精致教学理念在数学课堂教学中的运用-以算法案例拓展课（中国剩余定理）为例
文档属性
| 名称 | 精致教学理念在数学课堂教学中的运用-以算法案例拓展课（中国剩余定理）为例 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 130.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-11-21 18:34:53 | ||
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文档简介
精致教学理念在数学课堂教学中的运用
------以算法案例拓展课（中国剩余定理）为例
深圳市龙翔学校高中部数学教师欧阳文丰撰写
导言：我校在邓继新教育工作室的领导下，高 ( http: / / www.21cnjy.com )中部精致班认真贯彻精致教学理念，提倡课堂教学优化教学观念、优化教学目标、优化教学内容、优化教学结构、优化教学方法、优化教学氛围共六个优化思想。本文作者以算法案例拓展课（中国剩余定理）为例，探讨精致教学理念在数学课堂教学中的运用。
一、问题情境
1．孙子不知其数问题
( http: / / www.21cnjy.com / )
2．孙子问题的现代数学描述（引导学生建立数学模型）
“孙子问题”相当于求满足x，y，z为正整数的
不定方程组 ( http: / / www.21cnjy.com / ) m的一个正整数解．
二、探究问题的解决方法
1、 学生活动：尝试集合列举法；
三三数之剩二: 2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,35,…,3x+2
五五数之剩三: 3,8,13,18,23,28,33,38,43,48,53,58, …,5y+3
七七数之剩二: 2,9,16,23,30,37,44,51,58,65,72,79, …,7z+2
从上面的列举中得知， 这个孙子问题的最小自然数解是23。
温馨提示：此方法思路的优点是容易想得到，但是缺点是列举繁琐。再者，如果所求解的数是比较大的话，还不容易找得到。
2、现代处理方法（计算机） ：学生自行完成，并相互讨论检查。
( http: / / www.21cnjy.com / )
流程图 程序语句
3、 除了上面的两种方法外，还有其他甚至于简单易行的方法吗？（教师因势利导倡导学生的发散式思维）
请看中国古代韩信的解决方法。 我国古代军事家韩信对解这类问题编了这样的歌诀：
三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知。
韩信点兵的意思是：一个自然数除以3得到的余 ( http: / / www.21cnjy.com )数乘以70，除以5得到的余数乘以21，除以7得到的余数乘以15，积相加。如果和大于105，连续减105，直到小于105为止，这样得到的最小自然数，就是所求的结果。
韩信点兵的具体解题思路如下所示：
能同时被5和7整除，还被3除余1的最小整数是：[5，7] ×K， 显然K最小是2。 所以[5，7] ×2=70。
能同时被3和7整除，还被5除余1的最小整数是：[3，7] ×K， 显然K最小是1。 所以[3，7] ×1=21。
能同时被3和5整除，还被7除余1的最小整数是：[3，5] ×K， 显然K最小是1。 所以[3，5] ×1=15。
所以， 一个自然数除以3得到的余数乘以70 ( http: / / www.21cnjy.com )，除以5得到的余数乘以21，除以7得到的余数乘以15，积相加。如果和大于105，连续减105，直到小于105为止，这样得到的最小自然数，就是所求的结果。
三、 典型例题学习（以小组为单位，让学生通过合作学习，领会韩信点兵的解题思路。）
1、 例1 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2。求适合这些条件的最小自然数。
解：能同时被5和7整除，还被3除余1的最小整数是：[5，7] ×K， 显然K最小是2。 所以[5，7] ×2=70。
能同时被3和7整除，还被5除余1的最小整数是：[3，7] ×K， 显然K最小是1。 所以[3，7] ×1=21。
能同时被3和5整除，还被7除余1的最小整数是：[3，5] ×K， 显然K最小是1。 所以[3，5] ×1=15。
所以， 2×70+3×21+2×15 =233， 233- [3， 5， 7] ×2=233-105×2=23。
答：适合这些条件的最小自然数是23。
变式练习1： 一筐苹果 ( http: / / www.21cnjy.com ),如果按5个一堆放, 最后多出3个. 如果按6个一堆放, 最后多出4个. 如果按7个一堆放, 还多出1个. 这筐苹果至少有多少个？
解：能同时被6和7整除，还被5除余1的最小整数是：[6，7] ×K， 显然K最小是3。 所以[6，7] ×3=126。
能同时被5和7整除，还被6除余1的最小整数是：[5，7] ×K， 显然K最小是5。 所以[5，7] ×5=175。
能同时被5和6整除，还被7除余1的最小整数是：[5，6] ×K， 显然K最小是4。 所以[5，6] ×4=120。
所以， 3×126+4×175+1×120=1198， 1198- [5， 6， 7] ×5=1198-210×5=148。
答：这筐苹果至少有148个。
变式练习2：中国古代还流传一个萧何计粮 ( http: / / www.21cnjy.com )的歌诀。九宫山上十一泉， 十一泉涌九宫山，山泉汇合翻五滚，去百加个便了然。 试证明萧何计粮的正确性。
解：萧何计粮的含义是：除以9的余数 ( http: / / www.21cnjy.com )乘以11，除以11的余数乘以9，积相加。 再计算和的5倍，最后去掉百位及以上的数字，添加到个位上后就是所求的最小自然数。
能被11整除，还被9除余1的最小整数是：11 ×K， 显然K最小是5。 所以11 ×5=55。
能被9整除，还被11除余1的最小整数是：9 ×K， 显然K最小是5。 所以9 ×5=45。
所以，一个自然数除以9得到的余数乘 ( http: / / www.21cnjy.com )以55，除以11得到的余数乘以45，积相加。去掉百位及以上的数字，添加到个位上的意思是：如果和大于99，连续减99，直到小于99为止，这样得到的最小自然数，就是所求的结果。
2、 例2 在10000以内，除以3余2，除以7余3，除以11余4的数有几个？
解： 能同时被7和11整除，还被3除余1的最小整数是：[7，11] ×K， 显然K最小是2。 所以[7，11] ×2=154。
能同时被3和11整除，还被7除余1的最小整数是：[3，11] ×K， 显然K最小是3。 所以[3，11] ×3=99。
能同时被3和7整除，还被11除余1的最小整数是：[3，7] ×K， 显然K最小是10。 所以[3，7] ×10=210。
所以， 2×154+3×99+4×210 =1445， 符合题意的数是：1445- [3， 7， 11] ×6=59。
因为[3， 7， 11]=231，所以符合题 ( http: / / www.21cnjy.com )意的数是以59为首项，公差是231的等差数列。（10000-59）÷231=43……8，所以在10000以内符合题意的数共有43+1=44个。
答：在10000以内符合题意的数共有44个。
四、课堂小结
1．孙子不知数问题的求解算法—中国剩余定理；
2．现代数学处理方法是利用循环结构实现整数的搜索；
3、中国古代韩信点兵的解题思路。
五、 课后练习
1、求满足除以5余1，除以7余3，除以8余5的最小的自然数。
2、一个两位数,用它除58余2,除73余3,除85余1,这个两位数是多少？
3、在小于1000的自然数中，除以4余3，除以5余2，除以7余4的最大的自然数是几？
结束语：本节课是以问题情境 ( http: / / www.21cnjy.com )启发学生认识新的问题，进而导入课题。在探究活动中，采用循序渐进引导学生发散式思维，以学生自主式学习，从多维度思考问题，鼓励学生思想活跃，勇于探索。在教师因势利导的前提下，介绍韩信点兵的歌诀，敦促学生理解韩信点兵的解题思路。在典型例题学习的环节中，以学生合作学习的方式，加深对韩信点兵的解题思路的理解。此次课堂教学是通过以学生为主体，以教师为主导，以合作、探究学习的课改教学新模式的教学实践，达到优化课堂教学过程和方法，提高课堂教学的有效性目的。以中国古代数学文化的陶冶，培养学生的爱国主义情怀和数学素养。
（作者系深圳市龙翔学校高中部数学教师欧阳文丰）
------以算法案例拓展课（中国剩余定理）为例
深圳市龙翔学校高中部数学教师欧阳文丰撰写
导言：我校在邓继新教育工作室的领导下，高 ( http: / / www.21cnjy.com )中部精致班认真贯彻精致教学理念，提倡课堂教学优化教学观念、优化教学目标、优化教学内容、优化教学结构、优化教学方法、优化教学氛围共六个优化思想。本文作者以算法案例拓展课（中国剩余定理）为例，探讨精致教学理念在数学课堂教学中的运用。
一、问题情境
1．孙子不知其数问题
( http: / / www.21cnjy.com / )
2．孙子问题的现代数学描述（引导学生建立数学模型）
“孙子问题”相当于求满足x，y，z为正整数的
不定方程组 ( http: / / www.21cnjy.com / ) m的一个正整数解．
二、探究问题的解决方法
1、 学生活动：尝试集合列举法；
三三数之剩二: 2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,35,…,3x+2
五五数之剩三: 3,8,13,18,23,28,33,38,43,48,53,58, …,5y+3
七七数之剩二: 2,9,16,23,30,37,44,51,58,65,72,79, …,7z+2
从上面的列举中得知， 这个孙子问题的最小自然数解是23。
温馨提示：此方法思路的优点是容易想得到，但是缺点是列举繁琐。再者，如果所求解的数是比较大的话，还不容易找得到。
2、现代处理方法（计算机） ：学生自行完成，并相互讨论检查。
( http: / / www.21cnjy.com / )
流程图 程序语句
3、 除了上面的两种方法外，还有其他甚至于简单易行的方法吗？（教师因势利导倡导学生的发散式思维）
请看中国古代韩信的解决方法。 我国古代军事家韩信对解这类问题编了这样的歌诀：
三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知。
韩信点兵的意思是：一个自然数除以3得到的余 ( http: / / www.21cnjy.com )数乘以70，除以5得到的余数乘以21，除以7得到的余数乘以15，积相加。如果和大于105，连续减105，直到小于105为止，这样得到的最小自然数，就是所求的结果。
韩信点兵的具体解题思路如下所示：
能同时被5和7整除，还被3除余1的最小整数是：[5，7] ×K， 显然K最小是2。 所以[5，7] ×2=70。
能同时被3和7整除，还被5除余1的最小整数是：[3，7] ×K， 显然K最小是1。 所以[3，7] ×1=21。
能同时被3和5整除，还被7除余1的最小整数是：[3，5] ×K， 显然K最小是1。 所以[3，5] ×1=15。
所以， 一个自然数除以3得到的余数乘以70 ( http: / / www.21cnjy.com )，除以5得到的余数乘以21，除以7得到的余数乘以15，积相加。如果和大于105，连续减105，直到小于105为止，这样得到的最小自然数，就是所求的结果。
三、 典型例题学习（以小组为单位，让学生通过合作学习，领会韩信点兵的解题思路。）
1、 例1 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2。求适合这些条件的最小自然数。
解：能同时被5和7整除，还被3除余1的最小整数是：[5，7] ×K， 显然K最小是2。 所以[5，7] ×2=70。
能同时被3和7整除，还被5除余1的最小整数是：[3，7] ×K， 显然K最小是1。 所以[3，7] ×1=21。
能同时被3和5整除，还被7除余1的最小整数是：[3，5] ×K， 显然K最小是1。 所以[3，5] ×1=15。
所以， 2×70+3×21+2×15 =233， 233- [3， 5， 7] ×2=233-105×2=23。
答：适合这些条件的最小自然数是23。
变式练习1： 一筐苹果 ( http: / / www.21cnjy.com ),如果按5个一堆放, 最后多出3个. 如果按6个一堆放, 最后多出4个. 如果按7个一堆放, 还多出1个. 这筐苹果至少有多少个？
解：能同时被6和7整除，还被5除余1的最小整数是：[6，7] ×K， 显然K最小是3。 所以[6，7] ×3=126。
能同时被5和7整除，还被6除余1的最小整数是：[5，7] ×K， 显然K最小是5。 所以[5，7] ×5=175。
能同时被5和6整除，还被7除余1的最小整数是：[5，6] ×K， 显然K最小是4。 所以[5，6] ×4=120。
所以， 3×126+4×175+1×120=1198， 1198- [5， 6， 7] ×5=1198-210×5=148。
答：这筐苹果至少有148个。
变式练习2：中国古代还流传一个萧何计粮 ( http: / / www.21cnjy.com )的歌诀。九宫山上十一泉， 十一泉涌九宫山，山泉汇合翻五滚，去百加个便了然。 试证明萧何计粮的正确性。
解：萧何计粮的含义是：除以9的余数 ( http: / / www.21cnjy.com )乘以11，除以11的余数乘以9，积相加。 再计算和的5倍，最后去掉百位及以上的数字，添加到个位上后就是所求的最小自然数。
能被11整除，还被9除余1的最小整数是：11 ×K， 显然K最小是5。 所以11 ×5=55。
能被9整除，还被11除余1的最小整数是：9 ×K， 显然K最小是5。 所以9 ×5=45。
所以，一个自然数除以9得到的余数乘 ( http: / / www.21cnjy.com )以55，除以11得到的余数乘以45，积相加。去掉百位及以上的数字，添加到个位上的意思是：如果和大于99，连续减99，直到小于99为止，这样得到的最小自然数，就是所求的结果。
2、 例2 在10000以内，除以3余2，除以7余3，除以11余4的数有几个？
解： 能同时被7和11整除，还被3除余1的最小整数是：[7，11] ×K， 显然K最小是2。 所以[7，11] ×2=154。
能同时被3和11整除，还被7除余1的最小整数是：[3，11] ×K， 显然K最小是3。 所以[3，11] ×3=99。
能同时被3和7整除，还被11除余1的最小整数是：[3，7] ×K， 显然K最小是10。 所以[3，7] ×10=210。
所以， 2×154+3×99+4×210 =1445， 符合题意的数是：1445- [3， 7， 11] ×6=59。
因为[3， 7， 11]=231，所以符合题 ( http: / / www.21cnjy.com )意的数是以59为首项，公差是231的等差数列。（10000-59）÷231=43……8，所以在10000以内符合题意的数共有43+1=44个。
答：在10000以内符合题意的数共有44个。
四、课堂小结
1．孙子不知数问题的求解算法—中国剩余定理；
2．现代数学处理方法是利用循环结构实现整数的搜索；
3、中国古代韩信点兵的解题思路。
五、 课后练习
1、求满足除以5余1，除以7余3，除以8余5的最小的自然数。
2、一个两位数,用它除58余2,除73余3,除85余1,这个两位数是多少？
3、在小于1000的自然数中，除以4余3，除以5余2，除以7余4的最大的自然数是几？
结束语：本节课是以问题情境 ( http: / / www.21cnjy.com )启发学生认识新的问题，进而导入课题。在探究活动中，采用循序渐进引导学生发散式思维，以学生自主式学习，从多维度思考问题，鼓励学生思想活跃，勇于探索。在教师因势利导的前提下，介绍韩信点兵的歌诀，敦促学生理解韩信点兵的解题思路。在典型例题学习的环节中，以学生合作学习的方式，加深对韩信点兵的解题思路的理解。此次课堂教学是通过以学生为主体，以教师为主导，以合作、探究学习的课改教学新模式的教学实践，达到优化课堂教学过程和方法，提高课堂教学的有效性目的。以中国古代数学文化的陶冶，培养学生的爱国主义情怀和数学素养。
（作者系深圳市龙翔学校高中部数学教师欧阳文丰）