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学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 人教版 册、章 下册 第八章
课标要求 内容要求： 1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程。 2.掌握消元法，能解二元一次方程组。 3.能解简单的三元一次方程组。 4.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。 学业要求： 能根据具体问题中的数量关系列出方程，理解方程的意义；能根据二元一次方程组的特征，选择代人消元法或加减消元法解二元一次方程组；关能解简单的三元一次方程组；能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。建立模型观念。
内容分析 本章主要内容是二元一次方程组及其相关概念，利用二元一次方程组分析、解决实际问题，消元思想和代入法、加减法解二元一次方程组，以及三元一次方程组的解法。本章在列方程组的讨论中，重视数学与实际的关系，突出其中蕴含的建模思想，体会代数方法的优越性，在解方程组的讨论中，重视过程与结果的关系，突出消元、化归思想。
学情分析 学生已经学习了一元一次方程的相关知识，初步感受了方程的模型作用，并积累了一些利用方程解决实际问题的经验，在此基础上，本章将进一步研究二元一次方程组的有关概念、解法和应用等，它是一元一次方程的继续和发展同时又是今后学习线性方程组及平面解析几何等知识的基础。因此，本章的学习将使学生进一步体会方程的模型思想，感受代数方法的优越性，同时也将有助于巩固有理数、整式的运算、一元一次方程等知识。
单元目标 （一）教学目标 1.以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系→设未知数→列方程组→解方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型。 2.了解二元一次方程及其相关概念，能设两个未知数并列方程组表示实际问题中的等量关系。 3.了解解二元一次方程组的基本目标：使方程组逐步转化为x=a，y=b的形式，体会“消元”思想，掌握解二元一次方程组的方法——代入法和加减法，能根据二元一次方程组的具体形式选择适当的解法。 4.了解三元一次方程组及其解法，进一步体会“消元”思想，能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法。 5.通过探究实际问题，进一步认识利用二（三）元一次方程组解决问题的基本过程，体会数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力。 （二）教学重点、难点 重点： 理解二元一次方程（组）的有关概念；掌握二元一次方程组的解法——代入法、加减法；会用方程组来解决实际问题。 难点： 掌握消元法，能解二元一次方程组；会用方程组来解决实际问题，体会建模思想。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数8.1二元一次方程组18.2消元——解二元一次方程组38.3实际问题与二元一次方程组28.4三元一次方程组的解法1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务8.1 二元一次方程组1.了解二元一次方程组及其解的概念。 2.会列二元一次方程组，并检验一组数是不是某个二元一次方程组的解。1.了解二元一次方程的概念及二元一次方程的解 2.了解方程组、二元一次方程组的概念及二元一次方程组的解活动：探究二元一次方程组及其相关概念8.2.1 代入法解二元一次方程组1.会用代入消元法解二元一次方程组． 2.理解解二元一次方程组的思路是“消元”， 经历从未知向已知转化的过程，体会化归思想． 3.初步感受运用二元一次方程组解决实际问题的过程．1.能用代入法解二元一次方程组 2.正确分析问题中的相等关系，列出方程组并得出问题的答案活动：探究代入消元法解二元一次方程组8.2.2 加减法解二元一次方程组1.会用加减消元法解二元一次方程组． 2.理解解二元一次方程组的思路是“消元”， 经历从未知向已知转化的过程，体会化归思想． 3.会运用二元一次方程组解决实际问题的过程．1.能用加减法解二元一次方程组 2.正确分析问题中的相等关系，列出方程组并得出问题的答案活动：探究加减消元法解二元一次方程组8.2.3 选择适当方法解二元一次方程组能选择适当方法解二元一次方程组能根据二元一次方程组的具体情况，选择合适的解法活动：选择适当方法解二元一次方程组8.3.1 实际问题与二元一次方程组（一）能分析实际问题中的数量关系，会设未知数，列方程组并求解，得到实际问题的答案，体会数学建模思想．正确分析探究问题中的相等关系，列出方程组并得出问题的答案活动：探究1、28.3.2 实际问题与二元一次方程组（二）能分析“探究3”中的数量关系，会设间接未知数，列方程组并求解，得到实际问题的答案，体会数学建模思想．正确分析探究问题中的相等关系，列出方程组并得出问题的答案活动：探究38.4 三元一次方程组的解法1.了解三元一次方程组的概念； 2.会解三元一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想．1.了解三元一次方程组的概念 2.会解三元一次方程组活动：探究三元一次方程组的解法
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分课时教学设计
第五课时《 8.3.1 实际问题与二元一次方程组 》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课讲的是用二元一次方程组解决实际问题，在学生已经熟练掌握二元一次方程组的解法的基础上，通过对实际问题审，设，列，解，验，答；经历建立元一次方程组这种数学模型解决实际问题的过程，体验用方程组解决实际问题的一般方法，进一步提高分析问题与解决问题的能力，进而增强数学应用的意识。
学习者分析 通过前面的学习，学生已经掌握了二元一次方程组的解法，并能初步运用方程组解决实际问题的思路，为进一步探究用方程组解决问题的一般方法、体会数学建模思想、提高数学应用意识作好了准备。
教学目标 能分析实际问题中的数量关系，会设未知数，列方程组并求解，得到实际问题的答案，体会数学建模思想。
教学重点 以方程组为工具分析，解决含有多个未知数的实际问题。
教学难点 确定解题策略，体会数学建模思想。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：情境导入教师活动1： 说一说：利用二元一次方程组解决实际问题的基本思路。 预设： 学生活动1： 学生积极回答问题活动意图说明： 通过复习二元一次方程组解决实际问题的基本思路，初步体会数学建模思想，为进一步探究用方程组解决实际问题做好铺垫。环节二：知识探究1教师活动2： 探究1：养牛场原有30只大牛和15只小牛，1天约需用饲料675 kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约需用饲料940 kg．饲养员李大叔估计平均每只母牛1天约需饲料18～20 kg，每只小牛1天约需饲料7 ～8 kg.你能否通过计算检验他的估计？ 问题1：如何理解“通过计算检验他的估计”这句话？ 预设：只要求出每头大牛和每头小牛1天各需的饲料数量，就可以检验他的估计是否正确。 问题2：题目中哪些是已知量，哪些是未知量？有几个等量关系？ 预设： 已知量：大牛小牛原来和现在一天约用饲料多少千克 未知量：大牛小牛一天各需要用饲料多少千克 大牛用的饲料+小牛用的饲料= 1天约需用饲料 问题3：请大家列方程组解决这个实际问题。 解：设平均每头大牛和每头小牛1天各需用饲料为xkg和ykg；根据题意可列方程组： 解得 答：每只大牛1天约需饲料20kg，每只小牛1天约需饲料5kg，饲养员李大叔对大牛的食量估计正确，对小牛的食量估计偏高。 归纳：对于二元一次方程组问题，应设两个未知数，找出两个相等关系，列两个方程，组成二元一次方程组计算．学生活动2： 学生认真读题、理解题意后小组合作探究活动意图说明： 使学生正确分析题意，并能列出方程组解决实际问题，体会列方程组的关键是找准题中的两个等量关系。环节三：知识探究2教师活动3： 探究2：据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2．现要把一块长200 m、宽100 m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4？ 问题1：这道题研究的是长方形面积的分割问题，你能画出相应的示意图吗？ 预设： 问题2：作物产量比与种植面积的比有什么关系？ 预设：甲、乙作物产量比等于甲作物的种植面积与乙作物的种植面积的2倍的比． 问题3：请大家列方程组解决这个实际问题。 解：如图，一种种植方案为：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形 AEFD 和 BCFE．此时设 AE＝x m，BE＝y m，根据题意，可列方程组 解得 答：过长方形土地的长边上离一端 80 m 处，作 这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地． 较大一块土地种甲种作物，较小一块土地种乙种作物． 追问：还有其他设计方案吗？ 归纳1：列二元一次方程组解决有关图形的问题时，常借助数形结合思想，发现各种量之间的关系，找出相等关系，从而列方程组解决问题． 归纳2：列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审：弄清题中的已知量、未知量，找出题中的相等关系． （2）设：恰当地设未知数． （3）列：根据（1）中的相等关系列方程组． （4）解：正确地解方程组． （5）验：检验解是不是原方程组的解且符合题意． （6）答：答案要完整且单位统一．学生活动3： 学生在教师的引导下、小组合作探究中完成探究2，并派代表行进行板演，讲解，然后认真听教师的点评和讲解，并和老师一起归纳列方程组解决实际问题的一般步骤活动意图说明： 巩固二元一次方程组解决实际问题的基本思路，进一步体会数学建模思想，掌握列方程组解决实际问题的一般步骤，提高学生的应用能力。
板书设计 课题：8.3.1 实际问题与二元一次方程组列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审 （2）设 （3）列 （4）解 （5）验 （6）答教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，已知一个螺栓配套两个螺帽，要使每天生产的螺栓和螺帽刚好配套，设分配生产螺栓x人，生产螺帽的人数为y人，则下列方程组中正确的是（ ） A． B． C． D． 答案：A 2．甲乙两人练习跑步，如果乙先跑10米，甲跑5秒就可追上乙；如果乙先跑2秒，甲跑4秒就可追上乙．设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒，则可列出的方程组为（ ） A． B． C． D． 答案：B 3．在长方形中，放入六个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则每个小长方形的面积为 ． 答案：16 选做题： 如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”的高度为23 cm，小红所搭的“小树”的高度为22 cm，设每块A型积木的高为x cm，每块B型积木的高为y cm，则x= ，y= ． 答案：4，5 【综合拓展类作业】 元旦期间，若干名家长和学生去某景区游玩．请根据景区票价公示栏中的信息及两人的对话，解答下列问题∶ 景区栗价 成人票：每张90元 学生票：按成人票价5折优惠咱们一行9人，购票需要多少元？我算了一下，家长和学生分别购买成人票和学生票共需630元．
求这次参加游玩的家长和学生各多少人？ 解：设这次参加游玩的家长有人，学生有人， 由题意得：， 解得：， 这次参加游玩的家长5人，学生4人．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．我国明代《算法统宗》一书中有如下的类似问题：“一支竿子一条索，索比竿子长两托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长10尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺．如果此题中设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（ ） A． B． C． D． 答案：B 2．“洛书”是世界上最古老的一个三阶幻方，它有3行3列，三横行的三个数之和，三竖列的三个数之和，两对角线的三个数之和都相等，其实幻方就是把一些有规律的数填在正方形图内，使每一行、每一列和每一条对角线上各个数之和都相等，如图幻方的值是 ． 答案：21 3．某中学为了奖励在学校《诗词大会》上获奖的同学，计划购买甲、乙两种奖品共20件，其中甲种奖品每件40元，乙种奖品每件30元．如果购买甲、乙两种奖品共花费650元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件． 解：设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了y件， 由题意得：， 解得：， 答：甲种奖品购买了5件，乙种奖品购买了15件． 选做题： 对于实数x，y定义新运算：，其中a，b为常数．已知，，则（ ） A．， B．， C．， D．， 答案：B 【综合拓展类作业】 小明在拼图时，发现8个大小一样的长方形，恰好可以拼成如左图所示的一个大的长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如右图所示的正方形．但是中间还留下了一个小洞，恰好是边长为的小正方形!你能求出这些长方形的长和宽吗 ．若能，请写出过程；若不能，请说出理由． 解：能求出这些长方形的长和宽， 理由如下：设这些长方形的长和宽分别为，， 根据两个图形可得：， 解得， 答：这些长方形的长和宽分别为，．
教学反思 本课教学采用启发式教学，强调学生的独思考、探索与合作探究，以提高学生的分析与解决问题的能力。在教学中，根据学生的实际，选取学生熟悉的背景为问题情境，让学生体会数学建模的思想。
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8.3.1 实际问题与二元一次方程组
人教版 七年级下册
内容总览
学习目标
01
新知导入
02
探究新知
03
课堂练习
04
课堂总结
05
板书设计
06
目录
作业布置
07
教材分析
本节课讲的是用二元一次方程组解决实际问题，在学生已经熟练掌握二元一次方程组的解法的基础上，通过对实际问题审，设，列，解，验，答;经历建立元一次方程组这种数学模型解决实际问题的过程，体验用方程组解决实际问题的一般方法，进一步提高分析问题与解决问题的能力，进而增强数学应用的意识。
学习目标
能分析实际问题中的数量关系，会设未知数，列方程组并求解，得到实际问题的答案，体会数学建模思想。
新知导入
数学问题
(二元一次方程组)
实际问题
设未知数
列方程组
解方程组
消元法
数学问题的解
(二元一次方程组的解)
实际问题的答案
检验
说一说：利用二元一次方程组解决实际问题的基本思路。
探究新知
任务1：合作探究1
如何理解“通过计算检验他的估计”这句话？
只要求出每头大牛和每头小牛1天各需的饲料数量，就可以检验他的估计是否正确。
探究1：养牛场原有30只大牛和15只小牛，1天约需用饲料675 kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约需用饲料940 kg．饲养员李大叔估计平均每只母牛1天约需饲料18～20 kg，每只小牛1天约需饲料7 ～8 kg.你能否通过计算检验他的估计？
探究新知
任务1：合作探究1
探究1：养牛场原有30只大牛和15只小牛，1天约需用饲料675 kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约需用饲料940 kg．饲养员李大叔估计平均每只母牛1天约需饲料18～20 kg，每只小牛1天约需饲料7 ～8 kg.你能否通过计算检验他的估计？
题目中哪些是已知量，哪些是未知量？有几个等量关系？
已知量：
未知量：
大牛小牛原来和现在一天约用饲料多少千克
大牛小牛一天各需要用饲料多少千克
大牛用的饲料+小牛用的饲料= 1天约需用饲料
探究新知
任务1：合作探究1
探究1：养牛场原有30只大牛和15只小牛，1天约需用饲料675 kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约需用饲料940 kg．饲养员李大叔估计平均每只母牛1天约需饲料18～20 kg，每只小牛1天约需饲料7 ～8 kg.你能否通过计算检验他的估计？
解：设平均每头大牛和每头小牛1天各需用饲料为xkg和ykg；根据题意可列方程组：
答：每只大牛1天约需饲料20kg，每只小牛1天约需饲料5kg，饲养员李大叔对大牛的食量估计正确，对小牛的食量估计偏高。
解得
探究新知
对于二元一次方程组问题，应设两个未知数，找出两个相等关系，列两个方程，组成二元一次方程组计算．
任务1：合作探究1
探究新知
任务2：合作探究2
探究2：据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2．现要把一块长200 m、宽100 m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4？
这道题研究的是长方形面积的分割问题，你能画出相应的示意图吗？
探究新知
任务2：合作探究2
作物产量比与种植面积的比有什么关系？
甲、乙作物产量比等于甲作物的种植面积与乙作物的种植面积的2倍的比．
探究2：据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2．现要把一块长200 m、宽100 m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4？
探究新知
任务2：合作探究2
解：如图，一种种植方案为：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形 AEFD 和 BCFE．此时设 AE＝x m，BE＝y m，根据题意，可列方程组
解得
探究2：据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2．现要把一块长200 m、宽100 m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4？
答：过长方形土地的长边上离一端 80 m 处，作
这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地．
较大一块土地种甲种作物，较小一块土地种乙种作物．
还有其他设计方案吗？
典例分析
列二元一次方程组解决有关图形的问题时，常借助数形结合思想，发现各种量之间的关系，找出相等关系，从而列方程组解决问题．
任务2：合作探究2
归 纳
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审：弄清题中的已知量、未知量，找出题中的相等关系．
（2）设：恰当地设未知数．
（3）列：根据（1）中的相等关系列方程组．
（4）解：正确地解方程组．
（5）验：检验解是不是原方程组的解且符合题意．
（6）答：答案要完整且单位统一．
课堂练习
【知识技能类作业】
——必做题：
1．某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，已知一个螺栓配套两个螺帽，要使每天生产的螺栓和螺帽刚好配套，设分配生产螺栓x人，生产螺帽的人数为y人，则下列方程组中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
A
课堂练习
【知识技能类作业】
——必做题：
2．甲乙两人练习跑步，如果乙先跑10米，甲跑5秒就可追上乙；如果乙先跑2秒，甲跑4秒就可追上乙．设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒，则可列出的方程组为（ ）
A． B．
C． D．
B
课堂练习
【知识技能类作业】
——必做题：
3．在长方形中，放入六个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则每个小长方形的面积为 ．
16
课堂练习
【知识技能类作业】
——选做题：
如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”的高度为23 cm，小红所搭的“小树”的高度为22 cm，设每块A型积木的高为x cm，每块B型积木的高为y cm，则x= ，y= ．
4
5
课堂练习
【综合实践类作业】
元旦期间，若干名家长和学生去某景区游玩．请根据景区票价公示栏中的信息及两人的对话，解答下列问题∶
景区栗价 成人票：每张90元 学生票：按成人票价5折优惠 咱们一行9人，购票需要多少元？
我算了一下，家长和学生分别购买成人票和学生票共需630元．
求这次参加游玩的家长和学生各多少人？
解：设这次参加游玩的家长有人，学生有人，
由题意得：，解得： ，
这次参加游玩的家长5人，学生4人．
课堂总结
今天这节课，你都有哪些收获？
说一说列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。
作业布置
【知识技能类作业】
——必做题：
1．我国明代《算法统宗》一书中有如下的类似问题：“一支竿子一条索，索比竿子长两托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长10尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺．如果此题中设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
B
作业布置
【知识技能类作业】
——必做题：
2．“洛书”是世界上最古老的一个三阶幻方，它有3行3列，三横行的三个数之和，三竖列的三个数之和，两对角线的三个数之和都相等，其实幻方就是把一些有规律的数填在正方形图内，使每一行、每一列和每一条对角线上各个数之和都相等，如图幻方的值是 ．
21
作业布置
【知识技能类作业】
——必做题：
3．某中学为了奖励在学校《诗词大会》上获奖的同学，计划购买甲、乙两种奖品共20件，其中甲种奖品每件40元，乙种奖品每件30元．如果购买甲、乙两种奖品共花费650元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件．
解：设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了y件，
由题意得：，
解得：，
答：甲种奖品购买了5件，乙种奖品购买了15件．
作业布置
【知识技能类作业】
——选做题：
对于实数x，y定义新运算：，其中a，b为常数．已知，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
B
作业布置
【综合实践类作业】
小明在拼图时，发现8个大小一样的长方形，恰好可以拼成如左图所示的一个大的长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如右图所示的正方形．但是中间还留下了一个小洞，恰好是边长为的小正方形!你能求出这些长方形的长和宽吗 ．若能，请写出过程；若不能，请说出理由．
解：能求出这些长方形的长和宽，
理由如下：设这些长方形的长和宽分别为，，
根据两个图形可得：，
解得，
答：这些长方形的长和宽分别为，．
板书设计
课题：8.3.1 实际问题与二元一次方程组
教师板演区
学生展示区
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审
（2）设
（3）列
（4）解
（5）验
（6）答
