北师大版数学九年级上册第一章 特殊平行四边形综合素质评价（含答案）

　第一章综合素质评价
一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)
1．[2023揭阳期末]菱形、矩形、正方形都具有的性质是(　　)
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．四条边相等，四个角相等 D．两组对边分别平行且相等
2．[2024邢台襄都区模拟]如图，在四边形ABCD中，给出部分数据，若添加一个数据后，四边形ABCD是矩形，则添加的数据是(　　)
A．CD＝4 B．CD＝2 C．OD＝2 D．OD＝4
3．[2023成都温江区期末]如图，F是正方形ABCD对角线BD上 一点，连接AF，CF，并延长CF交AD于点E.若∠AFC＝130°，则∠DEC的度数为(　　)
A．65° B．70° C．75° D．80°
4．[2022安徽]两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝(　　)
A．α－90° B．α－45° C．180°－α D．270°－α
5．[2023东莞期中]若顺次连接某四边形四边中点所得的四边形是矩形，则原四边形一定是(　　)
A．菱形 B．矩形
C．对角线互相垂直的四边形 D．对角线相等的四边形
6. 三个边长为8 cm的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分(阴影)的面积为(　　)
A．16 cm2 B．24 cm2 C．28 cm2 D．32 cm2
7．在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC，BC，AB，OC.若AB＝2 cm，四边形OACB的面积为4 cm2.则OC的长为(　　)
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm
8. 如图，在矩形OABC中，点B的坐标是(5，12)，则AC的长是(　　)
A．5 B．7 C．12 D．13
9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点M，N分别是边AD，CD的中点，连接MN，OM，若MN＝3，S菱形ABCD＝24，则OM的长为(　　)
A．3 B．3.5 C．2 D．2.5
10．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上， AE＝AF，AC与EF相交于点G.下列结论：①AC垂直平分EF；②当∠EAF＝45°时，∠AEB＝∠AEF；③当∠DAF＝15°时，△AEF为等边三角形；④当CE＝(2－)BC时，BE＋DF＝EF.其中正确的结论有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分)
11．在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝28°，D是AC的中点，则∠CBD＝________°.
12．一个平行四边形的一边长是3，两条对角线的长分别是4和2，则此平行四边形的面积为________．
13．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC的延长线上一点，PD＝AC，∠P＝52°，则∠PDC＝________．
14. 如图，在菱形ABCD中，AB＝10 cm，∠A＝60°，点E，F同时从A，C两点出发，分别沿AB，CB方向向点B匀速移动，点E的速度为2 cm/s，点F的速度为4 cm/s，当一点到达B点时，另一点随之停止移动，经过t s后△DEF恰为等边三角形，则此时t的值为________．
15．[2024东莞模拟]如图，正方形ABCD的边长为1，点E是边BC上一动点(不与点B，C重合)，过点E作EF⊥AE交正方形外角的平分线CF于点F，交CD于点G，连接AF.有下列结论：①AE＝EF；②CF＝BE；③∠DAF＝∠CEF.其中正确的是________．(把正确结论的序号都填上)
三、解答题(共7小题，第16～21题每题10分，第22题15分，共75分)
16．[2023扬州邗江区期末]如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC，BD的中点，连接BM，DM.
求证：(1)BM＝DM；(2)MN⊥BD.
17．[2023广州海珠区期中]如图，在矩形ABCD中，O为BD的中点，过点O作EF⊥BD分别交BC，AD于点E，F.求证：四边形BEDF是菱形．
18．[2024宝鸡陈仓区期中]在四边形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，BC＝2AD，F是BC的中点．
(1)如图①，求证：四边形AFCD是矩形；
(2)如图②，过点C作CE⊥AB于点E，连接DE，EF.求证：DE＝DC.
19．如图，在矩形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在边CD上(点F与点C，D不重合)，BE⊥EF，∠ABE＋∠CEF＝45°.
(1)求∠1＋∠2的度数；
(2)求证：四边形ABCD是正方形．
20. 在正方形ABCD中，点G是边DC上的一点，点F是直线BC上一动点，FE⊥AG于H，交直线AD于点E.
(1)当点F运动到与点B重合时(如图①)，线段EF与AG的数量关系是________．
(2)当点F运动到如图②所示的位置时，(1)中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
21．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10.
(1)若G，H分别是AD，BC的中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形(E，F相遇时除外)
答：________．(直接填空，不用说理)
(2)在(1)的条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值．
(3)在(1)的条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形EGFH为菱形，求t的值．
22. 如图，四边形ABCD是正方形，点P在射线AC上，点E在射线BC上，且PB＝PE，连接PD，点O为线段AC的中点．
【感知】如图①，当点P在线段AO上(点P不与点A，O重合)时，
①易证：△ABP≌△ADP(不需要证明)．进而得到PE与PD的数量关系是__________；
②过点P作PM⊥CD于点M，PN⊥BC于点N，易证：Rt△PNE≌Rt△PMD(不需要证明)．进而得到PE与PD的位置关系是__________；
【探究】如图②，当点P在线段OC上(点P不与点O，C重合)时，试写出PE与PD的数量关系和位置关系，并说明理由；
【应用】如图③，当点P在AC的延长线上时，直接写出当AB＝3，CP＝时线段DE的长．
INCLUDEPICTURE"章2.EPS" INCLUDEPICTURE \d "D:\\0\\初中\\24秋 典中点 9 数学 BS\\章2.EPS" \* MERGEFORMATINET 答案
一、1.D　2.D　3.B　4.C　5.C　6.D　7.C　8.D
9．D 【点拨】∵点M，N分别是边AD，CD的中点，
∴MN是△ACD的中位线．
∴AC＝2MN＝2×3＝6.
∵四边形ABCD是菱形，S菱形ABCD＝24，
∴OA＝OC＝AC＝3，OB＝OD，AC⊥BD，
AC·BD＝24.
即×6×BD＝24，
∴BD＝8.
∴OD＝BD＝4.
∴在Rt△OCD中，由勾股定理得CD＝＝＝5.
∵点M是AD的中点，OA＝OC，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM＝CD＝2.5.
10．D 【点拨】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D＝∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BAC＝∠DAC＝45°.
又∵AE＝AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF.
∴BE＝DF，∠BAE＝∠DAF.
∴∠EAC＝∠FAC.
∴AC垂直平分EF，故①正确；
∵∠EAF＝45°，
∴易得∠EAC＝∠FAC＝∠BAE＝∠DAF＝22.5°.
∴∠BEA＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°.
∵BC＝CD，BE＝DF，∴CE＝CF.
∴∠CEF＝45°.
∴∠AEF＝180°－∠CEF－∠BEA＝180°－45°－67.5°＝67.5°＝∠AEB，故②正确；
∵∠DAF＝15°，
∴∠EAF＝∠BAD－∠BAE－∠DAF＝90°－15°－15°＝60°.
∵AE＝AF，
∴△AEF为等边三角形，故③正确；
∵CE＝(2－)BC，
∴BE＝DF＝BC－CE＝BC－(2－)BC＝(－1)BC.
∴BE＋DF＝2(－1)BC.
∴EF＝＝EC＝(2－)BC＝2(－1)BC＝BE＋DF，故④正确；
∴正确的结论有4个．
二、11.62　12.4　13.12°　14.
15．①② 【点拨】如图，在AB上取点H，使AH＝EC，连接EH.
∵四边形ABCD是正方形，EF⊥AE，
∴∠BCD＝∠B＝∠AEF＝90°，AB＝BC.
∴∠HAE＋∠AEB＝90°，∠CEF＋∠AEB＝90°，
∴∠HAE＝∠CEF.
∵AH＝CE，AB＝BC，
∴BH＝BE.
∴△BHE为等腰直角三角形．
∴易得∠AHE＝135°.
∵CF是正方形外角的平分线，
∴易得∠ECF＝135°.∴∠AHE＝∠ECF.
在△AHE和△ECF中，
∴△AHE≌△ECF(ASA)．
∴AE＝EF，EH＝CF，∠AEH＝∠EFC.故①正确；
∵BE＝BH，∠B＝90°，
∴EH＝＝BE.
∴CF＝BE.故②正确；
∵∠AHE＝135°，
∴∠HAE＋∠AEH＝45°.
∵AE＝EF，∠AEF＝90°，
∴∠EAF＝45°.
∴∠HAE＋∠DAF＝45°.
∴∠AEH＝∠DAF.
∵∠AEH＝∠EFC，
∴∠DAF＝∠EFC.
而∠FEC不一定等于∠EFC，
∴∠DAF不一定等于∠FEC，故③错误．
故答案为①②.
三、16.【证明】(1)∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，
∴BM＝AC，DM＝AC.
∴BM＝DM.
(2)∵点N是BD的中点，BM＝DM，
∴MN⊥BD.
17．【证明】如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC.
∴∠1＝∠2.
∵O为BD的中点，
∴BO＝DO.
∵∠BOE＝∠DOF，
∴△OBE≌△ODF(ASA)．
∴BE＝DF.
∴四边形BEDF是平行四边形．
又∵EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形．
18．【证明】(1)∵F是BC的中点，
∴BF＝CF＝BC.
∵BC＝2AD，∴AD＝BC.
∴AD＝CF＝BF.
∵AD∥BC，
∴四边形AFCD是平行四边形．
又∵CD⊥BC，∴∠DCF＝90°.
∴四边形AFCD是矩形．
(2)如图，连接DF交CE于G，
由(1)知AD＝BF.
∵AD∥BC，
∴四边形ABFD是平行四边形．
∴AB∥DF.
∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，CE⊥DF.
又∵F是BC的中点，
∴EF＝BC＝CF.
∴GE＝GC.
∴DF是线段CE的垂直平分线．
∴DE＝DC.
19．(1)【解】∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC＝90°.
∴∠ABE＋∠1＝90°.
∵BE⊥EF，
∴∠CEF＋∠2＝90°.
∵∠ABE＋∠CEF＝45°，
∴∠1＋∠2＝90°＋90°－45°＝135°.
(2)【证明】∵∠1＋∠2＋∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝180°－(∠1＋∠2)＝180°－135°＝45°.
∵∠ABC＝90°，∴∠BAC＋∠ACB＝90°.
∴∠BAC＝90°－∠ACB＝90°－45°＝45°.
∴∠ACB＝∠BAC.
∴AB＝BC.
∴四边形ABCD是正方形．
20．【解】(1)EF＝AG 【点拨】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE＝∠ADG＝90°，AB＝AD.
∴∠ABE＋∠AEB＝90°.
∵EF⊥AG，∴∠AHE＝90°.
∴∠AEB＋∠DAG＝90°.
∴∠ABE＝∠DAG.
∴△ABE≌△DAG(ASA)．
∴EF＝BE＝AG.
(2)成立．证明：如图，过点F作FM⊥AE，垂足为M，则∠EMF＝90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADG＝90°，AD＝CD.
∴易得MF＝CD＝AD.
∵EF⊥AH，∴∠AHE＝90°，
∴∠HAE＋∠E＝90°.
又∵∠E＋∠EFM＝90°，
∴∠HAE＝∠EFM.
∴△ADG≌△FME(ASA)．
∴EF＝AG.
21．【解】(1)四边形EGFH是平行四边形
(2)如图①，②，连接GH.
由题意易得AG＝BH，AG∥BH，∠B＝90°，
∴四边形ABHG是矩形．
∴GH＝AB＝6.
①如图①，当四边形EGFH是矩形时，EF＝GH＝6.
∵在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝10.
∵AE＝CF＝t，∴EF＝10－2t＝6.
∴t＝2.
　　　
②如图②，当四边形EGFH是矩形时，
∵EF＝GH＝6，AE＝CF＝t，
∴EF＝t＋t－10＝2t－10＝6.
∴t＝8.
综上，当四边形EGFH为矩形时，t的值为2或8.
(3)如图③，M和N分别是AD和BC的中点，连接AH，CG，GH，AC与GH交于O.
∵四边形ABCD为矩形，
∴OA＝OC，AD＝BC＝8.
∴AM＝4.
∵四边形EGFH为菱形，
∴GH⊥EF，OG＝OH.
∴ AG＝AH.
∴四边形AGCH为菱形．
∴AG＝CG.
设AG＝CG＝x，则DG＝8－x，
∴在Rt△CDG中，由勾股定理可得CD2＋DG2＝CG2，
即62＋(8－x)2＝x2，解得x＝.
∴MG＝－4＝，即t＝，
∴当t的值为时，四边形EGFH为菱形．
22．【解】【感知】①PE＝PD 【点拨】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAP＝∠DAP＝45°.
在△ABP和△ADP中，
∴△ABP≌△ADP(SAS)．
∴PB＝PD.
∵PB＝PE，
∴PE＝PD.
②PE⊥PD 【点拨】由题意得∠PNE＝∠PMD＝∠PMC＝90°.∵四边形ABCD是正方形，
∴CP平分∠MCN，∠NCM＝90°.
∴四边形PMCN是矩形，PN＝PM.
∴∠MPN＝90°.
在Rt△PNE和Rt△PMD中，
∴Rt△PNE≌Rt△PMD(HL)．
∴∠EPN＝∠DPM.
∵∠MPN＝∠MPE＋∠EPN＝90°，
∴∠MPE＋∠DPM＝90°，
即∠DPE＝90°.
∴PE⊥PD.
【探究】PE与PD的数量关系和位置关系为PE＝PD，
PE⊥PD，理由如下：
设PE交CD于F.
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ACB＝∠ACD＝45°.
在△CBP和△CDP中，
∴△CBP≌△CDP(SAS)．
∴PD＝PB，∠PBC＝∠PDF.
又∵PB＝PE，
∴PD＝PE，∠PBE＝∠PEB.
∴∠PDF＝∠PEB.
∵∠PFD＝∠CFE，
∴180°－∠PFD－∠PDC＝180°－∠CFE－∠PEB，
即∠DPF＝∠ECF.
∵∠ECF＝∠BCD＝90°，
∴∠DPF＝90°.
∴PD⊥PE.
【应用】线段DE的长为. 【点拨】设PD交BE于H.由题意易证△CBP≌△CDP.
∴PB＝PD，∠PBC＝∠PDC.
∴易得∠PDC＝∠PEB，PE＝PD.
∵∠PHE＝∠CHD，
∴180°－∠CHD－∠PDC＝180°－∠PHE－∠PEB，
即∠DPE＝∠DCE.
又∵易知∠DCE＝90°，
∴∠DPE＝90°.
∴△DPE是等腰直角三角形．
过点P作PQ⊥BE于Q，
∵PB＝PE，∴BQ＝EQ.
∵∠PCQ＝∠ACB＝45°，
∴△CQP是等腰直角三角形．
∴CQ＝PQ＝CP＝1.
∴EQ＝BQ＝BC＋CQ＝AB＋CQ＝3＋1＝4.
∴PE＝＝＝.
∴DE＝＝PE＝×＝.