中山市高二级2008—2009学年度第二学期期末统一考试
数学科试卷（文科）
本试卷分第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分。共150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1、答第I卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。
3、不可以使用计算器。
4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。
回归分析有关公式：， =，=，，，．
独立性检验有关数据：
P(K2≥k0)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
第I卷（选择题 共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．是虚数单位，
A． B．1 C． D．
2．下面几种推理是合情推理的是
（1）由圆的性质类比出球的有关性质；
（2）由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是，归纳出所有三角形的内角和都是；
（3）某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；
（4）三角形内角和是，四边形内角和是，五边形内角和是，由此得凸多边形内角和是
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（2）（4） D．（2）（4）
3．对任意实数a、b、c，在下列命题中，真命题是
A．“”是“”的必要条件
B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件
D．“”是“”的充分条件
4．两个变量与的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数如下，其中拟合效果最好的模型是
A．模型1的相关指数为0.98 B．模型2的相关指数为0.80
C．模型3的相关指数为0.50 D．模型4的相关指数为0.25
5．已知x与y之间的一组数据：
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
则y与x的线性回归方程为=bx+a必过
A．点 B．点 C．点 D．点
6．若由一个2*2列联表中的数据计算得k2=4.013，那么有( )把握认为两个变量有关系
A．95% B．97.5%
C．99% D．99.9%
7．下列程序框图中，输出的结果是
A．5 B．10
C．20 D．60
8．中心在坐标原点，离心率为的双曲线
的焦点在轴上，则它的渐近线方程为
A． B．
C． D．
9．抛物线上一点P到焦点F的距
离是10，则点P的坐标是
A．（） B．（） C．（9，6） D．（6，9）
10．若函数f(x)=x3－3a2x＋1的图象与直线y=3只有一个公共点，则实数a的取值范围为
A． B． C． D．（－1，1）
第II卷（非选择题共100分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11． 已知复数是纯虚数，则实数= ．
12．已知函数f(x)＝x3－ax2＋1在区间（0，2）内单调递减，则实数a的取值范围是 .
13．从概括出第个式子为___________.
14．从以下二个小题中选做一题（请回答且只能回答其中一个，回答两个按得分最低的记分）．
(1)（坐标系与参数方程选做题）已知曲线、的极坐标方程分别为，，则曲线、交点的极坐标为 ．
(2)（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2．AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB=1，则圆O的半径R= ．
三、解答题：（本大题共5小题，共80分）
15．（本题满分13分）
当实数m取何值时，复平面内表示复数的点
（1）位于第四象限？
（2）位于第一、三象限？
（3）位于直线上？
16．（本题满分13分）
一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：
转速x(转/秒)
16
14
12
8
每小时生产有缺点的零件数y(件)
11
9
8
5
（1）利用散点图或相关系数r的大小判断变量y对x是否线性相关？为什么？
（2）如果y对x有线性相关关系，求回归直线方程；
（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？（最后结果精确到0.001．参考数据：，，，=291）．
17．（本题满分13分）
已知是内任意一点，连结，，并延长交对边于，，，则，这是平面几何中的一个命题，其证明方法常采用“面积法”：．运用类比猜想，对于空间四面体存在什么类似的命题？并用“体积法”证明．
18．（本题满分13分）
点P是椭圆上一点，、是椭圆的两个焦点，又知点P在轴上方，为椭圆的右焦点，直线的斜率为，求的面积．
19．（本题满分14分）
如右图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A、B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP ，设排污管道的总长度为km．
（1）按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAO=(rad)，将表示成的函数；②设OP(km) ，将表示成的函数．
（2）请选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道总长度最短．
20．（本题满分14分）
已知f(x)=x+lnx，x∈（0，e]，，其中e=2.71828…是自然对数的底数，∈R.
（1）若=－1，求f(x)的极值；
（2）求证：在（1）的条件下， ；
（3）是否存在实数，使f(x)的最大值是-3，如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由.
中山市高二级2008—2009学年度第二学期期末统一考试
数学科试卷（文科）参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
B
A
D
A
C
D
B
D
二、填空题
11．=2．
12．a≥3．
13．．
14．（1） （2）
三、解答题：
15．（本题满分13分）
解：（1）由，
得即
或
（2）由得
或或
（3）由得
16．（本题满分13分）
解：（1），，
∴，y与x有线性性相关关系．
（2）解：
∴，
∴回归直线方程为：
（3），解得
17．（本题满分13分）
解：猜想：若四面体内任意点，，，，并延长交对面于，，，，则．
用“体积法”证明如下：
===1
18．（本题满分13分）
解：、是是椭圆的左、右焦点，则，，
设P是椭圆上一点，则
消去，得，得或
当时，代入（2）得与（3）矛盾，舍去．
由，得．
所以，的面积S===．
19．（本题满分14分）
解：（1）①由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=(rad) ，则, 故
，又OP＝，
所以，
所求函数关系式为
②若OP=(km) ，则OQ＝10－，所以OA =OB=
所求函数关系式为
（2）选择函数模型①，
令0 得sin ，因为，所以=，
当时， ，是的减函数；当时， ，是的增函数，所以函数在=时取得极小值，这个极小值就是最小值． ．
这时(km)
因此，当污水处理厂建在矩形区域内且到A、B的距离均为(km)时，铺设的排污管道总长度最短．
20．（本题满分14分）
解：(1)∵f(x)=－x+lnx，f′(x)= －1+=，
∴当1＜x＜e时， f′(x)＜0，此时f(x)单调递减，当0＜x＜1时，f′(x)＞0，
此时f(x) 单调递增，∴f(x)的极大值为f(1)=-1．
（2）∵f(x)的极大值即f(x)在（0，e]上的最大值为-1
令h(x)= ， ∴，
∴当0＜x＜e时， h′(x) ＜0，且h(x)在x=e处连续
∴h(x)在（0，e]上单调递减，∴h(x)min=h(e)=>-1=
∴当x∈（0，e]时，
（3）假设存在实数，使f(x)=x+lnx有最大值-3，x∈（0，e]， f′(x)= ，
①当时， 由于x∈（0，e]， 则f′(x)= 且f(x) 在x=e处连续
∴函数f(x)=x+lnx是（0，e]上的增函数，∴f(x)max=f(e)= ae+1=-3，
解得（舍去）.
②当＜时， 则当－＜x＜e时，f′(x)= 0， 此时f(x)=x+lnx 是减函数，
当时，f′(x)= 此时f(x)= f(x)=x+lnx 是增函数，
∴f(x)max=f(-)=-1+ln()=-3，解得=－e2.
由①、②知，存在实数=－e2,使得当（0，e]，时f(x)有最大值-3.
中山市高二级2008—2009学年度第二学期期末统一考试
数学科试卷（理科）
本试卷分第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分。共150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1、答第I卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。
3、不可以使用计算器。
4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。
回归分析有关公式：， =，=，，，．
独立性检验有关数据：
P(K2≥k0)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
若,则,
,
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．是虚数单位，
A． B．1 C． D．
2．下面几种推理是合情推理的是
（1）由圆的性质类比出球的有关性质；
（2）由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是，归纳出所有三角形的内角和都是；
（3）某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；
（4）三角形内角和是，四边形内角和是，五边形内角和是，由此得凸多边形内角和是
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（2）（4） D．（2）（4）
3．若由一个2*2列联表中的数据计算得k2=4.013,那么有（ ）把握认为两个变量有关系
A．95% B．97.5% C．99% D．99.9%
4．已知x与y之间的一组数据：
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
则y与x的线性回归方程为=bx+a必过
A．点 B．点 C．点 D．点
5．从集合A=，B=，C=中各取一个数，组成无重复数字的三位数的个数是
A．54个 B．27个 C．162个 D．108个
6．若在二项式的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是
A． B． C． D．
7．给出以下命题：
⑴若，则f(x)>0；
⑵；
⑶f(x)的原函数为F(x)，且F(x)是以T为周期的函数，则．
其中正确命题的个数为
A．0 B． 1 C．2 D．3
8．从长度分别为1，2，3，4，5的五条线段中任取三条线段．在这些取法中，以取出的三条线段为边能组成的三角形共有m个，则m的值为
A．3 B．2 C．1 D．4
第II卷（非选择题共110分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9． 已知复数是纯虚数，则实数= ．
10．设，则= .
11. 某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有_________种．（用数字作答）．
12．从概括出第个式子为___________.
13．若函数f(x)=x3－3a2x＋1的图象与直线y=3只有一个公共点，则实数a的取值范围为__________.
14．从以下三个小题中选做一题（请回答且只能回答其中一个，回答两个或两个以上的，按得分最低的记分）．
（1）（不等式选讲选做题）已知，若关于的方程有实根，则的取值范围是 ．
（2）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线、的极坐标方程分别为，，则曲线、交点的极坐标为 ．
（3）（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2．AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB=1，则圆O的半径R= ．
三、解答题：（本大题共6小题，共80分）
15．（本题满分13分）
一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：
转速x(转/秒)
16
14
12
8
每小时生产有缺点的零件数y(件)
11
9
8
5
（1）利用散点图或相关系数r的大小判断变量y对x是否线性相关？为什么？
（2）如果y对x有线性相关关系，求回归直线方程；
（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？（最后结果精确到0.001．参考数据：，
，，=291）．
16．（本题满分13分）
已知是内任意一点，连结，，并延长交对边于，，，则. 这是平面几何中的一个命题，其证明方法常采用“面积法”：．运用类比猜想，对于空间四面体存在什么类似的命题？并用“体积法”证明．
17．（本题满分13分）
袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上号的有个（）．现从袋中任意取一球，表示所取球的标号．
（1）求的分布列、期望和方差；
（2）若，=1，=11，试求、的值．
18．（本题满分13分）
根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案：
方案1：运走设备，搬运费为3800元．
方案2：建保护墙，建设费为2000元．但围墙只能防小洪水．
方案3：不采取措施，希望不发生洪水．
试比较哪一种方案好？
19．（本题满分14分）
如右图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A、B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP ，设排污管道的总长度为km．
（1）按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAO=(rad)，将表示成的函数；②设OP(km) ，将表示成的函数．
（2）请选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道总长度最短．
20．（本题满分14分）
已知f(x)=x－ln(－x)，x∈[－e，0），，其中e=2.71828…是自然对数的底数，∈R.
（1）若=－1，求f(x)的极值；
（2）求证：在（1）的条件下，；
（3）是否存在实数，使f(x)的最小值是3，如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由.
中山市高二级2008—2009学年度第二学期期末统一考试
数学科试卷（理科）参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
A
D
C
B
C
A
二、填空题
9．=2
10．0.0215
11．96
12．
13．（－1，1）
14．（1）； （2） （3）
三、解答题：
15．（本题满分13分）
解：（1），，
∴，y与x有线性性相关关系．
（2）解：
∴，
∴回归直线方程为：
（3），解得
16．（本题满分13分）
解：猜想：若四面体内任意点，，，，并延长交对面于，，，，则．
用“体积法”证明如下：
===1
17．（本题满分13分）
解：（1）由题意，得的可能值为0，1，2，3，4．
，，，，，则的分布列为：
0
1
2
3
4
P
．
=．
（2）由，，得
得或为所求．
18．（本题满分13分）
解：用、、分别表示三种方案的损失．
采用第1种方案，有=3800；
采用第2种方案，有
采用第3种方案，有
于是，=3800，
，
．
采取方案2的平均损失最小．
所以，可以选择方案2．
19．（本题满分14分）
解：（1）①由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=(rad) ，则, 故
，又OP＝，
所以，
所求函数关系式为
②若OP=(km) ，则OQ＝10－，
所以OA =OB=
所求函数关系式为
（2）选择函数模型①，
令0 得sin ，因为，所以=，
当时， ，是的减函数；当时， ，是的增函数，所以函数在=时取得极小值，这个极小值就是最小值． ．
这时(km)
因此，当污水处理厂建在矩形区域内且到A、B的距离均为(km)时，铺设的排污管道总长度最短．
20．（本题满分14分）
解：(1)∵f(x)=－x－ln(－x)，f′(x)= －1，
∴当－e＜x＜－1时， f′(x)＜0，此时f(x)单调递减，当－1＜x＜0时，f′(x)＞0，
此时f(x) 单调递增，∴f(x)的极小值为f(－1)=1．
（2）∵f(x)的极小值即f(x)在[－e，0)上的最小值为1，∴| f(x)|min=1，
令h(x)=g(x)＋， 又∴h′(x)=，∴当－e＜x＜0时， h′(x) ＜0，且h(x)在x=－e处连续
∴h(x)在[－e，0)上单调递减，∴h(x)max=h(－e)=
∴当x[－e，0)时，
（3）假设存在实数a，使f(x)=x－ln(－x)有最小值3，[－e，0)， f′(x)=，
①当≥时， 由于（－e，0)， 则f′(x)=a 且f(x) 在x=－e处连续
∴函数f(x)=ax－ln(－x)是[－e，0)上的增函数，∴f(x)min=f(－e)= －ae－1=3，
解得a=（舍去）.
②当＜时， 则当－e＜x＜时，f′(x)= 此时f(x)=ax－ln(－x) 是减函数，
当时，f′(x)=a 此时f(x)=ax－ln(－x) 是增函数，
∴f(x)min=f()=1－ln()=3，解得a=－e2.
由①、②知，存在实数a=－e2，使得当 [－e，0]，时f(x)有最小值3.
