29＝4(2x＋2x2)，
解得x＝(负值已舍去)．
∴CE＝2x＝.
三、16.【解】如图，四边形OA′B′C′即为所画的四边形．
由题易得四边形OA′B′C′与四边形OABC是相似图形，且对应点的连线都经过同一点O，对应边平行，
∴四边形OA′B′C′与四边形OABC是位似图形，位似比为.
17．【解】设EF＝4k，EH＝3k，则AK＝12－3k，GH＝4k.
∵HG∥BC，∴∠AHG＝∠ABC，∠AGH＝∠ACB.
∴△AHG∽△ABC.
∴＝，即＝.
解得k＝2.4 cm.
∴EF＝4×2.4＝9.6(cm)，HE＝2.4×3＝7.2(cm)．
∴S矩形EFGH＝EF·EH＝9.6×7.2＝69.12(cm2)．
18．(1)【证明】∵AF⊥DE，四边形ABCD是矩形，
∴∠AFD＝90°＝∠C，∠ADF＋∠DAF＝90°，∠ADC＝90°.
∴∠ADF＋∠EDC＝90°.
∴∠EDC＝∠DAF.∴△EDC∽△DAF.
(2)【解】∵四边形ABCD是矩形，
∴DC＝AB＝3，∠ADC＝∠C＝90°，BC＝AD＝2.
∵点E为BC的中点，∴CE＝1.
∴DE＝＝.
∵△EDC∽△DAF，
∴＝，即＝.
∴FD＝.
∴EF＝DE－DF＝－＝.
19．【解】根据题意得△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，
∴＝，＝.
∵CD＝GH，∴＝.
∴＝，
解得CA＝40米．
∵＝，∴＝，
解得AB＝64.5米．
因此，古塔的高度AB为64.5米．
20．【解】(1)由题意得，AP＝4x cm，BP＝(20－4x) cm，CQ＝3x cm，
AQ＝(30－3x)cm.
当PQ∥BC时，＝.
∴＝，即＝.
整理得50－15x＝0.∴x＝.
∴当x＝时，PQ∥BC.
(2)存在．
∵BA＝BC，∴∠A＝∠C.
则当＝时，△APQ∽△CQB.
∵＝，∴＝.
整理得9x2－10x＝0.
∴x1＝0(不合题意舍去)，x2＝.
当x＝时，AP＝ cm.
21．【解】(1)①　②
(2)如图①，连接AE，BD.
∵∠BCA＝∠DCE，∴∠BCD＝∠ACE.
又∵＝＝，∴△BCD∽△ACE.
∴∠CBD＝∠CAE，＝＝.
∵∠CBD＝∠CAE，∠DMB＝∠ENA＝90°，
∴△BDM∽△AEN.∴＝＝.
(3)如图②，连接OC.
∵CD＝2，CE＝，∴DE＝＝.
∵O是DE的中点，∴DO＝DE＝.
∴CO＝＝＝.
∴当0°＜α＜360°时，在旋转过程中，
当点O在线段BC上时，线段OB长的最小值为3－；
当点O在线段BC延长线上时，
线段OB长的最大值为3＋.