福建省泉州市安溪县2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（PDF版无答案）

绝密★启用前
2023-2024 学年安溪县高一（下）期中考试数学试题
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 满足| | = 2，复数 1 = (1 + ) (其中 为虚数单位)，则| 1| =( )
A. 4 B. 2 C. 2√ 3 D. 2√ 2
2.设向量 ， ， 满足 + + = 0 ，且 ⊥ ，| | = 1，| | = 2，则| |2 =( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
3.若不共线的四点 ， ， ， ，满足 + + = 0， + = ，则实数 的值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4.如图，在平行六面体 1 中， = = 1 = 4，∠ 1 = 60°，∠ = 90°，
∠ 1 = 120°，cos∠ 1 =( )
√ 3
A.
2
1
B.
2
C. 0
1
D.
2
5.在△ 中， = 45°， = 4， = 3满足条件的△ ( )
A. 不能确定 B. 无解 C. 有一解 D. 有两解
6.设平面向量 = (1,0)， = ( 1, √ 3)，若 , = , ，则平面向量 可能是( )
A. √ 3 + B. + C. 2 D. 2 +
7.在△ 中，| + | = | |， = ， 、 分别为 的三等分点，则cos∠ =( )
2 4 1 1
A. B. C. D.
5 5 2 5
8.设 ， ， 是三角形 的边长，对任意实数 ， ( ) = 2 2 + ( 2 + 2 2) + 2有( )
A. ( ) = 0 B. ( ) > 0 C. ( ) ≥ 0 D. ( ) < 0
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数 = 1 3 在复平面内对应的点为 ，则下列结论正确的是( )

A. 点 的坐标为(1, 3) B. = 1 + 3
C. | | = 2 D. 的虚部为3
第 1 页，共 5 页
{#{QQABJYCAggioAIJAARgCUwXACAIQkAGCAAoGBAAIMAIASRFABAA=}#}
10.已知| | = 4， 为 上一点，且满足 = 3 .动点 满足| | = 2| |， 为线段 上一点，满足
| | = | |，则下列说法中正确的是( )
A. 若 ⊥ ，则 为线段 的中点
√ 15
B. 当 = 3时，△ 的面积为
4
C. 点 到 ， 距离之和的最大值为5
√ 3
D. ∠ 的正切值的最大值为
3
11.在△ 中，∠ = 90°， = √ 3， = 1， 为△ 内一点，∠ = 90°，下列结论正确的是( )
1 √ 13 √ 3
A. 若 = ，则 = B. 若∠ = 150°，则 =
2 2 4
1 3√ 3
C. △ 的面积的最大值为 D. △ 的面积的取值范围是(0, ]
4 8
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.设 = (2 )2( 为虚数单位)，则复数 的模为__________．
13.在等腰梯形 中， // ， = 2 = 6，∠ = 60°， 为 的中点，点 是边 上一个动点，
则 ( + )的最小值为______．
√ 3
14.在△ 中， = 60°， = 2，且△ 的面积 △ = ，则边 的长为______． 2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
(本题满分13分)如图，某巡逻艇在
处发现北偏东
相距
海里的
处有一艘走私船，正沿东偏南
的方向以
海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以
海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，
小时后，巡逻艇到达
处，走私船到达
第 2 页，共 5 页
{#{QQABJYCAggioAIJAARgCUwXACAIQkAGCAAoGBAAIMAIASRFABAA=}#}
处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以
海里/小时的速度沿着直线追击．
(Ⅰ)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里
(Ⅱ)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船
16.(本小题15分)
在平行四边形 中， ， 分别是 ， 上的点且 = 3 ， = 3 ， 与 交于点 ．
(1)求| |：| |；
(2)若平行四边形 的面积为21，求△ 的面积．
第 3 页，共 5 页
{#{QQABJYCAggioAIJAARgCUwXACAIQkAGCAAoGBAAIMAIASRFABAA=}#}
17.(本小题15分)
已知函数 ( ) = sin( + )( > 0,0 < < )的一系列对应值如下表：
(Ⅰ)求 ( )的解析式；
1
(Ⅱ)若在△ 中， = 2， = 3， ( ) = ，求△ 的面积．
2
18.(本小题17分)
已知边长为3的等边三角形 ，求 边长上的中线向量 的模| |.
19.(本小题17分)
已知| | = 2，| | = √ 3，向量 与 的夹角为150°．
第 4 页，共 5 页
{#{QQABJYCAggioAIJAARgCUwXACAIQkAGCAAoGBAAIMAIASRFABAA=}#}
(1)计算| + 2 |；
(2)若( + 3 ) ⊥ ( + )，求实数 的值．
第 5 页，共 5 页
{#{QQABJYCAggioAIJAARgCUwXACAIQkAGCAAoGBAAIMAIASRFABAA=}#}