第11章一元一次不等式的应用：用不等式解决方案问题（无答案）2023－2024学年苏科版数学七年级下册

七年级下册
一元一次不等式组章节
不等式的应用（三）
用不等式解决方案问题
用不等式解决方案问题
1.为迎接食品安全检查，南通市计划对崇川区A，B两类饭店全部进行改造．根据预算，共需资金1500万元，改造两个A类饭店和三个B类饭店共需资金325万元；改造一个A类饭店和四个B类饭店共需资金350万元．
（1）改造一个A类饭店和一个B类饭店所需资金分别是多少万元？
（2）若需改造的A类饭店不超过6个，则B类饭店至少有多少个？
（3）今年计划对A，B两类饭店共7个进行改造，改造资金由市财政和区财政共同承担．若今年市财政拨付的改造资金不超过420万元；区财政投入的改造资金不少于68万元，其中区财政投入到A，B两类饭店的改造资金分别为每个8万元和12万元，请你通过计算求出有几种改造方案．
2.某家电超市经营甲、乙两种品牌的洗衣机．经投标发现，1台甲品牌洗衣机进价比1台乙品牌洗衣机进价贵500元；购进2台甲品牌洗衣机和3台乙品牌洗衣机共需进货款13500元．
(1)购进1台甲品牌洗衣机和1台乙品牌洗衣机进价各需要多少元？
(2)超市根据经营实际情况，需购进甲、乙两种品牌的洗衣机总数为50台，其中甲品牌洗衣机购进的台数不少于乙品牌洗衣机台数的3倍，且购进甲、乙两种品牌的洗衣机的总费用不超过145250元．问该超市共有几种购进方案？试写出所有的购进方案．
3.为了更好地治理水质．保护环境，而治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种设备，A、B的单价分别为a万元/台和b万元/台，月处理污水分别为240吨/月和200吨/月，经调查，买一台A型设备比买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元．
(1)求a、b的值；
(2)经预算，市治污公司购买污水处理器的资金不超过105万元，你认为该公司有哪几种购买方案？
(3)在（2）的条件下，若每月处理的污水不低于2040吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的方案．
4.某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
种型号 种型号
第一周 台 台 元
第二周 台 台 元
（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）
(1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
(2)若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
(3)在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
5.某商场计划拨款9万元从厂家购买50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机的出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元，商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售乙种电视机每台可获利200元，销售丙种电视机每台可获利250元．
(1)若同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；
(2)经市场调查这三种型号的电视机是最受欢迎的，且销售量乙种是丙种的3倍．商场要求成本不能超过计划拨款数额，利润不能少于8500元的前提，购进这三种型号的电视机共50台，请你设计这三种不同型号的电视机各进多少台？
6.有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上2个小桶可以盛酒17斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒8斛．
(1)1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？
(2)现有大桶和小桶共23个，且大桶的个数小于小桶个数的2倍．如果这些桶能装下50斛的酒，求所有满足条件的大桶和小桶的个数？
7.某零食店购进A、B两种网红零食共100件，A种零食进价为每件8元，B种零食进价为每件5元，在销售过程中，顾客买了3件A种零食和2件B种零食共付款65元，顾客买了2件A种零食和3件B种零食共付款60元．
(1)求A、B两种零食每件的售价分别是多少元？
(2)若该零食店计划A、B两种零食的进货总投入不超过656元，且销售完后总利润不低于600元，则购进A、B两种零食有多少种进货方案？
(3)在（2）的条件下，哪种进货方案可使获利最大？最大利润是多少元？
8.去年7月底，我省郑州市发生百年一遇的洪水，全国各地各行各业发起了献爱心捐赠活动，某果农为郑州捐献了一批水果和蔬菜共400箱，其中水果比蔬菜多80箱．
(1)求水果和蔬菜各多少箱
(2)现计划租用甲乙两种货车共10辆，一次性将这批物资全部送往郑州．已知每辆甲种货车可满载40箱水果和10箱蔬菜，每辆乙种货车可满载水果和蔬菜各20箱，则运输部门安排甲乙两种货车有哪几种方案？请写出设计方案．
(3)在（2）的条件下，若甲种货车每辆需付运费1000元，乙种货车每辆需付运费700元选择哪种运输方案运费最少 最少运费是多少 （通过计算具体数据说明结论）
9.南京火车货运站现有甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，某公司将安排一列火车将这批货物运往上海，这列火车可挂A、B两种不同型号货厢50节.
(1)已知甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢，运输这批货物有几种安排货厢方案？
(2)若一节A型货厢的运费是0.5万元，一节B型货厢的运费是0.8万元，如何安排运输方案，才能使得运费最少？并求出最少运费．
10.学校近期举办了一年一度的经典诵读比赛．某班级因节目需要，须购买A、B两种道具．已知购买1件A道具比购买1件B道具多10元，购买2件A道具和3件B道具共需要45元．
（1）购买一件A道具和一件B道具各需要多少元？
（2）根据班级情况，需要这两种道具共60件，且购买两种道具的总费用不超过620元．
①请问道具A最多购买多少件？
②若其中A道具购买的件数不少于B道具购买件数，该班级共有几种方案？试写出所有方案，并求出最少费用为多少元？
参考答案
1.为迎接食品安全检查，南通市计划对崇川区A，B两类饭店全部进行改造．根据预算，共需资金1500万元，改造两个A类饭店和三个B类饭店共需资金325万元；改造一个A类饭店和四个B类饭店共需资金350万元．
（1）改造一个A类饭店和一个B类饭店所需资金分别是多少万元？
（2）若需改造的A类饭店不超过6个，则B类饭店至少有多少个？
（3）今年计划对A，B两类饭店共7个进行改造，改造资金由市财政和区财政共同承担．若今年市财政拨付的改造资金不超过420万元；区财政投入的改造资金不少于68万元，其中区财政投入到A，B两类饭店的改造资金分别为每个8万元和12万元，请你通过计算求出有几种改造方案．
【解析】（1）设改造一个A类饭店需资金x万元，改造一个B类饭店需资金y万元，
依题意，得：，
解得：．
答：改造一个A类饭店需资金50万元，改造一个B类饭店需资金75万元．
（2）设需改造的B类饭店有m个，则需改造的A类饭店有（30m）个，
依题意，得：30m≤6，
解得：m≥16．
答：需改造的B类饭店至少有16个．
（3）设改造A类饭店a个，则改造B类饭店（7﹣a）个，
依题意，得：，
解得：1≤a≤4，
又∵a为正整数，
∴a可以为1，2，3，4，
∴共有4种改造方案．
2.某家电超市经营甲、乙两种品牌的洗衣机．经投标发现，1台甲品牌洗衣机进价比1台乙品牌洗衣机进价贵500元；购进2台甲品牌洗衣机和3台乙品牌洗衣机共需进货款13500元．
(1)购进1台甲品牌洗衣机和1台乙品牌洗衣机进价各需要多少元？
(2)超市根据经营实际情况，需购进甲、乙两种品牌的洗衣机总数为50台，其中甲品牌洗衣机购进的台数不少于乙品牌洗衣机台数的3倍，且购进甲、乙两种品牌的洗衣机的总费用不超过145250元．问该超市共有几种购进方案？试写出所有的购进方案．
【答案】(1)购进1台甲品牌洗衣机进价3000元，1台乙品牌洗衣机进价2500元；
(2)超市共有3种购进方案，购进方案如下： 方案一：甲购进38台，乙购进12台； 方案二：甲购进39台，乙购进11台； 方案三：甲购进40台，乙购进10台．
（1）解：设购进1台甲品牌洗衣机进价x元，1台乙品牌洗衣机进价y元，
根据题意，得
解得 ，
答：购进1台甲品牌洗衣机进价3000元，1台乙品牌洗衣机进价2500元；
（2）
设超市购进m台甲品牌洗衣机，
根据题意，得
解得37.5≤m≤40.5， m取正整数有：38，39，40，
∴超市共有3种购进方案，购进方案如下：
方案一：甲购进38台，乙购进12台；
方案二：甲购进39台，乙购进11台；
方案三：甲购进40台，乙购进10台．
3.为了更好地治理水质．保护环境，而治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种设备，A、B的单价分别为a万元/台和b万元/台，月处理污水分别为240吨/月和200吨/月，经调查，买一台A型设备比买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元．
(1)求a、b的值；
(2)经预算，市治污公司购买污水处理器的资金不超过105万元，你认为该公司有哪几种购买方案？
(3)在（2）的条件下，若每月处理的污水不低于2040吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的方案．
【答案】(1)a的值为12，b的值为10
(2)该公司有3种购买方案：①购进10台B型设备；②购进1台A型设备，9台B型设备；③购进2台A型设备，8台B型设备．
(3)购进1台A型设备，9台B型设备最省钱．
（1）解：依题意，得：，
解得：．
答：a的值为12，b的值为10．
（2）解：设该公司购买x台A型设备，则购买（10-x）台B型设备，
依题意，得：12x+10（10-x）≤105，
解得：x≤2．
∵x为非负整数，
∴x=0，1，2，
∴该公司有3种购买方案：①购进10台B型设备；②购进1台A型设备，9台B型设备；③购进2台A型设备，8台B型设备．
（3）
解：依题意，得：240x+200（10-x）≥2040，
解得：x≥1，
∵x≤2，且x为整数，
∴x=1，2．
当x=1时，购进10台设备的费用为12+10×9=102（万元），
当x=2时，购进10台设备的费用为12×2+10×8=104（万元）．
∵102＜104，
∴购进1台A型设备，9台B型设备最省钱．
4.某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
种型号 种型号
第一周 台 台 元
第二周 台 台 元
（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）
(1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
(2)若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
(3)在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【答案】(1)、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元
(2)超市最多采购种型号电风扇台时，采购金额不多于元
(3)在的条件下超市不能实现利润元的目标
【详解】（1）设、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元，
依题意得：，
解得：，
答：、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元；
（2）设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台．
依题意得：，
解得：．
答：超市最多采购种型号电风扇台时，采购金额不多于元；
（3）依题意有：，
解得：，
，
在的条件下超市不能实现利润元的目标．
5.某商场计划拨款9万元从厂家购买50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机的出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元，商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售乙种电视机每台可获利200元，销售丙种电视机每台可获利250元．
(1)若同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；
(2)经市场调查这三种型号的电视机是最受欢迎的，且销售量乙种是丙种的3倍．商场要求成本不能超过计划拨款数额，利润不能少于8500元的前提，购进这三种型号的电视机共50台，请你设计这三种不同型号的电视机各进多少台？
【答案】(1)进货方案有两种：①购进甲型号电视机25台，乙型号电视机25台；②购进甲型号电视机35台，丙型号电视机15台
(2)购进方案有两种：①购进丙型号电视机4台，则购进乙型号电视机12台，购进甲型号电视机34台，②购进丙型号电视机5台，则购进乙型号电视机15台，购进甲型号电视机30台
(1)解：①设购进甲型号电视机x台，乙型号电视机y台，由题意得：
，
解得：，
②设购进丙型号电视机m台，乙型号电视机n台，由题意得：，
解得：m，n不是整数，所以舍去，不合题意．
③设购进甲型号电视机a台，丙型号电视机b台，由题意得：，
解得：，
∴进货方案有两种：
①购进甲型号电视机25台，乙型号电视机25台，
②购进甲型号电视机35台，丙型号电视机15台，
(2)解：设购进丙型号电视机s台，则购进乙型号电视机3s台，购进甲型号电视机（50﹣4s）台，由题意得：
，
解得：4≤s≤5，
∵s为整数，
∴s＝4或5，
当s＝4时：购进乙型号电视机12台，购进甲型号电视机34台，
s＝5时：购进乙型号电视机15台，购进甲型号电视机30台，
答：购进方案有两种：①购进丙型号电视机4台，则购进乙型号电视机12台，购进甲型号电视机34台，②购进丙型号电视机5台，则购进乙型号电视机15台，购进甲型号电视机30台．
6.有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上2个小桶可以盛酒17斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒8斛．
(1)1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？
(2)现有大桶和小桶共23个，且大桶的个数小于小桶个数的2倍．如果这些桶能装下50斛的酒，求所有满足条件的大桶和小桶的个数？
【答案】(1)1个大桶可以盛酒3斛，1个小桶可以盛酒1斛；
(2)需要大桶14个小桶9个或大桶15个小桶8个．
（1）设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶以盛酒y斛，
，
解得．
答：1个大桶可以盛酒3斛，1个小桶可以盛酒1斛；
（2）设需要m个大桶，（23-m）个小桶，则
解得：≤m<，
当m=14时，23-m=23-14=9；
当m=15时，23-m=23-15=8；
答：需要大桶14个小桶9个或大桶15个小桶8个．
7.某零食店购进A、B两种网红零食共100件，A种零食进价为每件8元，B种零食进价为每件5元，在销售过程中，顾客买了3件A种零食和2件B种零食共付款65元，顾客买了2件A种零食和3件B种零食共付款60元．
(1)求A、B两种零食每件的售价分别是多少元？
(2)若该零食店计划A、B两种零食的进货总投入不超过656元，且销售完后总利润不低于600元，则购进A、B两种零食有多少种进货方案？
(3)在（2）的条件下，哪种进货方案可使获利最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)A种零食每件的售价是15元，B种零食每件的售价是10元；
(2)购进A、B两种零食有3种进货方案；
(3)购进A种零食52件，购进B种零食48件，获利最大，最大利润为604元．
(1)设A种零食每件的售价是x元，B种零食每件的售价是y元，根据题意得，
，
解得，，
答：A种零食每件的售价是15元，B种零食每件的售价是10元；
(2)设购进a件A种零食，则购进(100-a)件B种零食，根据题意得，
，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为，
∵为整数，
∴
所以，购进A、B两种零食有3种进货方案；
(3)
方案1：购进A种零食50件，购进B种零食100-50=50件，获利50×（15-8）+（10-5）元；
方案2：购进A种零食51件，购进B种零食100-51=49件，获利51×（15-8）+（10-5）元；
方案3：购进A种零食52件，购进B种零食100-52=48件，获利52×（15-8）+（10-5）元；
∵，
∴购进A种零食52件，购进B种零食48件，获利最大，最大利润为604元．
8.去年7月底，我省郑州市发生百年一遇的洪水，全国各地各行各业发起了献爱心捐赠活动，某果农为郑州捐献了一批水果和蔬菜共400箱，其中水果比蔬菜多80箱．
(1)求水果和蔬菜各多少箱
(2)现计划租用甲乙两种货车共10辆，一次性将这批物资全部送往郑州．已知每辆甲种货车可满载40箱水果和10箱蔬菜，每辆乙种货车可满载水果和蔬菜各20箱，则运输部门安排甲乙两种货车有哪几种方案？请写出设计方案．
(3)在（2）的条件下，若甲种货车每辆需付运费1000元，乙种货车每辆需付运费700元选择哪种运输方案运费最少 最少运费是多少 （通过计算具体数据说明结论）
【答案】(1)水果240箱，蔬菜160箱
(2)方案一：租用甲种货车2辆，则租用乙种货车8辆
方案二：租用甲种货车3辆，则租用乙种货车7辆
方案三：租用甲种货车2辆，则租用乙种货车8辆
(3)方案一；7600元
（1）设水果箱，蔬菜箱，依题意，得
解得
答：水果240箱，蔬菜160箱．
（2）设租用甲种货车辆，则租用乙种货车辆，依题意，得
解得
∵为整数
∴
方案一：租用甲种货车2辆，则租用乙种货车8辆
方案二：租用甲种货车3辆，则租用乙种货车7辆
方案三：租用甲种货车4辆，则租用乙种货车6辆
（3）方案一所需费用为：1000×2+700×8=7600（元）
方案二所需费用为：1000×3+700×7=7900（元）
方案三所需费用为：1000×4+700×6=8200（元）
答：选择方案一即租用甲种货车2辆，则租用乙种货车8辆时费用最少，最少为7600元．
9.南京火车货运站现有甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，某公司将安排一列火车将这批货物运往上海，这列火车可挂A、B两种不同型号货厢50节.
(1)已知甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢，运输这批货物有几种安排货厢方案？
(2)若一节A型货厢的运费是0.5万元，一节B型货厢的运费是0.8万元，如何安排运输方案，才能使得运费最少？并求出最少运费．
【答案】(1)共有三种方案，见详解
(2)安排A型货厢30辆，B型货厢20辆时，运费最少，且最少运费为31万元
(1)解：设安排A型货厢x节，则安排B型货厢（50-x）节，
根据题意，可列方程组为，
解得：，
∵x为整数，
∴x=28或29或30，
因此共有三种方案，分别为：
第一种方案：安排A型货厢28辆，B型货厢22辆，
第二种方案：安排A型货厢29辆，B型货厢21辆，
第三种方案：安排A型货厢30辆，B型货厢20辆．
(2)设总运费为W万元，，
∴当安排A型货厢28辆，B型货厢22辆时，，
当安排A型货厢29辆，B型货厢21辆时，W=31.3，
当安排A型货厢30辆，B型货厢20辆时，W=31，
∴安排A型货厢30辆，B型货厢20辆时，运费最少，且最少运费为31万元，
答：安排A型货厢30辆，B型货厢20辆时，运费最少，且最少运费为31万元．
10.学校近期举办了一年一度的经典诵读比赛．某班级因节目需要，须购买A、B两种道具．已知购买1件A道具比购买1件B道具多10元，购买2件A道具和3件B道具共需要45元．
（1）购买一件A道具和一件B道具各需要多少元？
（2）根据班级情况，需要这两种道具共60件，且购买两种道具的总费用不超过620元．
①请问道具A最多购买多少件？
②若其中A道具购买的件数不少于B道具购买件数，该班级共有几种方案？试写出所有方案，并求出最少费用为多少元？
【答案】解：（1）设购买一件A道具需要x元，购买一件B道具需要y元，
依题意，得：，
解得：．
答：购买一件A道具需要15元，购买一件B道具需要5元．
（2）设购买A道具m件，则购买B道具（60﹣m）件．
①依题意，得：15m+5（60﹣m）≤620，
解得：m≤32．
答：A道具最多购买32件．
②依题意，得：m≥60﹣m，
解得：m≥30，
又∵m≤32，且m为整数，
∴m＝30，31，32．
∴该班级共有3种购买方案，方案1：A道具购买30件，B道具购买30件；方案2：A道具购买31件，B道具购买29件；方案3：A道具购买32件，B道具购买28件．
方案1所需费用15×30+5×30＝600（元），
方案2所需费用15×31+5×29＝610（元），
方案3所需费用15×32＝5×28＝620（元）．
∵600＜610＜620，
∴最少购买费用为600元．