2023-2024学年云南省昆明市昆明一中高二（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年云南省昆明一中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.“”是“直线与直线互相垂直”的( )
A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3.设，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
4.在中，角、、的对边分别为、、，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知圆：，为圆上位于第一象限的一点，过点作圆的切线当的横纵截距相等时，的方程为( )
A. B. C. D.
6.设函数在的图象大致如下图所示，则函数图象的对称中心为( )
A.
B.
C.
D.
7.在三棱锥中，，，为的中点，则等于( )
A. B. C. D.
8.已知，是双曲线：的左、右焦点，椭圆与双曲线的焦点相同，与在第一象限的交点为，若的中点在双曲线的渐近线上，且，则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在正方体中，，，分别为，，的中点，则以下结论正确的是( )
A.
B. 平面平面
C. 平面
D. 异面直线与所成角的余弦值是
10.设复数对应的向量分别为为坐标原点，则( )
A.
B. 若，则
C. 若且，则
D. 若，则的最大值为
11.已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，则下列说法正确的是( )
A. 的周长为 B. 面积的最大值为
C. 的取值范围为 D. 的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线在点处的切线方程为______．
13.已知，则 ______．
14.设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，当时，，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
对某校名学生每周的运动时间进行调查，其中有男生名，女生名，根据性别利用分层随机抽样的方法，从这名学生中选取名学生进行分析，统计数据如表运动时间单位：小时．
男生运动时间统计：
运动时间小时
人数
女生运动时间统计：
运动时间小时
人数
计算，的值；若每周运动时间不低于小时的同学称为“运动爱好者”，每周运动时间低于小时的同学称为“非运动爱好者”，根据以上统计数据填写下面的列联表，则是否可以认为在犯错误的概率不超过的前提下认为“运动爱好者与性别有关”？
男生 女生 合计
运动爱好者
非运动爱好者
合计
附：，其中
在抽取的名学生样本中，从每周运动时间在的同学中任取人，记抽到的男生人数为随机变量，求的分布列和数学期望．
16.本小题分
已知等差数列的前项和为，且，．
求数列的通项公式；
令，求数列的前项和．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，，且，．
若点为上一点且，证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知抛物线：的焦点为，点在上，且为坐标原点．
求抛物线的标准方程；
过点的直线与抛物线交于点，两点，若为定值，求实数的值．
19.本小题分
函数，．
Ⅰ讨论函数的单调性；
Ⅱ若在上恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，
命题“，”的否定是：，．
故选：．
利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可．
本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：直线与直线互相垂直，
，解得或，
“”是“或”的充分不必要条件，
故“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件．
故选：．
根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解．
本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
，
，
，，的大小关系是．
故选：．
利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．
本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：由，得，即，
所以，则，则为等腰直角三角形，
所以．
故选：．
根据题意，由正弦定理求得，可得为等腰直角三角形，可求得．
本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由题意，点在第一象限，故过点的的切线斜率存在，
点在圆上，故，即，
，，
故直线的方程为：，
则，
令，；，，
当的横纵截距相等时，，即，
又，，，解得：，，
即，即．
故选：．
利用过圆上点的切线的性质可得，利用点表示出切线方程，结合横纵截距相等，即得解．
本题考查直线截距式方程及辨析，由直线与圆的位置关系求参数，过圆上一点的圆的切线方程，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：函数，
由图可知，，解得，
则，
令，解得，
的对称中心为，
故选：．
利用辅助角公式化简函数，根据图象求出解析式，利用正弦函数的性质求出对称中心．
本题考查三角函数的性质，考查三角函数的图象，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，
，
，
因为，
．
故选：．
由题意可得，再由数量积的运算律代入求解即可．
本题主要考查空间向量的数量积运算，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：不妨设，，椭圆长半轴长为，短半轴长为，双曲线实半轴长为，虚半轴长为，
由椭圆及双曲线定义可得，
即，
因为，且，分别为，的中点，
所以，
又到渐近线的距离，
所以，，
又，
解得，
因为，
所以，
即，
整理得，
联立，解得，
所以．
故选：．
由题意，利用椭圆和双曲线定义将，表示出来，利用中位线定理找到，的关系，结合，结合勾股定理以及离心率公式再进行求解即可．
本题考查双曲线的性质，考查了逻辑推理和运算能力．
9.【答案】
【解析】解：对于，连接，因为且，所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，而平面，所以，
所以在中，与不垂直，所以，不垂直，故A不正确；
对于，连接，，因为，分别为，的中点，
所以，所以四点，，，共面，
所以平面平面，故B正确；
对于，连接，则且，又且，
所以且，所以四边形是平行四边形，
所以，平面，平面，
所以平面，故C正确；
对于，连接，易知，异面直线与所成角即直线与所成角，即，
设正方体的棱长为，所以，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值是，故D错误．
故选：．
由题意可得出，可判断；因为四点，，，共面，所以平面平面可判断；由线面平行的判定定理可判断；由异面直线所成角可判断．
本题考查异面直线所成的角，考查线面平行的判定，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：，
则，A正确；
，，，
则，故B错误；
，
则，即，
又，
故，解得，C正确；
，故，即，
则表示圆上的点到原点的距离，
故的最大值为，D正确．
故选：．
根据已知条件，结合复数模公式，向量垂直、平行的性质，即可求解．
本题主要考查复数模公式，以及向量垂直、平行的性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由椭圆可得：
，，，，，，，
为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，
对于，由椭圆的定义可知，的周长为，故A错误；
对于，面积的最大值时，是短轴的端点，面积的最大值为：，所以B正确；
对于，设点的坐标为，，
则，
，，故C正确；
对于，，
，当时，取得最大值：；当时，取得最小值，所以的取值范围为，故D正确．
故选：．
先由椭圆方程求出椭圆的左、右焦点坐标以及左、右顶点的坐标，利用椭圆的定义即可判断选项A；判断三角形的面积的最大值的位置求解面积，即可判断选项B；设出点的坐标，代入椭圆方程，再利用向量的数量积，结合二次函数的性质，即可判断选项C；利用椭圆的定义，求解距离的表达式，求解范围即可判断选项D．
本题考查了椭圆的定义以及几何性质，涉及到向量的坐标运算以及三角形的面积的问题，考查了学生的运算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：根据题意可得，
，
曲线在点处的切线方程为：
，即．
故答案为：．
求出函数的导数及在处的导数值，再利用导数的几何意义及直线的点斜式方程，即可求解．
本题考查曲线的切线方程的求解，导数的几何意义，直线的点斜式方程，属基础题．
13.【答案】
【解析】解：令，则，
令，则，
所以，
故答案为：．
分别令，，建立方程即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：根据题意，因为函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，
则，，
所以，函数的图象关于直线对称，也关于点对称，
所以，，，
所以，，则，
所以，函数是周期为的周期函数，
当时，，则，，，
，，，
，，
所以，，
又因为，所以，．
故答案为：．
根据题意，由函数的对称性推导出函数是周期为的周期函数，根据题中条件求出的值，结合函数的周期性可求得的值．
本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的对称性与周期性，属于中档题．
15.【答案】解：依题意，男生应该选取名，女生应该选取名，
故，，
可得列联表：
男生 女生 合计
运动爱好者
非运动爱好者
合计
，
可以在犯错误的概率不超过的前提下认为“运动爱好者与性别有关”．
每周运动时间在的同学中，男生有人，女生有人，
则随机变量可取，，，，
，
，
，
，
的分布列为：


．
【解析】本题考查独立性检验的应用，离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
男生应该选取名，女生应该选取名，从而，，求出列联表，从而求出，即可得到结果．
每周运动时间在的同学中，男生有人，女生有人，随机变量可取，，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和．
16.【答案】解：设等差数列的公差为，，，
，解得，
数列的通项公式为；
由得，则，
．
【解析】设等差数列的公差为，列出关于首项和公差的方程组，求解即可得出答案；
由得，则，利用分组求和法，即可得出答案．
本题考查等差数列和等比数列的综合应用，考查转化思想和方程思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17.【答案】证明：作交于点，连接，
因为，则，
又且，
则且，
所以四边形为平行四边形，
故CF，
又平面，平面，
所以平面；
解：因为平面，平面，
所以，又
所以，则，
以点为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，
所以，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，
故，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】作交于点，连接，利用且，证明四边形为平行四边形，从而得到，由线面平行的判定定理证明即可；
建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可．
本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面平行的判定定理的应用，线面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
18.【答案】解：已知点在上，且，，
则点在线段的中垂线上，即，
把点代入抛物线的方程，
则，，
解得，
所以抛物线的标准方程为．
设过的直线为，，，
联立，得，
则，即，
且，，
所以，
因为为定值，
所以，，解得或舍去，
当，时，
所以当为定值时，．
【解析】由先表示出点坐标，代入抛物线的方程求，得出抛物线的标准方程；
设过的直线为，与抛物线的方程联立，得出韦达定理及判别式大于零，把韦达定理代入为定值，求出实数的值．
本题考查抛物线的标准方程及其性质，考查直线与抛物线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：Ⅰ，
当时，，在递增；
当时，，在递增，
当时，，由，
所以时，，递增，
当，，递减，
综上可得，当时，在递增；当时，在递增，在递减．
Ⅱ设，，
则，
当时，由，，可得，
于是在递增，恒成立，符合题意．
当时，由于时，，
而，故在递增，而，
则存在一个，使得，所以时，递减，
故，不符题意，
故．
【解析】Ⅰ求得的导数，讨论，，时，由导数大于，可得增区间；导数小于，可得减区间；
Ⅱ设，，求得的导数，讨论当时，当时，判断的单调性，结合恒成立条件，可得所求范围．
本题主要考查函数恒成立问题解法，考查导数的运用：求单调性，考查分类讨论思想和化简运算能力、推理能力，属于中档题．
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