不等式与不等式组（培优练）（含解析）

不等式与不等式组（培优练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023·浙江杭州·中考真题）已知数轴上的点分别表示数，其中，．若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·湖北鄂州·中考真题）已知不等式组的解集是，则（　　）
A．0 B． C．1 D．2023
3．（2023·四川眉山·中考真题）关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·山东潍坊·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·湖南邵阳·中考真题）关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2022·四川内江·中考真题）如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（　　）
A．1﹣2a＞1﹣2b B．﹣a＜﹣b C．a+b＜0 D．|a|﹣|b|＞0
7．（2021·广西·中考真题）定义一种运算：，则不等式的解集是（ ）
A．或 B． C．或 D．或
8．（2020·山东德州·中考真题）若关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2019·湖北恩施·中考真题）已知关于的不等式组恰有3个整数解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．（2019·湖南常德·中考真题）小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“至少15元．”乙说：“至多12元．”丙说：“至多10元．”小明说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格x（元）所在的范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023·辽宁丹东·中考真题）不等式组的解集是 ．
12．（2023·黑龙江大庆·中考真题）若关于的不等式组有三个整数解，则实数的取值范围为 ．
13．（2023·黑龙江·中考真题）关于的不等式组有3个整数解，则实数的取值范围是 ．
14．（2023·四川宜宾·中考真题）若关于x的不等式组所有整数解的和为，则整数的值为 ．
15．（2022·黑龙江·中考真题）若关于x的一元一次不等式组的解集为，则a的取值范围是 ．
16．（2022·四川达州·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ．
17．（2018·贵州贵阳·中考真题）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 ．
18．（2021·黑龙江绥化·中考真题）某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品．已知购买2个种奖品和4个种奖品共需100元；购买5个种奖品和2个种奖品共需130元．学校准备购买两种奖品共20个，且种奖品的数量不小于种奖品数量的，则在购买方案中最少费用是 元．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023·江苏盐城·中考真题）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来.

20．（8分）（2023·山东济南·中考真题）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
21．（10分）（2023·山东淄博·中考真题）若实数，分别满足下列条件：
（1）；
（2）．
试判断点所在的象限．
22．（10分）（2023·辽宁·中考真题）某超市销售甲、乙两种驱蚊手环，某天卖出3个甲种驱蚊手环和1个乙种驱蚊手环，收入128元；另一天，以同样的价格卖出1个甲种驱蚊手环和2个乙种驱蚊手环收入76元．
(1)每个甲种驱蚊手环和每个乙种驱蚊手环的售价分别是多少元？
(2)某幼儿园欲购买甲、乙两种驱蚊手环共100个，总费用不超过2500元，那么最多可购买甲种驱蚊手环多少个？
23．（10分）（2023·湖南娄底·中考真题）为落实“五育并举”，绿化美化环境，学校在劳动周组织学生到校园周边种植甲、乙两种树苗．已知购买甲种树苗3棵，乙种树苗2棵共需12元，；购买甲种树苗1棵，乙种树苗3棵共需11元．
(1)求每棵甲、乙树苗的价格．
(2)本次活动共种植了200棵甲、乙树苗，假设所种的树苗若干年后全部长成了参天大树，并且平均每棵树的价值（含生态价值，经济价值）均为原来树苗价的100倍，要想获得不低于5万元的价值，请问乙种树苗种植数量不得少于多少棵？
24．（12分）（2023·河南·中考真题）某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种．
活动一：所购商品按原价打八折；
活动二：所购商品按原价每满300元减80元．（如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元）
(1)购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由．
(2)购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价．
(3)购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为a元，请直接写出a的取值范围．
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试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】先由，，，根据不等式性质得出，再分别判定即可．
【详解】解：∵，，
∴
∵
∴
A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查用数轴上的点表示数，不等式性质，由，，得出是解题的关键．
2．B
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，可得，再结合已知可得，，然后进行计算可求出，的值，最后代入式子中进行计算即可解答．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为：，
∵不等式组的解集是，
∴，，
∴，，
∴，
故选：B．
【点拨】本题考查了根据一元一次不等式组的解集求参数，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3．A
【分析】不等式组整理后，表示出不等式组的解集，根据整数解共有4个，确定出m的范围即可．
【详解】解：，
由②得：，
解集为，
由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2，1，0，，
∴，
∴；
故选：A．
【点拨】本题主要考查解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和掌握，能根据不等式组的解集得到是解此题的关键．
4．B
【分析】分别求得不等式组中每个不等式的解集，从而得到不等式组的解集，即可求解．
【详解】解：
解不等式①得，；
解不等式②得，；
则不等式组的解集为：，
数轴表示为：，
故选：B．
【点拨】此题考查一元一次不等式组的解法以及解集在数轴上的表示，如果带等号用实心表示，如果不带等号用空心表示，解题的关键是正确求得不等式组的解集．
5．C
【分析】分别对两个不等式进行求解，得到不等式组的解集为，根据不等式组有且只有三个整数解的条件计算出的最大值．
【详解】解不等式，
，
∴，
∴，
解不等式，
得，
∴，
∴的解集为，
∵不等式组有且只有三个整数解，
∴不等式组的整数解应为：2，3，4，
∴,
∴的最大值应为5
故选：C．
【点拨】本题考查不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握不等式组的相关知识．
6．A
【分析】根据数轴得出a＜b，根据不等式的性质对四个选项依次分析即可得到答案．
【详解】
解：由题意得：a＜b，
∴﹣2a＞﹣2b，
∴1﹣2a＞1﹣2b，
∴A选项的结论成立；
∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，
∴B选项的结论不成立；
∵﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，
∴，
∴，
∴a+b＞0，
∴C选项的结论不成立；
∵
∴，
∴D选项的结论不成立．
故选：A．
【点拨】
本题考查数轴、不等式、绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握数轴、不等式、绝对值的相关知识．
7．C
【分析】根据新定义运算规则，分别从和两种情况列出关于x的不等式，求解后即可得出结论．
【详解】解：由题意得，当时，
即时，，
则，
解得，
∴此时原不等式的解集为；
当时，
即时，，
则，
解得，
∴此时原不等式的解集为；
综上所述，不等式的解集是或．
故选：C．
【点拨】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义运算规则列出关于x的不等式．
8．A
【分析】分别求出每个不等式的解集，根据不等式组的解集为可得关于a的不等式，解之可得．
【详解】解：解不等式＞，得：，
解不等式-3x＞-2x-a，得：x＜a，
∵不等式组的解集为，
∴，
故选：A．
【点拨】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
9．A
【分析】先根据一元一次不等式组解出x的取值范围，再根据不等式组只有三个整数解，求出实数a的取值范围即可.
【详解】，
解不等式①得：x≥-1，
解不等式②得：x∵不等式组有解，
∴-1≤x∵不等式组只有三个整数解，
∴不等式组的整数解为：-1、0、1，
∴1故选A
【点拨】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答此题要先求出不等式组的解集，求不等式组的解集要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
10．B
【分析】根据三人说法都错了得出不等式组解答即可．
【详解】根据题意可得：，
可得：，
∴
故选B．
【点拨】此题考查一元一次不等式组的应用，关键是根据题意得出不等式组解答．
11．
【分析】分别求解两个不等式，再根据写出不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”，即可解答．
【详解】解：，
由①可得：，
由②可得：，
∴原不等式组的解集为，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤，以及写出不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”．
12．
【分析】首先解不等式组求得解集，然后根据不等式组有三个整数解，确定整数解，则可以得到一个关于的不等式组求得的范围．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组有三个整数解，
不等式组的整数解为，0、1，
则，
解得．
故答案为：．
【点拨】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
13．/
【分析】解不等式组，根据不等式组有3个整数解得出关于m的不等式组，进而可求得的取值范围．
【详解】解：解不等式组得：，
∵关于的不等式组有3个整数解，
∴这3个整数解为，，，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点拨】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，正确得出关于m的不等式组是解题的关键．
14．或
【分析】根据题意可求不等式组的解集为，再分情况判断出的取值范围，即可求解．
【详解】解：由①得：，
由②得：，
不等式组的解集为：，
所有整数解的和为，
①整数解为：、、、，
，
解得：，
为整数，
．
②整数解为：，，，、、、，
，
解得：，
为整数，
．
综上，整数的值为或
故答案为：或．
【点拨】本题考查了含参数的一元一次不等式组的整数解问题，掌握一元一次不等式组的解法，理解参数的意义是解题的关键．
15．
【分析】先求出每个不等式的解集，根据已知不等式组的解集即可得出答案．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
关于的不等式组的解集为，
．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
16．
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组有解,
∴不等式组的解集为： ，
不等式组恰有3个整数解，则整数解为1，2，3
，
解得．
故答案为：．
【点拨】考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．本题要根据整数解的取值情况分情况讨论结果，取出合理的答案．
17．a≥2
【分析】先把a当作已知条件求出各不等式的解集，再根据不等式组无解求出a的取值范围即可．
【详解】解：，
由①得：x≤2，
由②得：x＞a，
∵不等式组无解，
∴a≥2，
故答案为a≥2．
【点拨】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无处找．
18．330
【分析】设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，根据“购买2个A种奖品和4个种奖品共需100元；购买5个A种奖品和2个种奖品共需130元”，即可得出关于A，B的二元一次方程组，在设购买A种奖品m个，则购买B种奖品(20-m)个，根据购买A种奖品的数量不少于B种奖品数量的，即可得出关于m的一元一次不等式，再结合费用总量列出一次函数，根据一次函数性质得出结果．
【详解】解：设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，
依题意，得：，
解得：
∴A种奖品的单价为20元，B种奖品的单价为15元．
设购买A种奖品m个，则购买B种奖品 个，根据题意得到不等式：
m≥(20-m)，解得：m≥，
∴≤m≤20，
设总费用为W，根据题意得：
W=20m+15(20-m)=5m+300，
∵k=5>0，
∴W随m的减小而减小，
∴当m=6时，W有最小值，
∴W=5×6+300=330元
则在购买方案中最少费用是330元．
故答案为：330．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式与一次函数．
19．，数轴见详解
【分析】根据解一元一次不等式的步骤解答即可．
【详解】
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1：．
在数轴上可表示为：
．
【点拨】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集的应用，能求出不等式的解集是解此题的关键，难度适中．
20．，整数解为0，1，2
【分析】分别求解两个不等式，再写出解集，最后求出满足条件的整数解即可．
【详解】解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，

原不等式组的解集是，
∴整数解为0，1，2．
【点拨】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤，以及写出不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”．
21．点在第一象限或点在第二象限
【分析】运用直接开平方法解一元二次方程即可；解不等式求出解题，在分情况确定，的符号确定点所在象限解题即可．
【详解】解：
或
，；
，
解得：；
∴当，时，，，点在第一象限；
当，时，，，点在第二象限；
【点拨】本题考查点在平面直角系的坐标特征，解不等式，平方根的意义，利用不等式的性质判断点的坐标特征是解题的关键．
22．(1)36；20
(2)31
【分析】（1）设每个甲种驱蚊手环的售价x元，每个乙种驱蚊手环的售价是y元，根据“卖出3个甲种驱蚊手环和1个乙种驱蚊手环，收入128元；卖出1个甲种驱蚊手环和2个乙种驱蚊手环，收入76元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论;
（2）设购买甲种驱蚊手环m个，则购买乙种驱蚊手环个，利用总价=单价×数量，结合总价不超过2500元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论.
【详解】（1）解：设每个甲种驱蚊手环的售价x元，每个乙种驱蚊手环的售价是y元，
根据题意得， ，解得: ，
答：每个甲种驱蚊手环的售价是36元，每个乙种驱蚊手环的售价是20元；
（2）解：设购买甲种驱蚊手环m个，则购买乙种驱蚊手环个，
根据题意得：，
解得，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为31.
答：最多可购买甲种驱蚊手环31个.
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是： 找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式.
23．(1)每棵甲种树苗的价格为2元，每棵乙种树苗的价格3元；
(2)乙种树苗种植数量不得少于100棵．
【分析】（1）设每棵甲种树苗的价格为x元，每棵乙种树苗的价格y元，由“购买甲种树苗3棵，乙种树苗2棵共需12元，；购买甲种树苗1棵，乙种树苗3棵共需11元”列出方程组，可求解；
（2）设乙种树苗种植数量为m棵，则甲种树苗数量为棵，根据“获得不低于5万元的价值”列不等式解题即可．
【详解】（1）解：设每棵甲种树苗的价格为x元，每棵乙种树苗的价格y元， 由题意可得：
， 解得：，
答：每棵甲种树苗的价格为2元，每棵乙种树苗的价格3元；
（2）设乙种树苗种植数量为m棵，则甲种树苗数量为棵，
∴，
解得：，
∴的最小整数解为100．
答：乙种树苗种植数量不得少于100棵．
【点拨】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，熟练的确定相等关系与不等关系是解本题的关键．
24．(1)活动一更合算
(2)400元
(3)当或时，活动二更合算
【分析】（1）分别计算出两个活动需要付款价格，进行比较即可；
（2）设这种健身器材的原价是元，根据“选择活动一和选择活动二的付款金额相等”列方程求解即可；
（3）由题意得活动一所需付款为元，活动二当时，所需付款为元，当时，所需付款为元，当时，所需付款为元，然后根据题意列出不等式即可求解．
【详解】（1）解：购买一件原价为450元的健身器材时，
活动一需付款：元，活动二需付款：元，
∴活动一更合算；
（2）设这种健身器材的原价是元，
则，
解得，
答：这种健身器材的原价是400元，
（3）这种健身器材的原价为a元，
则活动一所需付款为：元，
活动二当时，所需付款为：元，
当时，所需付款为：元，
当时，所需付款为：元，
①当时，，此时无论为何值，都是活动一更合算，不符合题意，
②当时，，解得，
即：当时，活动二更合算，
③当时，，解得，
即：当时，活动二更合算，
综上：当或时，活动二更合算．
【点拨】此题考查了一元一次方程及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，注意分类讨论的应用．