2.4.1 平面向量基本定理 课件（共20张PPT）-2023-2024学年高一下学期数学北师版（2019）必修第二册

(共20张PPT)
第二章 平面向量及其应用
2.4.1 平面向量基本定理
1．了解平面向量基本定理及其意义，会利用定理解决简单问题．
2．逐步渗透数形结合的思想方法．
3．通过这节课的学习，展现知识的形成过程，体验探究的基本方法．
4．帮助学生体会数学思维的方式和方法，培养学生的思维能力．
平面向量基本定理的内容．
对平面向量基本定理的理解．
在物理实际应用中，我们不仅需要做力的合成，也常常需要把一个力分解为不同方向的分量．这些物理的实际应用，在数学角度上这种情况该如何体现呢？
力的分解
力的合成
F1
F2
G
F1
F2
F合
给定平面内非零向量,如何做出-2，？
是否所有的均可以表示？
第1步，做出任意向量；
第2步，为模长之比，当，向量相同；当，方向相反．
只要 ，，平面内与共线的任意向量均可用表示．
-2
平面内与不共线的向量该如何表示？
与不共线的向量能否仅用进行代数表示？
最少要用几个向量来表示它们？
一定不能．
至少两个，平面向量加法，减法的逆运用．
a
b
d
c
c = a + b
d = b - a
所以我们可以在这个平面内选取两个或两个以上不共线的向量通过加减法来表示与不共线的向量．
　给定平面内两个不共线的向量 ，，能否表示出所有形如1+2的向量？
第1步，任意做出平面内两个不共线的向量 ，，通过平移使其拥有相同的起点；
第2步，分别作出和；
给定平面内两个不共线的向量 ，，试着表示出+．
分步
第3步，作出+．
给定平面内两个不共线的非零向量，，我们可以表示出+，由此及彼，给定任意实数1，我们都可以表示出1 + ．
第1步，给定两个不共线的非零向量 ，，以及任意一个向量a ，通过平移使其拥有相同的起点；
分步
给定平面内两个不共线的非零向量，，我们可以表示出+，由此及彼，给定任意实数1，我们都可以表示出1 + ．
作图描述问题的可能性，及探究1 是否唯一确定．
第2步，设a , , , 以a为平行四边形的对角线，分别做 ，的平行线，构造平行四边形；
第3步：
a
O
M
C
A
　1+2的形式？
前面的几个问题说明了什么？
（1）平面内任意向量a的一组基必须满足什
么条件？
（2）同一平面内，向量的基底是唯一的吗？
不共线．
不唯一．
给定平面内两个不共线的向量，通过线性运算，可以构造出该平面内的所有向量；
通过线性运算构造平面内所有向量，至少需要两个不共线的向量；
基底不唯一，但是给定基底后，对于给定向量，实数1 具有存在性和唯一性．
概念
如果是同一平面内的那两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1 2，使
1+2．
我们把不共线的 ，叫做表示这一平面内所有向量的一组基，记为｛ ，｝．
若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基，在正交基下向量的线性表示称为正交分解．若基中的两个向量为互相垂直的单位向量，则称这组基为标准正交基．在标准正交基下进行向量分解，许多有关度量的问题就会变得简单．
若 与 是不共线的两个向量，则下列
各组向量中能够作为平面基底的是（ ）
基中的两个向量不能共线；
必须为非零向量．
如何判断一组向量能否作为基底？
A.
B.
C.
D.
存在零向量
D
根据向量共线，加法或减法法则，用已知基底表示未知向量．
第1步，根据向量共线法则可得
第2步，用加法或者减法法则表示出待求向量
如图，在 中，点E，F 分别为BC，DC 的中点， ， ，用a ，b
表示 和 ．
如何在复杂的向量图形中准确找到
基底与被描述向量之间的关系？
写出待描述向量所在一个三角形或平行四边形中的
加法或者减法法则,再寻找基底与其他两个向量的关系.
第2步，同理可得：
第1步，在MCN中满足加法法则 ,故只需用基底表示 与 .
如图，已知M，N，P分别是ABC三边BC，CA，AB上的点，且， ，，设=a，=b，试写出向量，，在此基下的分解式．
解：做图如下
A
故选A．
在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若 ， ，则 ( ).
A. B.
C. D.
D
C
B
A
O
由图可得:
A
已知ABCD为矩形，且AD=2AB，又ADE为等腰直角三角形，F为ED的中点，
， ，以为基底，试表示向量．
解：作图如下，
D
C
B
A
F
E
由图可得:
在ABC中，点P是AB上一点，且 ，又，则t 的值为（ ）．
A. B. C. D.
解：做图如下
故选A．
P
C
B
A
由图可得:
即．
A
如图，ABC中，P为线段AB上一点， ，且 ，则( ).
A B. C. D.
A
P
B
O
故选D．
解：由已知，得
整理得．
D
1.基底不唯一，关键是不共线；
2.实数对12的存在性和唯一性；
3.应用定理的关键是掌握向量的加法法则和向量共线定理．
概念
给定平面内一个向量，构造基底不唯一，但确定的基底对应的实数对12具有存在性和唯一性．
应用
选定基底后，平面内的任意向量与有序实数对一一对应，实现形与数统一（下节内容）
平面向量基本定理
方法：利用向量加法、减法法则和向量共线定理，选取合适的基或者用指定的基来表示未知向量．
意义
平面内任意向量的问题都可以转化为基底中两个向量之间的问题，从而化任意为确定，化未知为已知；
给定平面内两个不共线的向量，通过线性运算，可以构造出该平面内的所有向量．
结构框图
教材第104页练习第1，3，4题．
再 见