2023-2024学年上海市黄浦区敬业中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年上海市黄浦区敬业中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线的斜率为，则直线的法向量为( )
A. B. C. D.
2.设点、均在双曲线：上运动，，是双曲线的左、右焦点，的最小值为
( )
A. B. C. D. 以上都不对
3.若抛物线上不同三点的横坐标的平方成等差数列，那么这三点( )
A. 到原点的距离成等差数列 B. 到轴的距离成等差数列
C. 到轴的距离成等差数列 D. 到焦点的距离的平方成等差数列
4.已知点是抛物线：的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上，在中，若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.椭圆的长轴长为______．
6.抛物线的焦点坐标是 ．
7.已知双曲线过点，它的一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程为______．
8.若椭圆的焦点在轴上，焦距为，且经过点，则该椭圆的标准方程为______．
9.在的展开式中，系数为有理数的项共有______项．
10.名同学照相排成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法共有______种用数字表示
11.一个高为的正三棱锥的底面正三角形的边长为，则此三棱锥的侧面积为______．
12.已知直线：，：，：，若它们不能围成三角形，则实数的取值所构成的集合为______．
13.如图，在直三棱柱中，，，若与平面所成的角为，则四棱锥的体积为______．
14.已知、分别是双曲线：的左右焦点，过的直线与双曲线左右两支分别交于、两点，且，则 ______．
15.已知点，，为曲线上任意一点，则的取值范围为______．
16.若曲线与曲线恰有两个不同的交点，则实数的取值范围为______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知圆：，直线：．
当为何值时，直线与圆相切；
当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程．
18.本小题分
，两人下棋，每局均无和棋且获胜的概率为，某一天这两个人要进行一场五局三胜的比赛，胜者赢得元奖金．
分别求以：获胜、以：获胜的概率；
若前两局双方战成：，后因为其他要事而中止比赛，问，怎么分奖金才公平？
19.本小题分
四棱锥中，平面，底面是正方形，，点是棱上一点．
求证：平面平面；
当为中点时，求二面角的正弦值．
20.本小题分
已知椭圆经过点，，是椭圆的两个焦点，，是椭圆上的一个动点．
求椭圆的标准方程；
若点在第一象限，且，求点的横坐标的取值范围；
是否存在过定点的直线与椭圆交于不同的两点，，使为直角三角形其中为坐标原点？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由．
21.本小题分
已知曲线上的任意一点到两定点、的距离之和为，直线交曲线于、两点，为坐标原点．
求曲线的方程；
若不过点且不平行于坐标轴，记线段的中点为，求证：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
若，求面积的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
根据题意，求出直线的方向向量，设直线的法向量为，其坐标为，分析可得，据此分析选项中向量是否符合，综合即可得答案．
本题考查直线的斜率以及直线的法向量，注意直线方向向量的定义，属于基础题．
【解答】
解：根据题意，直线的斜率为，
则直线的方向向量为；
设直线的法向量为，其坐标为，
则有，
据此分析选项：选项符合，、、都不符合；
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了向量运算、双曲线性质，属于中档题．
设为的中点，则．
【解答】
解：设为的中点，如图：
则，
当且仅当在轴上时，取到等号，
的最小值为．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：设，，，
则，，，
因为，，的横坐标的平方成等差数列，
所以，
即，可得，
因为，，到轴的距离为，，，
所以，，到轴的距离成等差数列．
故选：．
先设出三点的坐标，根据横坐标的平方成等差数列，可得其纵坐标也为等差数列，即可得到答案．
本题主要考查抛物线的性质和等差中项的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：过轴上方作准线的垂线，垂足为，
则由抛物线的定义可得，由，
则中由正弦定理可知：则，
，
设的倾斜角为，则，
当取得最大值时，最小，此时直线与抛物线相切，
设直线的方程为，则，
即，
，
，即，则，
则的最大值为，
故选：．
设的倾斜角为，则，当取得最大值时，最小，此时直线与抛物线相切，将直线方程代入抛物线方程，，求得的值，即可求得的最大值．
本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查正弦定理，考查直线与抛物线相切，考查计算能力，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：椭圆的长轴长为：．
故答案为：．
直接利用椭圆方程，求解即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，把抛物线的方程化为标准形式，是解题的突破口．属于基础题．
先将方程化成标准形式，即，求出，即可得到焦点坐标．
【解答】
解：抛物线的方程即 ，，故焦点坐标为，
故答案为：
7.【答案】
【解析】解：渐近线方程为，可设双曲线的方程为，
代入点，可得，
则双曲线的方程为，
即，
故答案为：．
由渐近线方程可设双曲线的方程为，代入，可得，进而得到所求双曲线的标准方程．
本题考查双曲线的方程与渐近线方程的关系，注意正确设出双曲线的方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：根据题意，椭圆的焦点在轴上，设其标准方程为，
又由椭圆的焦距为，则其焦点为和，
又由椭圆经过点，
则，
则，故；
故椭圆的标准方程为．
故答案为：．
根据题意，设椭圆的标准方程为，由焦点坐标求出的值，进而由椭圆的定义求出、的值，即可得答案．
本题考查椭圆的标准方程，涉及椭圆的几何性质，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：二项式展开式的通项公式为
要使系数为有理数，则必为的倍数，
所以可为，，，，，共种，
故系数为有理数的项共有项．
故答案为
利用二项展开式的通项公式求出展开式的第项，系数为有理数，必为的倍数．
本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．
10.【答案】
【解析】解：名同学照相排成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法共有种．
故答案为：．
由排列、组合及简单计数问题，结合不相邻问题插空法求解．
本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了不相邻问题，属中档题．
11.【答案】
【解析】解：由题意作出图形如图：
因为三棱锥是正三棱锥，顶点在底面上的射影是底面的中心，
在三角中，
三角形三边长，，
则这个棱锥的侧面积．
故答案为：．
画出满足题意的三棱锥图形，根据题意，作出高，利用直角三角形，求出此三棱锥的侧面上的高，即可求出棱锥的侧面积．
本题考查棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积，棱锥的结构特征，还考查计算能力，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：直线：，：，：，它们不能围成三角形，
当与平行或重合时，，
当与平行或重合时，，解得，
当与平行或重合时，，此时无解，
当三条直线经过同一点时，
联立，解得，
则实数的取值所构成的集合为．
故答案为：．
通过三条直线两两平行或重合，以及三条线经过同一点，计算的取值即可．
本题考查线线平行或重合的性质、三线共点等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：如图，连接，
是直三棱柱，平面，则，
又，，
又，平面，
则为与平面所成的角为，
设，又，，
，，得．
四棱锥的体积为．
故答案为：．
证明平面，可得为与平面所成的角为，求解三角形可得，再由棱锥体积公式求解．
本题考查多面体体积的求法，考查运算求解能力，是中档题．
14.【答案】
【解析】解：双曲线中，实半轴长，虚半轴长，半焦距，如图：
由双曲线定义知，则，
中，由余弦定理得．
故答案为：．
利用双曲线的定义结合求出，进而求得，再由余弦定理即可作答．
本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：设，由，得，
令，即，
则，
所以，
其中，则，所以，
则的取值范围为．
故答案为：．
由题意可得，设，利用平面向量数量积的坐标和辅助角公式可得，结合正弦函数的性质即可求解．
本题考查了平面向量数量积的坐标和辅助角公式，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：曲线过定点，
曲线：，，
故曲线是以为端点的两条射线：和，关于轴对称；
当时，曲线为焦点在轴的双曲线，
则两曲线在轴右侧必有两个交点，还有两个顶点，所以不满足题意；
当时，曲线为圆或椭圆，
联立，消得，解得或，
当，即时，射线与圆有个交点；时，射线与椭圆有个交点；
当射线与椭圆有个交点，所以时满足题意．
综上，曲线与曲线恰有两个不同的交点，实数的取值范围为．
故答案为：．
曲线是以为端点的两条射线，然后分类讨论曲线为双曲线和椭圆的情况，数形结合求解实数的取值范围即可．
本题考查了直线与椭圆、双曲线的位置关系，属于中档题．
17.【答案】解：将圆的方程配方得标准方程为，
则此圆的圆心为，半径为．
若直线与圆相切，
则有，

过圆心作，则根据题意和圆的性质，
，
或．
故所求直线方程为或．
【解析】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属中档题．
若直线与圆相切，则有，即可求出
过圆心作，则根据题意和圆的性质，，解得的值，即可求直线的方程．
18.【答案】解：，两人下棋，每局均无和棋且获胜的概率为，
某一天这两个人要进行一场五局三胜的比赛，胜者赢得元奖金．
以：获胜是指连胜三局，概率为，
以：获胜是指前局胜负，第局胜，概率为：
．
设前两局双方战成：后胜，胜的事件分别为，，
若胜，则可能连胜，局，或，局仅胜场，第局胜，
故概率，
两人比赛没有和局，获胜的概率为，则获胜的概率为，
若胜，则可能连胜，局，或，局仅胜场，第局胜，
故概率为，
奖金应分给：元，分给：元．
【解析】以：获胜是指连胜三局，利用相互独立事件概率乘法公式能求出结果；以：获胜是指前局胜负，第局胜，利用相互独立事件概率乘法公式能求出结果；
求出若两局：之后正常结束比赛时，，获胜的概率，按照胜率分配奖金．
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19.【答案】证明：因为平面，平面，
所以，
因为底面是正方形，所以，
又，、平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面．
解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
所以，，
由图知，二面角为锐角，
所以二面角的大小为，
故二面角的正弦值为．
【解析】由平面，知，结合，可证平面，再由面面垂直的判定定理，即可得证；
以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角，即可得解．
本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理或性质定理，利用向量法求二面角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：由题意可得，解得：，，
所以椭圆的方程为：；
设，则可得：；由可得，，
因为，即，
所以，即，
点在第一象限，所以；
所以点的横坐标的取值范围为；
显然直线的斜率存在，设直线的方程为：，
设，，
联立直线与椭圆的方程，整理可得：，
，可得：，
且，，
为直角三角形，
当为直角三角形时，所以，
所以，即，
，
代入可得：，
可得，
解得：；
若或，不妨设为直角，
因为直线的方程为：，所以直线的方程为：，
联立可得，
点在椭圆上，所以，
整理可得：，
解得，所以，
综上所述的值为，．
【解析】由过的点的坐标及焦距的值及，，之间的关系求出，的值，进而求出椭圆的方程；
设的坐标，由数量积的数量积求出的横坐标的取值范围；
设直线的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，分及两种情况求出斜率的值．
本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，和利用直角三角形的性质求直线的斜率的方法，属于中档题．
21.【答案】解：曲线上的任意一点到两定点、的距离之和为，
，，
，
，
曲线的方程为，
证明：设直线：，，，，，
把直线代入可得，
故，
于是在的斜率为：，即．
直线的斜率与的斜率的乘积为定值．
解当直线，分别与坐标轴重合时，的面积，
当直线，的斜率均存在且不为零时，设：，：，
设，，将代入椭圆，得到，
，，
同理，，，
的面积，
令，则，
当时，有最小值，最小值为，当时，有最大值，
综上所述，的面积的取值范围是
【解析】利用椭圆的定义，求解椭圆的几何量，然后得到椭圆的方程．
设直线：，，，，，联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理求解，然后推出直线的斜率与的斜率的乘积为定值．
当直线，分别与坐标轴重合时，当直线，的斜率均存在且不为零时，设：，：，将代入椭圆，得到，由此利用换元法结合已知条件能求出的面积的取值范围．
本题考查椭圆方程、韦达定理、向量知识、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，函数与方程思想、数形结合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．
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