5.5 三角恒等变换第6课时简单的三角恒等变换(二) 课件（共19张PPT）-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第一册

(共19张PPT)
5.5三角恒等变换
第6课时 简单的三角恒等变换(二)
第五章 三角函数
旧知回顾
知识点一 辅助角公式
公式：
其中角所在的象限由, 的符号确定，角的值由确定.
一、辅助角公式的运用
例题1 已知函数的最小正周期为．
(1) 求的值；
(2) 讨论在区间上的单调性．
【解析】(1)(法一)
．
(法二 积化和差)
因为 的最小正周期为 ，且 ，所以 ，即 ．
一、辅助角公式的运用
例题1 已知函数的最小正周期为．
(1) 求的值；
(2) 讨论在区间上的单调性．
【解析】(2) 由(1)知， .
若 ，则 ．
当 ，即 时， 单调递增；
当 ，即 时， 单调递减．
综上可知， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减．
反思感悟
方法总结
研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后的函数的性质.在这个过程中通常利用辅助角公式，将 = sin + cos 转化为 = sin( + )或 = cos( + )的形式，以便研究函数的性质．
新知运用
跟踪训练1 已知函数，．
求的最小正周期；
求在区间上的最大值和最小值．
【解析】(1) 由已知，得 ，
所以 的最小正周期 ．
(2) 因为 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数，
且 ， ， ，
所以 在区间 上的最大值为 ，最小值为 .
二、三角函数的实际应用
例题2 如图5.5-2，在扇形OPQ中，半径OP=1，圆心角,C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形. 记，当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积.
【解析】 在中，，在AD中，所以，，设矩形ABCD的面积为.由所以，所以当，即时，.
反思感悟
方法总结
(1)三角函数与平面几何有着密切的联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角变换来解决；实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用三角恒等变换的方法解决实际的优化问题．
(2)解决此类问题的关键是引进角为参数，列出三角函数式．
新知运用
跟踪训练2 如图，有一块以点为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形，将其开辟为绿地，使其一边落在半圆的直径上，另两点， 落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为，如何选择关于点对称的点， 的位置，可以使矩形的面积最大，最大值是多少？
【解析】连接 (图略)，设 ，
则 ， ，且 ．
因为 ， 关于原点对称，所以 ．
设矩形 的面积为 ，则 ．因为 ，所以当 ，即 时， ，此时 ．故当 ， 距离圆心 为 时，矩形 的面积最大，其最大面积是 ．
三、三角函数的简单化解求值
例题3 (1) 化简：
(2) (其中 )．
【解析】(1) 原式 .
(2) 原式 ，
因为 ，所以 ，故 ，
所以原式 .
反思感悟
方法总结
三角函数式化简的方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“降次升角”和“升次降角”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．
新知运用
跟踪训练3 (1) 已知 ，则 的值为________.
(2) 已知, 求的值．
【解析】(1) 根据倍角公式，得 ， ，
所以 .
(2)原式
．
四、三角恒等变换的综合应用
例题4 已知函数．
(1) 求函数的最大值及其相应的的取值集合；
(2) 若且，求的值．
【解析】(1) ，故 ，所以当 ， ，即 ， 时， ，其相应的 的取值集合为 ．
(2) 由题意得 .由 ，得 ，所以 ．因此
．
反思感悟
方法总结
应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤：
(1)运用和、差、倍角公式化简;
(2)统一化成 的形式;
(3)利用辅助角公式化为 ( )= sin( + )+ 的形式，研究其性质.
新知运用
跟踪训练4 (1) 在 中，已知 ，则 _________．
【解析】(1) 由题意得 ，即 ，则 ，又 , ．
n
新知运用
跟踪训练4 (2) 已知函数，且．
①求常数的值及的最小值；
②当 时，求的单调递增区间．
【解析】(2) ① ， ，解得 ，
．
当 ，即 时， 有最小值,最小值为 ，则 的最小值为 ．
②令 ，得 ．
又 ， .当 时， 的单调递增区间是 .
随堂检测
1. 函数 的最大值是( ).
A. B. C. D.
2. 在 中，已知 ，则 为( ).
A. 正三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D.等腰直角三角形
3. 若 ， ，则 ______．
B
C
随堂检测
. 已知函数 ．
(1) 求的最小正周期及最大值；
(2) 若，且，求的值．
【解析】(1) 因为
，所以 的最小正周期 .
当 ， ，即 ， 时， 取得最大值，最大值为 ．
(2)因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ，故 ．
课堂小结
1.知识清单：
(1)辅助角公式.
(2)三角恒等变换的综合问题.
(3)三角函数在实际问题中的应用.
2.方法归纳：转化与化归.
3.常见误区：半角公式符号的判断，实际问题中的定义域.