2.4.2 平面向量及运算的坐标表示 课件（共23张PPT）-2023-2024学年高一下学期数学北师版（2019）必修第二册

(共23张PPT)
第二章 平面向量及其应用
2.4.2 平面向量及
运算的坐标表示
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布置作业
1．借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；
2．掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则；
3．能用坐标表示平面向量共线的条件．
平面向量的坐标表示和运算．
平面向量线性运算和坐标表示下的共线关系表达．
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回顾上节课的内容，说说平面向量基本定理的内容是什么？
如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数1 2，使1+2．我们把不共线的向量 ，叫做表示这一平面内所有向量的一组基，记为｛ ，｝．
若基中的两个向量为互相垂直的单位向量，则称这组基为标准正交基．（如图所示）
标准正交基的定义
i
O
x
y
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i
O
x
y
a
P(x，y)
因此， . 我们把(x，y)称为向量a在标准正交基下的坐标．向量a可以表示为a=(x，y)．
如图所示，对于坐标平面内的任意非零向量a均可通过平移至以坐标原点O为起点作 ，由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使
．
点的坐标与向量坐标有何区别？
向量a=(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号．
平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同．
在平面直角坐标系中，(x，y)可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点(x，y)或向量(x，y)．
平面向量能不能像直角坐标系中的点一样用坐标来表示？
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平面向量可以用坐标表示，平面向量的运算可以用坐标来表示吗？
向量的加减法可否用坐标进行运算？
分步
第1步，设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，
则a=x1i+y1j，b= x2i+y2j．
第2步，根据向量的运算律，
可得 a+b=(x1i+ y1j)+(x2i+ y2j)=(x1+ x2)i+(y1+ y2)j，
向量的数乘运算，可以用坐标表示吗？
a+b=(x1+x2，y1+y2)
a-b=(x1-x2，y1-y2)
即 a+b=(x1+x2，y1+y2)．
同理 a-b=(x1-x2，y1-y2)．
设
即 ，) ．
，)
向量和差坐标运算
数乘向量坐标运算
给出平面向量的起点和终点坐标，怎样求向量的坐标？
如图所示，设点A (x1，y1)，B(x2，y2)，
．
即
，
确定向量的坐标表示
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　两平面向量平行能否用坐标表示？
第1步，在平面直角坐标系中，设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，b．
若a∥b，则存在实数，使得a；
第2步，在平面直角坐标系中正交分解可得 a=x1i + y1j，b=x2i + y2j，即+（+）．
回顾向量数乘与向量共线的关系，平行向量基本定理是什么？
给定一个非零向量b，则对于任意向量a，a∥b的充要条件是存在唯一个实数，使得a．
分步推导
向量共线的坐标表示
于是 ，消去，得．
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前面的三个问题推导出了什么结果？
（2）向量能不能像平面坐标系中点一样给出坐标表示？
利用平面直角坐标系，通过建立标准正交基，可以实现平面向量的坐标表示．
平面内两个向量和、差、数乘及共线都拥有自己的坐标运算法则．
（3）平面向量可以用坐标表示，向量的运算可以用坐标来运算吗？
（4）平面向量平行能否用坐标表示？
通过这三个问题的探究，可以发现平面内任意向量都能与有序实数对一一对应，同时向量的坐标运算符合实数的运算规律，我们可以利用它求点的坐标，判断向量共线等问题，从而实现形与数的统一．
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和差
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量对应坐标的和与差．
坐标
一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标．
平行
向量ab（b）共线的充要条件是．
数乘
实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积．
平面向量坐标表示和坐标运算的概括
（1）向量 与向量 的坐标相同．
（2）两个向量的终点不同，则这两个向量
的坐标一定不同．
（3）两向量差的坐标与两向量的顺序无关．
（4）向量（2，4）与向量（-4，-6）反向．
（5）若a∥b，a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，
则必有 ．
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判断正误并说明理由：
平面向量的坐标表示、和差数乘运算法则．
平面向量共线的条件及应用．
判断依据
根据两向量差的运算，两向量差的坐标与两向量的顺序有关．
对于同一个向量，无论位置在哪里，坐标都一样．
因为（-4，-6）=-2（2，4），所以两个
向量相反．
若向量b为零向量，则不成立．
向量的坐标为点B的坐标减去点A的坐标，向量的坐标为点A的坐标减去点B的坐标．
你能用向量的坐标运算来推导出给定线段的中点坐标吗
建立直角坐标系，利用坐标运算进行推导．
分步
第1步，设A (x1，y1)，B(x2，y2)，M是线段AB的中点；
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第2步， ， ，由向量的线性运算可知 ；
第3步，所以中点M的坐标是 ．
若点A (x1，y1)，B(x2，y2)， M是线段AB的中点坐标（x，y），则
中点坐标公式
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在平面内，以点O的正东方向为x轴的正向，正北方向为y轴的正向建立平面直角坐标系．质点在平面内作直线运动，先画出下列位移向量在基下的正交分解，再求出下列位移向量的坐标：
（1）向量a表示沿东北方向移动了2个单位长度；
（2）向量b表示沿北偏西30°方向移动了3个单位长度；
（3）向量c表示沿南偏东60°方向移动了4个单位长度．
解：第1步，建立直角坐标系，设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，c=(x3，y3) ，作出以上向量在基下的正交分解；
第2步， ， ；
，
，
；
．
第3步，因此
，
，
．
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运用平面向量和、差、数乘的坐标运算法则直接计算
已知a=(2，1)，b=(-3，4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐标．
解：a+b=(2，1)+ (-3，4)= (-1，5)，
a-b=(2，1) - (-3，4)= (5，-3)，
3a+4b=3(2，1)+4(-3，4)= (6，3)+ (-12，16)= (-6，19)．
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已知点A(1，0)，B(0，2)，C(-1，-2)，用向量的方法求 的顶点D的坐标．
解：第1步，设点D的坐标为(x，y) ，建立直角坐标系；
第3步，所以点D的坐标为(0，-4)．
第2步，由 ，得
(0，2)-(1，0)=(-1，-2)-(x，y)，
即(-1，2)=(-1-x，-2-y)，
所以， 解得
第2步，设点M的坐标为(x，y)，则 =(x-3，y-4)．
因此， 解得
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所以点M的坐标为(，)．
已知点A(2，-4)，B(-1，3)，C(3，4)，且 ，求点M的坐标．
根据一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标，用坐标表示出已知向量，设未知点，再运用平面向量的坐标表示、和差数乘运算法则计算出未知量．
解：第1步，根据题意，得 = (2-3，-4-4) = (-1，-8)， = (-1-3，3-4) = (-4，-1)．
于是 =2 (-1，-8) + 3(-4，-1) = (-2，-16) + (-12，-3) = (-14，-19)；
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所以当k=-2或k=11时，A，B，C三点共线．
第2步，根据向量平行的坐标表示，得(4-k) ( k-5)-6-7)=0．
解得k=-2或k=11．
已知O是坐标原点， = (k，12)， = (4，5)， = (10，k)．当k为何值时，
A，B，C三点共线？
要使A，B，C三点共线，只需 ， 共线，运用坐标表示的平面向量共线公式即可．
解：第1步，根据题意， =(4，5) - (k，12)= (4-k，-7)．
=(10，k) - (4，5) = (6，k-5)．
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解：由平面向量平行的坐标公式可得2=-6 ．
A
故选B．
B
已知向量a=(2，6)，b=(-1，)，若a∥b，则= ( )．
A. 3 B. -3
C. D.
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解：设点D(m，n)．由题意得(4，3)=2(m，n-2)= (2m，2n-4)，
A
故选A．
A
已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(-1，-2)，C(3，1)，且 ， 则顶点D的坐标为 ( ).
A. B.
C. D.
故 ，解得 ，即点D(2， ) ．
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A
故选A．
A
已知O(0，0)，A(-1，3)，B(2，-4)， ，若点P在y轴上，则实数m的值为( ).
A. B.
C. D.
解：由题意可得 ， ，所以 ，
又点P在y轴上，所以 ，得 ．
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故选C．
C
如图所示，已知线段OA的长度为2，与x轴正半轴所成夹角为30°，OB的长度为2，
与x轴负半轴所成夹角为60°，C是AB的中点，则 的坐标是（ ）．
B.
C. D.
解：由题意知， ， ，故A的坐标为 ( ，1)；
同理 ， ，
故B的坐标为 ( ， )，
根据中点坐标公式可得C的坐标为 ．
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1.向量的坐标表示是向量的另一种表示形式，也可以称之为向量的代数表示，其背景是平面向量基本定理；
2.向量的坐标表示为我们进行向量的运算提供了方便；
3.向量的坐标表示使得我们借助数的运算对图形的几何性质展开研究，体现了数形结合思想方法的应用．
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坐标表示
一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标．
运算法则
平面向量及运算的坐标表示
向量和差：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量对应坐标的和与差．
任意非零向量都能在平面直角坐标系中做标准正交基下的分解，从而得到向量的坐标表示．
结构框图
数乘：实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积．
共线：向量ab（b）共线的充要条件是
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教材第99页练习第2，3 ，5题．
再 见