八年级数学下册试题 第二十章《一次函数》解答题-沪教版（含答案）

第二十章《一次函数》解答题
一、解答题
1．如图，在长方形中，点O为坐标原点，点B的坐标为，点A，C在坐标轴上，直线与交于点D，与y轴交于点E．
(1)直接写出点D的坐标为 　 　；点E的坐标为 　 　．
(2)求的面积．
(3)若动点M在边上，点N是坐标平面内的点．
①当点N在第一象限，又在直线上时，若是等腰直角三角形，求点N的坐标；
②若是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，直接写出整个运动过程中点N纵坐标n的取值范围．
2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交x轴、y轴于点A和B．已知点C的标为，若点P是x轴上的一个动点．
(1)A的坐标是______，B的坐标是______；
(2)过点P作y轴的平行线交于点M，交于点N，当点P恰好是的中点时，求出P点坐标．
(3)若以点B、P、C为顶点的为等腰三角形时、请求出所有符合条件的P点坐标．
3．如图1，在平面直角坐标系xoy中，点O是坐标原点，直线： 与直线：交于点A，两直线与x轴分别交于点和．
(1)求直线和的表达式．
(2)点P是y轴上一点，当最小时，求点P的坐标．
(3)如图2，点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F，若为直角三角形，求点D坐标．
4．已知，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，B两点，直线交x轴于点C，D两点，已知点C为，D为．
(1)求直线的解析式．
(2)设与交于点E，试判断的形状，并说明理由．
(3)点P，Q在的边上，且满足与全等（点Q异于点C），直接写出点Q的坐标．
5．模型建立：如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于，过作于．
(1)求证：．
(2)模型应用：已知直线与轴交与点，将直线绕着点顺时针旋转至，如图2，求的函数解析式．
(3)如图3，矩形，为坐标原点，的坐标为，、分别在坐标轴上，是线段上动点，设，已知点在第一象限，且是直线上的一点，若是不以为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标．
6．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形的顶点A、B分别在x轴与y轴上，已知，，点D为y轴上一点，其坐标为，点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿线段的方向运动，当点P与点B重合时停止运动．
(1)当点P与点C重合时，求直线的函数解析式；
(2)设运动时间为t秒．当点P在运动过程中，
①求的面积S关于t的函数解析式；
②是否存在等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，已知直线的函数关系式为，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线平移得直线，直线分别交x轴、y轴于点C、D，且经过点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)求点C和点D的坐标；
(3)在直线上是否存在点E，使得？若存在，请求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点．与轴交于点，直线与轴交于点
(1)填空：______，______，______；
(2)如图2．点为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交轴于点．
①求线段的长度；
②当点落在轴上时，求点的坐标；
③若为直角三角形，请直接写出满足条件的点的坐标．
9．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，若，．
(1)求直线的解析式．
(2)求的值．
(3)直线CD上是否存在点P使得，若存在，请直接写出P的坐标．
10．如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点与x轴交于点，直线与x轴交于点C．
(1)填空：___________，___________，___________．
(2)如图2，点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F．
①当点E落在y轴上时，求点E的坐标．
②若为直角三角形，求点D的坐标．
11．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点A、．另一条直线与直线交于点，与轴交于点，点是直线上一点（不与点重合）．
(1)求的值．
(2)当的面积为18时，求点的坐标．
(3)若直线在平面直角坐标系内运动，且始终与平行，直线交直线于点，交轴于点，当时，求的面积．
12．如图，平面直角坐标系中，直线与轴交于点与轴交于点，点是直线上的一点，它的坐标为，经过点作直线轴交轴于点．
(1)求点的坐标；
(2)已知点是直线上的动点，
若的面积为4，求点的坐标；
若为直角三角形，请求出所有满足条件的点的坐标．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，与y轴交于点，且a，p满足．
(1)求直线的解析式；
(2)如图1，直线与x轴交于点N，点M在x轴上方且在直线上，若的面积等于6，请求出点M的坐标；
(3)如图2，已知点，若点B为射线上一动点，连接，在坐标轴上是否存在点Q，使是以为底边，点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过，，D三点，点D在x轴上方，点C在x轴正半轴上，且，连接，已知．
(1)求直线 的表达式；
(2)求点D的坐标；
(3)在线段 上分别取点M，N，使得轴，在x轴上取一点P，连接 是否存在点M，使得为等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图1，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
(1)请写出点A坐标 　 　，点B坐标 　 　，直线的函数解析式 　 　；
(2)设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点．
①若的面积为，求点的坐标；
②点在线段上，连接，如图，若，直接写出的坐标．
16．如图，函数的图像分别与x轴、y轴交于A、B两点，点C在y轴上，AC平分∠OAB．
(1)求点A、B的坐标；
(2)求△ABC的面积；
(3)点P在第一象限内，且以A、B、P为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你直接写出点P的坐标．
17．如图①，为等腰直角三角形，，于点，于点．
(1)求证：
(2)如图②为等腰直角三角形，其中点坐标为，点的坐标为，求点的坐标．
(3)如图③在平面直角坐标系中，点坐标为，点的坐标为，，与轴交于点，若，求点的坐标．
18．【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明）
【迁移应用】已知：直线的图象与轴、轴分别交于、两点．
(1)如图2，当时，在第一象限构造等腰直角，；
①直接写出______，______；
②点的坐标______；
(2)如图3，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，并且，连接，问的面积是否发生变化 （填“变”或“不变”），若不变，其值为______；若变，请说明理由；
(3)【拓展应用】如图4，当时，直线与轴交于点，点、分别是直线和直线上的动点，点在轴上的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，点的坐标是______．
19．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点，点为线段的中点，过点作轴，垂足为．
(1)求两点的坐标；
(2)若点为轴负半轴上一点，连接交轴于点，且在直线上有一点，使得最小，求点坐标；
(3)如图2，直线上是否存在点使得，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
20．如图，一次函数的图象交y轴于点A，交x轴于点B，点P为中点，点C，D分别在上，连结，点A，E关于对称，点B，F关于对称，且．
(1)直接写出点A，B，P的坐标．
(2)如图1，若点O，E重合，求．
(3)如图2，若点F横坐标为5，求点E的坐标．
21．模型建立：
（1）如图1，等腰直角中，，，直线经过点C，过A作于D，过B作于E．
求证：；
模型应用：
（2）已知直线：与y轴交于A点，将直线绕着A点顺时针旋转至，如图2，求的函数解析式；
模型拓展：
（3）如图3，在直角坐标系中，点，作轴于点A，作轴于点C，P是线段上的一个动点，点位于第一象限内．若是不以A为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点Q的坐标．
22．平面直角坐标系中，直线，分别交x轴，y轴于点A，点C；点B在y轴负半轴上．且，点在直线上，点P是x轴上的一个动点，设点P的横坐标为t．
(1)求直线的函数表达式．
(2)连接、，若的面积等于面积的，直接写出t的值___________．
(3)以为斜边作等腰直角三角形，是否存在t的值，使点E落在线段或上？直接写出所有满足t的值___________．
(4)直接写出的最小值为___________．
23．如图1，已知一次函数与x轴，y轴分别交于B点，A点，x正半轴上有一点C，，以A，B，C为顶点作平行四边形．
(1)求C点坐标．
(2)如图2，将直线沿y轴翻折，翻折后的直线交于E点，在y轴上有一个动点P，x轴上有一动点Q，当取得最小值时，求此时的值．
(3)如图3，将向左平移使得点C与坐标原点O重合，A的对应点为，O的对应点为，将绕点O顺时针旋转，旋转角为，在旋转过程中，直线与直线、交于M，G两点，在旋转过程中，能否成为等腰三角形，若能，求出所满足条件的，若不能，请说明理由．
答案
一、解答题
1．（1）∵在长方形ABCO中，点B的坐标为，直线与交于点D，与y轴交于点E，
把代入中，，所以点D的坐标为，
把代入中，，所以点E的坐标为；
故答案为：，；
（2）如图1，
把代入中，可得：，
所以点F的坐标为，
∴，
∴的面积=．
（3）①（a）若点A为直角顶点时，点N在第一象限，连接，如图2，，
∴不可能为等腰直角三角形，
∴点N不存在；
（b）若点M为直角顶点时，点N在第一象限，如图3，过点N作，交的延长线于点H，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴N，
（c）若点N为直角顶点，点N在第一象限，如图4，
设，
过点作于点，交于点，
同上面的方法可证，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
同理可得，
∴，
∴，
综上所述，点N的坐标为，，；
②当点M在B点时，如图，
，
∵，
∴，
∴的纵坐标为，
同理，的纵坐标为，
当M在C点时，如图，
，
过点作于点S，延长交CB于点P，
则，
则，
设点纵坐标为，则，
那么，
解得：，
则点纵坐标为，
同理可得，纵坐标为，
∴当点N为直角顶点时，t的取值范围为或．
2．（1）解：一次函数的图像分别交x轴、y轴于点A和B，
令，即，
解得，
令，即，
，，
故答案为：，；
（2）设直线的解析式，
将，代入，
，
解得，
∴直线的函数解析式，
设点，则点，点，
依题意可得，
∴，
解得：，
；
（3）设, 而，
，
，
，
当时，
有，
解得：，
∴P（-,0），
当,
有，
解得：，
不合题意舍去，
，
当时，
有，
解得：或，
或，
综上所述：或或或，
3．（1）将代入得，
解得，
故直线的解析式为；
把代入，得，
解得，
故直线的解析式为．
（2）作点C关于y轴的对称点M，连接，交y轴于点P，则点P满足的值最小，
∵，，
∴，，
∴，，设直线表达式为，
∴，
解得，
∴直线表达式为，
令，
∴．
（3）设点，
如图，当时，过点A作于点G，
∵，，沿直线翻折得到，
∴，，，，
∴，
∴，，
解得，
故点；
如图，当时，过点D作于点G，
∵，，沿直线翻折得到，
∴，，，，，
∴，
∴，
∴，，，
解得，
故点；
综上所述，点或．
4．（1）解：把代入得
，
解得，，
∴直线的解析式为；
（2）联立得：，
解得，，
∴点的坐标为，
对于直线，当时，，
∴，
∴
又，
∴，即，
,
,
,
是等腰三角形；
（3）①当在上时，如图1，此时，，
，
设，
又，
，
解得，，（舍去），
，
；
②当在上，在上时，如图2，此时，
设则，
代入得，
解得，，
则
；
③在上，在上时，如图3，此时，，
；
④当在上，与点重合时，如图4，此时，则
∴与点重合，
∴
综上，点在坐标为，，,
5．（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴ ，
又∵，
∴，
在与中，
∴；
（2）解：过点作于点，交于点，过作轴于，如图，
∵，
∴为等腰直角三角形，
由（1）得：，
∴，，
∵直线，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
设的解析式为，
把点，代入得：
∴，解得：，
∴的解析式：；
（3）解：当点位于直线上时，分两种情况：
设，
①点为直角顶点，分两种情况：
当点在矩形的内部时，过作轴的平行线，交直线于，交直线于，则，
∴，；
由（1）得：，
∴，
即，
解得：；
∴；
当点在矩形的外部时， 则，
∴，；
由（1）得：，
∴，
即，
解得：；
∴；
②点为直角顶点，此时点位于矩形的外部，则，
∴；
同（1）得，，
∴，；
∴；
∴，
解得：；
∴；
综合上面情况可得：点的坐标为或或．
6．（1）解：，，四边形是长方形，
，
当点与点重合时，设直线的函数解析式为，
把，代入得：
，
解得，
直线的函数解析式为；
（2）解：①当，即在上时，如图：
；
当，即在上时，如图：
，
；
②存在等腰三角形，理由如下：
如图：
，，
，
在上时，不可能是等腰三角形，
当在上时，，
，，
若时，，
解得（舍去）或，
；
当时，，
解得或（舍去），
；
当时，，
解得，
；
综上所述，点的坐标为或或．
7．（1）解：设将向下平移m个单位，得到直线，
则，
∵经过点，
∴，
解得：，
∴直线的函数表达式为：；
（2）在中，
令，则，
令，则，
∴，；
（3）存在，或，理由：
在中，令，则，令，则，
∴，，
设，
，，
，，
，
，
，
，
设、之间的距离为，
，
，
，或，
，或，
或．
8．（1）解：把代入，
，
直线：，
把代入，
，
把代入，
，
，
；
故答案为：．
（2）①∵直线：令，解得，
∴点的坐标为，
∵
∴，
∵折叠，
∴；
②如下图，过点作轴于点，作轴于点，则，，
，
，
，
点的坐标为；
③ 如下图，
当时，由翻折得，
，
，
，
，
点的坐标为；
如图，
当时，
设，则，
在中由勾股定理得：
，
解得：
，
点的坐标为，
综上，点的坐标为或．
9．（1）由题知，设，则．
在中，，
即：，
，
∴，
又，
∴．
（2）设，则，
由折叠性质知：．
在中：，
∴，
∴．
∴，
∴，，
∴．
（3），，理由如下：
如图，当点P在第三象限内时，过C作于M，过M作轴，轴于E，F，
则,，
又∵
∴
∴，
∵轴，轴
∴为正方形
∴，
∴)
∴直线解析式为：，
∵两点坐标为：
∴直线解析式为：，
联立解得：，
∴
如图，当点P在第一象限内时，过C作于M，过M作轴，轴于E，F，
则,，
又∵
∴
∴，
∵轴，轴
∴为正方形
∴，
∴)
∴直线解析式为：，
∵两点坐标为：
∴直线解析式为：，
联立解得：，
∴
综上所述，或
10．（1）解：把代入，
∵
∴，
∴直线
把代入
∴
把代入
∵
∴，
故答案为，，
（2）①∵直线
∴点C的坐标为，
如图，过点A作轴于点H，作轴于点G，
则，
∴
∴
∴点E的坐标为
②如图，
当时，由翻折得
∴，
∵，
∴，
∴
∴点D的坐标为
如图，
当时，
设，则
在中由勾股定理得：
解得：
∴
∴点D的坐标为
综上，点D的坐标为或）
11．（1）解：将代入，
，
．
（2）解：设直线解析式为，
将、代入得：
，解得：，
直线，
设，
把代入得：，解得：，
把代入得：，
∴，，
，
∴，
①如图1，时，
，
，
解得：，
，
②时，的面积不可能为18，
③如图2，时，
，
，
解得：．
综上，点坐标为或．
（3）解：如图3，过作，
设，
，，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
解：，
，，
．
12．（1）解：设直线的解析式为，
直线与轴交于点与轴交于点，
，
解得，
直线的解析式为，
把代入，得，
，
．
（2）解：，
，
直线轴交轴于点，，
，
，
，；
一定不是直角，
当时，点恰好在点，
，
当时，
，
由题可得，，，
，
，
，
，
综上所述，所有满足条件的点的坐标为或．
13．（1）解：∵，
解得，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线AP的解析式为；
（2）过作交x轴于D，连接，
∵，的面积等于6，
∴的面积等于6，
∴，即，
∴，
∴，
设直线的解析式为，则，
∴，
∴直线的解析式为，
令，得，
∴；
（3）Q的坐标为或或．
理由如下：
设，
①当点Q在x轴负半轴时，过B作轴于E，如图，
∴，
∵是以为底边的等腰直角三角形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
②当Q在y轴正半轴上时，过C作轴于F，过B作轴于G，如图，
∴，，
∵是以为底边的等腰直角三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴即，
∴，
∴，
∴；
③当Q在y轴正半轴上时，过点C作轴于F，过B作轴于T，如图，
∴，，
同②可证，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
综上，Q的坐标为或或．
14．（1）解：将点代入，得解得
线段的表达式
（2）已知，且点C在x轴正半轴上，
∴点，
设点D的坐标为，如解图①，过点D作x轴的垂线交x轴于点H，则
即，解得，
∴点D的坐标为
（3）存在，点M的坐标为或，设直线 的表达式为
将点代入，得，解得
直线的表达式．
已知点M在线段上，设点M的坐标为，则，
轴，且点N在上
∴将代入，得，，解得．
点N的坐标为
分三种情况讨论：
①如解图②，当M为直角顶点时，点P的坐标为
，
解得：，
点M的坐标为
②如解图③，当N为直角顶点时，点M的坐标与①中情况相同；
③如解图④，当P为直角顶点时，，过点P作轴，交MN于点Q，易得点Q为MN的中点，且，点Q的坐标为，
，
，
解得，
∴点M的坐标为
综上所述，点M的坐标为或
15．（1）解：对于，
由得：，
∴．
由得：，解得，
∴，
∵点与点关于轴对称．
∴，，
设直线的函数解析式为，
∴，解得，
∴直线的函数解析式为，
故答案为：，，；
（2）解：①设点，，则点，，点，，
过点作与点，
则|，，
则的面积，解得，
故点的坐标为，或，；
②如图，当点在轴的左侧时，
∵点与点A关于轴对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，，，
∴，
解得：，
∴，，
如图，当点在轴的右侧时，
同理可得，，
综上，点的坐标为，或，．
16．（1）解：在中，
令可得
解得，
令，解得，
，；
（2）如图，过点作于点，
平分，
，
由可知，，
，
，
，解得，
；
（3）点P在第一象限内，为等腰直角三角形，
有、和三种情况，
①当时，如图，过点作轴于点，则
∵，，
∴，
∴
∴,
∴,
∴此时点坐标为；
②时，如图，
同理可得
∴,
∴,
则此时点坐标为；
③时，如图，过点作轴，过点作于点，
同理可得，
∴，
∴
解得：
∴
所以此时点坐标为；
综上可知使为等腰直角三角形的点坐标为或或．
17．（1）证明：∵为等腰直角三角形，，
∴，，
∵于点，于点．
∴，，
∴，
∴，
∴．
（2）如图，过作于，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
∴，而，，
∴，，
∴，
∴．
（3）如图，过作交的延长线于，交轴于，过作于，作于，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，则设，
设为，而点坐标为，点的坐标为，
∴，解得：，
∴为，
∴，解得，即，
∴，，，
过作，交的延长线于，交轴于，
∴，
同理可得：，
∴，，
∴，，
∴．
18．（1）解：①若，则直线为直线，
当时，，
,，
当时，，
,，
，，
故答案为：，；
②作于，
，
，
又是以为直角顶点的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
点的坐标为；
（2）当变化时，的面积是定值，，理由如下：
当变化时，点随之在轴负半轴上运动时，
，
过点作于，
，
，
，
，
，
，
又，
．
，
，
变化时，的面积是定值，；
（3）当时，过点作轴于，过点作于，
，
，
，
，
，
又，
．
，，
，
点的坐标为，，
，
直线，
将点的坐标代入得，，
解得： ，
点的坐标为；
当时，过点作轴于，过点作于，
，
，
，
，
，
又，
．
，，
，
点的坐标为，
，
直线，
将点的坐标代入得，，
解得：，
点的坐标为．
综上，点的坐标为或．
19．（1）解：对于，
令，解得：，令，则，
故点的坐标分别为、；
（2）解：点为线段的中点，则点，
如图1，过点作轴于点，
故是的中位线，
即点是的中点，则点，
作点关于直线的对称点，连接交于点，则点为所求点，
理由：为最小，
设直线的表达式为：，则，解得，
故直线的表达式为：
当时，，
故点的坐标为；
（3）解：存在，理由：
当点在上方时，如图2，过点作交于点，过点作轴于点，
，
，
，
，
在Rt和Rt中，
，
，
，
故点的坐标为，
由点的坐标得，直线的表达式为：，
当时，，
故点的坐标为，
当点在下方时，
过点作交于点，则点关于点对称，
由中点坐标公式得，点，
由点得坐标得：直线得表达式为：，
当时，，
故点的坐标为．
20．（1）∵当时，，
∴，
∵当时，即，则，
∴，
∵点P为中点
∴，
综上所述：
（2）∵点C在，点A，E关于对称，此时点O，E重合，
∴轴，
∵，
∴轴，
∵，
∴，
∵点B，F关于对称，
∴
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴，解得：（舍），
∴；
（3）设
由折叠知，
∵，
∴，
解得（舍）或，
∴，
设PF的解析式为，
则，
解得，
∴直线PF的解析式为：
过P作，则，
∴，
∴，即，
∴可设直线的解析式为，
把代入得，
解得，
∴直线的解析式为，，
设，
∵，
∴
解得（舍）或，
∴．
21．解：（1），，
，
在和中，
，
；
（2）直线与坐标轴交于点、，
令，则，令，则，
则点、的坐标分别为：、，
则，，
过点作交于点，过点作轴于点，
同（1）可证：，
，，则点，
将点、的坐标代入一次函数表达式：，得：
，解得：，
∴的表达式为：；
（3）∵，
∴点Q在直线上，
∵，
∴，，
当点P是直角顶点时，
，，
过点P作轴，垂足为N，过点Q作，垂足为M，
同（1）可证：，
∴，
∴，
解得；，
∴点Q坐标为；
当点Q为直角顶点时，
，，
过点Q作轴，垂足为N，延长点P，与的延长线交于点M，
同上可证：，
∴，
∴，
解得：，
∴点Q的坐标为；
当点Q为直角顶点时，
，，
∴点Q在的垂直平分线上，
∴点Q的横坐标a为4，
∴，
∴点Q的坐标为．
综上：点Q的坐标为或或．
22．（1）解：当时，，解得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
设直线的函数表达式，
∴，
解得，
∴直线的函数表达式；
（2）解：∵点在直线上，
∴，
∴
当时，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
又若的面积等于面积的，
∴，
∵，
∴，
解得或；
（3）解：当点E在线段上，
过E作轴，过D作于G，过P作于H，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，，
设，
又，，
∴，
解得或（舍去），
∴
∵，
∴，
解得；
当点E在线段上，
过D作轴于G，
同理可证，
∴，，
设，
∴，
∴或，
当时，，此时，∴，∴；
当时，，此时，∴，∴．
综上，或0或4；
（4）解：过P作于点Q，
∵，，
∴，
又
∴是等腰直角三角形，
∴，
则当C、P、Q三点共线，且时，最小，即最小，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为．
23．（1）解：把代入直线的解析式得：，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∴点C的坐标为：．
（2）解：∵直线与直线关于y轴对称，
∴的解析式为，
设直线的解析式为，
∵，
∴，
∴直线的解析式为，
将点C的坐标代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，
∴点E的坐标为：，
作点E关于x轴的对称点，D点关于y轴的对称点，连接分别交y轴和x轴与点P、Q，如图1所示：
则的长为的最小值，
∵，点E与点关于x轴对称，
∴，
把代入得：，
∴点B的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴
．
（3）解：如图2所示：当时，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即；
如图3所示：当时，
∵，
∴
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即；
如图4所示：当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即．
如图5所示：当时，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即；
综上所述，当为或或或时，为等腰三角形．