辽宁省沈阳市东北育才学校科学高中部2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 辽宁省沈阳市东北育才学校科学高中部2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 731.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-13 12:28:30 | ||
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文档简介
东北育才学校科学高中部2023-2024学年度下学期高二年级期中考试
数学学科试卷
时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设事件A，B满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知一个等比数列的前n项，前项，前项的和分别为P，Q，R，则下列等式中恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．若不等式对任意恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数满足对任意的且都有，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．已知当时，不等式恒成立，则正实数a的最小值为（ ）
A．1 B． C．e D．
7．若（且）恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．若数列满足：当时，，则数列的前28项和为（ ）
A．2048 B．2046 C．4608 D．4606
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．已知A，B是两个事件，且，则下列结论一定成立的是（ ）
A．
B．若，则A与B独立
C．若A与B独立，且，则
D．若A与B独立，且，则
10．棋盘上标有第0、1、2、…100站，棋子开始位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束．设棋子位于第n站的概率为，设，则下列结论正确的有（ ）
A． B．数列是公比为的等比数列
C． D．
11．函数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，在处的切线的斜率为1
B．当时，在上单调递增
C．对任意，在上均存在零点
D．存在，在上有唯一零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若对任意的，且，则m的最小值是___________．
13．已知数列满足，的前n项和为，则___________．
14．己知动点P，Q分别在圆和曲线上，则的最小值为___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（本小题13分）
某同学买了7个盲盒，每个盲盒中都有一个礼物，有4个装小兔和3个装小狗．
（1）依次不放回地从中取出2个盲盒，求第1次、第2次取到的都是小兔盲盒的概率；
（2）依次不放回地从中取出2个盲盒，求第2次取到的是小狗盲盒的概率．
16．（本小题15分）
已知数列满足，．
（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若记为满足不等式的正整数k的个数，求数列的前n项和．
17．（本小题15分）
已知函数．
（1）求函数图象经过的定点坐标；
（2）当时，求曲线在点处的切线方程及函数单调区间；
（3）若对任意恒成立，求实数a的取值范围．
18．（本小题17分）
若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质P．
（1）若具有性质P，且，求；
（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，；，，判断是否具有性质P，并说明理由；
（3）设是无穷数列，己知，求证：“对任意，都具有性质P”的充要条件为“是常数列”．
19．（本小题17分）
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若对恒成立，求a的取值范围．
数学期中考试
【答案】
1．B 2．D 3．B 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．BC 10．ABD 11．AD
12．
13．962 14．
15．解：（1）
设事件“第i次取到的是小兔盲盒”，
，
，
即第1次、第2次取到的都是小兔盲盒的概率为．
（2）设事件“第i次取到的是小狗盲盒”，．
，
由全概率公式，可知第2次取到的是小狗盲盒的概率为
．
16．（1）证明：，
即，
为等差数列，其首项为1，公差为，
，
，
（2）由得，
，
满足不等式的正整数k的个数为，
，
，
①，
②
①-②得：
，
．
17．解：（1）当时，，所以，
所以函数的图象无论a为何值都经过定点．
（2）当时，．
则，
则，
则切线方程为，即．
易知函数定义域为
令，解得，此时函数单调递增；
令，解得，此时函数单调递减．
（3）．
当时，在上单调递增．
所以，当且仅当时等号成立，所以不恒成立．
当时，设．
的对称轴为，
在上单调递增，且存在唯一，使得．
当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增．
在上的最大值．
，得，
解得．
18．解：（1），
．
（2）设无穷数列的公差为：d，无穷数列的公比为q，则，
，
．
，
而，但是不具有性质P．
（3）充分性：若是常数列，
设，则，
若存在p，q使得，则，
故具有性质P．
必要性：若对于任意具有性质P，
则，
设函数，
由图象可得，对于任意的，二者图象至少有一个交点，
一定能找到一个，使得，
，
故，
是常数列．
19．解：
（1）由题，，
令，得或a，
当时，令，解得或，
令，解得，
当时，，
当时，令，解得或，
令，解得，
综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减，
当时，在R上单调递增，
当时，在和上单调递增，在上单调递减．
（2）因为，对恒成立，
所以，得，
若，由（1）知在和上单调递增，在上单调递减，
，即，解得，
；
若在上单调递增，恒成立，
；
若在和上单调递增，在上单调递减．
，即，解得，
又，
，
，
综上，符合题意的实数a的取值范围为．
数学学科试卷
时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设事件A，B满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知一个等比数列的前n项，前项，前项的和分别为P，Q，R，则下列等式中恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．若不等式对任意恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数满足对任意的且都有，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．已知当时，不等式恒成立，则正实数a的最小值为（ ）
A．1 B． C．e D．
7．若（且）恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．若数列满足：当时，，则数列的前28项和为（ ）
A．2048 B．2046 C．4608 D．4606
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．已知A，B是两个事件，且，则下列结论一定成立的是（ ）
A．
B．若，则A与B独立
C．若A与B独立，且，则
D．若A与B独立，且，则
10．棋盘上标有第0、1、2、…100站，棋子开始位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束．设棋子位于第n站的概率为，设，则下列结论正确的有（ ）
A． B．数列是公比为的等比数列
C． D．
11．函数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，在处的切线的斜率为1
B．当时，在上单调递增
C．对任意，在上均存在零点
D．存在，在上有唯一零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若对任意的，且，则m的最小值是___________．
13．已知数列满足，的前n项和为，则___________．
14．己知动点P，Q分别在圆和曲线上，则的最小值为___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（本小题13分）
某同学买了7个盲盒，每个盲盒中都有一个礼物，有4个装小兔和3个装小狗．
（1）依次不放回地从中取出2个盲盒，求第1次、第2次取到的都是小兔盲盒的概率；
（2）依次不放回地从中取出2个盲盒，求第2次取到的是小狗盲盒的概率．
16．（本小题15分）
已知数列满足，．
（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若记为满足不等式的正整数k的个数，求数列的前n项和．
17．（本小题15分）
已知函数．
（1）求函数图象经过的定点坐标；
（2）当时，求曲线在点处的切线方程及函数单调区间；
（3）若对任意恒成立，求实数a的取值范围．
18．（本小题17分）
若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质P．
（1）若具有性质P，且，求；
（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，；，，判断是否具有性质P，并说明理由；
（3）设是无穷数列，己知，求证：“对任意，都具有性质P”的充要条件为“是常数列”．
19．（本小题17分）
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若对恒成立，求a的取值范围．
数学期中考试
【答案】
1．B 2．D 3．B 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．BC 10．ABD 11．AD
12．
13．962 14．
15．解：（1）
设事件“第i次取到的是小兔盲盒”，
，
，
即第1次、第2次取到的都是小兔盲盒的概率为．
（2）设事件“第i次取到的是小狗盲盒”，．
，
由全概率公式，可知第2次取到的是小狗盲盒的概率为
．
16．（1）证明：，
即，
为等差数列，其首项为1，公差为，
，
，
（2）由得，
，
满足不等式的正整数k的个数为，
，
，
①，
②
①-②得：
，
．
17．解：（1）当时，，所以，
所以函数的图象无论a为何值都经过定点．
（2）当时，．
则，
则，
则切线方程为，即．
易知函数定义域为
令，解得，此时函数单调递增；
令，解得，此时函数单调递减．
（3）．
当时，在上单调递增．
所以，当且仅当时等号成立，所以不恒成立．
当时，设．
的对称轴为，
在上单调递增，且存在唯一，使得．
当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增．
在上的最大值．
，得，
解得．
18．解：（1），
．
（2）设无穷数列的公差为：d，无穷数列的公比为q，则，
，
．
，
而，但是不具有性质P．
（3）充分性：若是常数列，
设，则，
若存在p，q使得，则，
故具有性质P．
必要性：若对于任意具有性质P，
则，
设函数，
由图象可得，对于任意的，二者图象至少有一个交点，
一定能找到一个，使得，
，
故，
是常数列．
19．解：
（1）由题，，
令，得或a，
当时，令，解得或，
令，解得，
当时，，
当时，令，解得或，
令，解得，
综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减，
当时，在R上单调递增，
当时，在和上单调递增，在上单调递减．
（2）因为，对恒成立，
所以，得，
若，由（1）知在和上单调递增，在上单调递减，
，即，解得，
；
若在上单调递增，恒成立，
；
若在和上单调递增，在上单调递减．
，即，解得，
又，
，
，
综上，符合题意的实数a的取值范围为．
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