沪教版八年级数学下册试题 第20章 《一次函数》 解答题（含答案）

第20章 《一次函数》 解答题
一、解答题
1．已知：如图，在中，，，，AD平分，交BC边于点D．点E是边AB上一动点（与点A、B不重合）．过点E作，垂足为点G，与射线AC交于点F．
（1）当点F在边AC上时，
①求证：；
②设，，求y与x之间的函数解析式并写出定义域．
（2）当是等腰三角形时，求BE的长．
2．已知一次函数的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE平分∠BAO，交x轴于点E．
(1)求点B的坐标；
(2)求直线AE的表达式；
(3)过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB的面积．
(4)若将已知条件“AE平分∠BAO，交x轴于点E”改变为“点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O、B重合）”，过点B作BF⊥AE，垂足为F．设OE=x，BF=y，试求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域．
3．已知一次函数的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE平分∠BAO，交x轴于点E．
（1）求点B的坐标；
（2）求直线AE的表达式；
（3）过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB的面积．
（4）若将已知条件“AE平分∠BAO，交x轴于点E”改变为“点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O、B重合）”，过点B作BF⊥AE，垂足为F．设OE=x，BF=y，试求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域．
4．将直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形（也称为直线的坐标三角形）．如图，一次函数y=kx-7的图像与x、y轴分别交于点A、B，那么为此一次函数的坐标三角形（也称为直线AB的坐标三角形）．
(1)如果点C在x轴上，将沿着直线AB翻折，使点C落在点上，求直线BC的坐标三角形的面积；
(2)如果一次函数y=kx-7的坐标三角形的周长是21，求k值；
(3)在（1）（2）条件下，如果点E的坐标是，直线AB上有一点P，使得周长最小，且点P正好落在某一个反比例函数的图像上，求这个反比例函数的解析式．
5．如图，在中， ， ，，点 D 是边 上的动点（点 D 与点 A、B 不重合），过点 D 作 交射线 于点 E，联结 ，点 F是 的中点，联结、、 ．
(1)当点 E在边 上（点 E与点C不重合）时，
①设， ，求出y关于x的函数关系式及定义域；
②当平分时，求出的长；
③求证： 是等边三角形．
(2)如果，请直接写出的长
6．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称，线与直线、分别交于、．
(1)求直线的函数表达式；
(2)设点是直线上的一动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点，若，则的坐标_______________．
(3)在（2）问条件下，且动点在轴左侧，连接，是轴上的一动点，且，直接写出线段的长．
7．在平面直角坐标系中，给出以下定义：对于x轴上点（其中a为正整数）与坐标平面内一点N，若y轴上存在点T，使得，且，则称点N为a宝点，如示例图，我们可知点为1宝点，理由如下：在x轴上取点，以为斜边作等腰直角三角形，可以算得一个点，它是在y轴上的，因此点为1宝点．
(1)如图①，在点，，，中，2宝点是点___________．（填“A”“B”“C”或“D”）
(2)如图①，点，，若N为4宝点，求点N的坐标．
(3)如图②，若一次函数的图象上存在2宝点，求这个2宝点的坐标．
(4)若一次函数图象上存在无数个3宝点，请直接写出该一次函数的解析式．
8．如图，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与轴，轴分别交于，两点，两直线相交于点，已知点的坐标为，点的横坐标为2．
(1)直接写出点、、的坐标；
(2)求出直线的函数表达式；
(3)如图1，求的面积；
(4)如图2，点是线段上任一点，过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为，则：
①用表示点、的坐标：　　，　　；
②线段的长度用表示，写出与的函数关系式；
③的面积用表示，写出与的函数关系式．
9．已知：如图，在中，，，，点是边的中点．点是射线上的一动点（点不与点重合），点在的延长线上，且，，垂足为点，交边于点
(1)求证：；
(2)当点在线段上时，设，，求关于的函数解析式，并指出函数的定义域；
(3)当时，直接写出的长
10．【了解概念】对于给定的一次函数（其中k，b为常数，且），则称函数为一次函数（其中k，b为常数，且）的关联函数．
【理解运用】例如：一次函数，它的关联函数为．
(1)点在一次函数的关联函数的图像上，则m的值为______；
(2)已知一次函数．我们可以根据学习函数的经验，对一次函数，它的关联函数为的图像与性质进行探究．下面是小明的探究过程：
①填表，
x … 0 1 2 …
y … 5 3 1 3 5 …
②根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出一次函数的关联函数的图像；
③若，则y的取值范围为______；
【拓展提升】
(3)在平面直角坐标系中，点M、N的坐标分别为、，连接．直接写出线段MN与一次函数的关联函数的图像有1个交点时，b的取值范围为______．
11．（1）问题：如图①，在中，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转90°得到，连接，则线段，，之间满足的等量关系式为 ；
（2）探索：如图②，在平面直角坐标系中，的斜边在x轴上，，中，，，将绕点A旋转，使点D落在边上，，试求直线的解析式；
（3）应用：如图③，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点B，交y轴于点C，点D在第二象限，，若，，求b的值．
12．如图①，图形l外一点P与图形l上各点连接的所有线段中，若线段最短，则线段的长度称为点P到图形l的距离．例如：图②中，线段的长度是点到线段的距离；线段的长度是点到线段的距离．如图③，在平面直角坐标系中，点A、B、D的坐标分别为，直线与x轴相交于点C．点为x轴上一动点，设点P到线段的距离为d．
(1)①　　；
②若，求d的值；
(2)若，求a的值；
(3)若点P在线段上运动，且d为整数，求a的值．
13．设函数（为常数，且），函数和的图象的交点为点．
(1)求证：点在轴的右侧；
(2)已知点在第一象限，函数的值随的增大而增大；
当时，求的取值范围．
若点的坐标是且求证：当时，．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于，两点，直线y=-x+1与x轴，y轴分别交于C，D两点，这两条直线相交于点P．
(1)求直线的关系式；
(2)求四边形的面积：
(3)E在直线上，F在直线上，当轴，轴于H，轴于G，
①设E点横坐标为a，当时，四边形的周长L与a之间的关系式为______；
②当时，a=______．
15．如图，在中，，，，将一个角的顶点放在边上移动，使这个角的两边分别与的边、交于点、，且．
(1)如图，当点与点重合时，求的长．
(2)如图，设，，求关于的函数解析式，并写出定义域．
(3)连接，若是直角三角形，直接写出的长．
16．问题发现．
(1)如图，等腰直角置于平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，是上一点，，则点的坐标为______．
(2)问题探究：如图，若点，的坐标分别为，，其余条件与相同，求经过，两点的直线表达式．
(3)问题解决：国庆前夕，某景区为了提高服务质量，想尽可能美化每一个角落，给游客美的享受．如图，是景区东门的广场一角，，两面墙互相垂直，景区管理部门设计将，墙面布置成历史故事宣传墙，边上用建筑隔板搭出段将该角落与广场其他区域隔开，段布置成时事政治宣传墙，剩余部分为广场角出入口，内部空间放置一些绿植和供游人休息的桌椅，考虑到防疫安全，还需在靠近出入口的处建一个体温检测点．已知，，平分，体温检测点在与的交点处．求点分别到，墙面的距离．
17．函数图象是研究函数的重要工具，类比一次函数的学习，对函数的图象与性质进行探究．下表是探究过程中的部分信息：
x … 0 1 2 …
… 4 a 1 4 …
请按要求完成下列各小题：
(1)a的值为______；
(2)在图中画出该函数的图象；
(3)结合函数的图象，解决下列问题：
①下列说法正确的是：______．（填所有正确选项）
A．函数图像关于x轴对称
B．当时，函数有最小值，最小值为
C．当时，y随x的增大而增大
②直接写出不等式的解集为______．
(4)将该函数图像在直线上方的部分保持不变，下方的部分图像沿直线进行翻折，得到新函数图像，若经过点的一次函数图像与新函数图像W只有1个交点时，请直接写出k满足的条件______．
18．在中，，点P为边上的动点，速度为．
(1)如图1，点D为边上一点，，动点P从点D出发，在的边上沿D→B→C的路径匀速运动，当到达点C时停止运动．设的面积为（cm2），的面积为（），点P运动的时间为t（）． ，与t之间的函数关系如图2所示，根据题意解答下列问题：
①在图1中，　　，　　；
②在图2中，求和的交点H的坐标；
(2)在（1）的条件下，如图3，若点P，点Q同时从点A出发，在的边上沿A→B→C的路径匀速运动，点Q运动的速度为，当点P到达点C时，点P与点Q同时停止运动．求t为何值时，最大？最大值为多少？
答案
一、解答题
1．（1）①∵，，
∴∠BAC=60°，
∵AD平分，
∴∠FAG=∠EAG，
∵，
∴∠AGF=∠AGE=90°，
又∵AG=AG，
∴ AGF AGE，
∴FG=EG，
∴AD垂直平分FE，
∴DE=DF；
②∵在中，，，，
∴AB=2AC=12，
（a）当点F在线段AC上时，如图，
∵，，
∴AE=12-x，
∵ AGF AGE，
∴AF=AE=12-x，
∴y=6-(12-x)=x-6，
∵0＜AF≤6，
∴0＜12-x≤6，
∴6≤x＜12；
（b）当点F在AC的延长线上时，如图，
∵，，
∴AF=AE=12-x，
∴y=12-x-6=6-x，
∵6＜AF，
∴6＜12-x，
∴0＜x＜6；
综上所述：y与x之间的函数解析式为：；
（2）①当是等腰三角形时，∠AFD是顶角，即FA=FD时，如图
∵，
∴AF=FD=6-y，
∵∠FAG=∠EAG=∠BAC=30°，
∴∠FDG=∠FAG=30°，
∵∠C=90°，∠ADC=90°-30°=60°，
∴∠CDF=30°，
∴DF=2CF，
∴6-y=2y，解得：y=2，
∴AF=6-2=4，
∴AE=AF=4，
∴BE=12-4=8；
②当是等腰三角形时，∠FAD是顶角，即FA=DA时，如图，
∵∠ACD=90°，∠CAD=30°，AC=6，
∴AD=2CD=2×（6÷）=4，
∴AE=AF=4，
∴BE=12-4；
③当是等腰三角形时，∠ADF是顶角，即DF=DA时，如图，
∵DC⊥AF，
∴CF=CA=6，
∴AF=12，
∴AE=AF=12，此时，点E与点B重合，舍去，
综上所述：BE=8或12-4．
2．
（1）
解：对于，
当时，；当时，，
，，
在中，根据勾股定理得：，
则，；
（2）
解：过点作，垂足为（如图1所示），
平分，，，
，
在和中，
，
，
，
设，则有，，
在中，，，，
根据勾股定理得：，
解得：，
，
设直线的表达式为，
将，代入得：
，
解得：，
则直线的表达式为；
（3）
解：延长交轴于点（如图2所示），
平分，
，
又，
，
在和中，
，
，
，即为的中点，
又为直角三角形，
，
为等腰三角形，
过点作，垂足为（如图2所示），
，，
，
点的横坐标为，
设，将代入，得：，
，
则；
（4）
解：在中，，，
根据勾股定理得：，
又，（等积法），
，又，
则．
3．解: （1）如图1中，
∵一次函数y=-x+6的图象与坐标轴交于A、B点，
∴A（0，6），B（8，0），设OE=x，作EM⊥AB于M．
∵AE平分∠OAB，OE⊥OA，
∴OE=EM=x，
在△AEO和△AEM中，
，
∴△AEO≌△AEM，
∴AM=AO=6，
∵OA=6，OB=8，∠AOB=90°，
∴AB=10，
∴BM=4，
在Rt△EBM中，∵EM2+BM2=EB2，
∴x2+42=（8-x）2，
∴x=3，
∴E（3，0），
设直线AE的解析式为y=kx+b则
，解得，
∴直线AE的解析式为y=-2x+6．
（2）由（1）可知OE=3，AE=，EB=5，
∵S△AEB= EB OA= AE BF，
∴BF=．
（3）如图2中，
在Rt△AOE中，，
∴AE=，
∵S△AEB= EB OA= AE BF，
∴BF=，
∴y=（0＜x＜8）．
4．（1）∵将代入，得：，
∴点B（0，-7），
∴，
又∵点D（0，18），即，
∴，
由翻折的性质可得：，
在Rt△BOC中，由勾股定理可得：，
∴直线BC的坐标三角形的面积；
（2）设，，
∵在Rt△AOB中，由勾股定理可得：，即，
解得：，
∴点A（，0），
∵将点A（，0）代入，得：，
∴，
（3）如图，连接CE交AB于点P，
∵点C与点D关于直线AB对称，
∴，
∴，
∴当点P、C、E在一条直线上时，有最小值，
又∵DE的长度不变，
∴当点P、C、E在一条直线上时，△DPE的周长最小，
设直线CE的解析式，
将点C（-24，0）、E（0，8）代入上式，得：，
解得：，
∴直线CE的解析式，
联立，
解得：，
∴点P（-9，5），
设反比例函数解析式为，
∴，
∴反比例函数解析式为．
5．（1）解：①∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵ ，
∴；
②∵平分，，
∴，
在中，，
∴ ，
∴ ，
解得，
∴；
③证明：在和中，，
∵点F是的中点，
∴， ，
∴，
∴，．
∴，
即．
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
（2）∵，，，
∴，，
在中，，
当点E在上时，，
当点E在射线上时，如图，
∴，
∴的长是1或2．
6.（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点，
∴，，则，，
∵点与点关于轴对称，
∴，
设直线的函数表达式为，
∴，则，
∴直线的函数表达式为．
（2）解：根据题意画图如下所示，
∵点在直线上，点在直线于，
∴设，，则，
∵，即，解方程得，，
∴或．
（3）解：∵点，关于轴对称，
∴，，
∵轴，
∴，
∴在中，，
设交于轴于，则，
∴，，
∵，
∴，
作于，则，
∴，，
如图所示，过点作轴的平行线交轴于，过作的垂线交的延长线于，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
设，
∴，且，，
∴，则，
∴，设直线为，
∴，解方程组得，，
∴直线为，
∴，
当在点下方时，设为，
∵，作于，
同理可得：，
同理可得直线为，
令，，
∴，
∴的长为或．
7．（1）解：在x轴上取点，由宝点的定义可知，
点D符合，如图，此时y轴上存在点，符合题意，
故答案为D；
（2）解：如图，连接，将线段绕点T分别逆时针和顺时针旋转，可得点N的坐标，由图可得，点N的坐标为或；
（3）解：设2宝点为点
①当在x轴上方时，过作轴于F，如图所示：
∵是2的宝点，
∴
∴
∵
∴
∴，
设，则
∴
将代入得：
，解得，∴
②当在x轴下方时，过作轴于H，如图所示：
同①可证明，
∴，
设，则
∴，
将代入得：
，解得
∴
综上所述，点的坐标为（2，4）或（0，-2）
（4）解：如图，由题意可得，
①如左图，当点N在第一象限时，设点，则点，
所以符合条件的一次函数解析式为；
②如右图，当点N在第二象限时，设点，则点，
所以符合条件的一次函数解析式为．
8.（1）解：在直线中，
令可得，令可得，令可得，
，，；
（2）解：设直线的解析式为，
∴，解得
直线的解析式为；
（3）解：直线的解析式为，
点，
；
（4）解：①点是线段上任一点，过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为，
则：，，
故答案为：，；
②线段的长度，
与的函数关系式为；
③，
与的函数关系式为．
9．（1）证明：∵点是边的中点．
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）连接， ∵，
∴，
∵，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
由勾股定理得，，，
∴，
∵，，
即，
整理得，；
当，重合时，如图，
此时，，
∴，
解得：，，
当，重合时，如图，
此时，，，
同理可得：，，
∴，
∴．
（3）当点E在线段上时，，即，
∴ ，
解得，，即，
当点E在线段的延长线上时，如图2，连接，，
由（1）得，， ，
∴，
即，
解得，， 即
综上所述，当时，或．
10．（1）解∶由题意得的关联函数为，
∵点在一次函数的关联函数的图像上，且，
∴把代入，得， ，
解得，
故答案为∶5；
（2）解：②作图如下，
③∵当时，，当x=0时，
∴时，，
∵当x=0时，当时，，
∴时，，
∴时，；
（3）解：如图，
设直线为，
∵点M、N的坐标分别为、，
∴，
解得，
∴直线为，
令，则，
∴直线为与y轴的交点为，
由题意得，一次函数的关联函数为．
当y轴右侧部分与有交点时，把和代入，得，
当y轴左侧部分与MN有交点时，把和，代入，得，
当，，
∴或者，
∴关联函数与有1个交点时， b的取值范围为∶或者，
故答案为∶ 或者．
11．解：（1）∵，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）连接，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
设直线的解析式为，把，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为：；
（3）过点O作，交的延长线于点E，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
把代入得：，即，
把代入得：，即，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∴b的值为5．
12.（1）①设直线的解析式为，
∴，
解得：．
∴直线的解析式为．
令，则，
∴，
∴．
∴．
过点A作于点E，如图，
则．
∴．
∴．
∴．
∴．
故答案为：45；
②若，点P与点E重合，
∴线段的长度为点P到线段的距离d，
∴；
（2）①当点P在点E的左侧时，的长为P到线段的距离d，
∵，，
∴点P与点C重合．
∴①．
②当点P在点E的右侧时，点P到线段的垂线段的长度为P到线段的距离d，
过点A作交x轴于点F，如图，
∵，
∴，．
∴点P与点F重合．
∵，
∴．
∴．
综上，若，a的值为1或3；
（3）①当点P在点E的左侧时，的长为P到线段的距离d，
∵，d为整数，
∴当，即，如图，
∴．
∴．
∴．
∴．
②当点P与点E重合时，，符合题意，
∴．
∴．
③当点P在点E的右侧时，点P到线段的垂线段的长度为P到线段的距离d，
过点P作于点H，如图，
当时，即，
∵，
∴．
∴．
∴．
当时，即，
∵，
∴．
∴，不合题意．
综上，若点P在线段上运动，且d为整数，则a的值为或1或．
13．（1）证明：令，解得，
函数和的图象的交点的横坐标为1，
点在轴的右侧；
（2）解：函数的值随的增大而增大，
由（1）知
点在第一象限，
当时，，
即
，
此时满足
的取值范围是；
证明：点的坐标是，
且
，
当时，
，
，
，
，
，
．
14．（1）解：由已知得：，代入中得：
解得：
∴直线的关系式为
（2）解：如图，过点P作轴，交x轴于点Q，
点P为直线与直线的交点，联立两直线关系式得：
解得：
即
∴梯形的面积
∵三角形为直角三角形
∴三角形的面积
∴四边形面积
（3）解：①由题意可知，四边形为矩形，
∵E在直线上，且设E点横坐标为a
∴
∵F在直线上，当轴，轴于H，轴于G
∴，，
当时，E点位于F点上方
∴，
∴
故答案为：．
②当时，，解得：，不符合题意，舍去
当时，通过画图观察，四边形分为E点在F点上方和F点在E点上方两种情况
当E点在F点上方时
,
此时
若，解得：，符合题意
当F点在E点上方时，
,
此时
若，解得：，符合题意
综上所述：当时，或
故答案为：或．
15．（1），
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
；
（2），，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
角的两边分别与的边、交于点、，
过作于，最后只能到点，
此时是，
函数的定义域即的取值范围是：；
（3）如图中，当时，
，，，
，
，
，
，
解得：，
即；
当时，如图2，
，
，
解得：，
即；
综上所述：或．
16．（1）如图，过作于，
∴，
∵是等腰直角三角形，点，的坐标分别为，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
故答案为：；
（2）如图，过作于，
∴，
∵点，的坐标分别为，，
∴，，
∴，
∵
∴，
设直线的解析式为，
则，
∴，
∴直线的解析式为，
设，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得或（不合题意舍去），
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为；
（3）如图，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，
由得直线的解析式为，
过作于，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
则，
∴
∴直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴点分别到，墙面的距离分别为，
17．（1）解：把代入得：
，
即，
故答案为：1．
（2）解：该函数的图象，如图所示：
（3）解：①A．函数图像关于y轴对称，故A错误；
B．当时，函数有最小值，最小值为，故B正确；
C．当时，y随x的增大而增大，故C正确；
故答案为：BC；
②根据函数图象可知，当或时，；
故答案为：或；
（4）解：如图所示：
设点，，，，，
设的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
的解析式为：，
设的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
的解析式为：，
设的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
的解析式为：，
根据图像可知，当直线经过和点时，直线与图像W只有一个交点，
把，代入得：，
解得：；
∵，
∴，
根据图像可知，当直线与平行时，直线与图像W只有一个交点，且此时直线绕点继续逆时针旋转，直到与平行之前，直线与图像W只有一个交点，
∴当或时，直线与图像W只有一个交点；
综上分析可知，当或或时直线与图像W只有一个交点．
故答案为：或或．
18．（1）①由图2可知，，，
∴（），
故答案为：5，6；
②如图1，过点A作于T，
∵，，
∴（），
∴（），
∴（），
∴当时，即，
此时点P是的中点，
∴，
∴，
∴点；
（2）①当时，P，Q均在上，
∴当时，最大，
②当时，P在上，Q在上，
∴，
∴当时，最大，
③当时，P，Q均在上，
∴，
∴当时，最大，
∴综上，时，最大值为5.5．