第4章三角形 知识点分类练习题（含解析） 2023-2024学年北师大版七年级数学下册

2023-2024学年北师大版七年级数学下册《第4章三角形》知识点分类练习题（附答案）
一．三角形
1．如图，图中三角形的个数是（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
2．如图中三角形的个数是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，图中以AD为边的三角形有　 　个．
三角形的角平分线、中线和高
4．如图，CM是△ABC的中线，△BCM的周长比△ACM的周长大3cm，BC＝8cm，则AC的长为（　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
5．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（　　）
A． B．
C． D．
6．有两条高在三角形外部的三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
7．如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝7，BC＝4，△ABD和△BCD的周长的差是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．不能确定
三．三角形的面积
8．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，“以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中和△ABC面积相等的格点三角形△ABE（不含△ABC）　 　个．
四．三角形的稳定性
9．如图，李叔叔家的凳子坏了，于是他给凳子加了两根木条，他所应用的数学原理是 　 　．
五．三角形的重心
10．如图，△ABC中，三条中线AD，BE，CF相交于点O，若△ABC的面积是10，则△OCD的面积是（　　）
A．2 B．1.5 C． D．5
11．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝3，G是△ABC重心，S△AGC＝　 　．
六．三角形三边关系
12．已知三条线段长分别为2cm、4cm、a cm，若这三条线段首尾顺次联结能围成一个三角形，那么a的取值可以是（　　）
A．1 B．2 C．4 D．7
13．如图，在△BCD中，BC＝4，BD＝5，
（1）求CD的取值范围；
（2）若AE∥BD，∠A＝55°，∠BDE＝125°，求∠C的度数。
七．三角形内角和定理
14．如图，已知在△ABC中，∠A＝90°，则∠1+∠2=（　　）
A．180° B．270° C．360° D．无法确定
15．如图，OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，∠BOC＝120°，则∠A=（　　）
A．60° B．120° C．110° D．40°
八．三角形的外角性质
16．如图，CF是△ABC的外角∠ACM的平分线，且CF∥AB，∠ACF＝50°，则∠B的度数为（　　）
A．80° B．40° C．60° D．50°
17．如图，将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，图中∠COB的度数是（　　）
A．75° B．105° C．115° D．100°
18．如图将三角形纸板的直角顶点放在直尺的一条边上，∠1＝30°，∠2＝60°，则∠3=（　　）
A．50° B．40° C．30° D．20°
九．全等图形
19．如果两个图形全等，那么这两个图形必定是（　　）
A．形状大小均相同
B．形状相同，但大小不同
C．大小相同，但形状不同
D．形状大小均不相同
20．下列判断正确的个数是（　　）
①两个正方形一定是全等图形；
②三角形的一个外角一定大于与它不相邻的一个内角；
③三角形的三条高交于同一点；
④两边和一角对应相等的两个三角形全等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
一十．全等三角形的判定
21．如图，已知△ABC，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中与△ABC全等的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
一十一．全等三角形的判定与性质
22．如图，已知AB＝AC，AD是△ABC的高，下列结论不一定正确的是（　　）
A．∠B＝60° B．∠B＝∠C C．∠BAD＝∠CAD D．BD＝CD
23．如图，AB＝AC，点D、E分别是AB、AC上一点，BE、CD相交于点M．若∠BAC＝70°，∠C＝30°则∠BMD的大小为（　　）
A．50° B．65° C．70° D．80°
24．如图，已知点B，F，C，E在同一直线上，AB∥DE，BF＝CE，AB＝ED，求证：∠A＝∠D
25．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，∠D＝∠B，∠1＝∠2．
求证：DE＝BC．
26．如图，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，AE＝DB，BC与EF交于点O．
（1）求证：Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度数．
27．如图，CD⊥DE于D，AB⊥DB于B，CD＝BE，AB＝DE．
求证：CE⊥AE．
28．如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB=∠DCE=500，AD、BE交于点H，连接CH，求∠CHE．
一十二．全等三角形的应用
29．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，D，使BC＝CD．再作出BF的垂线DE，使A，C，通过证明△ABC≌△EDC，得到DE的长就等于AB的长（　　）
A．HL B．SAS C．SSS D．ASA
30．如图，一个三角形玻璃被摔成三小块，现要到玻璃店再配一块同样大小的玻璃（　　）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①②去
31．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，图中判断三角形全等的依据是　 　．
32．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为　 　cm．
33．如图，为了测量一池塘的宽AB，在岸边找到一点C，在AC的延长线上找一点D，使得DC＝AC，在BC的延长线上找一点E，使得EC＝BC，测得DE=60cm，试问池塘的宽AB为多少？请说明理由．
一十三．直角三角形的性质
34．推理填空：
已知：如图，直线EF∥直线GH，在Rt△ABC中，∠C＝90，顶点A在GH上，顶点B在EF上，且BA平分∠DBF，若∠CAD＝22°，求∠BAD的度数．
解：∵∠C＝90°，∠CAD＝22°（已知），
∴∠ADC＝68°（直角三角形两锐角互余）．
∵直线EF∥直线GH（已知）．
∴　 　＝∠ADC＝68°（　 　）．
∵BA平分∠DBF（已知），
∴∠ABF＝∠　 　＝34°（　 　）．
又∵直线EF∥直线GH（已知），
∴∠BAD＝　 　＝34°（　 　）．
35．如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A＝70°，∠BCE＝30°，求∠EBF与∠FBC的度数
一十四．作图—基本作图
36．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．根据尺规作图痕迹，下列结论一点正确的是（　　）
A．BC＝EC B．BE＝EC C．BC＝BE D．AE＝EC
参考答案
一．三角形
1．解：BC上有6条线段，所以有6个三角形．
故选：B．
2．解：∵图中三角形有：△ECA，△EBD，△FCD，△ABD，△AED，
∴共8个．
故选：C．
3．解：∵AD⊥BC于D，
而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，
∴以AD为高的三角形有6个．
故答案为：5
二．三角形的角平分线、中线和高4．解：∵CM为△ABC的AB边上的中线，
∴AM＝BM，
∵△BCM的周长比△ACM的周长大3cm，
∴（BC+BM+CM）﹣（AC+AM+CM）＝3cm，
∴BC﹣AC＝6cm，
∵BC＝8cm，
∴AC＝5cm，
故选：C．
5．解：线段BE是△ABC的高的图是选项C．
故选：C．
6．解：有两条高在三角形外部的是钝角三角形．
故选：C．
7．解：∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，
∴△ABD和△BCD的周长的差是：（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）＝AB﹣BC＝7﹣4＝5．
故选：B．
三．三角形的面积
8．解：如图
所以使得与△ABC面积相等的格点三角形一共有4个．
故应填：4．
四．三角形的稳定性
9．解：给凳子加了两根木条之后形成了三角形，所以“这样凳子就比较牢固了”的数学原理是：三角形的稳定性，
故答案为：三角形的稳定性．
五．三角形的重心
10．解：∵△ABC中，三条中线AD，CF相交于点O，
∴＝，CD＝BD，
∴S△ACD＝S△ABD＝S△ABC＝＝5，
∴S△OCD＝S△ACD＝＝，
故选：C．
11．解：延长AG交BC于E．
∵∠BAC＝90°，AB＝6，
∴S△ABC＝ AB AC＝9，
∵G是△ABC的重心，
∴AG＝2GE，BE＝EC，
∴S△AEC＝×9＝8.5，
∴S△AGC＝×S△AEC＝3，
故答案为3
六．三角形三边关系
12．解：依题意有4﹣2＜a＜5+2，
解得：2＜a＜4．
只有选项C在范围内．
故选：C．
13．解：（1）∵在△BCD中，BC＝4，
∴5﹣2＜DC＜5+4，
∴8＜DC＜9；
（2）∵AE∥BD，∠BDE＝125°，
∴∠AEC＝180°﹣125°＝55°，
又∵∠A＝55°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠AEC＝180°﹣55°﹣55°＝70°．
七．三角形内角和定理
14．解：在△ABC中，∠A＝90°，
所以∠ACB+∠ABC＝90°，
又因为∠1+∠ACB＝180°，
∠2+∠ABC＝180°，
所以∠3+∠2＝270°，
故选：B．
15．解：因为OB、OC是∠ABC，
所以∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO，
所以∠ABO+∠ACO＝∠CBO+∠BCO＝180°﹣120°＝60°，
所以∠ABC+∠ACB＝60°×2＝120°，
于是∠A＝180°﹣120°＝60°．
故选：A．
八．三角形的外角性质
16．解：∵CF∥AB，
∴∠B＝∠FCM，
∵CF平分∠ACM，∠ACF＝50°，
∴∠FCM＝∠ACF＝50°，
∴∠B＝50°，
故选：D．
17．解：∵∠BOC＝∠BDC+∠OCD，∠BDC＝60°，
∴∠BOC＝105°，
故选：B．
18．解：∵∠1＝30°，∠2＝60°，
∴∠4＝60°﹣30°＝30°，
故选：C．
九．全等图形
19．解：能够完全重合的两个图形叫做全等形，所以如果两个图形全等．
故选：A．
20．解：①两个正方形不一定是全等图形，故错误；
②三角形的一个外角一定大于与它不相邻的一个内角，正确；
③三角形的三条高所在直线交于同一点，故错误；
④两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，故错误．
故选：A．
一十．全等三角形的判定
21．解：A．△ABC和甲所示三角形根据SA无法判定它们全等；
B．△ABC和乙所示三角形根据SAS可判定它们全等；
C．△ABC和丙所示三角形根据SA无法判定它们全等；
D．△ABC和丁所示三角形根据AA无法判定它们全等；
故选：B．
一十一．全等三角形的判定与性质
22．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AD是△ABC的高，
∴AD平分∠BAC，BC＝2BD＝2CD，
∴∠BAD＝∠CAD，BD＝CD，
∴B、C、D都是正确的，
故选：A．
23．解：在△ADC与△AEB中，
，
∴△ADC≌△AEB（SAS），
∴∠B＝∠C，∠AEB＝∠ADC，
∵∠BAC＝70°，∠C＝30°，
∴∠AEB＝∠ADC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣70°﹣30°＝80°，
∴∠BMC＝∠DME＝360°﹣∠AEB﹣∠ADC﹣∠BAC＝360°﹣80°﹣80°﹣70°＝130°，
∴∠BMD＝180°﹣130°＝50°，
故选：A．
24．证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠E，
∵BF＝CE，
∴BF+CF＝CE+CF，
∴BC＝EF，
在△ABC与△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠A＝∠D．
25．证明：∵∠1＝∠2
∴∠7+∠BAE＝∠2+∠BAE，
即∠DAE＝∠BAC，
在△DAE和△BAC中，
，
∴△DAE≌△BAC（ASA），
∴DE＝BC．
26．（1）证明：∵AE＝DB，
∴AE+EB＝DB+EB，即AB＝DE，
在Rt△ACB和Rt△DFE中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）；
（2）解：∵∠C＝90°，∠A＝51°，
∴∠ABC＝∠C﹣∠A＝90°﹣51°＝39°，
由（1）知Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF．
∴∠DEF＝39°，
∴∠BOF＝∠ABC+∠BEF＝39°+39°＝78°．
27．证明：∵CD⊥DE，AB⊥DB，
∴∠D＝∠B＝90°，
在△EDC和△ABE中
∵，
∴△EDC≌△ABE（SAS），
∴∠CED＝∠A，
∵∠B＝90°，
∴∠A+∠AEB＝90°，
∴∠CED+∠AEB＝90°，
∴∠CEA＝90°，
∴CE⊥AE．
28．解：∵CA＝CB，∠ACB＝50°，
∴∠CAB＝∠ABC＝（180°﹣∠ACB）＝65°，
∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CDA＝∠CEB，
设BE、CD交于点R，
∵∠CRE＝∠HRD，
∴∠DHE＝∠DCE＝50°
过点C分别作AD、BE的高CN，
∵△ACD≌△BCE，
∴CM＝CN，
∵CH＝CH，
∴Rt△CHN≌Rt△CHM（HL），
∴∠CHE＝∠CHN＝∠AHE＝（180°﹣50°）＝65°
故答案为：65°．
一十二．全等三角形的应用
29．解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．
故选：D．
30．解：③这一块中保留了一条边还有两个角，可以根据ASA定理得到一块完全一样的玻璃，
故选：C．
31．解：由图可知，CM＝CN，
∵在△MCO和△NCO中，
∴△COM≌△CON（SSS），
∴∠AOC＝∠BOC，
即OC是∠AOB的平分线．
故答案为：SSS．
32．解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
由题意得：AD＝EC＝6cm，DC＝BE＝14cm，
∴DE＝DC+CE＝20（cm），
答：两堵木墙之间的距离为20cm．
故答案为：20．
33．解：AB＝60米．
理由如下：
∵在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴AB＝DE＝60（米），
则池塘的宽AB为60米．
一十三．直角三角形的性质
34．解：∵∠C＝90°，∠CAD＝22°（已知），
∴∠ADC＝68°（直角三角形两锐角互余）．
∵直线EF∥直线GH（已知）．
∴∠DBF＝∠ADC＝68°（两直线平行，同位角相等）．
∵BA平分∠DBF（已知），
∴∠ABF＝∠DBF＝34°（角平分线的定义）．
又∵直线EF∥直线GH（已知），
∴∠BAD＝∠ABF＝34°（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：∠DBF；两直线平行；DBF；∠ABF，内错角相等．
35．解：在Rt△ABF中，∠A＝70°，BF是两条高，
∴∠EBF＝20°，∠ECA＝20°，
又∵∠BCE＝30°，
∴∠ACB＝50°，
∴在Rt△BCF中∠FBC＝40°．
一十四．作图—基本作图
36．解：由作图可知，CD⊥AB，
∴∠ACE＝∠DCE，
∵∠ACB＝∠CDB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，∠B+∠DCB＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∵∠BEC＝∠A+∠ACE，∠BCE＝∠ECD+∠DCB，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BC＝BE，
故选：C．