广西崇左市大新县民族高级中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 广西崇左市大新县民族高级中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 636.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-13 15:28:35 | ||
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文档简介
崇左市大新县民族高中2024年春季学期月考试题
高二数学
命题范围：选修二第五章 选修三第六章
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名 班级 准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.函数在区间上的平均变化率为（ ）
A. B. C. D.3
2.曲线在处的切线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
3.如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（ ）
A. B. C. D.
4.若曲线在点（1，2）处的切线与直线平行，则实数a的值为（ ）
A.-4 B.-3 C.4 D.3
5.已知函数满足，则的值为（ ）
A. B.0 C.1 D.
6.“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，节约粮食是我国的传统美德.已知学校食堂中午有2种主食 6种素菜 5种荤菜，小华准备从中选取1种主食 1种素菜 1种荤菜作为午饭，并全部吃完，则不同的选取方法有（ ）
A.13种 B.30种 C.60种 D.120种
7.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为.若，则的值可以是（ ）
A.2018 B.2020 C.2022 D.2024
8.2024年3月16日下午3点，在贵州省黔东南苗族侗族自治州榕江县“村超”足球场，伴随平地村足球队在对阵口寨村足球队中踢出的第一脚球，2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足球社的五位同学准备前往村超球队所在村寨调研，将在第一天前往平地村 口寨村 忠诚村，已知每个村至少有一位同学前往，五位同学都会进行选择并且每位同学只能选择其中一个村，若学生甲和学生乙必须选同一个村，则不同的选法种数是（ ）
A.18 B.36 C.54 D.72
二 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列导数运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.关于的展开式，下列结论正确的是（ ）
A.所有项的二项式系数和为64 B.所有项的系数和为0
C.常数项为 D.系数最大的项为第3项
11.甲 乙 丙 丁 戊5名大学生计划到某小学一 二 三 四年级从事教学实践，则下列说法正确的有（ ）
A.若一年级必须安排2人，其余年级各安排1人，则有60种不同的方案
B.若每个年级至少安排1人，则有480种不同的方案
C.若5人自由决定实习年级，则有625种不同的方案
D.若甲不去一年级，乙不去二年级，则有576种不同的方案
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.若函数，则的极大值点为___________.
13.一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后秒内列车前进的距离米，则列车刹车后___________秒车停下来，期间列车前进了___________米.
14.甲 乙 丙三位同学去电影院看电影，每人可在《第二十条》《飞驰人生2》《热辣滚烫》《周处除三害》四部电影中任选一部，则不同的选法有___________种；若至少有一人选择《第二十条》，则不同的选法有___________种.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（13分）
设函数，其中.
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
16.（15分）盒子里装有六个大小相同的小球，分别标有数字1 2 3 4 5 6，现从盒子里随机不放回地抽取3次，每次抽取1个小球，按抽取顺序将球上数字分别作为一个三位数的百位 十位与个位数字：
（1）一共能组成多少个不同的三位数？
（2）求事件“组成的三位数小于300”的概率.
17.（15分）
某班级周六的课程表要排入历史 语文 数学 物理 体育 英语共6节课.
（1）如果数学和物理不能相邻，则不同的排法有多少种？
（2）如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种排法？
（3）原定的6节课已排好，学校临时通知要增加生物化学地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？
18.（17分）
已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5∶2.
（1）求n的值；
（2）求展开式中含的项的系数；
（3）设，则当时，求a除以15所得余数.
19.（17分）
已知函数且.
（1）当时，求函数的极值；
（2）当时，求函数零点的个数.
参考答案和评分标准
高二数学
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】A
【命题立意】直接利用平均变化率的定义求解.
【详解】设，则函数在区间上的平均变化率为.
2.【答案】B
【命题立意】求出导函数，即可得到结果.
【详解】∵，∴
∴，
∴曲线在处的切线的倾斜角是.
3.【答案】D
【命题立意】依题意可知切点坐标，由切线方程得到，利用导数的概念解出即可.
【详解】依题意可知切点，
函数的图象在点处的切线方程是，
，即
又
即.
4.【答案】B
【命题立意】利用切线的斜率列方程，化简求得的值.
【详解】，
所以.
5.【答案】C
【命题立意】求导函数，然后令列式求解可得.
【详解】，
.
6.【答案】C
【命题立意】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式计算即得.
【详解】由分步乘法计数原理，得不同的选取方法种数是（种）.
7.【答案】D
【命题立意】首先根据二项式定理化简，再判断余数，结合选项，即可求解.
【详解】，所以除以9的余数是8，选项中只有2024除以9余8.
8.【答案】B
【命题立意】分和两种情况，分别求出不同的选法再相加即可.
【详解】若五位同学最终选择为，先选择一位同学和学生甲和学生乙组成3人小组，
剩余两人各去一个村，进行全排列，此时有种选择，
若五位同学最终选择为，将除了甲乙外的三位同学分为两组，再进行全排列，
此时有种选择，
综上，共有种选择.
二 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.【答案】AC
【命题立意】利用基本函数和复合函数的求导法则求解即可.
【详解】选项A，，故A正确；
选项B，，故B错误；
选项C，，故C正确；
选项D，，故D错误.
10.【答案】ABC
【命题立意】原二项式可以化为，再根据二项式展开式的性质求解即可.
【详解】，可得二项式的系数和为，故A正确；
令得所有项的系数和为0，故B正确；
常数项，故C正确；
由，系数为，最大为或，为第3项或第5项，故D错误.
11.【答案】AD
【命题立意】利用分步计数原理结合排列知识判断A，根据分堆分配问题的解决方法判断B，根据分步计数原理判断C，D.
【详解】对于A，事件一年级必须安排2人，其余年级各安排1人，可分为两步完成，
第一步从5人中选2人去一年级，共有种方法，
第二步将余下3人分到二，三，四年级，共有种方法，
由分步乘法计数原理可得满足条件的方案有种，A正确；
对于B，每个年级至少安排1人的方法数为种，B错误；
对于C，事件5人自由决定实习年级的方法共有种，C错误；
对于D，事件甲不去一年级，乙不去二年级可分为5步完成，
第一步安排甲，有3种方法，
第二步安排乙，有3种方法，
第三步安排丙，丁，戊，有种方法，
由分步乘法计数原理可得，共有种方法，D正确，
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】2
【命题立意】求导，得到的解，进而得到函数单调性，求出极大值点.
【详解】，
令，解得或6，
当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故在取得极大值.
13.【答案】28 392
【命题立意】先求导数可得瞬时速度，利用速度为零可得停止时间和列车前进距离.
【详解】，由瞬时速度，解得.
期间列车前进了米.
14.【答案】64 37
【命题立意】空1：根据分步乘法即可得到答案；
空2：计算出没有人选择《第二十条》的情况数，再利用空1的总数减去即可.
【详解】空1：根据分步乘法得不同的选法有种，
空2：若没有人选择《第二十条》，则共有种，
则若至少有一人选择《第二十条》，则不同的选法有种，
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（13分）
【命题立意】（1）利用导数的几何意义求出斜率，写出方程即可.
（2）含参讨论函数单调性即可.
【详解】（1）当时，，故，
此时函数在处的切线方程为：.
（2）由题意，的定义域为，
，则当时，单调递增；
当时，单调递减.
故函数在上单调递减，在上单调递增.
16.（15分）
【命题立意】（1）由分步计数原理进行求解；（2）求出小于300的三位数个数，在第一问基础上用古典概型求概率公式进行求解.
【详解】（1）由分步计数原理可得三位数的个数为个.
（2）若百位数字为2，则有个；
若百位数字为1，则有个，所以所求事件的概率为.
17.（15分）
【命题立意】（1）利用插空法可求答案；
（2）分两种情况求解，结合分类计数原理可得答案；
（3）利用定序缩倍法求解，先求总排法除去有要求的特定顺序可得答案.
【详解】（1）先排其它四科，共有种方法，再把数学和物理插入空中，有种方法，共有种.
（2）第一节安排数学，则其余科目没有要求，共有种方法；
第一节不安排数学，先排第一节有种方法，再排第四节有种方法，最后安排其它节有种方法，
所以共有种方法.
（3）九科随机排列共有种排法，六科在其中的排法有种，所以共有种.
18.（17分）
【命题立意】（1）根据二项式系数的比值，列式计算即可；
（2）写出通项公式，通过赋值，即可求得含项的系数；
（3）将改写为，将其展开，即可求得除以所得余数.
【详解】（1）根据题意，，即，又，故.
（2），
其展开式的通项公式，，
令，解得，则，
故展开式中含的项的系数为：.
（3）当时，，
，
而能够被整除，
故a除以15所得余数为0.
19.（17分）
【命题立意】（1）求出导函数，求出极值点，判断导函数的符号，然后求解函数的极值；
（2）利用函数的导数，通过对参数分类讨论命题立意其单调性即可知函数的零点个数.
【详解】（1）解：由题意得：
，
令，得或（舍去），
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
所以函数有极小值，无极大值.
（2）由（1）得.因为，
①若，当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；…
所以有极大值，
极小值，又，
所以函数有1个零点.
②若，则，所以函数单调递增，
此时，所以函数有1个零点.
③若，当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
所以有极大值，显然极小值，
又，所以函数有1个零点.
综上所述，当时，函数的零点个数为1.
高二数学
命题范围：选修二第五章 选修三第六章
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名 班级 准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.函数在区间上的平均变化率为（ ）
A. B. C. D.3
2.曲线在处的切线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
3.如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（ ）
A. B. C. D.
4.若曲线在点（1，2）处的切线与直线平行，则实数a的值为（ ）
A.-4 B.-3 C.4 D.3
5.已知函数满足，则的值为（ ）
A. B.0 C.1 D.
6.“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，节约粮食是我国的传统美德.已知学校食堂中午有2种主食 6种素菜 5种荤菜，小华准备从中选取1种主食 1种素菜 1种荤菜作为午饭，并全部吃完，则不同的选取方法有（ ）
A.13种 B.30种 C.60种 D.120种
7.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为.若，则的值可以是（ ）
A.2018 B.2020 C.2022 D.2024
8.2024年3月16日下午3点，在贵州省黔东南苗族侗族自治州榕江县“村超”足球场，伴随平地村足球队在对阵口寨村足球队中踢出的第一脚球，2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足球社的五位同学准备前往村超球队所在村寨调研，将在第一天前往平地村 口寨村 忠诚村，已知每个村至少有一位同学前往，五位同学都会进行选择并且每位同学只能选择其中一个村，若学生甲和学生乙必须选同一个村，则不同的选法种数是（ ）
A.18 B.36 C.54 D.72
二 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列导数运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.关于的展开式，下列结论正确的是（ ）
A.所有项的二项式系数和为64 B.所有项的系数和为0
C.常数项为 D.系数最大的项为第3项
11.甲 乙 丙 丁 戊5名大学生计划到某小学一 二 三 四年级从事教学实践，则下列说法正确的有（ ）
A.若一年级必须安排2人，其余年级各安排1人，则有60种不同的方案
B.若每个年级至少安排1人，则有480种不同的方案
C.若5人自由决定实习年级，则有625种不同的方案
D.若甲不去一年级，乙不去二年级，则有576种不同的方案
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.若函数，则的极大值点为___________.
13.一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后秒内列车前进的距离米，则列车刹车后___________秒车停下来，期间列车前进了___________米.
14.甲 乙 丙三位同学去电影院看电影，每人可在《第二十条》《飞驰人生2》《热辣滚烫》《周处除三害》四部电影中任选一部，则不同的选法有___________种；若至少有一人选择《第二十条》，则不同的选法有___________种.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（13分）
设函数，其中.
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
16.（15分）盒子里装有六个大小相同的小球，分别标有数字1 2 3 4 5 6，现从盒子里随机不放回地抽取3次，每次抽取1个小球，按抽取顺序将球上数字分别作为一个三位数的百位 十位与个位数字：
（1）一共能组成多少个不同的三位数？
（2）求事件“组成的三位数小于300”的概率.
17.（15分）
某班级周六的课程表要排入历史 语文 数学 物理 体育 英语共6节课.
（1）如果数学和物理不能相邻，则不同的排法有多少种？
（2）如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种排法？
（3）原定的6节课已排好，学校临时通知要增加生物化学地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？
18.（17分）
已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5∶2.
（1）求n的值；
（2）求展开式中含的项的系数；
（3）设，则当时，求a除以15所得余数.
19.（17分）
已知函数且.
（1）当时，求函数的极值；
（2）当时，求函数零点的个数.
参考答案和评分标准
高二数学
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】A
【命题立意】直接利用平均变化率的定义求解.
【详解】设，则函数在区间上的平均变化率为.
2.【答案】B
【命题立意】求出导函数，即可得到结果.
【详解】∵，∴
∴，
∴曲线在处的切线的倾斜角是.
3.【答案】D
【命题立意】依题意可知切点坐标，由切线方程得到，利用导数的概念解出即可.
【详解】依题意可知切点，
函数的图象在点处的切线方程是，
，即
又
即.
4.【答案】B
【命题立意】利用切线的斜率列方程，化简求得的值.
【详解】，
所以.
5.【答案】C
【命题立意】求导函数，然后令列式求解可得.
【详解】，
.
6.【答案】C
【命题立意】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式计算即得.
【详解】由分步乘法计数原理，得不同的选取方法种数是（种）.
7.【答案】D
【命题立意】首先根据二项式定理化简，再判断余数，结合选项，即可求解.
【详解】，所以除以9的余数是8，选项中只有2024除以9余8.
8.【答案】B
【命题立意】分和两种情况，分别求出不同的选法再相加即可.
【详解】若五位同学最终选择为，先选择一位同学和学生甲和学生乙组成3人小组，
剩余两人各去一个村，进行全排列，此时有种选择，
若五位同学最终选择为，将除了甲乙外的三位同学分为两组，再进行全排列，
此时有种选择，
综上，共有种选择.
二 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.【答案】AC
【命题立意】利用基本函数和复合函数的求导法则求解即可.
【详解】选项A，，故A正确；
选项B，，故B错误；
选项C，，故C正确；
选项D，，故D错误.
10.【答案】ABC
【命题立意】原二项式可以化为，再根据二项式展开式的性质求解即可.
【详解】，可得二项式的系数和为，故A正确；
令得所有项的系数和为0，故B正确；
常数项，故C正确；
由，系数为，最大为或，为第3项或第5项，故D错误.
11.【答案】AD
【命题立意】利用分步计数原理结合排列知识判断A，根据分堆分配问题的解决方法判断B，根据分步计数原理判断C，D.
【详解】对于A，事件一年级必须安排2人，其余年级各安排1人，可分为两步完成，
第一步从5人中选2人去一年级，共有种方法，
第二步将余下3人分到二，三，四年级，共有种方法，
由分步乘法计数原理可得满足条件的方案有种，A正确；
对于B，每个年级至少安排1人的方法数为种，B错误；
对于C，事件5人自由决定实习年级的方法共有种，C错误；
对于D，事件甲不去一年级，乙不去二年级可分为5步完成，
第一步安排甲，有3种方法，
第二步安排乙，有3种方法，
第三步安排丙，丁，戊，有种方法，
由分步乘法计数原理可得，共有种方法，D正确，
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】2
【命题立意】求导，得到的解，进而得到函数单调性，求出极大值点.
【详解】，
令，解得或6，
当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故在取得极大值.
13.【答案】28 392
【命题立意】先求导数可得瞬时速度，利用速度为零可得停止时间和列车前进距离.
【详解】，由瞬时速度，解得.
期间列车前进了米.
14.【答案】64 37
【命题立意】空1：根据分步乘法即可得到答案；
空2：计算出没有人选择《第二十条》的情况数，再利用空1的总数减去即可.
【详解】空1：根据分步乘法得不同的选法有种，
空2：若没有人选择《第二十条》，则共有种，
则若至少有一人选择《第二十条》，则不同的选法有种，
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（13分）
【命题立意】（1）利用导数的几何意义求出斜率，写出方程即可.
（2）含参讨论函数单调性即可.
【详解】（1）当时，，故，
此时函数在处的切线方程为：.
（2）由题意，的定义域为，
，则当时，单调递增；
当时，单调递减.
故函数在上单调递减，在上单调递增.
16.（15分）
【命题立意】（1）由分步计数原理进行求解；（2）求出小于300的三位数个数，在第一问基础上用古典概型求概率公式进行求解.
【详解】（1）由分步计数原理可得三位数的个数为个.
（2）若百位数字为2，则有个；
若百位数字为1，则有个，所以所求事件的概率为.
17.（15分）
【命题立意】（1）利用插空法可求答案；
（2）分两种情况求解，结合分类计数原理可得答案；
（3）利用定序缩倍法求解，先求总排法除去有要求的特定顺序可得答案.
【详解】（1）先排其它四科，共有种方法，再把数学和物理插入空中，有种方法，共有种.
（2）第一节安排数学，则其余科目没有要求，共有种方法；
第一节不安排数学，先排第一节有种方法，再排第四节有种方法，最后安排其它节有种方法，
所以共有种方法.
（3）九科随机排列共有种排法，六科在其中的排法有种，所以共有种.
18.（17分）
【命题立意】（1）根据二项式系数的比值，列式计算即可；
（2）写出通项公式，通过赋值，即可求得含项的系数；
（3）将改写为，将其展开，即可求得除以所得余数.
【详解】（1）根据题意，，即，又，故.
（2），
其展开式的通项公式，，
令，解得，则，
故展开式中含的项的系数为：.
（3）当时，，
，
而能够被整除，
故a除以15所得余数为0.
19.（17分）
【命题立意】（1）求出导函数，求出极值点，判断导函数的符号，然后求解函数的极值；
（2）利用函数的导数，通过对参数分类讨论命题立意其单调性即可知函数的零点个数.
【详解】（1）解：由题意得：
，
令，得或（舍去），
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
所以函数有极小值，无极大值.
（2）由（1）得.因为，
①若，当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；…
所以有极大值，
极小值，又，
所以函数有1个零点.
②若，则，所以函数单调递增，
此时，所以函数有1个零点.
③若，当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
所以有极大值，显然极小值，
又，所以函数有1个零点.
综上所述，当时，函数的零点个数为1.
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