【备课参考】2015-2016学年华师大版八年级数学上册教学设计：14.1 勾股定理（3课时）
文档属性
| 名称 | 【备课参考】2015-2016学年华师大版八年级数学上册教学设计：14.1 勾股定理（3课时） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 120.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-11-23 20:57:16 | ||
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文档简介
第14章 勾股定理
14.1 勾股定理
1.直角三角形三边的关系
【教学目标】
知识与技能
1.经历勾股定理的探索过程,体会数形结合的思想.
2.理解直角三角形三边的关系,会应用勾股定理解决简单的数学问题.
过程与方法
1.经历观察—猜想—归纳———验证等一系列过程,体会数学定理发现的过程.
2.在观察、猜想、归纳、验证等过程中培养学生的数学语言表达能力和初步的逻辑推理能力.
3.在探索过程中,体会数形结合、由特殊到一般的数学思想方法.
情感、态度与价值观
1.通过对勾股定理历史了解,感受数学文化,激发学习兴趣.
2.在探究活动中,体验解决问题方法的多样性,培养学生的合作交流意识和探索精神.
【重点难点】
重点
应用勾股定理解决简单的数学问题.
难点
勾股定理的探索过程以及勾股定理的验证.
【教学过程】
一、创设情景,导入新课
目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球 ( http: / / www.21cnjy.com )的“人”,为此向宇宙发出了许多信号,如地球上人类的语言、音乐、各类图形等。我国数学家华罗庚曾建议,发射一种反映勾股定理的图形,如果宇宙人是“文明人”,那么他们一定会识别这种语言的.这个事实可以说明勾股定理的重大意义.尤其是在两千年前,是非常了不起的成就.
让学生画一个直角边为3 cm和4 cm的直角△ABC,用刻度尺量出AB的长.
以上这个事实是我国古代3 000多年前有一 ( http: / / www.21cnjy.com )个叫商高的人发现的,他说:“把一根直尺折成直角,两段连结得一直角三角形,勾广三,股修四,弦隅五.”这句话的意思是说一个直角三角形较短直角边(勾)的长是3,长的直角边(股)的长是4,那么斜边(弦)的长是5.
再画一个两直角边为5和12的直角△ABC,用刻度尺量出AB的长.
你是否发现32+42与52的关系,52+122和132的关系,即32+42=52,52+122=132,那么就有勾2+股2=弦2.
对于任意的直角三角形也有这个性质吗
二、师生互动,探究新知
1.勾股定理的证明.
【活动】
8方法一:
如图,让学生剪4个全等的直角三角形,拼成如图的图形,利用面积证明.
( http: / / www.21cnjy.com )
S正方形=c2
S正方形=2ab+(a+b)2
从而c2=2ab+(a-b)2
即c2=a2+b2
方法二:已知:在△ABC中 ,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边a、b、c.
求证:a2+b2=c2.
【分析】
左右两边的正方形边长相等,则两个正方形的面积相等.
左边S=4×ab+c2,右边S=(a+b)2
左边和右边的面积相等,
即4×ab+c2=(a+b)2化简可得c2=a2+b2.
( http: / / www.21cnjy.com )
【教学说明】
以上两图出示给学生,分两组交流、证明,完成后由学生代表展示.教师归纳板书:勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
2.求直角三角形的边长.
【活动】 出示习题:
(1)在Rt△ABC中 ,∠C=90°,AC=5,BC=20,则AB= ;
(2)在Rt△ABC中 ,∠C=90°,AB=25,AC=20,则BC= ;
(3)在Rt△ABC中 ,∠C=90°,它的两边是6和8,则它的第三边长是 ;
【答案】(1)13 (2)12 (3)10或2
【教学说明】
先由学生独立完成,再由学生展示,注意(3)要分类,按8为直角边或斜边,最后教师板书:在Rt△ABC中,∠C=90°,b=,a=,b=.
三、随堂练习,巩固新知
1.在Rt△ABC中,已知∠B=90°,AB=6,BC=8,求AC.
解:由勾股定理,可得AB2+BC2=AC2.
所以AC===10.
2.如图,Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2 cm,另一直角边BC长为6 cm,求AC的长.
解:由已知AB=(AC-2)cm,BC=6 cm,根据勾股定理,可得AB2+BC2=(AC -2)2+62E=AC2.
解得AC=10(cm).
3.如图1,为了求出位于湖两岸的点A、B之 ( http: / / www.21cnjy.com )间的距离,一名观测者在点C设桩,使△ABC恰好为直角三角形,通过测量,得到AC的长为160米,BC的长为128米,问从点A穿过湖到点B有多远
( http: / / www.21cnjy.com )
解:如图2,在Rt△ABC中 ,AC=160米,BC=128米,根据勾股定理,可得AB===96(米)
答:从点A穿过湖到点B有96米.
四、典例精析,拓展新知
【例】
如图,△ABC中,AB=13,BC=14,AC=15,求BC边上的高.
( http: / / www.21cnjy.com )
解:设BD=x,则DC=14-x,
由勾股定理得:AB2-BD2=AC2-CD2,
即132-x2=152-(14-x)2,
解得x=5,
∴AD=132-52=12.
【教师说明】
引导勾股定理可由直角三角形中两边求出第三边,也可以为建立三边之间联系提供依据.设BD=x,可否建立方程关系.
五、运用新知,深化理解
1.在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)已知:a=6,b=8,求c;
(2)已知:a=40,c=41,求b.
2.一个高4米,宽3米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木板,则木板的长为( )
A.3米 B.4米
C.5米 D.6米
【答案】
1.(1)10 (2)9
2.C
已知,如图,长方形ABCD中,AB=3 cm,AD=9 cm,将此长方形折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则AE的长度为多少
【答案】
设AE=x,则DE=9-x ( http: / / www.21cnjy.com ),由题意可知BE=DE=9-x,在直角三角形ABE中,由勾股定理可得:AB2+AE2=BE2,∴32+x2=(9-x)2,∴x=4,∴AE=4 cm.
【教学说明】
第2题中若学生有困难可引导如何构建直角三角形.
六、师生互动,课堂小结
这节课你学习了什么 有何收获 有何困惑 与同伴交流,在学生发言的基础上,教师归纳总结.
【教学反思】
新课程标准对勾股定理这部分的教学要求与 ( http: / / www.21cnjy.com )旧大纲有所不同,新课程标准对勾股定理这部分的教学要求是:体验勾股定理的探索过程,会用勾股定理解决简单实际的问题.本节课教师从引导构造的图形入手,用面积法证明勾股定理难度不大,但面积法教材首次用到,基于此教师在教学过程中应给予适当的引导,让学生体会成功的快乐.
2.直角三角形的判定
【教学目标】
知识与技能
掌握直角三角形的判定条件,并能进行简单运用.
过程与方法
经历探索直角三角形的判定条件过程,理解勾股定理的逆定理.
情感、态度与价值观
激发学生解决问题的愿望,体会勾股定理逆向思维所获得的结论,明确其应用范围和实际价值.
【重点难点】
重点
理解和应用直角三角形的判定方法.
难点
运用直角三角形判定方法解决问题.
【教学过程】
一、创设情景,导入新课
【实验观察】
实验方法:用一根打上13个等距离结 ( http: / / www.21cnjy.com )的细绳子,让同学操作,用钉子钉在第一个结上,再钉在第4个结上,再钉在第8个结上,最后将第十三个结与第一个结钉在一起,然后用角尺量出最大角的度数.(90°),可以发现这个三角形是直角三角形.
二、师生互动,探究新知
【教师活动】
古埃及人曾经用过这种方法来得到直角 ( http: / / www.21cnjy.com ),这个三角形三边长分别为多少 (3,4,5).这三边满足了怎样的条件呢 (32+42=52),是不是只有三边长为3,4,5的三角形才能构成直角三角形呢 请同学们动手画一画,如果三角形的三边分别为2.5 cm,6 cm,6.5 cm,满足关系式“2.52+62=6.52”,画出的三角形是直角三角形吗 换成三边分别为5 cm,12 cm,13 cm或8 cm,15 cm,17 cm呢
【学生活动】
动手画图,体验发现,得到猜想.
【教师活动】
操作投影仪,提出探究的问题,引导学生思考,然后再提问个别学生.
【学生活动】
拿出事先准备好的纸片、剪刀,实验、领会、感悟:(1)它们完全重合;
(2)理由是在△A'B'C'中,A'B'2= ( http: / / www.21cnjy.com )B'C'2+A'C'2=a2+b2,因为a2+b2=c2,因此,A'B'=c,从△ABC和△A'B'C'中,BC=a=B'C',AC=b=A'C',AB=c=A'B',推出△ABC≌△A'B'C',所以∠C=∠C'=90°,可见△ABC是直角三角形.
【教师归纳】
如果一个三角形的三边长a、b、c有关系式a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形,且边c对的角是直角.
【教学说明】
采用实验、观察、比较的教学方法,突破难点.
出示习题:(投影显示)
1.以下各组数为边长,能组成直角三角形的是( )
A.5,6,7 B.10,8,4
C.7,25,24 D.9,17,15
2.以下各组正数为边长,能组成直角三角形的是( )
A.a-1,2a,a+1 B.a-1,2,a+1
C.a-1,,a+1 D.a-1,a,a+1
【答案】
1.C;2.B;(a-1)2+(2)2=(a+1)2.
【教学说明】
引导学生用勾股定理的逆定理判别直角三角形的方法.两小边的平方和等于第三边的平方.
三、随堂练习,巩固新知
三角形三边之比为:(1)1 ( http: / / www.21cnjy.com )∶∶2;(2)4∶7.5∶8.5;(3)1∶∶2;(4)3.5∶4.5∶5.5,其中可以构成直角三角形的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
【答案】C
四、典例精析,拓展新知
【例】
某港口位于东西方向的海岸 ( http: / / www.21cnjy.com )线上,“远航号”和“海天号”轮船同时离开港口,各自沿固定的方向航行,“远航号”每小时行16海里,“海天号”每小时行12海里,它们离开港口1.5小时后相距301海里,如果知道“远航号”沿东北方向航行,能知道“海天号”沿哪个方向航行吗
( http: / / www.21cnjy.com )
解:由题意画出示意图,如图,
易知PQ=16×=24,PR=12×=18,PQ=30,
∵242+182=302,
∴PQ2+PR2=RQ2,
∴∠RPQ=90°,
由“远航号”沿东北方向,知道“海天号”沿西北方向航行.
【教学说明】
引导学生画出正确的示意图,体现数学建模思想.
五、运用新知,深化理解
若△ABC的三边a,b,c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试判断△ABC的形状.
【教学说明】
根据所给条件,只有从关于a,b,c的等 ( http: / / www.21cnjy.com )式入手,找出a,b,c三边之间的关系,应用分解因式可得(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0,求出a=5,b=12,c=13,∵a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形.
六、师生互动,课堂小结
这节课你学习了什么 有何收获 有何困惑 与同伴交流,在学生交流发言的基础上,教师归纳总结.
1.勾股定理的逆定理:如果三角形的三条边长a、b、c有关系:a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
2.该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法.
3.利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算,通过学习加深对“数形结合”的理解.
【教学反思】
这节课在勾股定理的基础上,让学生如何从 ( http: / / www.21cnjy.com )三边的关系来判定一个三角形是直角三角形,即“勾股定理的逆定理”.在证明它时,学生可能有些困难,因此课堂教学时先动手操作观察,进而得出用勾股定理证明A'B'=AB.
教案中设计题型前呼后应,使知识有序 ( http: / / www.21cnjy.com )推进,有助于学生理解与掌握;让学生通过合作、交流、反思、感悟的过程,激发学生探究的兴趣,并从中获得成功的体验,真正体现学生是学习的主人.
3.反证法
【教学目标】
知识与技能
1.通过实例,体会反证法的含义.
2.了解反证法的基本步骤,会用反证法证明简单的命题.
过程与方法
通过利用反证法证明命题,体会逆向思维.
情感、态度与价值观
在观察、操作、推理等探索过程中,体验数学活动充满探索性和创造性;渗透事物之间的相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想.
【重点难点】
重点
运用反证法进行推理论证.
难点
理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”.
【教学过程】
一、创设情景,导入新课
出示多媒体,展示《路旁苦李》的故事的动画场景,引入反证法的课题.
二、师生互动,探究新知
活动1 反证法的步骤.
教师给出问题:如果你当时也在场,你会怎么办 五戎是怎么判断李子是苦的 你认为他的判断正确吗
学生讨论交流,选代表发言.
如果李子不是苦的,路旁的人很多,早就没有这么多李子.
教师出示,若a2+b2≠c2(a≤b≤c),则△ABC不是直角三角形,你能按照刚才五戎的方法推理吗
学生活动,代表展示.若∠C是直角,则 a2+b2=c2,而a2+b2≠c2,这是不可能的,即△ABC不是直角三角形.
【教师归纳】
先假设结论的反面是正确的;然后经过演绎推 ( http: / / www.21cnjy.com )理,推出与基本事实、已证定理、定义或已知条件相矛盾;从而说明假设不成立,进而得出原命题正确.即:一、反设;二、推理得矛盾;三、假设不成立,原命题正确.
活动2 用反证法证明.
教材P116例5.
【教师活动】
原命题结论的反向是什么 按照假设可以得到矛盾吗
【学生活动】
独立完成,交流成果,发言展示.
教材P116例6.
【教师活动】
△ABC至少有一个内角小于或等于60°的反向是什么 按照假设可以推出矛盾吗
【学生活动】
独立完成,交流成果,发言展示.
【教师活动】
在几何命题中涉及到有“至少”“至多”“唯一”时,直接不易证明,可考虑反证法.
三、随堂练习,巩固新知
1.(1)用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是钝角”时,首先应假设 .
(2)“已知:△ABC中,AB=AC.求证:∠B<90°”.下面写出了用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤.
①所以∠B+∠C+∠A>180°.这与三角形内角和定理相矛盾.
②所以∠B<90°.
③假设∠B≥90°.
④那么,由AB=AC,得∠B=∠C≥90°.即∠B+∠C≥180°.
这四个步骤正确的顺序应是( )
A.①②③④ B.③④②①
C.③④①② D.④③②①
【答案】
(1)一个三角形中有两个角是钝角
(2)C
【例2】
求证:△ABC中至少有两个角是锐角.
【答案】
证明:假设△ABC中至多有一个锐角,则△ABC中有一个锐角或没有锐角.
(1)当△ABC中只有一个锐角时,不 ( http: / / www.21cnjy.com )妨设∠A为锐角,则∠B≥90°,∠C≥90°,所以∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和定理相矛盾,所以△ABC中不可能只有一个锐角.
(2)假设△ABC中没有锐角,则∠A≥ ( http: / / www.21cnjy.com )90°,∠B≥90°,∠C≥90°,所以∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和定理相矛盾,所以△ABC中不可能没有锐角.
由(1)、(2)得出假设不成立,从而原命题成立.
综上所述,△ABC中至少有两个锐角.
四、典例精析,拓展新知
【例】
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
【教师活动】
(1)你首选的是哪一种证明方法 (2)如果你选择反证法,先怎样假设 结果和什么产生矛盾 (3)能不用反证法证明吗 你准备怎样证明
要求按问题解决的四个步骤进行:理解题意(画出图形,写出已知求证);制订计划(选择证明方法,找出证明思路);执行计划(写出证明过程).
【学生活动】
讨论交流后独立完成.
五、运用新知,深化理解
【例3】
求证:若a>b>0,则>.
【解析】
>的反面是=或<.
【答案】
证明:假设不大于b,则=或<.
(1)当=时,可得a=b,这与已知a>b矛盾,所以=,不成立.
(2)当<时,
∵a>0,b>0,
∴>0,>0,
∴·<·,即a<.
同理可证∴ab矛盾.
∴<不成立.
综合(1)、(2)可知:>.
1.若a、b、c是实数,A=a2-2b+,B=b2-2c+,C=c2-2a+,证明A、B、C中至少有一个值大于零.
【答案】
假设A、B、C中没有一个值大于零,则A≤0,B≤0,C≤0,即A+B+C≤0.
由已知有A+B+C=a2-2b ( http: / / www.21cnjy.com )++b2-2c++c2-2a+=(a2-2a+1)+(b2-2b+1)+(c2-2c+1)+(π-3)=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+(π-3).
∵(a-1)2≥0,(b-1)2≥0,(c-1)2≥0,(π-3)≥0.
∴A+B+C>0,这与假设A≤0,B≤0,C≤0相矛盾,所以A、B、C中至少有一个值大于零.
六、师生互动,课堂小结
这节课你学习了什么 有何收获 有何困惑 与同伴交流,在学生交流发言的基础上,教师总结.
【教学反思】
反证法是一种重要的证题方法,也是初中数 ( http: / / www.21cnjy.com )学的难点,如何突破这一难点,并为学生更好地理解和掌握是需要教师精心设计的.在教学时应注意三个思维障碍:1.思维方向的转换,不能总用直接法;2.证明步骤存在障碍;3.归谬起点推证存在障碍.为使学生更好地理解并掌握反证法,应积极引导学生克服上述思维上的障碍,并通过有关题目训练,使学生掌握反证法.
教师在教学中应强调当结论的反面不止一种情况时,应穷举;“归谬”这一步应包含“归导”与“揭谬”两个层次.
14.1 勾股定理
1.直角三角形三边的关系
【教学目标】
知识与技能
1.经历勾股定理的探索过程,体会数形结合的思想.
2.理解直角三角形三边的关系,会应用勾股定理解决简单的数学问题.
过程与方法
1.经历观察—猜想—归纳———验证等一系列过程,体会数学定理发现的过程.
2.在观察、猜想、归纳、验证等过程中培养学生的数学语言表达能力和初步的逻辑推理能力.
3.在探索过程中,体会数形结合、由特殊到一般的数学思想方法.
情感、态度与价值观
1.通过对勾股定理历史了解,感受数学文化,激发学习兴趣.
2.在探究活动中,体验解决问题方法的多样性,培养学生的合作交流意识和探索精神.
【重点难点】
重点
应用勾股定理解决简单的数学问题.
难点
勾股定理的探索过程以及勾股定理的验证.
【教学过程】
一、创设情景,导入新课
目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球 ( http: / / www.21cnjy.com )的“人”,为此向宇宙发出了许多信号,如地球上人类的语言、音乐、各类图形等。我国数学家华罗庚曾建议,发射一种反映勾股定理的图形,如果宇宙人是“文明人”,那么他们一定会识别这种语言的.这个事实可以说明勾股定理的重大意义.尤其是在两千年前,是非常了不起的成就.
让学生画一个直角边为3 cm和4 cm的直角△ABC,用刻度尺量出AB的长.
以上这个事实是我国古代3 000多年前有一 ( http: / / www.21cnjy.com )个叫商高的人发现的,他说:“把一根直尺折成直角,两段连结得一直角三角形,勾广三,股修四,弦隅五.”这句话的意思是说一个直角三角形较短直角边(勾)的长是3,长的直角边(股)的长是4,那么斜边(弦)的长是5.
再画一个两直角边为5和12的直角△ABC,用刻度尺量出AB的长.
你是否发现32+42与52的关系,52+122和132的关系,即32+42=52,52+122=132,那么就有勾2+股2=弦2.
对于任意的直角三角形也有这个性质吗
二、师生互动,探究新知
1.勾股定理的证明.
【活动】
8方法一:
如图,让学生剪4个全等的直角三角形,拼成如图的图形,利用面积证明.
( http: / / www.21cnjy.com )
S正方形=c2
S正方形=2ab+(a+b)2
从而c2=2ab+(a-b)2
即c2=a2+b2
方法二:已知:在△ABC中 ,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边a、b、c.
求证:a2+b2=c2.
【分析】
左右两边的正方形边长相等,则两个正方形的面积相等.
左边S=4×ab+c2,右边S=(a+b)2
左边和右边的面积相等,
即4×ab+c2=(a+b)2化简可得c2=a2+b2.
( http: / / www.21cnjy.com )
【教学说明】
以上两图出示给学生,分两组交流、证明,完成后由学生代表展示.教师归纳板书:勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
2.求直角三角形的边长.
【活动】 出示习题:
(1)在Rt△ABC中 ,∠C=90°,AC=5,BC=20,则AB= ;
(2)在Rt△ABC中 ,∠C=90°,AB=25,AC=20,则BC= ;
(3)在Rt△ABC中 ,∠C=90°,它的两边是6和8,则它的第三边长是 ;
【答案】(1)13 (2)12 (3)10或2
【教学说明】
先由学生独立完成,再由学生展示,注意(3)要分类,按8为直角边或斜边,最后教师板书:在Rt△ABC中,∠C=90°,b=,a=,b=.
三、随堂练习,巩固新知
1.在Rt△ABC中,已知∠B=90°,AB=6,BC=8,求AC.
解:由勾股定理,可得AB2+BC2=AC2.
所以AC===10.
2.如图,Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2 cm,另一直角边BC长为6 cm,求AC的长.
解:由已知AB=(AC-2)cm,BC=6 cm,根据勾股定理,可得AB2+BC2=(AC -2)2+62E=AC2.
解得AC=10(cm).
3.如图1,为了求出位于湖两岸的点A、B之 ( http: / / www.21cnjy.com )间的距离,一名观测者在点C设桩,使△ABC恰好为直角三角形,通过测量,得到AC的长为160米,BC的长为128米,问从点A穿过湖到点B有多远
( http: / / www.21cnjy.com )
解:如图2,在Rt△ABC中 ,AC=160米,BC=128米,根据勾股定理,可得AB===96(米)
答:从点A穿过湖到点B有96米.
四、典例精析,拓展新知
【例】
如图,△ABC中,AB=13,BC=14,AC=15,求BC边上的高.
( http: / / www.21cnjy.com )
解:设BD=x,则DC=14-x,
由勾股定理得:AB2-BD2=AC2-CD2,
即132-x2=152-(14-x)2,
解得x=5,
∴AD=132-52=12.
【教师说明】
引导勾股定理可由直角三角形中两边求出第三边,也可以为建立三边之间联系提供依据.设BD=x,可否建立方程关系.
五、运用新知,深化理解
1.在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)已知:a=6,b=8,求c;
(2)已知:a=40,c=41,求b.
2.一个高4米,宽3米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木板,则木板的长为( )
A.3米 B.4米
C.5米 D.6米
【答案】
1.(1)10 (2)9
2.C
已知,如图,长方形ABCD中,AB=3 cm,AD=9 cm,将此长方形折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则AE的长度为多少
【答案】
设AE=x,则DE=9-x ( http: / / www.21cnjy.com ),由题意可知BE=DE=9-x,在直角三角形ABE中,由勾股定理可得:AB2+AE2=BE2,∴32+x2=(9-x)2,∴x=4,∴AE=4 cm.
【教学说明】
第2题中若学生有困难可引导如何构建直角三角形.
六、师生互动,课堂小结
这节课你学习了什么 有何收获 有何困惑 与同伴交流,在学生发言的基础上,教师归纳总结.
【教学反思】
新课程标准对勾股定理这部分的教学要求与 ( http: / / www.21cnjy.com )旧大纲有所不同,新课程标准对勾股定理这部分的教学要求是:体验勾股定理的探索过程,会用勾股定理解决简单实际的问题.本节课教师从引导构造的图形入手,用面积法证明勾股定理难度不大,但面积法教材首次用到,基于此教师在教学过程中应给予适当的引导,让学生体会成功的快乐.
2.直角三角形的判定
【教学目标】
知识与技能
掌握直角三角形的判定条件,并能进行简单运用.
过程与方法
经历探索直角三角形的判定条件过程,理解勾股定理的逆定理.
情感、态度与价值观
激发学生解决问题的愿望,体会勾股定理逆向思维所获得的结论,明确其应用范围和实际价值.
【重点难点】
重点
理解和应用直角三角形的判定方法.
难点
运用直角三角形判定方法解决问题.
【教学过程】
一、创设情景,导入新课
【实验观察】
实验方法:用一根打上13个等距离结 ( http: / / www.21cnjy.com )的细绳子,让同学操作,用钉子钉在第一个结上,再钉在第4个结上,再钉在第8个结上,最后将第十三个结与第一个结钉在一起,然后用角尺量出最大角的度数.(90°),可以发现这个三角形是直角三角形.
二、师生互动,探究新知
【教师活动】
古埃及人曾经用过这种方法来得到直角 ( http: / / www.21cnjy.com ),这个三角形三边长分别为多少 (3,4,5).这三边满足了怎样的条件呢 (32+42=52),是不是只有三边长为3,4,5的三角形才能构成直角三角形呢 请同学们动手画一画,如果三角形的三边分别为2.5 cm,6 cm,6.5 cm,满足关系式“2.52+62=6.52”,画出的三角形是直角三角形吗 换成三边分别为5 cm,12 cm,13 cm或8 cm,15 cm,17 cm呢
【学生活动】
动手画图,体验发现,得到猜想.
【教师活动】
操作投影仪,提出探究的问题,引导学生思考,然后再提问个别学生.
【学生活动】
拿出事先准备好的纸片、剪刀,实验、领会、感悟:(1)它们完全重合;
(2)理由是在△A'B'C'中,A'B'2= ( http: / / www.21cnjy.com )B'C'2+A'C'2=a2+b2,因为a2+b2=c2,因此,A'B'=c,从△ABC和△A'B'C'中,BC=a=B'C',AC=b=A'C',AB=c=A'B',推出△ABC≌△A'B'C',所以∠C=∠C'=90°,可见△ABC是直角三角形.
【教师归纳】
如果一个三角形的三边长a、b、c有关系式a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形,且边c对的角是直角.
【教学说明】
采用实验、观察、比较的教学方法,突破难点.
出示习题:(投影显示)
1.以下各组数为边长,能组成直角三角形的是( )
A.5,6,7 B.10,8,4
C.7,25,24 D.9,17,15
2.以下各组正数为边长,能组成直角三角形的是( )
A.a-1,2a,a+1 B.a-1,2,a+1
C.a-1,,a+1 D.a-1,a,a+1
【答案】
1.C;2.B;(a-1)2+(2)2=(a+1)2.
【教学说明】
引导学生用勾股定理的逆定理判别直角三角形的方法.两小边的平方和等于第三边的平方.
三、随堂练习,巩固新知
三角形三边之比为:(1)1 ( http: / / www.21cnjy.com )∶∶2;(2)4∶7.5∶8.5;(3)1∶∶2;(4)3.5∶4.5∶5.5,其中可以构成直角三角形的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
【答案】C
四、典例精析,拓展新知
【例】
某港口位于东西方向的海岸 ( http: / / www.21cnjy.com )线上,“远航号”和“海天号”轮船同时离开港口,各自沿固定的方向航行,“远航号”每小时行16海里,“海天号”每小时行12海里,它们离开港口1.5小时后相距301海里,如果知道“远航号”沿东北方向航行,能知道“海天号”沿哪个方向航行吗
( http: / / www.21cnjy.com )
解:由题意画出示意图,如图,
易知PQ=16×=24,PR=12×=18,PQ=30,
∵242+182=302,
∴PQ2+PR2=RQ2,
∴∠RPQ=90°,
由“远航号”沿东北方向,知道“海天号”沿西北方向航行.
【教学说明】
引导学生画出正确的示意图,体现数学建模思想.
五、运用新知,深化理解
若△ABC的三边a,b,c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试判断△ABC的形状.
【教学说明】
根据所给条件,只有从关于a,b,c的等 ( http: / / www.21cnjy.com )式入手,找出a,b,c三边之间的关系,应用分解因式可得(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0,求出a=5,b=12,c=13,∵a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形.
六、师生互动,课堂小结
这节课你学习了什么 有何收获 有何困惑 与同伴交流,在学生交流发言的基础上,教师归纳总结.
1.勾股定理的逆定理:如果三角形的三条边长a、b、c有关系:a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
2.该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法.
3.利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算,通过学习加深对“数形结合”的理解.
【教学反思】
这节课在勾股定理的基础上,让学生如何从 ( http: / / www.21cnjy.com )三边的关系来判定一个三角形是直角三角形,即“勾股定理的逆定理”.在证明它时,学生可能有些困难,因此课堂教学时先动手操作观察,进而得出用勾股定理证明A'B'=AB.
教案中设计题型前呼后应,使知识有序 ( http: / / www.21cnjy.com )推进,有助于学生理解与掌握;让学生通过合作、交流、反思、感悟的过程,激发学生探究的兴趣,并从中获得成功的体验,真正体现学生是学习的主人.
3.反证法
【教学目标】
知识与技能
1.通过实例,体会反证法的含义.
2.了解反证法的基本步骤,会用反证法证明简单的命题.
过程与方法
通过利用反证法证明命题,体会逆向思维.
情感、态度与价值观
在观察、操作、推理等探索过程中,体验数学活动充满探索性和创造性;渗透事物之间的相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想.
【重点难点】
重点
运用反证法进行推理论证.
难点
理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”.
【教学过程】
一、创设情景,导入新课
出示多媒体,展示《路旁苦李》的故事的动画场景,引入反证法的课题.
二、师生互动,探究新知
活动1 反证法的步骤.
教师给出问题:如果你当时也在场,你会怎么办 五戎是怎么判断李子是苦的 你认为他的判断正确吗
学生讨论交流,选代表发言.
如果李子不是苦的,路旁的人很多,早就没有这么多李子.
教师出示,若a2+b2≠c2(a≤b≤c),则△ABC不是直角三角形,你能按照刚才五戎的方法推理吗
学生活动,代表展示.若∠C是直角,则 a2+b2=c2,而a2+b2≠c2,这是不可能的,即△ABC不是直角三角形.
【教师归纳】
先假设结论的反面是正确的;然后经过演绎推 ( http: / / www.21cnjy.com )理,推出与基本事实、已证定理、定义或已知条件相矛盾;从而说明假设不成立,进而得出原命题正确.即:一、反设;二、推理得矛盾;三、假设不成立,原命题正确.
活动2 用反证法证明.
教材P116例5.
【教师活动】
原命题结论的反向是什么 按照假设可以得到矛盾吗
【学生活动】
独立完成,交流成果,发言展示.
教材P116例6.
【教师活动】
△ABC至少有一个内角小于或等于60°的反向是什么 按照假设可以推出矛盾吗
【学生活动】
独立完成,交流成果,发言展示.
【教师活动】
在几何命题中涉及到有“至少”“至多”“唯一”时,直接不易证明,可考虑反证法.
三、随堂练习,巩固新知
1.(1)用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是钝角”时,首先应假设 .
(2)“已知:△ABC中,AB=AC.求证:∠B<90°”.下面写出了用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤.
①所以∠B+∠C+∠A>180°.这与三角形内角和定理相矛盾.
②所以∠B<90°.
③假设∠B≥90°.
④那么,由AB=AC,得∠B=∠C≥90°.即∠B+∠C≥180°.
这四个步骤正确的顺序应是( )
A.①②③④ B.③④②①
C.③④①② D.④③②①
【答案】
(1)一个三角形中有两个角是钝角
(2)C
【例2】
求证:△ABC中至少有两个角是锐角.
【答案】
证明:假设△ABC中至多有一个锐角,则△ABC中有一个锐角或没有锐角.
(1)当△ABC中只有一个锐角时,不 ( http: / / www.21cnjy.com )妨设∠A为锐角,则∠B≥90°,∠C≥90°,所以∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和定理相矛盾,所以△ABC中不可能只有一个锐角.
(2)假设△ABC中没有锐角,则∠A≥ ( http: / / www.21cnjy.com )90°,∠B≥90°,∠C≥90°,所以∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和定理相矛盾,所以△ABC中不可能没有锐角.
由(1)、(2)得出假设不成立,从而原命题成立.
综上所述,△ABC中至少有两个锐角.
四、典例精析,拓展新知
【例】
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
【教师活动】
(1)你首选的是哪一种证明方法 (2)如果你选择反证法,先怎样假设 结果和什么产生矛盾 (3)能不用反证法证明吗 你准备怎样证明
要求按问题解决的四个步骤进行:理解题意(画出图形,写出已知求证);制订计划(选择证明方法,找出证明思路);执行计划(写出证明过程).
【学生活动】
讨论交流后独立完成.
五、运用新知,深化理解
【例3】
求证:若a>b>0,则>.
【解析】
>的反面是=或<.
【答案】
证明:假设不大于b,则=或<.
(1)当=时,可得a=b,这与已知a>b矛盾,所以=,不成立.
(2)当<时,
∵a>0,b>0,
∴>0,>0,
∴·<·,即a<.
同理可证
∴<不成立.
综合(1)、(2)可知:>.
1.若a、b、c是实数,A=a2-2b+,B=b2-2c+,C=c2-2a+,证明A、B、C中至少有一个值大于零.
【答案】
假设A、B、C中没有一个值大于零,则A≤0,B≤0,C≤0,即A+B+C≤0.
由已知有A+B+C=a2-2b ( http: / / www.21cnjy.com )++b2-2c++c2-2a+=(a2-2a+1)+(b2-2b+1)+(c2-2c+1)+(π-3)=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+(π-3).
∵(a-1)2≥0,(b-1)2≥0,(c-1)2≥0,(π-3)≥0.
∴A+B+C>0,这与假设A≤0,B≤0,C≤0相矛盾,所以A、B、C中至少有一个值大于零.
六、师生互动,课堂小结
这节课你学习了什么 有何收获 有何困惑 与同伴交流,在学生交流发言的基础上,教师总结.
【教学反思】
反证法是一种重要的证题方法,也是初中数 ( http: / / www.21cnjy.com )学的难点,如何突破这一难点,并为学生更好地理解和掌握是需要教师精心设计的.在教学时应注意三个思维障碍:1.思维方向的转换,不能总用直接法;2.证明步骤存在障碍;3.归谬起点推证存在障碍.为使学生更好地理解并掌握反证法,应积极引导学生克服上述思维上的障碍,并通过有关题目训练,使学生掌握反证法.
教师在教学中应强调当结论的反面不止一种情况时,应穷举;“归谬”这一步应包含“归导”与“揭谬”两个层次.