不等式与不等式组（基础练）（含解析）

不等式与不等式组（基础练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（23-24八年级下·广东深圳·期中）如果，那么下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·安徽淮北·期中）将不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24八年级下·陕西西安·期中）不等式的负整数解有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
4．（23-24八年级下·河北保定·期中）不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．无解
5．（23-24八年级下·广东深圳·期中）“迎五一·赞劳模”活动准备中，商场推出定价为每瓶3元的清凉茶饮料，若购买超过15瓶，则超出的部分按每瓶2元售卖，若顾客现有50元钱，那么他最多能买清凉茶饮料的瓶数为（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
6．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）下列m的值可以使成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24八年级下·广东茂名·阶段练习）小明解不等式的过程如下：
解： ①
②
③
④
⑤
其中，小明出现错误的一步是（　　）
A．从①到② B．从②到③ C．从③到④ D．从④到⑤
8．（21-22七年级下·河北廊坊·期末）不等式括号中部分数字和符号被墨水污染，淇淇查看到该不等式的解为，则污染部分的内容为（ ）
A． B． C． D．
9．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）,为实数,若关于的方程组无解,则关于的不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
10．（23-24八年级上·浙江舟山·期末）定义运算：对于实数，．例如，，．若，对于某个确定的，有且只有一个使等式成立，则的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．或
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）不等式的解集为 ．
12．（23-24七年级下·陕西汉中·期中）已知关于x、y的方程组的解满足，且k为整数，则k的值最小为 ．
13．（23-24八年级下·陕西咸阳·期中）关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是 ．
14．（23-24七年级下·福建泉州·期中）某种笔记本原售价是每本元，凡一次购买本或以上可享受优惠价格，第种：本按原价，其余按七折优惠：第种：全部按原价的九折优惠，若想在购买相同数量的情况下，要使第种比第种更优惠，则至少买 本笔记本．
15．（23-24九年级下·河南鹤壁·期中）如图所示，在数轴上点A，B分别表示数，3，若点P为线段上不与端点重合的动点，且，则x的取值范围是 ．
16．（23-24八年级下·山东青岛·期中）若不等式组有解，则k的取值范围是 ．
17．（23-24七年级下·广西崇左·阶段练习）在学校读书节活动中，老师把一些图书分给勤奋小组的同学们．如果每人分5本，那么剩余 12本；如果每人分8本，那么最后一人虽分到书但不足8本，问勤奋小组的人数？ 设勤奋小组有x人，则可列不等式组为 ．
18．（23-24七年级下·福建泉州·期中）期中考试时间定在4月28日，初一年段数学组老师设置了如上图运算程序，规定运行到“判断结果是否大于28”为一次运算．若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（23-24八年级下·河北保定·期中）解下列不等式（组）
(1)； (2)．
20．（8分）（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）若关于、y的方程组的解满足，求的取值范围．
21．（10分）（2024·山东滨州·一模）（1）解不等式组
（2）若把（1）中不等式组的解用数轴上对应的点表示出来，则其解集在数轴上对应的所有点构成的图形是（ ）；
A．长方形 B．线段 C．射线 D．直线
（3）请类比以上解答过程，解不等式组并指出其解集在数轴上对应的所有点构成的图形是什么图形？
22．（10分）（2024·浙江宁波·一模）有一道题：“如图，数轴上点A，B位于原点O的左侧，分别表示实数x与，且满足，求x的取值范围．”小宁和小波解决此问题的过程分别如下：
小宁： 解： ① ② ∵点A在原点左侧 小波： 解： ③ ④
(1)不考虑其他，这两人在解各自所列不等式的过程中，由上一步变形得到的①②③④这四步中，错误的是 ；（填写序号）
(2)请写出正确的解答过程．
23．（23-24八年级下·河北唐山·期中）在同一平面直角坐标系内有、两点．点在第二象限，且到轴的距离为，到轴的距离为；点在第三象限．
(1)直接写出点的坐标；
(2)求的取值范围；
(3)连接，且垂直于轴，求点的坐标．
24．（12分）（23-24七年级下·安徽合肥·期中）为了进一步落实“双减”政策，增加学生室外活动时间，我校计划从商场一次性购买一批足球和篮球用于开展课后服务训练，经多方调研，现决定购买A品牌篮球和B品牌足球共50个，要求采购总费用不超过万元．若甲、乙两商店销售这两种商品的零售价相同，其中篮球每个零售价300元，足球每个零售价200元．
(1)若按照商场零售价直接购买，至多可以买篮球多少个？
(2)为促进消费，盘活库存，甲、乙两商店均开展“大订单超值购”活动，推出不同的优惠
方案：甲店篮球按零售价格打8折销售，足球按照零售价格原价销售；乙店按照购买篮球和足球的零售总价格打9折销售：若学校至少采购篮球18个，请你运用所学知识，帮采购人员算一算：我校从哪家商店购买篮球和足球更合算？说说你的理由（按照采购规定，篮球和足球只能从同一家商店购买）．
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试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
根据,应用不等式的性质，逐项判断即可．
【详解】解：，
，故选项A符合题意；
，
，故选项B不符合题意；
，
，故选项C不符合题意；
，
∴，故选项D不符合题意．
故选：A．
2．B
【分析】此题主要考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，关键是正确计算出不等式的解集．首先解出不等式的解集，再在数轴上表示解集即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
解得：，
把解集在数轴上表示如下：
．
故选：B
3．D
【分析】先求出不等式的解集，然后得出负整数解，即可得出答案．本题主要考查了求一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键，注意不等式两边同除以一个负数，不等号方向发生改变．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
不等式两边同除以得：，
不等式的负整数解有，，共3个，故D正确．
故选：D
4．C
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解不等式组时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无法找．
分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可得到不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①，得
解不等式②，得
不等式组的解集为
故选C．
5．B
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设该顾客可以购买x瓶清凉茶饮料，利用“总价=单价×数量”，结合总价不超过50元可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
【详解】设该顾客可以购买x瓶清凉茶饮料，
根据题意得：，
解得：，
又x为整数，
x的最大值为17，
即该顾客最多能购买17瓶清凉茶饮料，
故选：B．
6．D
【分析】本题主要考查解一元一次不等式．依次系数化为1、移项、合并同类项即可得出答案．
【详解】解：，
，
解得，
观察四个选项，只有符合题意．
故选：D．
7．D
【分析】此题考查解一元一次不等式．其关键是掌握相关法则和解一元一次不等式的一般步骤，要注意去分母时两边都要乘及两边乘以或除以负数时，不等号要改变方向，运用不等式性质、去括号法则、移项法则，合并同类项法则逐步检查，发现错误．
【详解】解：
①去分母得，
②去括号得，
③移项得，
④合并同类项得，
⑤未知数的系数为1得，
故选：D．
8．C
【分析】设污染的部分为，根据不等式的解集为，进行求解即可．
【详解】解：设污染的部分为，则不等式为，
解得：，
∵不等式的解集为，
∴，
解得：；
∴污染部分的内容为；
故选C．
【点睛】本题考查解一元一次不等式．熟练掌握解一元一次不等式的步骤，正确的计算，是解题的关键．
9．C
【分析】本题考查解二元一次方程组及一元一次不等式性质．熟练运算是解出本题的关键．
【详解】解:∵,整理得：,
∴把代入得,
,解得,
∵该方程组无解,
∴,
∴,
∴,
∴关于的不等式的解集为,
∴,
故选:C．
10．A
【分析】本题考查新定义运算，分情况讨论，列出不等式组，根据不等式组的解的情况进行判断取值范围即可．
【详解】由题意可知,分三种情况：
①若,则,对于某个确定的,有且只有一个使等式成立,
;②若,则,对于某个确定的,有且只有一个使等式成立,；③若,则,对于某个确定的,有且只有一个使等式成立, ，
综上可知， 的取值范围是或；
故选：A．
11．/
【分析】本题考查了解不等式，解题的关键是掌握正确解不等式．去分母，移项，合并即可得．
【详解】解：
，
故答案为：．
12．2
【分析】本题考查了已知二元一次方程组解的情况求参数，解一元一次不等式，得到，再得出关于k的不等式，即可求解．
【详解】解：
得，
∵关于x、y的方程组的解满足，
∴
∴
∵k为整数，
∴k的值最小为2．
故答案为：2．
13．/
【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先分别求出不等式组中两个不等式的解集， 再根据不等式组的解集得到，解之即可得到答案．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵关于x的不等式组的解集为，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查的是一元一次不等式的实际应用，正确的理解题意，列出一元一次不等式是解题的关键．设购买本笔记本，根据题目意思得出第种所需费用：，第种所需费用：，利用第种比第种更优惠，列出不等式求解即可．
【详解】解：设购买本笔记本，
解得：，
∵取正整数，
∴最少购买本．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
根据题意列出不等式组，解之可得．
【详解】据题意，得，
解①，得．
解②，得．
故x的取值范围是．
16．
【分析】本题考查已知不等式的解集求参数，根据求不等式组解集的方法“大中取大，小中取小，大小小大中间找，大大小小找不到” 的原则求解即可．
【详解】解：根据不等式组有解，可直接得出．
故答案为：．
17．
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，设这些图书有x本，根据“如果每人分5本，那么剩余 12本”可得这些学生的人数为：，根据“如果每人分8本，那么最后一人虽分到书但不足8本”，即可列出不等式组，从而得解．
【详解】解：设这些图书有x本，
∵如果每人分5本，那么剩余 12本，
∴这些学生的人数为：，
∵如果每人分8本，那么最后一人虽分到书但不足8本，
∴可列不等式组为：，即．
故答案为：．
18．
【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，能列出不等式组．根据第二次运算结果不大于28，且第三次运算结果要大于28，列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围．
【详解】得：由题意可得：，
解得：．
故答案为：．
19．(1)；
(2)原不等式组无解．
【分析】本题考查的是一元一次不等式（组）的解法，掌握解法步骤是解本题的关键；
（1）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可；
（2）先解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示其解集，结合数轴确定不等式组的解集即可．
【详解】（1）解：，
去分母得：，
去括号得： ，
整理得：，
∴，
解得： ；
（2），
解：解不等式①，得．
解不等式②，得 ．
在数轴上表示两个不等式的解集如下：
∴原不等式组无解．
20．
【分析】本题是二元一次方程组与一元一次不等式组的综合．解方程组求得x与y的值，根据，即可求得a的取值范围．
【详解】解：，
解得：，
∵，
∴，
解得：，
即的取值范围为．
21．（1）；（2）B；（3），射线
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可；
（2）根据线段的概念求解即可；
（3）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后根据射线的概念求解即可．
【详解】（1）
解不等式①得，；
解不等式②得，；
∴不等式得解集为；
（2）把（1）中不等式组的解用数轴上对应的点表示出来如下，
则其解集在数轴上对应的所有点构成的图形是线段，
故选：B；
（3）
解不等式①得，；
解不等式②得，；
∴不等式得解集为；
在数轴上表示如下，
∴其解集在数轴上对应的所有点构成的图形是射线．
22．(1)①③④
(2)
【分析】（1）根据解不等式的步骤判断即可；
（2）根据解不等式的步骤去分母，移项，合并同类项，系数化1，进行求解即可．
【详解】（1）解：这两人在解各自所列不等式的过程中，由上一步变形得到的①②③④这四步中，错误的是①③④，
故答案为：①③④；
（2）解：，
去分母得，
移项，合并得，
系数化1得，
∵点A在原点左侧，
，
．
23．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查点的坐标，坐标与图形，解一元一次不等式；
（1）根据第二象限的点的横坐标为负，纵坐标为正，到轴的距离为纵坐标的绝对值，到轴的距离为横坐标的绝对值，即可求解；
（2）根据第三象限点的横，纵坐标都为负，建立一元一次不等式组，解不等式组，即可求解；
（3）根据垂直于轴，则的横坐标为，进而求得的值，即可求解．
【详解】（1）解：∵点A在第二象限，且到x轴的距离为3，到y轴的距离为1；
∴
（2）依题意，
解得
（3）垂直于轴
．
24．(1)至多可以买篮球21个
(2)当设学校购买篮球不低于18个但不超过20个时，到乙商店划算；当学校购买篮球20个时，两个商店一样；当购买篮球超过20个且不超过52个时，到甲商店比较合适．
【分析】本题主要考查了不等式的应用，解题的关键是根据不等关系列出不等式，解不等式即可．
（1）设按照商场零售价直接购买可以购买篮球x个，足球个，根据采购总费用不超过万元，列出不等式，解不等式即可；
（2）设学校购买篮球m个，购买足球个，得出到甲商店需要的费用为：元，到乙商店需要的费用为：元，再根据采购总费用不超过万元分别求出m的取值范围；再分、、三种情况解答即可．
【详解】（1）解：设按照商场零售价直接购买可以购买篮球x个，足球个，根据题意得：
，
解得：，
答：至多可以买篮球21个．
（2）解：设学校购买篮球m个，购买足球个，根据题意得：
到甲商店需要的费用为：元，解得：，且为整数，
到乙商店需要的费用为：元，解得：，且为整数
当时，解得：，此时乙商店划算；
当时，解得：，两个商店一样；
当时，解得：，即，此时甲商店划算；
综上，当设学校购买篮球不低于18个但不超过20个时，到乙商店划算；当学校购买篮球20个时，两个商店一样；当购买篮球超过20个且不超过52个时，到甲商店比较合适．