四川省成都市树德中学2023-2024学年高一下学期期中考试 数学（PDF版含答案）

树德中学高 2023 级高一下学期半期考试数学试题 3π 3π sin 2x,sin x cos x
8、已知函数 f (x)的定义域为 , ，且 f (x) = ，若关于 x 的方程 f (x) = a有 4
4 4 sin x,sin x cos x
第 I 卷（选择题）
x + x + x + x
个不同实根 x1, x2 , x3, x4 (x1 x2 x3 x4 )，则 f (x1 )sin
1 2 3 4
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要 的取值范围是（ ）2
求的。
1 2 2 1
4 A． , , B． C． (1, 2) D． ( 2,1) 1、已知sin 2 ， ，则sin4 的值为（ ） 2 2 2 2
5 4 2
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
24 24 9 9 部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
A． B. C. D.
25 25 25 25 9、已知复数
z 满足 z (1+ i) = 4 2i（ i 为虚数单位），下列说法正确的有 （ ）
A．复数 z 在复平面内对应的点在第四象限 B． z = 1 3i
2、如图，在平行四边形 ABCD中，下列计算不正确的是（ ）
C． z = 10 D． i2024 = 1
A． AB+ AD = AC B． AB AD = DB 10、已知函数 f (x) = sin ( x+ )( 0)，则（ ）
π 5π
C． AB+CD+DO =OA D． AC + BA+DA= 0 A．若 = 3， = ，则将函数 f (x)的图象向右平移 个单位后关于 y轴对称
3 18
3、已知点O(0,0)，向量OA = (2,3),OB = (6, 3) ,点P是线段 AB靠近 A的三等分点，则点P的坐标为 π π π π π
B．若 = ，函数 f (x)在 , 上有最小值，无最大值，且 f = f ，则 = 5
3 6 3 6 3
（ ）
8 10 14 10 14 π 3π 20 32
A. ( ,0) B. ( ,1) C. ( , 1) D. ( ,1)或 ( , 1) C．若 = ，函数 f (x)在 x 0， 上恰有 2 个零点，则 ,
3 3 3 3 3 3 4 9 9
4、复平面内表示复数 z = (m2 8m+15)+ (m2 5m 14)i 的点位于四象限时，实数m 的取值范围是（ ） π 5π
D．若直线 x = 为函数 f (x)图象的一条对称轴， ,0 为函数 f (x)图象的一个对称中心，且 f (x)
4 3
A． ( 2,7) B. ( 2,3) (5,7) C. (3,5) D. (5,7) π 5π 18
在 , 上单调递减，则 的最大值为
4 6 17
5、如图，B 、D是以 AC 为直径的圆上的两点，其中 AB =1，AD = 2 ，则 AC BD = 11、已知向量 a b c 满足： b 为单位向量，且 a + 2b 和 a 2b 相互垂直，又对任意 R 不等式
（ ）
u + 2 4 u
1 | a b | | a b |恒成立，若c = a + b (u R)，则（ ）
A．1 B．2 C． D． 2 3 2
2
8 6 39
A． (a b ) ⊥ b B． a,b = 60 C．当u = 时， c 最小 D． c 的最小值为
sin50 (1+ 3 tan10 )cos80 13 13
6、求值 =（ ）
1 cos20 第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
3 2
A． B． 2 C．1 D． 12、已知向量a = (1,3)，b = (m, 2)，且a ⊥ (a b)，则a 与b 的夹角等于 .
2 2
π 1 π 3
sinA 13、已知函数 f (x) = sin（2x )+ ，且 f (x)在区间 ,m 上的最大值为 ，则m 的最小值为___.
7、在锐角 ABC中，内角 A, B,C的对边分别为a,b,c，且满足 (a+b+c)(a+b c) = 3ab．则 的取值 6 2 3 2
cosB
2 2 2
范围为( ) 14、如图，在三角形 ABC中，若sin A+ sin B + sin C = 2 3 sin Asin Bsin C ，DB = 2，
3 2 3 3 2 3 DC = 4 ，则DA的长度的最大值为 .
A． ,+ B． ,+ C． ( 3 + ) D． ,
2 3 2 3
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 1
18、（17 分）在 ABC中，内角A ， B ，C 的对边分别为a ，b ， c ，cos (A C ) cos B = ，
tan A+ tanC
sin + 2cos
15、（13 分）已知 = 4 ．
sin cos (1)求 B ；
(1)求 tan 2 及sin cos 的值； (2) ABC为锐角三角形
4
(2)若 π 2π， 0 π， cos = ，求sin ( )． ①若b 1,求a2 cos(B C)的最大值；
5
2π
②若 ABC的面积为 3，点 P 在 ABC内部，满足 APB = BPC = CPA = ，则PB2 PA PC是否为
3
定值，若为定值请求出该定值并说明理由，若不为定值也请说明理由。
16、（15 分）已知向量a = (cosx + sinx,sinx),b = (cosx sinx，2cosx)，设 f (x) = a b , x R . 19、（17 分）已知O为坐标原点，对于函数 f (x) = asin x+bcos x，称向量OM = (a,b)为函数 的伴
(1)化简函数 的解析式并求其单调递增区间；
π 随向量，同时称函数 为向量OM 的伴随函数．
(2)当 x 0, 时，求函数 的最大值及最小值．
2
2π
(1)设函数 k (x) = sin x+ + sin x ，试求 k (x)的伴随向量OM ； 3
(2)记向量OP 3,1 的伴随函数为 ，函数h(x) = f (2x)，
π π π①函数h (x)在区间 t, t + 4
上的最大值为M t ，最小值为mt ，设函数H t Mt mt ，若 t [ , )，求
12 6
3(sin A sin B) 3c 2b 函数H (t)的值域．
17、（15 分）已知 ABC的内角 A，B，C的对边为 a，b，c，且 = ．
sin C a + b π π π
( ) (1)求 h xsin A； ②把函数 的图像向右平移 个单位，得到函数 g (x)的图像，对于 x1 ,4
，是否总存在唯
12 3
16
(2)若 ABC的面积为 2 ； π 3
3 一的实数 x m2 , π ，使得h(x1)+ g (x2 ) =m成立，求实数 的取值范围。
6 4
①已知 E为 BC的中点，且b c 8，求 ABC底边 BC上中线 AE的长；
②求内角 A的角平分线 AD长的最大值．
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π π π 5π π 5π π
树德中学高 2023 级高一下学期半期考试数学试题参考答案 （2） x 0, 2
， 2x+ , ， 当2x + = ，即 x = 时， f (x) = 1；
4 4 4 4 4 2 min
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要 π π π
当2x + = ，即 x = 时， f (x) = 2求的。 ， 4 2 8 max
1-5 A C B B A 6-8 D B A
π π
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全 综上所述，当 x = 时， f (x) = 1；当 x = 时， f (x) = 2 .………………………………15 分
2 min 8 max
部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分
3(a b) 3c 2b 2 2 2
9、AC 10、ACD 11、ABD 17、解（1）由正弦定理，得 = ，即c +b a
2 = bc，
c a +b 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
2
c2 2
bc π
故 +b a
2
3 1 ，因为cos A 0，所以 A (0, )，
12、 13、 14、 6 cos A = = = 2
4 3 2bc 2bc 3
1 2 2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 所以sin A = 1 cos2 A = 1 = ；……………………5 分
9 3
sin + 2cos tan + 2
15、解：（1）因为 = 4 ，所以 = 4，解得 tan = 2，……………………3 分 2 2 16 1 16
sin cos tan 1 （2）①由（1）知sin A = ，因为 ABC的面积为 2 ，所以 bcsin A = 2 ，解得bc =16，
3 3 2 3
2 tan 2 2 4
所以 tan 2 = = =
1 tan2 1 22
， 1
3 且b c 8，解得b=c 4，由于 AE = (AB + AC )，所以
2
sin cos tan 2 2
sin cos = = = = .……………………6 分
sin2 + cos2 tan2 +1 22 +1 5 2 1 2 2( 1 1 2 AE = AB + AC + 2AB AC ) = (c2 +b2 + 2bccos A) = c2 +b2 + bc
3π 4 4 4 3
（2）因为 π 2π， tan = 2，所以 π ，
2
2 5 2 5 1 2 1 8 32 2 32 4 6
sin sin = sin = = 16+16+ 16 = 16 = ，所以 AE = AE = ；……………………10 分
tan = = 2 5 5 4 3 4 3 3
由 cos
3 3
，解得 或 （舍去），

sin
2 + cos2 =1 5 5cos =

cos = 1
5 5 ②因为 AD为角A 的角平分线，所以 sin BAD = sin CAD = A，由于S ADB + S ADC = S ABC ，
2
4 3
又 0 π，cos = ，所以sin = 1 cos
2 = ， 1 A 1 A 1 A A
5 5 所以 AD csin + AD bsin = bcsin A = bcsin cos ，
2 2 2 2 2 2 2
2 5 4 5 3 11 5 A A A 1 A 2 A 6
所以sin ( ) = sin cos cos sin = 2 2 = ……………………13 分 由于sin 0 ,所以 AD (c +b) = 2bccos ，由于cos A = 2cos 1= cos = cos = ， 5 5 5 5 25 2 2 2 3 2 3 2 3
A 6 32 6
又bc =16，所以 AD (c+b) = 2bccos = 2 16 =
16、解：（1）由题意知a = (cosx + sinx,sinx),b = (cosx sinx，2cosx)， 2 3 3
由于b+ c 2 bc =8，当且仅当b = c时，等号取得到，
f (x) = a b = (cosx + sinx)(cosx sinx) + 2sinxcosx = cos2x sin2x + sin2x ……………………3 分 32 6 4 6
故 = AD (c+b) 2 bc AD = 8 AD ，故 AD ，……………………15 分
3 3
π
= cos2x+ sin2x = 2sin(2x+ )，………………………………6 分
4 18、解（1）因为cos(A C) cos B = cos(A C)+cos(A+C) = 2cos AcosC ，
1 1 cos AcosC cos AcosC
+ 2k 2x+ + 2k ，k Z ， = = =
2 4 2 tan A+ tan C sin A sin C sin AcosC + cos Asin C sin B ， +
cos A cosC
3 1 cos AcosC
所以函数的单调递增区间为 + k ， + k ，k Z ；……………………………8 分 所以由cos (A C ) cos B = 得2cos AcosC = ，
8 8 tan A+ tanC sin B
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1
因为 tan A, tanC有意义，所以cos AcosC 0，所以sin B = ，因为0 B π， 16 3 3
2 = = 4 ……………………17 分
3 4
π 5π
所以 B = 或 ；……………………5 分
6 6
2π 1 3 1 3
π 19、解：（1） k (x) = sin x + + sin x = sin x + cos x + sin x = sin x + cos x ， （2）①因为锐角 ABC， B = ，b 1， 3 2 2 2 26
a b c 1
= = = = 2 1 3
在 ABC中，由正弦定理可得： sin A sin B sinC ， 故OM = , sin 2 2
．……………………5 分

6
所以a2 cos(B C)=4sin2 A cos A 4cos2 A cos A 4 ,锐角三角形中 A+B
π π
（2）由题意，得 f (x) = 3 sin x + cos x = 2sin(x + )，故h(x) = 2sin(2x + ) ，
2 6 6
π π π π π π π 2π 5π
1 1 65 ①∵ t [ , )，∴2t + [ , )，2(t + )+ = 2t + [ ,π)
A ( , ), cos A (0, )，所以当cos A= 时 a
2 cos(B C)最大为 ；…………10 分 12 6 6 3 2 4 6 3 6
3 2 2 8 16
π π π
h(x)在 t, 上单调递增，在 , t 上单调递减，且 3 h(t ) 2,0 h t + 1，
1 π 6 6 4 4
② ABC的面积为 3，所以 AB BC sin = 3，所以 AB BC = 4 3，
2 6 π π π π π
所以M = h( ) = 2，mt = h(t + ) = 2sin 2t + +t = 2cos 2t + ，
π π π 6 4 2 6 6
设 PBA = ，则 PAB = ， PBC = ， PCB = + ，
3 6 6 π π π π π π π π π 1
此时H (t ) = 2 2cos 2t + ， t [ , )；∵ t [ , )，∴2t + [ , )，∴cos 2t + 0, ，
PA PB AB 6 12 6 12 6 6 3 2

6 2
= =
在 PAB中，由正弦定理得 sin π 2π ，
sin sin 3 即可得函数
H (t )的值域为 1,2) .……………………11 分
3
2 3 π 2 3 π π π π
所以PB = AB sin , PA = AB sin ， ②将函数h( x)的图像向右平移 个单位得到 g (x) = 2sin 2 x + = 2cos 2x .
3 3 3 4 4 6 6
PC PB BC π π π 5
= = 由h(x )+ g (x ) =m，得 g (x ) =m h(x )，由 x 得0 2x + π，
在 PBC中，由正弦定理得 π π 2π
1 2 2 1 1 1

sin sin + sin
， 12 3 6 6
6 6 3 π
0 sin 2x1 + 1，
6
2 3 π 2 3 π
所以PC = BC sin , PB = BC sin + ，
3 6 3 6 π 3 π π 4π
m h(x1)
π 3
m 2,m ，又 x2 π，得 2x2 ，所以 1 cos 2x2 ，
6 4 6 6 3 6 2
2 AB BC π π π PB PA PC = sin sin + sin sin2 π 4π 4π 1 π 3
所以 2π 3 6 6 又 y = cos x在 ,π 上单调递减，在 π, 上单调递增，cos = ，cos = ，
sin 6 3 3 2 6 2
3
1
x
π 3
由 的唯一性可得 cos 2x 即
g (x2 ) ( 1, 3 .
16 3 3 1 1 3 1 3 2 2 2 6 2
= cos sin cos + sin sin cos sin ，3 2 2

2 2 2 2
(
m 2 1
依题意可得 m 2,m 1, 3 ，所以 ，解得1 m 3 ， 16 3 3 3 1 3 1 3 m 3
= 2 cos + sin cos — sin cos sin
2 sin cos + sin2
3 4 4 4 4 2 2
所以当m (1, 3 时，使 f (x1)+ g (x2 ) =m 成立. …………………17 分
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