6.2平面向量的运算 同步练习（含解析）2023——2024学年高中数学人教A版（2019）必修第二册

6.2平面向量的运算 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知是的外心，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
2．已知均为单位向量，且夹角为，则（ ）
A． B．1 C． D．
3．在中，，D为BC的中点，点P在斜边BC的中线AD上，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则（ ）
A． B． C．2 D．4
5．如图，为直角三角形，，，C为斜边的中点，P为线段的中点，则＝（　　）

A．1 B． C． D．
6．已知点P在所在平面内，若，则点P是的（ ）
A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心
7．在梯形ABCD中，，，，则（ ）
A． B．8 C．12 D．
8．如图，在矩形中，（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设平面内共起点的向量的终点分别为，且满足，记与的夹角为，则（ ）
A．
B．最大值为
C．若，则三点共线
D．若，当取得最大值时，
10．已知是夹角为的单位向量，且，，则（ ）
A． B．
C．与的夹角为 D．在方向上的投影向量为
11．已知两个不相等的非零向量，两组向量和均由二个和三个排列而成，记，表示S所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是（ ）
A．S有5个不同的值
B．若，则与无关
C．若，则
D．若，，则与的夹角为
12．对于任意两个向量，下列命题不正确的是（ ）
A． B．若满足，且与同向，则
C． D．
三、填空题
13．已知向量，且，则 .
14．已知，则向量在向量方向上的投影为 ．
15．已知椭圆的左、右焦点分别为，上一点满足，则 ．
16．已知向量，的夹角为，，，，，则 ， ．
四、解答题
17．已知向量满足.
(1)证明.
(2)求向量与夹角的余弦值.
18．如图，在中，，边上的两条中线，相交于点，且，，．
(1)求的大小；
(2)求的余弦值．
19．如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于A，B两点.

(1)若点A的横坐标是，点B的纵坐标是，求的值；
(2)若，求的值.
20．已知，且与的夹角为，
(1)求的值；
(2)求向量与的夹角的余弦值．
21．已知向量满足，，．
(1)求与的夹角；
(2)若，，求．
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参考答案：
1．C
【分析】依题意可知是的中点，从而得到，，解法一：过点作，垂足为，即可得到，结合投影向量的定义即可得解；解法二：设，根据向量在向量上的投影向量等于计算可得.
【详解】由，所以是的中点，又是的外心，
则，再由，又，
则为正三角形，则，
角度一：如图，过点作，垂足为，则，，
所以向量在向量上的投影向量等于.
角度二：设，则，所以，
所以向量在向量上的投影向量等于.
故选：C.
2．D
【分析】先求向量的数量积，再求，平方开方即可.
【详解】由题意可知，，且，
所以，
所以.
故选：D.
3．A
【分析】先将转化成，再结合平方差公式和已知条件即可求解.
【详解】由题，
所以由点P在斜边BC的中线AD上得，
故
，
故选：A.
4．A
【分析】根据给定的图形，求出，再利用数量积的定义求解即得.
【详解】观察图形知，，所以.
故选：A
5．B
【分析】利用数量积的定义、运算律以及向量的线性运算即可求解.
【详解】

因为，
所以，
取中点Q，连接，
.
故选：B.
6．D
【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积的定义可得平分，平分，结合三角形内心定义判断即得.
【详解】在中，由，得，
即，由，同理得，
显然，即与不重合，否则，同理，
则，即，，
于是平分，同理平分，
所以点P是的内心.
故选：D
7．C
【分析】作出图形，结合图形和已知，由向量数量积的定义求出即可.
【详解】

如图，取的中点，则，且，
所以四边形为平行四边形，
则，所以为正三角形，
过作于，
则，
所以.
故选：C.
8．B
【分析】根据给定条件，利用向量的加法法则计算即得.
【详解】在矩形中，.
故选：B
9．BC
【分析】根据题意，得到点覆盖的范围为以为圆心，2为半径的整个圆面，结合选项，利用向量的投影，向量的数量积，以及向量夹角公式、三角函数的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】设为三个向量的公共的起点，
由题意知，
可得在以为圆心，1为半径的圆上，在以为圆心，1为半径的圆上，
所以点覆盖的范围为以为圆心，2为半径的整个圆面.
对于A中，设在的投影为，
则，所以A错误；
对于B中，如图1所示，当位于时有与圆相切，此时夹角最大为，
由题意，，所以，最大值为，
所以B正确；
对于C中，如图2所示，由向量的平行四边形法则可知，，则为中点，
可得三点共线，所以C正确；
对于D中，若，则，
可得均在以为圆心，1为半径的圆上，且为等边三角形，
如图2所示，当运动至于与圆相切时，取得最大值，记作切点为，
不妨取进行计算，则，
此时画出的两种位置，分别为和，不妨取进行计算，
此时，
设为在上的投影向量，
所以，所以D错误.故选：BC.
【点睛】方法点拨：解答平面向量的综合性问题的求解策略：
1、几何法：充分利用几何图形的特征，结合向量的线性运算和向量的数量积的运算求解；
2、代数法：将平面向量问题，建立平面直角坐标系，转化为坐标运算，建立目标函数，利用代数的方法解决；
3、若题设中给出的向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立，得到三角函数的关系式，然后求解；
2、若给出向量条件含有参数时，经常用平面几何的性质，构造含有参数的方程或方程组，解方程或方程组，得到参数的取值.
10．BD
【分析】由向量模长与数量积的关系计算即可判断A；借助数量积公式计算即可得判断B；由向量夹角公式计算即可判断C；由投影向量的定义计算即可判断D．
【详解】设与的夹角为，
对于A，，故A错误；
对于B，因为，
所以，故B正确；
对于C，，
所以，故C错误；
对于D，在方向上的投影为，故D正确，
故选：BD．
11．BCD
【分析】分析中的个数即可判断A；利用作差法比较大小可得，根据可判断B；由可得，然后可判断C；将，代入化简即可求得夹角，可判断D.
【详解】对于A，因为向量和均由二个和三个排列而成，
所以中，的个数有0,2,4三种情况：
，A错误；
对于B，因为，
，
所以，所以，
若，则与无关，B正确；
对于C，记，若，则，
若，则，
若，则，即，
综上，若，则，C正确；
对于D，若，，则，得，
因为，所以，D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点睛：本题根据在于对中的个数进行分析，然后利用作差法比较大小，可得，再根据条件逐一判断即可.
12．BCD
【分析】利用平面向量加减法的几何意义、向量的概念、数量积公式及余弦函数的性质一一判定选项即可.
【详解】根平面向量加法的三角形法则可知，
当且仅当同向时取得等号，故A正确；
因为向量是具有大小和方向的量，所以不能比大小，故B错误；
由平面向量数量积公式知，而，
故，即C错误；
易知，而当时，不成立，故D错误；
故选：BCD
13．
【分析】根据模长关系结合数量积的运算律分析求解.
【详解】由题意可得：，
所以.
故答案为：.
14．
【分析】根据根据向量投影的定义求解即可．
【详解】由，
所以向量在向量方向上的投影为．
故答案为：．
15．
【分析】由已知及可解出，再用数量积的运算律即可得到结果.
【详解】由已知有，故.
所以.
故答案为：.
16．
【分析】根据题中数据代入向量夹角公式运算求解即可得向量夹角；由可得，结合数量积的运算律分析求解.
【详解】因为，且，所以；
又因为，则，解得．
故答案为：；.
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）首先求，再根据数量积表示向量的垂直关系，即可证明；
（2）根据数量积和向量模的公式，表示向量夹角的余弦值.
【详解】（1）证明：因为，
所以，
故.
（2）由题意得，
，
，
故，
即向量与夹角的余弦值为.
18．(1)
(2)
【分析】（1）由，边上的两条中线相交于点,可得，得到；
（2）表示出，求解，，即可求解的余弦值.
【详解】（1）为的中点，
，
．
，，，
，
．
又，．
（2）为的中点，
，
，
，
，
又与向量，的夹角相等，
故的余弦值为．
19．(1)
(2)
【分析】（1）先由题意求出点A、B的坐标，进而由三角函数定义以及两角和余弦公式即可求解.
（2）根据已知用余弦定理求出向量夹角，再结合数量积定义公式即可求解.
【详解】（1）由题点A、B在单位圆上，且分别在第一象限和第二象限.
故由点A的横坐标是，点B的纵坐标是，得，，
所以，
所以.
（2）因为，所以，
所以.
20．(1)6
(2)
【分析】（1）利用平面向量数量积的定义求解即可.
（2）先求出，再利用平面向量的夹角公式求解即可.
【详解】（1）由平面向量数量积的定义得，
故的值为，
（2）设向量与的夹角为
，
又，
，
故向量与的夹角的余弦值为.
21．(1)
(2)
【分析】（1）利用向量的数量积性质及运算规律即可求解；
（2）由，再利用求模公式求解．
【详解】（1）因为，，，设，
所以，
所以，因为，
所以，即与的夹角为；
（2）因为，
则，
故．
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