沪教版八年级数学下册试题 22.3特殊平行四边形试卷（含答案）

22.3特殊平行四边形
一、单选题
1．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别相等 B．两组对边分别平行
C．两条对角线相等 D．两条对角线互相垂直
2．如图，在菱形中，对角线，相交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．下列四个命题中，真命题是（ ）
A．对角线垂直且相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
C．一组邻边相等的平行四边形是正方形
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
4．已知矩形的较短边长为6，对角线相交成60°角，则这个矩形的较长边的长是（ ）
A． B． C．9 D．12
5．如图，E是矩形的边上一点，，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在正方形 中， 是 上的一点，且 ，则 的度数是（)
A．20° B．22.5° C．30° D．45°
7．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长（　　）
A． B． C． D．
8．如图所示，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，与交于点，则重叠部分的面积是( )
A．20 B．16 C．12 D．10
9．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，在其中一张纸条转动的过程中，下列结论一定成立的是（　　）
A． B．四边形面积不变
C． D．四边形周长不变
10．如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③平分；④．其中结论正确的序号有（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
二、填空题
11．菱形的对角线之比为3：4，且面积为24，则它的周长为__________．
12．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是_______ (只填写序号)．
13．如图，矩形的对角线相交于点O，，．若，则四边形的周长是______．
14．如图，在菱形中，对角线相交于点O，，E是线段上一点，且，则的度数是______．
15．如图，在菱形中，E，F，G分别是，，的中点，且，，则菱形的面积是___．
16．如图，在正方形ABCD中，AB=3，延长BC到点E，使CE=1，连接DE，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP和△DCE全等时，t的值为__．
17．如图，正方形的边长为，点为边上一点，，点为的中点，过点作直线分别与，相交于点，.若，则长为______.
18．如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，点H在边AD上，AH＝2，E为边AB上一个动点，连接HE．以HE为一边在HE的右上方作菱形HEFG，使点G落在边DC上，连接CF．
（1）当菱形HEFG为正方形时，DG的长为___；
（2）在点E的运动过程中，△FCG的面积S的取值范围为___．
三、解答题
19．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点D作交的延长线于E．
(1)求证：；
(2)若，，求的周长．
20．如图，在中，点，分别是线段，的中点，且，延长至点使得，连结和．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若，，求的长．
21．如图，在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD和CB于点E，F连接AF，CE．
（1）求证：OE＝OF；
（2）求证：四边形AFCE是菱形．
22．如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点，过点D作，且，连接，连接交于点.
（1）求证：；
（2）若菱形ABCD的边长为4，，求的长.
23．如图，正方形中，点分别在边上，且，连接相交于点，作，垂足是．
（1）求证：；
（2）求证：．
24．已知，如图，矩形中，，，菱形的三个顶点，，分别在矩形的边，，上，，连接．
（1）若，求证四边形为正方形；
（2）若，求的面积．
25．已知正方形的边长为4，E是上一个动点，以点E为直角顶点，在正方形外侧等腰直角三角形，连结、、．
（1）与的位置关系是__________．
（2）①如图1，当（即点E与点D重合）时，的面积为_________．
②如图2，当（即点E为的中点）时，的面积为________．
③如图3，当时，的面积为_______．
（3）如图4，根据上述计算的结果，当E是上任意一点时，请提出你对面积与正方形的面积之间关系的猜想，并证明你的猜想．
26．如图，在平行四边形 ABCD中，，E，F分别为，的中点，作于点G，的延长线交的延长线于点H．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）当时，
①求的长．
②如图2，交于点P，记的面积为，的面积为，则的值为________．
27．如图，已知四边形是正方形，，点E为对角线上一动点，连接．过点E作，交射线点F，以为邻边作矩形．连接．
(1)连接，求证：．
(2)求证：矩形是正方形．
(3)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由．
答案
一、单选题
1．C
【分析】分别根据矩形和菱形的性质可得出其对角线性质的不同，可得到答案．
【解析】解：矩形的对角线相等且平分，菱形的对角线垂直且平分，
所以矩形具有而菱形不具有的为对角线相等，
故选：C．
2．B
【分析】根据菱形的性质得到，，再进一步求解即可．
【解析】解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
故选B．
3．D
【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理等知识逐项判定即可．
【解析】解：选项，对角线相等且互相垂直的四边形是菱形，若对角线不互相平分，则不是菱形，故原命题为假命题；
选项，对角线互相平分说明是平行四边形，菱形的判定定理：对角线垂直的平行四边形是菱形，故原命题为假命题；
选项，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故原命题为假命题；
选项，对角线相等且互相平分的四边形是矩形，为真命题；
故选：．
4．B
【分析】根据矩形对角线相等且互相平分的性质和题中的条件易得△AOB为等边三角形，即可得到矩形对角线的长，进而求解即可．
【解析】
如图：AB=6，∠AOB=60°，
∵四边形是矩形，AC，BD是对角线，
∴OA=OB=OC=OD=BD=AC，
在△AOB中，OA=OB，∠AOB=60°，
∴OA=OB=AB=6，BD=2OB=12，
∴BC=．
故选：B．
5．C
【分析】先由矩形证得，从而得，再由等腰三角形的性质求出等腰三角形的底角，再由平行线性质得出结论．
【解析】解：四边形是矩形，
∴
∴
∵，
∴
∴，
∵
∴，
故选：C
6．B
【分析】在正方形中可知∠BAC＝45°，由AB＝AE，进而求出∠ABE，又知∠ABE＋∠EBC＝90°，故能求出∠EBC．
【解析】解：在正方形ABCD中，∠BAC＝45°，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝67.5°，
∵∠ABE＋∠EBC＝90°，
∴∠EBC＝22.5°，
故选B．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握基础知识是解题关键．
7．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据菱形的性质得O为的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得的长度，利用勾股定理求得的长，最后由菱形的面积公式求解．
【解析】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∵，即，
∴．
故选：B．
8．D
【分析】根据折叠的性质可得∠ADB=∠EDB，由平行可得∠ADB=∠CBD，推出∠CBD=∠EDB，设BF为x，在Rt△DCF中，根据勾股定理列出方程求出x，再根据面积公式求出△BDF的面积即可．
【解析】∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵△BDE是△BDA折叠后的图形，
∴∠ADB=∠EDB，
∴∠CBD=∠EDB，
设BF为x，则DF为x，CF为8－x，
在Rt△DCF中，
解得：x=5，
∴S△BDF=．
故选D．
9．A
【分析】两张等宽的纸条的宽为h，根据题意可得，从而得到四边形是平行四边形，再由，可得，进而得到四边形是菱形，即可．
【解析】解∶ 设两张等宽的纸条的宽为h，
∵纸条的对边平行，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，故A选项正确，符合题意，C选项错误，不符合题意；
∵在旋转的过程中，在变化，
∴四边形面积和周长也在变化，故B、D选项错误，不符合题意；
故选：A．
10．A
【分析】过作，过作于，如图所示，根据正方形性质得，，推出四边形是正方形，由矩形性质得，，根据全等三角形的性质得，推出矩形是正方形，故①正确；根据正方形性质得，推出，得到，，由此推出平分，故③正确；进而求得，故②错误；当时，点与点重合，得到不一定等于，故④错误；故选A．
【解析】过作，过作于，如图所示，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴矩形是正方形，故①正确；
∴，
∵四边形是正方形
∴，
∴
在和中
∴
∴，
∵
∴平分，故③正确；
∴，故②错误；
当时，点与点重合，
∴不一定等于，故④错误．
故选：A
二、填空题
11．20
【分析】依题意，已知菱形的面积以及对角线之比，首先根据面积公式求出菱形的对角线长，然后利用勾股定理求出菱形的边长．
【解析】解：如图：
由题：，
∴可设，，
∵菱形ABCD的面积为，
∴（舍去），
∴，，
∴，，
∴中，由勾股定理得：，
∴菱形的周长是：．
故答案是：20．
12．②③或①④
【分析】要判定是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形．
【解析】有6种选法：（1）①②：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；
（2）②③：由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误；
（3）①③：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；
（4）②④：由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；
（5）①④：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误；
（6）③④：由③得对角线相等的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；
综上所述：错误的是：②③或①④．
故答案为②③或①④．
13．40
【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等，得到，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，利用邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形为菱形，即可求出其周长．
【解析】∵四边形为矩形，
，，且，
∴，
，
∴四边形为平行四边形，
，
∴四边形为菱形，
．
故答案为：40
14．
【分析】由菱形的性质可得，，可得，由三角形内角和定理求得的度数，据此即可求解．
【解析】解：∵四边形是菱形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15．96
【分析】连接，，交点为，与交于点，与交于点，由三角形中位线定理得出，，，，得出，由勾股定理求出的长，根据菱形的面积公式可得出答案．
【解析】解：如图，连接，，交点为，与交于点，与交于点，
四边形是菱形，
，
，，分别是，，的中点，
，，，，
四边形是矩形，
，
，，
，
，，
菱形的面积是．
故答案为96．
16．4或11
【分析】根据运动过程，根据点P运动的位置和全等情况分类讨论，根据全等三角形的性质即可分别求解．
【解析】解：当点P在AB上运动时，显然A、B、P构不成三角形
∴此时不符合题意；
当点P在BC上运动时，
由AB=CD， ∠ABP=∠DCE=90°，显然此时存在△ABP≌△DCE
∴BP=CE
∴t-3=1，即t=4；
当点P在CD上运动时，如下图所示，显然不存在点P，使得△ABP和△DCE全等；
当点P在DA上运动时，如下图所示
由AB=CD， ∠A=∠DCE=90°，显然此时存在△ABP≌△CDE
∴AP=CE=1
∴3×4-t=1
解得t=11．
综上：当△ABP和△DCE全等时，t的值为4或11．
故答案为：4或11．
17．1或2
【分析】根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，由ABCD为正方形，得到AD=DC=PN，在直角三角形ADE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，进而利用勾股定理求出AE的长，根据M为AE中点求出AM的长，利用HL得到三角形ADE与三角形PQN全等，利用全等三角形对应边，对应角相等得到DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，再由PN与DC平行，得到∠PFA=∠DEA=60°，进而得到PM垂直于AE，在直角三角形APM中，根据AM的长，利用锐角三角函数定义求出AP的长，再利用对称性确定出AP′的长即可．
【解析】根据题意画出图形，过点作，交于点，交于点，四边形为正方形，.
在中，，cm，
cm.
根据勾股定理得cm.
为的中点，
cm，
在和中，
，
，.
PN//DC，
，
，即.
在中，，
cm.
由对称性得到 cm，
综上，等于1cm或2cm.
故答案为1或2.
18． 2
【分析】（1）由于四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为正方形，那么∠D=∠A=∠GHE=，HG=HE，易证△GDH≌△HAE，得DG=AH=2；
（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，由于ABCD，可得∠AEG=∠MGE，同理有∠HEG=∠FGE，利用等式性质有∠AEH=∠MGF，再结合∠A=∠M=，HE=FG，可证△AHE≌△MFG，从而有FM=HA=2，进而可求△FCG的面积S的最大值和最小值，从而确定S的取值范围．
【解析】解：（1）如图1，当菱形为正方形时，，，
四边形为矩形，
，
，
，
在和中，
，
，
；
故答案为：2；
（2）如图2，过作，交延长线于，连接，
∵ABCD，
，
∵HEGF，
，
，
在和中，
，
，即无论菱形如何变化，点到直线的距离始终为定值2，
∴，
设，则，
在中，，
，
，
即，
，
，
的最小值为，此时，
的最大值为8时，，
在点的运动过程中，的面积的取值范围为：；
故答案为：；
三、解答题
19．（1）证明：四边形是菱形，
，，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
，
．
（2）解：在菱形中，，
在中，，，
，
，
，
周长．
20．解：（1）∵E是AC中点，
∴，
∵，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形ADCF是矩形．
（2）∵四边形ADCF是矩形，
∴，
∵D是AB中点，
∴，
∵，
∴，
∴．
21．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵AC的中点是O，
∴OA＝OC，
在和中，
，
，
∴OE＝OF；
（2）∵OE＝OF，AO＝CO，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形．
22．(1)证明：在菱形ABCD中
OC=AC，AC⊥BD，
∵DE=AC，
∴DE=OC，
∵DE∥OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴□OCED是矩形，
∴OE=CD．
(2) 在菱形ABCD中,AB=BC=4，
∵∠ABC=60 ，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=4，OA=AC=2，
在Rt△AOB中，，
∵四边形OCED是矩形，
∴OD=CE=OB=，
在Rt△ACE中，．
23．（1）四边形是正方形，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）由（1）知，
，
，
又，
，
．
24．解：(1)∵四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为菱形，
∴∠D=∠A=90°，HG=HE，又AH=DG=2，
∴Rt△AHE≌Rt△DGH(HL)，
∴∠DHG=∠HEA，
∵∠AHE+∠HEA=90°，
∴∠AHE+∠DHG=90°，
∴∠EHG=90°，
∴四边形HEFG为正方形；
(2)过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，
∵AB//CD，
∴∠AEG=∠MGE，
∵HE//GF，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠MGF，
在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG，
∴△AHE≌△MFG，
∴FM=HA=2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2，
因此S△FCG=×FM×GC=×2×(7 6)=1.
25．
解：（1）正方形，等腰直角三角形，
，
，
即、、三点共线，
，，
四边形是平行四边形，
，
故答案为：平行．
（2）①的面积是，
故答案为：8．
②的面积是：
，
故答案为：8．
③与②求法类似：的面积是
，
故答案为：8．
（3）面积与正方形的面积之间关系是S正方形ABCD．
证明：，
S正方形ABCD，
∴S正方形ABCD．
26．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵E、F分别为BC、AD中点，
∴AF=AD，BE=BC，
∴AF=BE，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AD=2AB，AD=2AF，
∴AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）①连接AE交BF于点O，
∵四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OB=OF=BE=4，OA=OE=AE，
∴∠AOB=90°，
在Rt△AOB中，OA==3,
∴AE=2OA=6，
∴S菱形ABEF=AE·BF=×6×8=24，
∵E、F分别是BC、AD中点，
∴BE=EC，AF=FD，
∵AD∥BC，
∴四边形ABEF，四边形EFDC都是平行四边形，且底和高相等，
∴S四边形ABEF=S四边形EFDC=24，
∴S四边形ABCD=S四边形ABEF+S四边形EFDC=48，
∵CG⊥AB，
∴S四边形ABEF=AB·CG=5CG=48，∠BGC=90°，
∴CG=，
∵AD=BC=2AB=10，
∴BG=，
∴AG=AB-BG=5-=，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=5，AB∥CD，
∴∠A=∠FDH，∠GCH=∠BGC=90°，
∵F是AD中点，
∴AF=DF，
在△AFG和△DFH中，
，
∴△AFG≌△DFH（ASA），
∴AG=DH=，
∴CH=CD+DH=5+=，
在Rt△GCH中，GH==12；
②过F作FK⊥AB交BA延长线于K，
∴S四边形ABEF=AB·FK=5FK=24，
∴FK=，
∴S△BGF=BG·FK==，
S△BGC=BG·CG==，
∵S2=S△BGC-S△BGP=-S△BGP，
S1=S△BGF-S△BGP=-S△BGP，
∴S2-S1=-=．
27．（1）证明：∵点E是正方形对角线上的点，
∴，，，
∴，
∴；
（2）证明：如图，作，
∴，
∵点E是正方形对角线上的点，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
∴矩形是正方形；
（3）解：的值是定值，定值为4．
理由：∵四边形、都是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．