2009年暑假数学课外辅导（必修1）第一章集合与函数的概念
文档属性
| 名称 | 2009年暑假数学课外辅导（必修1）第一章集合与函数的概念 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 283.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2009-07-23 21:17:00 | ||
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文档简介
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2009年暑假数学课外辅导（必修1）
第一章 集合与函数的概念
一、基本内容串讲
本章主干知识：集合、子集、并集、交集、补集，函数的概念及表示法，函数的定义域和值域，函数的单调性、奇偶性和最值。
1．集合
集合是指定的某些对象的全体。集合中元素的特性有: 确定性（集合中的元素应该是确定的，不能模棱两可）、互异性（集合中的元素应该是互不相同的）、无序性（集合中元素的排列是无序的）.元素和集合的关系是属于不属于关系.表示集合的方法要掌握字母表示法、列举法、描述法及Venn图法。根据元素个数的多少集合可分为：有限集，无限集。
2．集合间的基本关系及基本运算
关系或运算 自然语言 符号语言 图形语言
集合A中任意一个元素都是集合B中的元素。
A∩B 由所有属于集合A且属于集合B的所有元素所组成的集合
A∪B 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合。
已知全集U, 集合AU，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作A相对于U的补集。 。
3．函数及其表示
（1）函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数。
（2）函数的三要素是：定义域、值域和对应关系。
（3）函数的表示：解析法、列表法、图象法。
4．函数的基本性质
（1）函数的最值：函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在，使得；函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的，都有．
（2）函数的单调性：如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1（3）函数的奇偶性是函数的整体性质，函数具有奇偶性的一个必要条件是定义域关于原点对称．偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称．
5．要注意区分一些容易混淆的符号
（1）与的区别：表示元素与集合之间的关系；表示集合与集合之间的关系．
（2）a与{a}的区别：a表示一个元素，{a}而表示只有一个元素a的集合．
（3）{0}与Φ的区别：是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合，因此Φ{0}但不能写成Φ={0}，Φ{0}．
二、考点阐述
考点1 集合的含义 （A）
1、（石家庄市2008年第二次质检） 设全集U＝集合M＝，
C＝，则实数a的值为（ D ）
A、 -2或8 B、 -8或-2 C、2或－8 D、 2或8
2、若集合中的元素是的三边长，则△一定不是（ D ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
考点2 集合之间的包含与相等的含义（B）
3、若集合，且，求实数的值.
解析：由，因此，.
（i）若时，得，此时，；
（ii）若时，得. 若,满足，解得.
故所求实数的值为或或。
4、已知集合A={a,a+b,a+2b}，B={a,ax,ax2}. 若A=B，求实数x的值.
解析：若a+ax2-2ax=0, 所以a(x-1)2=0，即a=0或x=1.
当a=0时，集合B中的元素均为0，故舍去；
当x=1时，集合B中的元素均相同，故舍去.
若2ax2-ax-a=0。
因为a≠0，所以2x2-x-1=0, 即(x-1)(2x+1)=0. 又x≠1，所以只有。
经检验，此时A=B成立. 综上所述。
考点3 全集与空集的含义（A）
5、已知全集,，则（ C ）.
A. B. C. D.
6、设，，，求、.
解析：；＝。
考点4 两个集合的并集与交集的含义及计算 （C）
7、(2009北京朝阳区)已知集合，则等于 （ D ）
A． B．{1,2} C．{2,3} D．{1,2,3}
8、(2009北京西城区)已知集合，那么集合等于（ C ）
A. B. C. D.
9、(2009北京海淀区)已知，.
（I）若，求；
（II）若R，求实数的取值范围.
解析：（I）当时，.
. .
（II）.
. 且
. 实数的取值范围是.
考点5 补集的含义及求法（C）
10、(北京市石景山区2009年4月高三一模理)已知全集，，
，那么集合是 ( D )
A． B． C． D．
11、（荆州市2008年检测） 设，且，若，则实数的值为 （ B ）
考点6 用Venn图表示集合的关系及运算（C）
12、（宜昌市2008年第二次调研）设全集，如图。则图中阴影部分所表示的集合为 ( D )
A． B． C． D．
考点7 函数的概念(B)
13、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ C ）
⑴，；⑵，；
⑶，；⑷，；
⑸， ( http: / / wxc. / )
A ( http: / / wxc. / ) ⑴、⑵ B ( http: / / wxc. / ) ⑵、⑶ C ( http: / / wxc. / ) ⑷ D ( http: / / wxc. / ) ⑶、⑸
解析： C （1）定义域不同；（2）定义域不同；（3）对应法则不同；（4）定义域相同，且对应法则相同；（5）定义域不同；
考点8 求简单函数的定义域和值域(C)
14、已知函数的定义域为，的定义域为，则（ C ）
A. B. C. D.
15、（2009广东东莞）函数的定义域为
16、函数的值域为 ( http: / / wxc. / ) 。
解析： ∵∴，∴值域为。
考点9 函数的表示法( C )
17、已知函数，则 （ B ）
A．= B． =
C． = D． =
18、已知为奇函数，为偶函数且，则的表达式为（ C ）
A． B． C． D．
考点10简单的分段函数及应用( B )
19.若函数，则 （ B ）
A. B. C. D.
20．函数，则，若，则实数的取值范围是
考点11函数的单调性、最大（小）值及其几何意义 (C关注学科内综合)
21、试用函数单调性的定义判断函数在区间（0，1）上的单调性.
解析：任取∈(0,1)，且. 则.
由于，，，，故，
即.
所以，函数在（0，1）上是减函数.
22、求下列函数的单调区间：
（1）；（2）.
解析：（1），其图象如右.
由图可知，函数在上是增函数，在上是减函数.
（2），其图象如右.
由图可知，函数在、上是增函数，在、上是减函数.
23、已知，指出的单调区间.
解析：∵ ，
∴ 把的图象沿x轴方向向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，得到的图象，如图所示.
由图象得在单调递增，在上单调递增.
24、求函数的最小值.
解析：此函数的定义域为，且函数在定义域上是增函数，
所以当时，，函数的最小值为2.
考点12奇偶性的含义( A )
25、设a为常数，函数. 若为偶函数，则等于（ B ）
A. -2 B. 2 C. -1 D. 1
26、判别下列函数的奇偶性：
（1）； （2）；
解析：（1）原函数定义域为，对于定义域的每一个x，都有
， 所以为奇函数.
（2）原函数定义域为R，对于定义域的每一个x，都有
，所以为偶函数.
考点13利用函数的图象理解和探究函数的性质( C关注探究过程)
27、已知函数上的奇函数，当x>0时，
的大致图象为 （ ）
解析：由函数上的奇函数可淘汰A、C，又当时，可淘汰D，选B．
三、解题方法分析
1．弄清元素的特征，从元素的分析上寻找解题的突破口
【方法点拨】集合中的元素具有“三性”：确定性、互异性和无序性，集合的关系、集合的运算等都是从元素的角度予以定义的。因此，求解集合问题时，应抓住元素的特征进行分析。
例1 已知A＝{x| x≤3,x∈R}，a=, b=, 则（ ）
（A）a∈A且bA （B）aA且b∈A
（C）a∈A且b∈A （D）aA且bA
【解析】由于3=,所以a∈A，
又3=，所以bA，故选A.
【点评】：本题属于“知道”层次，能准确识别或再认集合中的元素；这类集合问题，元素的确定性是解决问题的入手点。
2．准确理解集合的相关概念，从集合的相关概念上寻找解题的突破口
【方法点拨】概念抽象、符号术语多是集合单元的一个显著特点，交集、并集、补集的概念及子集、真子集、集合相等的定义等等。准确理解这些概念是求解集合问题的依据和突破口。
例2 已知（ ）
A．{1,2} B. {2,4} C. {2} D. {4}
【解析】：对于选项A：{1,2} C，选项B：{2,4} B，选项D：{4} B，只有C符合要求，故选C。
【点评】：（1）本题属于“了解”层次，考查考生的辨别、比较能力；（2）本题解答的关键是分析选项的元素特征，把握集合与集合的关系，运用子集的定义来直接判断。
3、正确掌握集合运算的内涵，从集合运算的转化上寻找解题的突破口
【方法点拨】明确AB=B、AB=B、AB与AB=的含义，根据问题的需要，可以转化为等价的关系式：、．A、B有公共元素与A、B没有公共元素
例3 设A={－4，0}，B=}，
（1）若AB=B，求 的值；
（2）若AB，求 的取值范围．
【解析】：（1）因为AB=B，所以，又A={－4，0}，而B至多只有两个根，因此应有A=B，故。
（2）由于，AB至少含有元素－4，因此不论 取何值AB，故。
【点评】：本题属于“理解”层次，解答这类问题的关键是集合运算关系的转化．
4．多角度审视函数概念，从函数的本质上寻找解题突破口
【方法点拨】体会用集合与对应的观点来理解函数概念，明确函数表达式可以是解析式，图象，也可以是表格，了解构成函数的三要素，会求简单函数的定义域和值域。
例4 求下列函数的定义域：
（1） （2）
【解析】：（1）对于，要求且，即；对于，要求，即，它等价于，即，再取两个函数定义域的公共部分，得所求函数定义域为：.
（2）两个分段区间是和，取它们的并集得所求函数的定义域为.
【点评】：本题属于“理解”层次，考查考生对所学过的内容能进行理性分析；本题的第（1）问：函数是由与的和构成的，应先分别求出各表达式的定义域，再取公共部分；第（2）是个分段函数，先确定函数在各段上自变量的取值范围，再取并集.
5．正确画图、准确识图、合理利用图形建立函数关系
【方法点拨】一方面，通过画图、识图、用图可以研究函数的解析式及其性质；另一方面，函数的解析式及其性质可以通过图象反映出来。
例5 如图，已知底角为的等腰梯形，底边长为7,腰长为，当一条垂直于底边（垂足为）的直线从左至右移动（与梯形有公共点）时，直线把梯形分成两部分，令，试写出左边部分的面积与的函数。
【解析】：过点分别作，，垂足分别是，。因为是等腰梯形，底角为，，所以，又，所以。
⑴当点在上时，即时，；
⑵当点在上时，即时，
⑶当点在上时，即时，
=。
所以，函数解析式为
【点评】：本题属于“理解”中简单应用层次，考查考生能运用所学过的知识分析生产实践中的数学问题；本题解题的关键是就直线所在的位置分类讨论左边部分的图形特征，然后根据图形形状求出面积。
6．以函数问题为主线，探究和发现数学规律
【方法点拨】数学规律的探索，既要会观察分析已有规律，又要不断发现和完善规律。费
例6 探究函数f（x）=x＋,x∈（0，+∞）的最小值,并确定取得最小值时x的值.列表如下：
x … 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 …
y … 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.02 4.04 4.3 5 5.8 7.57 …
请观察表中y值随x值变化的特点,完成以下的问题.
（1）根据上表分析函数f（x）=x＋（x＞0）在何区间上单调递增；当x为何值时？y有最小值.
（2）证明：函数f（x）=x＋（x＞0）在区间（0,2）上递减.
（3）思考：函数f（x）=x＋（x＜0）有最值吗？如果有,那么它是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果,不需证明）
【解析】（1）函数f（x）=x＋（x＞0）在区间（2,＋∞）上递增.
当x=2时,y最小=4。
（2）任取x1,x2∈（0, 2）且 x1＜x2于是,
f（x1）－f（x2）=（x＋）－（x2＋） = ①
∵ x, x∈（0, 2） 且 x＜x ∴ x－x ＜0；xx－4＜0； xx＞0
∴①式＞0 即f（x）－f（x）＞0，f（x）＞f（x）
∴f（x）在区间（0, 2）递减.
（3）f（x）在（－∞，0）∪（0, ∞）为奇函数.图象关于原点对称.
故当x=－2时,有最大值－4。
【点评】：（1）本题属于“理解”中简单应用层次，主要考查考生能运用所学知识进行简单探究的能力；（2）本题解题的关键是合理分析已给的各种数据，并由此发现和探究函数性质。
四、课堂练习
1．已知全集,，则( )
A. B. C. D.
2．图中阴影部分表示的集合是( )
A. B. C. D.
3．函数的定义域为（ ）
A．[1，2)∪(2，+∞） B．(1，+∞） C．[1，2) D．[1，+∞)
4．函数f(x)= ，则=（ ）
A. 1 B .2 C. 3 D.4
5. 下列五个关系式①{0}= ②=0 ③ {} ④0 ⑤{0}
其中正确的是
6.函数的定义域是 ；
7．已知全集U=R，集合，求：
（1） （2），
8．已知A＝｛x｜x2－8x＋15＝0｝，B＝｛x｜ax－1＝0｝，且BA，求实数a组成的集合。
9．函数在区间 上的最小值是（ ）
A . 1 B. 3 C. －2 D. 5
10．下列说法错误的是（ ）
A.是偶函数 B. 偶函数的图象关于y轴成轴对称
C. 是奇函数 D. 奇函数的图象关于原点成中心对称
11．已知函数在区间上的最大值是4，则= 。
12．已知函数.
（1）证明在上是减函数;（2）当时，求的最大值和最小值.
13. 某厂准备投资100万生产A，B两种新产品，据测算，投产后的年收益，A产品是总投入的，B产品则是总投入开平方后的2倍．问应该怎样分配投入数，使两种产品的年总收益最大？
14．若函数，则= ( http: / / wxc. / )
15．已知是奇函数，又f(1)=2，f(2)<3, 求a,b,c的值
参考答案
1-4 CAAB 5、③、⑤； 6、 ；
7．（1），；（2），
8．解：A＝{3，5}，因为BA，若B＝时，则a＝0，若B≠时，则a≠0，这时有＝3或 ＝5，即a＝，或a＝，所以由实数a组成的集合为｛0，，｝。
9．A 10、C 11、—4 12．（1）略；（2）
13．解：设投入B产品为万，则投入A产品为万，总收益为万。
由题意可知：，设，则。
原式为：，，，当时，此时，有最大值为25。
答：当投入A产品为75万，投入B产品为25万时，两种产品的年总收益最大为25万。
14． ； 提示：令；
15．解：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)=－f(x)，
∵a,b, c, ∈Z ，∴b=1, ∴a=1, 综上 ，a=1, b=1, c=0。
五、课外练习（一、二）
A
B
U
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2009年暑假数学课外辅导（必修1）
第一章 集合与函数的概念
一、基本内容串讲
本章主干知识：集合、子集、并集、交集、补集，函数的概念及表示法，函数的定义域和值域，函数的单调性、奇偶性和最值。
1．集合
集合是指定的某些对象的全体。集合中元素的特性有: 确定性（集合中的元素应该是确定的，不能模棱两可）、互异性（集合中的元素应该是互不相同的）、无序性（集合中元素的排列是无序的）.元素和集合的关系是属于不属于关系.表示集合的方法要掌握字母表示法、列举法、描述法及Venn图法。根据元素个数的多少集合可分为：有限集，无限集。
2．集合间的基本关系及基本运算
关系或运算 自然语言 符号语言 图形语言
集合A中任意一个元素都是集合B中的元素。
A∩B 由所有属于集合A且属于集合B的所有元素所组成的集合
A∪B 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合。
已知全集U, 集合AU，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作A相对于U的补集。 。
3．函数及其表示
（1）函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数。
（2）函数的三要素是：定义域、值域和对应关系。
（3）函数的表示：解析法、列表法、图象法。
4．函数的基本性质
（1）函数的最值：函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在，使得；函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的，都有．
（2）函数的单调性：如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1
5．要注意区分一些容易混淆的符号
（1）与的区别：表示元素与集合之间的关系；表示集合与集合之间的关系．
（2）a与{a}的区别：a表示一个元素，{a}而表示只有一个元素a的集合．
（3）{0}与Φ的区别：是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合，因此Φ{0}但不能写成Φ={0}，Φ{0}．
二、考点阐述
考点1 集合的含义 （A）
1、（石家庄市2008年第二次质检） 设全集U＝集合M＝，
C＝，则实数a的值为（ D ）
A、 -2或8 B、 -8或-2 C、2或－8 D、 2或8
2、若集合中的元素是的三边长，则△一定不是（ D ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
考点2 集合之间的包含与相等的含义（B）
3、若集合，且，求实数的值.
解析：由，因此，.
（i）若时，得，此时，；
（ii）若时，得. 若,满足，解得.
故所求实数的值为或或。
4、已知集合A={a,a+b,a+2b}，B={a,ax,ax2}. 若A=B，求实数x的值.
解析：若a+ax2-2ax=0, 所以a(x-1)2=0，即a=0或x=1.
当a=0时，集合B中的元素均为0，故舍去；
当x=1时，集合B中的元素均相同，故舍去.
若2ax2-ax-a=0。
因为a≠0，所以2x2-x-1=0, 即(x-1)(2x+1)=0. 又x≠1，所以只有。
经检验，此时A=B成立. 综上所述。
考点3 全集与空集的含义（A）
5、已知全集,，则（ C ）.
A. B. C. D.
6、设，，，求、.
解析：；＝。
考点4 两个集合的并集与交集的含义及计算 （C）
7、(2009北京朝阳区)已知集合，则等于 （ D ）
A． B．{1,2} C．{2,3} D．{1,2,3}
8、(2009北京西城区)已知集合，那么集合等于（ C ）
A. B. C. D.
9、(2009北京海淀区)已知，.
（I）若，求；
（II）若R，求实数的取值范围.
解析：（I）当时，.
. .
（II）.
. 且
. 实数的取值范围是.
考点5 补集的含义及求法（C）
10、(北京市石景山区2009年4月高三一模理)已知全集，，
，那么集合是 ( D )
A． B． C． D．
11、（荆州市2008年检测） 设，且，若，则实数的值为 （ B ）
考点6 用Venn图表示集合的关系及运算（C）
12、（宜昌市2008年第二次调研）设全集，如图。则图中阴影部分所表示的集合为 ( D )
A． B． C． D．
考点7 函数的概念(B)
13、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ C ）
⑴，；⑵，；
⑶，；⑷，；
⑸， ( http: / / wxc. / )
A ( http: / / wxc. / ) ⑴、⑵ B ( http: / / wxc. / ) ⑵、⑶ C ( http: / / wxc. / ) ⑷ D ( http: / / wxc. / ) ⑶、⑸
解析： C （1）定义域不同；（2）定义域不同；（3）对应法则不同；（4）定义域相同，且对应法则相同；（5）定义域不同；
考点8 求简单函数的定义域和值域(C)
14、已知函数的定义域为，的定义域为，则（ C ）
A. B. C. D.
15、（2009广东东莞）函数的定义域为
16、函数的值域为 ( http: / / wxc. / ) 。
解析： ∵∴，∴值域为。
考点9 函数的表示法( C )
17、已知函数，则 （ B ）
A．= B． =
C． = D． =
18、已知为奇函数，为偶函数且，则的表达式为（ C ）
A． B． C． D．
考点10简单的分段函数及应用( B )
19.若函数，则 （ B ）
A. B. C. D.
20．函数，则，若，则实数的取值范围是
考点11函数的单调性、最大（小）值及其几何意义 (C关注学科内综合)
21、试用函数单调性的定义判断函数在区间（0，1）上的单调性.
解析：任取∈(0,1)，且. 则.
由于，，，，故，
即.
所以，函数在（0，1）上是减函数.
22、求下列函数的单调区间：
（1）；（2）.
解析：（1），其图象如右.
由图可知，函数在上是增函数，在上是减函数.
（2），其图象如右.
由图可知，函数在、上是增函数，在、上是减函数.
23、已知，指出的单调区间.
解析：∵ ，
∴ 把的图象沿x轴方向向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，得到的图象，如图所示.
由图象得在单调递增，在上单调递增.
24、求函数的最小值.
解析：此函数的定义域为，且函数在定义域上是增函数，
所以当时，，函数的最小值为2.
考点12奇偶性的含义( A )
25、设a为常数，函数. 若为偶函数，则等于（ B ）
A. -2 B. 2 C. -1 D. 1
26、判别下列函数的奇偶性：
（1）； （2）；
解析：（1）原函数定义域为，对于定义域的每一个x，都有
， 所以为奇函数.
（2）原函数定义域为R，对于定义域的每一个x，都有
，所以为偶函数.
考点13利用函数的图象理解和探究函数的性质( C关注探究过程)
27、已知函数上的奇函数，当x>0时，
的大致图象为 （ ）
解析：由函数上的奇函数可淘汰A、C，又当时，可淘汰D，选B．
三、解题方法分析
1．弄清元素的特征，从元素的分析上寻找解题的突破口
【方法点拨】集合中的元素具有“三性”：确定性、互异性和无序性，集合的关系、集合的运算等都是从元素的角度予以定义的。因此，求解集合问题时，应抓住元素的特征进行分析。
例1 已知A＝{x| x≤3,x∈R}，a=, b=, 则（ ）
（A）a∈A且bA （B）aA且b∈A
（C）a∈A且b∈A （D）aA且bA
【解析】由于3=,所以a∈A，
又3=，所以bA，故选A.
【点评】：本题属于“知道”层次，能准确识别或再认集合中的元素；这类集合问题，元素的确定性是解决问题的入手点。
2．准确理解集合的相关概念，从集合的相关概念上寻找解题的突破口
【方法点拨】概念抽象、符号术语多是集合单元的一个显著特点，交集、并集、补集的概念及子集、真子集、集合相等的定义等等。准确理解这些概念是求解集合问题的依据和突破口。
例2 已知（ ）
A．{1,2} B. {2,4} C. {2} D. {4}
【解析】：对于选项A：{1,2} C，选项B：{2,4} B，选项D：{4} B，只有C符合要求，故选C。
【点评】：（1）本题属于“了解”层次，考查考生的辨别、比较能力；（2）本题解答的关键是分析选项的元素特征，把握集合与集合的关系，运用子集的定义来直接判断。
3、正确掌握集合运算的内涵，从集合运算的转化上寻找解题的突破口
【方法点拨】明确AB=B、AB=B、AB与AB=的含义，根据问题的需要，可以转化为等价的关系式：、．A、B有公共元素与A、B没有公共元素
例3 设A={－4，0}，B=}，
（1）若AB=B，求 的值；
（2）若AB，求 的取值范围．
【解析】：（1）因为AB=B，所以，又A={－4，0}，而B至多只有两个根，因此应有A=B，故。
（2）由于，AB至少含有元素－4，因此不论 取何值AB，故。
【点评】：本题属于“理解”层次，解答这类问题的关键是集合运算关系的转化．
4．多角度审视函数概念，从函数的本质上寻找解题突破口
【方法点拨】体会用集合与对应的观点来理解函数概念，明确函数表达式可以是解析式，图象，也可以是表格，了解构成函数的三要素，会求简单函数的定义域和值域。
例4 求下列函数的定义域：
（1） （2）
【解析】：（1）对于，要求且，即；对于，要求，即，它等价于，即，再取两个函数定义域的公共部分，得所求函数定义域为：.
（2）两个分段区间是和，取它们的并集得所求函数的定义域为.
【点评】：本题属于“理解”层次，考查考生对所学过的内容能进行理性分析；本题的第（1）问：函数是由与的和构成的，应先分别求出各表达式的定义域，再取公共部分；第（2）是个分段函数，先确定函数在各段上自变量的取值范围，再取并集.
5．正确画图、准确识图、合理利用图形建立函数关系
【方法点拨】一方面，通过画图、识图、用图可以研究函数的解析式及其性质；另一方面，函数的解析式及其性质可以通过图象反映出来。
例5 如图，已知底角为的等腰梯形，底边长为7,腰长为，当一条垂直于底边（垂足为）的直线从左至右移动（与梯形有公共点）时，直线把梯形分成两部分，令，试写出左边部分的面积与的函数。
【解析】：过点分别作，，垂足分别是，。因为是等腰梯形，底角为，，所以，又，所以。
⑴当点在上时，即时，；
⑵当点在上时，即时，
⑶当点在上时，即时，
=。
所以，函数解析式为
【点评】：本题属于“理解”中简单应用层次，考查考生能运用所学过的知识分析生产实践中的数学问题；本题解题的关键是就直线所在的位置分类讨论左边部分的图形特征，然后根据图形形状求出面积。
6．以函数问题为主线，探究和发现数学规律
【方法点拨】数学规律的探索，既要会观察分析已有规律，又要不断发现和完善规律。费
例6 探究函数f（x）=x＋,x∈（0，+∞）的最小值,并确定取得最小值时x的值.列表如下：
x … 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 …
y … 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.02 4.04 4.3 5 5.8 7.57 …
请观察表中y值随x值变化的特点,完成以下的问题.
（1）根据上表分析函数f（x）=x＋（x＞0）在何区间上单调递增；当x为何值时？y有最小值.
（2）证明：函数f（x）=x＋（x＞0）在区间（0,2）上递减.
（3）思考：函数f（x）=x＋（x＜0）有最值吗？如果有,那么它是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果,不需证明）
【解析】（1）函数f（x）=x＋（x＞0）在区间（2,＋∞）上递增.
当x=2时,y最小=4。
（2）任取x1,x2∈（0, 2）且 x1＜x2于是,
f（x1）－f（x2）=（x＋）－（x2＋） = ①
∵ x, x∈（0, 2） 且 x＜x ∴ x－x ＜0；xx－4＜0； xx＞0
∴①式＞0 即f（x）－f（x）＞0，f（x）＞f（x）
∴f（x）在区间（0, 2）递减.
（3）f（x）在（－∞，0）∪（0, ∞）为奇函数.图象关于原点对称.
故当x=－2时,有最大值－4。
【点评】：（1）本题属于“理解”中简单应用层次，主要考查考生能运用所学知识进行简单探究的能力；（2）本题解题的关键是合理分析已给的各种数据，并由此发现和探究函数性质。
四、课堂练习
1．已知全集,，则( )
A. B. C. D.
2．图中阴影部分表示的集合是( )
A. B. C. D.
3．函数的定义域为（ ）
A．[1，2)∪(2，+∞） B．(1，+∞） C．[1，2) D．[1，+∞)
4．函数f(x)= ，则=（ ）
A. 1 B .2 C. 3 D.4
5. 下列五个关系式①{0}= ②=0 ③ {} ④0 ⑤{0}
其中正确的是
6.函数的定义域是 ；
7．已知全集U=R，集合，求：
（1） （2），
8．已知A＝｛x｜x2－8x＋15＝0｝，B＝｛x｜ax－1＝0｝，且BA，求实数a组成的集合。
9．函数在区间 上的最小值是（ ）
A . 1 B. 3 C. －2 D. 5
10．下列说法错误的是（ ）
A.是偶函数 B. 偶函数的图象关于y轴成轴对称
C. 是奇函数 D. 奇函数的图象关于原点成中心对称
11．已知函数在区间上的最大值是4，则= 。
12．已知函数.
（1）证明在上是减函数;（2）当时，求的最大值和最小值.
13. 某厂准备投资100万生产A，B两种新产品，据测算，投产后的年收益，A产品是总投入的，B产品则是总投入开平方后的2倍．问应该怎样分配投入数，使两种产品的年总收益最大？
14．若函数，则= ( http: / / wxc. / )
15．已知是奇函数，又f(1)=2，f(2)<3, 求a,b,c的值
参考答案
1-4 CAAB 5、③、⑤； 6、 ；
7．（1），；（2），
8．解：A＝{3，5}，因为BA，若B＝时，则a＝0，若B≠时，则a≠0，这时有＝3或 ＝5，即a＝，或a＝，所以由实数a组成的集合为｛0，，｝。
9．A 10、C 11、—4 12．（1）略；（2）
13．解：设投入B产品为万，则投入A产品为万，总收益为万。
由题意可知：，设，则。
原式为：，，，当时，此时，有最大值为25。
答：当投入A产品为75万，投入B产品为25万时，两种产品的年总收益最大为25万。
14． ； 提示：令；
15．解：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)=－f(x)，
∵a,b, c, ∈Z ，∴b=1, ∴a=1, 综上 ，a=1, b=1, c=0。
五、课外练习（一、二）
A
B
U
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