沪教版八年级数学下册第20章一次函数与四边形专题试卷（含答案）

《一次函数与四边形》
（含存在性问题、最值问题、动态问题）
一、解答题
1．在平面直角坐标系xOy中，已知直线分别与x轴、y轴交于点A、B，直线的图像与y轴交于点C，与已知直线交于点D，点D的横坐标是2
（1）求直线的解析式；
（2）将直线的图像向上或向下平移，交直线于点E，设平移所得函数图像的截距为b，如果交点E始终落在线段AB上，求b的取值范围．
（3）在x轴上是否存在点P，使点P与点A、B、C构成的四边形为梯形，如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
2．在平面直角坐标系中，已知矩形，点，现将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点，，的对应点分别为点，，．
(1)如图1，当点恰好落在边上时，则的长为______(请直接写出答案)；
(2)如图2，所在直线与、分别交于点、，且．求线段的长度．
(3)如图3，设点为边的中点，连接，，，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
3．点为平面直角坐标系中的任意一点，记（分别为点的横、纵坐标），把称为点的特征数．
(1)当点的坐标为时，求的值．
(2)若点的特征数是5，点的特征数是6，求点的坐标．
(3)如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为、、．
点的坐标为_____．
当且点在内部（不包含边界）时，直接写出的取值范围．
当点在内部（不包含边界）时，直接写出的取值范围．
4．在平面直角坐标系中，对于两个点，和图形，如果在图形上存在点，，可以重合）使得，那么称点与点是图形的一对平衡点．
(1)如图1，已知点，．
①设点与线段上一点的距离为，则的最小值是　　，最大值是　　；
②在，，这三个点中，与点是线段的一对平衡点的是　　；
(2)如图2，已知正方形的边长为2，一边平行于轴，对角线的交点为点，点的坐标为．若点在第一象限，且点与点是正方形的一对平衡点，求的取值范围；
(3)已知点，，某正方形对角线的交点为坐标原点，边长为．若线段上的任意两个点都是此正方形的一对平衡点，直接写出的取值范围．
5．在平面直角坐标系中，点的坐标是，过点作直线轴于，作直线轴于，点、分别是直线和直线上的点，且．
(1)如图，当点、分别在线段和线段上时，求的周长；
(2)如图，当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，猜想线段、和之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)若，直接写出的长．
6．在平面直角坐标系中，对于点P和正方形，给出如下定义：若点P关于y轴的对称点到正方形的边所在直线的最大距离是最小距离的k倍，则称点P是正方形的“k倍距离点”．已知：点A（a，0），B（a，a）．
(1)当时，
①点C的坐标是 　 　；
②在三个点中， 　 　是正方形的“3倍距离点”；
(2)当时，点（其中）是正方形的“2倍距离点”，求n的取值范围；
(3)点．当时，线段上存在正方形的“2倍距离点”，直接写出a的取值范围．
7．如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为，（4，1），以，为邻边作平行四边形，一次函数（k、b为常数，且）的图象过点B．
(1)点B的坐标为 ．
(2)求用含k的代数式表示b．
(3)当一次函数的图象将平行四边形分成面积相等的两部分时，求k的值．
(4)直接写出一次函数的图象与平行四边形的边只有两个公共点时k的取值范围．
8．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），以OA为一边在第一象限内作矩形OABC，直线CD：交AB于点E，与y轴交于点D，．
(1)求点B的坐标．
(2)点P为线段CE上的一个动点，过点P作轴，交AB于点F，交x轴于点G，连接FD，设点p的横坐标为m，△DFP的面积为S，求S关于m的函数关系式．
(3)在（2）的条件下，连接BP并延长与x轴交于点M，过点P作，与x轴交于点，当时，在直线CD上是否存在一点R，过点作轴交直线于点Q，得，若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．
9．已知如图，直线与两坐标轴分别交于点、，点关于轴的对称点是点，直线经过点，且与轴相交于点，点是直线上一动点，过点作轴的平行线交直线于点，再以为边向右边作正方形．
(1)①求的值；
②判断的形状，并说明理由；
(2)连接、，当的周长最短时，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，使得是等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
10．如图，平面直角坐标系中直线：分别与轴，轴交于点和点，过点的直线与轴交于点，．
(1)求直线的解析式；
(2)若为线段上一点，为线段上一点，当时，求的最小值，并求出此时点的坐标；
(3)在（2）的结论下，将沿射线方向平移得，使落在直线上，若为直线上一点，为平面内一点，当以点为顶点的四边形为菱形时，请直接写出点的坐标．
11．如图，直角三角形在平面直角坐标系中，直角边在y轴上，的长分别是一元二次方程的两个根，A，且，P为上一点，且．
(1)求点A的坐标；
(2)求过点P的反比例函数解析式；
(3)点M在第二象限内，在平面内是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
12．在平面直角坐标系中，矩形，为原点，，将绕点逆时针旋转，点旋转后的对应点为．
(1)如图（1），当时，求的坐标；
(2)如图（2），当点恰好落在轴上时，与交于点．
①此时与是否相等，说明理由；
②求点的坐标；
(3)求面积的最大值．（直接写出答案即可）
13．在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为．
(1)如图1，当时，求点D的坐标；
(2)如图2，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标；
(3)当点D落在线段上时，直接写出点E的坐标．
14．如图，平面直角坐标系中，长方形的边在轴上，边在轴上，且，．
(1)在长方形的边上找一点，使得直线将长方形的面积分成1:3两部分，则点的坐标为　 　．
(2)如图，已知点在边上，且，请你在边上找一点，将沿翻折，使得点恰好落在轴上的点处．
求线段所在直线的函数表达式；
在线段上是否存在一点，使得直线将四边形的面积分成2：3两部分？若存在，求出符合条件的所有点坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，动点从点出发，沿轴正方向以每秒个单位的速度移动，同时动点从点出发，沿射线方向以每秒个单位的速度运动．以为邻边构造，在线段延长线上取点，使，设点运动的时间为秒．
(1)当点运动到线段的中点时，求的值及点的坐标；
(2)当点在线段上时，求证：四边形为平行四边形；
(3)在线段上取点，使，过点作，截取，且点分别在第一、四象限，在运动过程中，当点中，有一点落在四边形的边上时，直接写出所有满足条件的t的值．
16.在平面直角坐标系中，如果点P的坐标为，那么把点（其中）称为点P的“位置点”．已知点．
(1)若点分别是点A，B的“位置点”，则线段 ；
(2)点M是线段上一点，点N是点M的一个“位置点”．
①当M在线段上运动时，若点M，N之间的距离的最小值为5，求k的值；
②如图，点，如果在线段上能找到至少一个点M，使点N在正方形的内部或边上，直接写出k的取值范围．
17．在平面直角坐标系中，已知点，，连接．将向下平移5个单位得线段．其中点的对应点为点，连接，．
(1)填空：点的坐标为 　　，四边形的面积为 　　．
(2)若点是轴上的动点，连接．
①如图（1），当点在轴正半轴时，线段与线段相交于点．用等式表示三角形的面积与三角形的面积之间的关系，并说明理由；
②当将四边形的面积分成两部分时，直接写出点的坐标．
18．如图，平面直角坐标系中，矩形的对角线，
(1)求B、C两点的坐标；
(2)把矩形沿直线DE对折使点C落在点A处，与相交于点F，求四边形的面积；
(3)若点M在直线上，平面内是否存在点N，使以O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
19．如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形的边落在轴的正半轴上，边落在轴的正半轴上，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿着射线的方向运动，点关于的对称点为点．运动时间为秒，连接，，，．
(1)如图，当时，求的度数．
(2)如图，当时，求证：．
(3)如图，过点作，且，连接，为的中点．连接，则当____时，有最小值，的最小值为_____．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，直线与y轴交于点．
(1)求直线的函数解析式；
(2)将沿直线翻折得到，使点O与点C重合，与x轴交于点D．求证：；
(3)在直线下方是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．
21．如图1，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，过的直线与直线交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)若点D是第一象限位于直线上的一动点，过点D作轴交于点H．当时，试在x轴上找一点E，在直线上找一点F，使得的周长最小，求出周长的最小值；
(3)如图2，直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，将直线绕点O逆时针旋转得到直线，点P是直线上一点，且横坐标为．在平面内是否存在一点Q，使得以点M，C，P，Q为项点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
22．正方形的边长为4，，交于点E．在点A处建立平面直角坐标系如图所示．
(1)如图（1），双曲线过点E，完成填空：点C的坐标是___________．点E的坐标是___________，双曲线的解析式是___________；
(2)如图（2），双曲线与，分别交于点M，N（反比例图像不一定过点E）．求证；
(3)如图（3），将正方形向右平移个单位长度，使过点E的双曲线与交于点P．当是以为腰的等腰三角形时，求m的值．
23．如图，在平面直角坐标系中，于点，且点在的正半轴上，点和点分别在的负半轴和正半轴，，．
(1)求点的坐标；
(2)点点出发以1个单位/秒的速度向的负半轴方向运动，同时点从点出发向轴的正方向运动，连接交直线于点.设、两点运动时间为秒，若，连接，的面积为，请用的式子表示，并直接写出的式子表示，并直接写出的取值范围；
(3)在（2）的条件下，过点作，过点作轴的平行线交于于点，连接，是否存在，使的面积等于面积的2倍，如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由．
24．如图，正方形的顶点在平面直角坐标系的原点处，，，其中点坐标为．
(1)求出点的坐标；
(2)在轴上有一点，连接，若，求的面积；
(3)在正方形的边上有一点，连接，将四边形沿所在直线翻折，当点刚好落在轴上时，求此时的长度．
25．如图，点为长方形的中心，轴，轴，，．
(1)直接写出、的坐标；
(2)如图，若点从点出发以每秒个单位长度向方向匀速移动不超过点，点从点出发以每秒个单位长度向方向匀速移动不超过点，连接、，在点、移动过程中，四边形的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围．
(3)如图，若矩形中，，，，在轴上，矩形以每秒个单位长度向右平移秒得到矩形，点、、、分别为、、、的对应点，与此同时，点从点出发，沿矩形的边以每秒个单位长度的速度顺时针方向运动即连接，，点为的中点，当的面积为时，请直接写出的值及对应的点坐标．
26．如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点，且平行于y轴；给出如下定义：点先关于轴对称得点，再将点关于直线对称得点，则称点是点关于轴和直线的二次反射点．
(1)已知，则它们关于轴和直线的二次反射点的坐标分别是__________________；
(2)若点的坐标是，其中，点关于轴和直线的的二次反射点是点，求线段的长；
(3)已知点，点，以线段为边在轴上方作正方形，若点关于轴和直线的二次反射点分别为，且线段与正方形的边有公共点，直接写出的取值范围．
27．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形是菱形，点A的坐标为，点C在x轴的正半轴上，直线交y轴于点M，边交y轴于点H，连接．
(1)填空：菱形的边长______；
(2)求直线的解析式；
(3)动点P从点A出发，沿折线方向以3个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设的面积为，点P的运动时间为t秒，
①当时，求S与t之间的函数关系式；
②在点P运动过程中，当，请直接写出t的值．
28．如图，在直角梯形COAB中，CB∥OA，以O为原点建立直角坐标系，A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，8），CB＝4，D为OA中点，动点P自A点出发沿A→B→C→O的线路移动，速度为1个单位/秒，移动时间为t秒．
(1)求AB的长，并求当PD将梯形COAB的周长平分时t的值，并指出此时点P在哪条边上；
(2)动点P在从A到B的移动过程中，设△APD的面积为S，试写出S与t的函数关系式，并指出t的取值范围；
(3)几秒后线段PD将梯形COAB的面积分成1：3的两部分？求出此时点P的坐标？
29．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴，y轴于A、B两点过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．
(1)求直线AM的解析式．
(2)试在直线AM上找一点P，使得，请求出点P的坐标．
(3)若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、B、M、H为顶点的四边形是直角梯形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
一、解答题
1．解：（1）直线的图象与已知直线交于点，的横坐标是2，
当时，，
的坐标为，
将的坐标代入到直线得，，
直线的解析式为；
（2）令，则，
令，则，
，
直线分别与轴、轴交于点、，
的坐标为，的坐标为，
设直线经过平移后的解析式为，如图1，
当直线经过点时，，
当直线经过点时，，
由图可得，当交点始终落在线段上时，；
（3）直线的图象与轴交于点，
时，，
的坐标为，
①如图2，当时，四边形为梯形，
直线的解析式为，
令，则，
，
②如图3，当时，四边形为梯形，
设直线的解析式为，代入点得，
直线的解析式为，
，
直线的解析式为，
令，则，
，
所以存在这样的点，使点与点、、构成的四边形为梯形，坐标为或．
2.（1）解：∵四边形．点，)，
，，，
矩形是由矩形旋转得到，
，
在中，，
;
故答案为：．
（2）如图，过点作于，过点作于，连接，
，，
四边形是矩形，
，
，，，
()，
，
又，
()，
，，
又，
点与点重合，
，，
，
点，点，点三点共线，
，
，
，
设
在中，，
，
，
，
，
，，
；
（3）解：依题意，，
，，
，
当边上的高最大时，面积最大，
如图，当轴于点时，则，此时面积最大，
连接，
，
的面积的最大值为．
3.（1）解：点坐标为，
，
；
（2）解：点的特征数是5，点的特征数是6，
，
解得，
点的坐标为；
（3）解：，，
的中点为，
设，
，
解得：，
，
故答案为：；
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
联立方程组，
解得，
直线与直线的交点为，
同理可求得直线的解析式为，
联立方程组，
解得，
直线与直线的交点为，
在内部（不包含边界）时，的取值范围为；
，
，
当直线经过点时，，
当直线经过点时，，
当，点在内部（不包含边界）．
4.（1）解：①由题意知：，，则的最小值是3，最大值是；
②如图1，过作于，
，
根据平衡点的定义，点与点是线段的一对平衡点；
故答案为：3，，；
（2）如图2中，，，
且，均在正方形上，符合平衡点的定义，
；
（3）如图2，正方形边长为2，
，上任意两点关于是一对平衡点，且，的交点是，
则，，
，
，
．
5.（1）解：如图，在线段的延长线上取一点D，使，连接．
点的坐标是，直线轴于，直线轴于，
，，
四边形是边长为4的正方形，
，
在和中，
，
，
，．
，，
，
，
在和中，
，
，
．
，
即的周长是8；
（2）解：，理由如下：
如图，在线段上取一点E，使，连接．
在和中，
，
，
，．
，，
，
，
在和中，
，
，
．
；
（3）解：当点在线段上时，如图：
，
，
由（1）知的周长是8，
，
在中，，
，
解得，
；
当点在线段的延长线上时，如图：
同（2）可证，
，
，
，
在中，，
，
解得，
，
综上，的长为或．
6.（1）解：①当时，如图1，点A（4，0），B（4，4）．
∵四边形是正方形，
∴，
点C的坐标是（0，4），
故答案为：（0，4）；
②∵点关于y轴的对称点坐标为（1，1），
而点（1，1）到正方形的边所在直线的最大距离是，到的最小距离为1，
∴点是正方形的“3倍距离点”；
同理可得点是正方形的“1倍距离点”；
同理可得点是正方形OABC的“3倍距离点”；
∴是正方形的“3倍距离点”，
故答案为：；
（2）当时，如图2，点A（6，0），B（6，6），C（0，6），
∵点关于y轴的对称点坐标为（2，n），，
当时，到的距离倍的到的距离，
当时，到的距离倍的到的距离，
当时，到的距离倍的到的距离，
当时，到的距离倍的到的距离，
∴，
∴，
综上所述：点（其中）是正方形的“2倍距离点”时，n的取值范围是或；
（3）解：∵点关于y轴的对称点坐标为，设直线的解析式为，
代入得，
，解得：，
∴直线的解析式为，
设线段上一点P（m，m），
则，
当P在正方形内时，
①，
∴，
∴（舍去）；
②，
∴，
∴；
当P在正方形外时，
，
∴，
∴；
此时不存在的情况，
∴线段上存在正方形的“2倍距离点”，a的取值范围是或．
7.（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴可由平移得到，
∵点，点，，
∴，
即，
故答案为：；
（2）解：将代入，得：，
∴；
（3）解：一次函数（k、b为常数，且）的图象过点B，
∴当一次函数的图象将平行四边形分成面积相等的两部分时，图象必过点，
由（2）知：，
∴，
∴；
（4）当直线经过点时，得，
解得：，
当直线经过点时，得，
解得：，
∵一次函数的图象与平行四边形的边只有两个公共点，
∴或．
8.（1）解：由题意知，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴直线，
当时，，
∴，
∴．
（2）解：如图所示，
∵，F（m，4），
∴，
∴；
（3）解：如图2所示：
由题意可知：，
整理得：，
解得或（舍去），
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵直线解析式为：，
∵，
∴直线的解析式为：，
∴，
当点再点上方时，设，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
根据对称性可知，也满足条件，
∴或．
9.（1）解：①令，则，
，
直线经过点，
；
②是等边三角形，理由如下：
令，则，
解得，
，
点关于轴的对称点是点，
，
，，，
是等边三角形；
（2）解：，
直线，
令，则，
，
设点关于直线的对称点为，
，
，
，
，
，
连接，则与直线的交点为点，
，
的周长，
当、、三点共线时，的周长最小，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
联立方程组，
解得，
，
轴，
，
，
四边形是正方形，
；
（3）解：在轴上存在一点，使得是等腰三角形，理由如下：
设，
，，，
当时，，
解得或，
或；
当时，，
解得，
；
当时，，
解得或舍，
；
综上所述：点坐标为或或或．
10.（1）解：在中，令，得，
，
令，得，
，
，
，
设直线的解析式为，将，代入得，
，解得，
直线的解析式为；
（2）解：由可得，
，
，
设点是轴上一点，且满足，
，
，
过点作直线的平行线，与直线的交点就是点，
记直线的解析式为，将代入可得，
直线的解析式为，
联立，解得，
则，显然点为的中点，
如图，作点关于轴的对称点，则，作直线，则直线的解析式为：，
过点作于点，交轴于点，点即为所求，
易得直线的解析式为：，则；
（3）Ⅰ.如图，当为菱形的一条边时，
时，如图所示，过点作轴于点，
根据题意可得，，则，
则，
易得，则，
由，可得，
在Rt中，，，
，
，
同理可得，；
时，如图所示，
根据题意可得，，轴，
；
Ⅱ.如图，当为菱形的一条对角线时，
根据题意可得，，轴，
又，
可得；
综上，当以点为顶点的四边形为菱形时，的坐标分别为：，，，．
11.（1），
，
，．
∵，
∴．
∴．
（2）∵，
∴．
∴点P的坐标为．
设过点P的反比例函数解析式为．将点代入，得．
∴过点P的反比例函数解析式为．
（3）存在．
如图1，当为正方形的对角线时，
过点M作交的延长线于点E，过点C作交直线于点F．
∵四边形是正方形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
，
∴．
设，则，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，（舍去），
∴，
∴．
∵把先向右平移7个单位，再向上平移1个单位得，
∴把先向右平移7个单位，再向上平移1个单位得；
如图2，当为正方形的边时，
过点N作于点H，
∵四边形是正方形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图3，当为正方形的边时，
由图2可知，，
∵把先向右平移6个单位，再向上平移8个单位得，
∴把先向右平移6个单位，再向上平移8个单位得；
综上可知，点N的坐标为：，，．
12.（1）如图①中，过点作于点．
四边形是矩形，，
，，
在中，，，
，，
，
∴；
（2）①结论：．
理由：，，
，
，
，
，
；
②，，
，
设，
在中，，
，
，
，
．
（3）如图③中，当点值的延长线上时，此时点到的距离最大，即的面积最大．
的面积的最大值．
13.（1）解：过点作轴于，如图所示：
∵点，点，
∴，，
∵以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，
∴，，，
在Rt中，，，
∴，
∴点的坐标为；
（2）过点作轴于，，于，如图所示：
则，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴点的坐标为；
（3）连接，作轴于，如图所示：
由旋转的性质得：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，，
∴，
∴点的坐标为．
14.（1）解：，
，
，
点在上，
设，
，
直线将长方形的面积分成1:3两部分，
或，
解得或（舍），
，
故答案为：；
（2）解：，
，
过点作轴交于点，
由折叠可知，
，
，
，
，
，
在Rt 中，，
解得，
点与点重合，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
；
存在一点，使得直线将四边形的面积分成2：3，理由如下：
设 ，
，
，
，
，
，
或，
解得或，
或．
15.（1）解：，
则 ， ，
则，
则的坐标是；
（2）解：连接，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
即：
∴四边形是平行四边形；
（3）解：的坐标是，的坐标是，则的坐标是，的坐标是，的坐标是．
设的解析式是，
则，
解得：，
则的解析式是，
同理的解析式是，
当在上时，的坐标是，,
则 ，
解得：；
当在上时，的坐标是，
则 ，
解得：，
综合可得： ，．
16.（1）解：由题意，
∴
故答案为：8
（2）解：①点M，N之间的距离的最小时，点M，N在y轴上，此时，
∴；
②如图，当点M与A重合时，连接，延长交于点N，交于点．
观察图像 可知，
当N是M的K位置时，，
当是M的K位置时，，
观察图像 可知．
17.（1）点，将向下平移5个单位得线段，
，
即，
由平移得，，四边形是矩形，
，，
，
．
故答案为：，20；
（2）①，理由如下：
如图1，过点作于，
由平移知，轴，
，
，
由平移知，，
，，
，
即；
②如图2，当交线段于，且将四边形分成面积为两部分时，
连接，延长交轴于点，则，
，
连接，则，
将四边形的面积分成两部分，
，
由①知，，
，
，
，
，
．
（Ⅱ）如图3，当交于点，将四边形分成面积为两部分时，
连接，延长交轴于点，则，
．
连接，则，
将四边形的面积分成两部分，
，
，
．
过点作交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
即：点坐标为或．
18.（1），，
由勾股定理得：
∴，；
（2）由折叠的性质得：，
四边形是矩形
四边形是平行四边形
设，则
∵在中，
∴
解得：
（3）若以为边，如图
∵F是中点
由（1）知，
∴
设直线的解析式为
把点与点的坐标分别代入得：
解得：
∴直线解析式
∵四边形是菱形
∴
∴的解析式
设
∴
解得：
∴
若为边，为对角线，如图
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴是的垂直平分线
∵四边形是菱形
∴是的垂直平分线
∴M与D重合，即
设
∵与互相平分
∴
∴，
∴
若为边，为对角线
如图
∵直线解析式
∴直线与y轴的交点为
∵，
∴
∵四边形是菱形，
∴
∴M是直线与y轴的交点
∵四边形是菱形，
∴，且
∴
综上所述，，
19.（1）解：如图，连接，
由翻折的性质可知：，，
，
是等边三角形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
∴；
（2）证明：如图，作于，交于，
由翻折的性质可知：，，
设，．
，
四边形是矩形，
，，，
在中，由勾股定理得，即，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
，
，，
，
，即；
（3）解：如图3，在的延长线上截取，连接，，，，
∵，，
∴，，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴当点M落在线段上时，最小，最小值为（如图4中，连接），
此时，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，．
20.（1）解：直线与直线相交于点，
，
解得，
，
将，代入，得：
，
解得，
直线的函数解析式为；
（2）解：，，
，，
，
．
沿直线翻折得到，
，
，
；
（3）解：如图，过C作于M，
，，
，
．
由折叠的性质可知，
，
，
．
过点作，，过点作，，连接，，，与交于，
则四边形是正方形，
，，均为等腰直角三角形．
作轴于N，
，
，，
，
又，，
，
，，
，
；
四边形是正方形，
是的中点，也是的中点，
，，
的横坐标为，纵坐标为，
，
，
的横坐标为，纵坐标为，
，
综上，点P的坐标为：，，．
21.（1）解：把点代入，得：
，
∴，
∴，
设直线的解析式为∶，
把，代入得：
∴，解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解∶如图，
设点D的坐标为，
∵轴，
∴点，
∵，
∴，解得：，
∴，，
作点D关于x轴的对称点，关于的对称点，连接，交x轴于E，交于F，则，，的周长最小，最小值为∶ ，
∵直线由直线沿y轴向上平移1个单位得到的，且直线为第一三象限的角平分线，
∴直线与坐标的夹角都为，
∴，
∴，
∵轴，
∴点的横坐标为，
∴点的坐标为，
∴，
∴的周长最小值为∶；
（3）如图，
∵点，
∴点M和点N旋转后的对应点，
∴直线的解析式为∶，
当时，，
∴，
当时，
∵，
∴，
当时，
∵，
∴，
当时，
∵，，
∴，
综上所述∶点或或．
22.（1）解：∵正方形的边长为4，，交于点E，
∴，
将E点坐标代入双曲线，
得，
解得，
∴双曲线的解析式为，
故答案为：，；
（2）∵双曲线与，分别交于点M，N，
∴设，
∴，
∴，
∴，
由正方形可知，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵正方形边长为4，
由（1）知，
∴，
∵AE为腰，分两种情况：
①当 时，
∵，，点P、E在反比例数图象上，
，
∴，
②当时，点P与点B重合，
∵，点P、E在反比例数图象上，
∴，
∴；
综上所述，满足条件的m的值为2或．
23.（1）解：∵，，
∴，
∵，，
∴．
∵，
∴，
∵点C在y的正半轴上，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即是斜边的中线，
过点D作轴交直线于点H，
∵轴，，．
∴，, ，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴D，G两点速度相同，
当时，如图1，
∵，
∴，
∴，
当时，D点与O点重合，此时，
如图2，当时，
∵，
∴；
故 .
（3）解：如图3，
连接、、，过点F作于点E，过点P作交x轴于点I，
∴为等腰直角三角形，且，
∴点，．
过点F作交于点M，
则四边形为正方形，
由（2）可得，
∴，
∴，
∵四边形为正方形，
∴
当时，，
∴，
解得，
当时，，
∴，
解得．
∴存在t，使的面积等于面积的2倍，或．
24.（1）解：作轴交轴于点，轴交轴于点，轴交轴于，交于，延长交轴于，
轴，
，
，
在和中，
，
，
，
点坐标为，
，
点坐标为，
同理可得，
，
，
，
四边形为矩形，
，
，
点坐标为，
点坐标为，点坐标为；
（2）解：设点的坐标为，
由（1）得，点坐标为，点坐标为，
，
，
解得，
点的坐标为，
作轴交轴于点，轴交轴于点，
点坐标为，点坐标为，点的坐标为，
则，
，
的面积为；
（3）解：要使四边形沿所在直线翻折，当点刚好落在轴上，则轴，画出图如图所示，
与轴的交点为点，与轴的交点为点，
，，
，
在和中，
，
（AAS），
，
设，则，
，
，
解得，
为的长，
，
的长为．
25.（1）解：，，
，；
（2）四边形的面积不发生变化，理由如下：
由题可知，，，
，
，
，
，
，
四边形的面积不发生变化；
（3），△的面积为12，
点到的距离是6，
，
，，
当时，在轴的左侧，
当点在上时，，解得（舍）；
当点在上时，，解得（舍）；
当点在上时，，解得（舍）；
当点在上时，，解得；
，，，，
是的中点，
，；
当时，在轴的右侧，
当点在上时，，解得（舍）；
当点在上时，，解得（舍）；
当点在上时，，解得（舍）；
当点在上时，，解得；
，，，，
是的中点，
，；
综上所述：点坐标为，或，．
26.（1）解：∵
∴点关于轴对称点的坐标为，
∵关于直线对称的点
∴关于轴和直线的二次反射点的坐标
∵
∴点关于轴对称点的坐标为，
∵关于直线对称的点
∴关于轴和直线的二次反射点的坐标
∵
∴点关于轴对称点的坐标为，
∵关于直线对称的点
∴关于轴和直线的二次反射点的坐标
故答案为：、、
（2）∵点的坐标是，
∴点关于轴对称点的坐标为，
∴关于直线对称的点，
∴；
（3）∵点
∴点关于轴和直线的二次反射点分别为，
当与有公共点时，
，
解得
当与有公共点时，
解得
综上：或
27.（1）解：∵点A的坐标为，
∴
在中，，
故答案为：5；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，即．
设直线的解析式，函数图象过点，
则，
解得，
∴直线的解析式为：；
（3）解：由，令，，则，则，
①当时，如图所示，
，，
∴，
∴，
②设M到直线的距离为h，
∴
则，
解得，
当时，如图所示，
，，
，
当时，代入，
解得，
代入，
解得，
综上所述或．
28.(1)
解：点坐标为，，
，
梯形的周长为：，
根据PD将梯形COAB的周长平分，
由，
得．
此时点在上；
(2)
解：作于，于，于，
则．
，
，
，
，
，．
；
(3)
解：点只能在或上，
（ⅰ）当点在上时，设点的坐标为．
由，
得，得，
此时．
由，得．
即在7秒时有点（，）；
（ⅱ）当点在上时，设点的坐标为．
由，
得，得，
此时．
即在秒时，有点（，）．
故在7秒时有点（，），在秒时有点（，），使将梯形的面积分成的两部分．
29.（1）
解：∵交x轴于A，
∴，解得，
∴，
∵交y轴于B，
∴当x=0时，
∴，
∵M为OB中点，
∴，
设过，，
得到，解得，
∴直线AM的解析式是．
（2）
解：过O作直线，为与AM交点，如图1，
∴ 点P1到直线AB的距离等于点O到直线AB的距离
∴此时，
设直线，
∵，
∴
∴，
∵直线AM的解析式是
∴，解得，
此时
∴，
由是直线AB:向下平移8个单位得到的，
把直线AB:向上平移8个单位得到
交直线AM于，此时，
∴由，得，
∴．
综上所述，点P的坐标为，
（3）
解：①过点B作BHAM，过点A作AH⊥BH于点H，如图2，
如图，则，
设直线BH的表达式为：
∵
∴
∵直线BH经过点
∴
∴直线BH的表达式为，
设直线AH的表达式为，
∵，
∴，得到，
又∵直线AH过点
∴，解得
∴直线AH的表达式为，
由 解得
∴此时点H的坐标为；
②过点A作，作BH⊥AH，垂足为点H，则，如图3，
∵，，
∴此时点H的坐标为，
③过点M作AB的平行线，分别过点A、B向AB的平行线作垂线，垂足分别为H1、H2，如图4，此时，
设直线MH1的表达式为
∵
∴
∵直线MH1经过点
∴
∴直线MH1的表达式为，
设直线AH1的表达式为
∵，
则，，
∵过点
∴
解得
∴直线AH1的表达式为
由 解得
∴，
当时，
∵为矩形，
把点经过向左平移4个单位，向上平移8个单位即可得到点H2
∴点H的坐标为，，，．