第一章 三角形的证明（无答案）2023—2024学年北师大版数学八年级下册

八年级数学周周清
等腰三角形的性质
1.等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴；
2.等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）；
3.等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）。
等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。简称“等角对等边”
等边三角形
1.等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。
2.三个角都相等的三角形是等边三角形。
3.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
【例1】如图,∠B=50°,∠ANC=120°,AM=AN,则∠MAB的度数为(　　)
A.10°　　　　 B.70°　　　
C.60°　　　　 D.50°
【变式1-1】已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4,则这个等腰三角形顶角的度数为(　　)
A.20°或100°　　　　B.120° C.20°或120°　　　　D.36°
【变式1-2】一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（　　）
A．12 B．16 C．20 D．16或20
【变式1-3】在等腰△ABC中，其中AB=AC，∠A=40°，P是△ABC内一点，且∠1=∠2，则∠BPC等于（　　）
A．110° B．120°
C．130° D．140°
【例2】在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是（　　）
A．∠A=40°，∠B=50° B．∠A=40°，∠B=60°
C．∠A=20°，∠B=80° D．∠A=40°，∠B=80°
【变式2-1】△ABC的三边长a，b，c满足关系式（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）=0，则这个三角形一定是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．等腰直角三角形 D．无法确定
【变式2-2】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（　　）
A．5个 B．4个
C．3个 D．2个
【变式2-3】如图，已知AB∥CD，AC∥BD，CE平分∠ACD．
（1）求证：△ACE是等腰三角形；
（2）求证：∠BEC＞∠BDC．
1．若等腰三角形的一个外角等于140°，则这个等腰三角形的顶角度数为（　　）
A．40° B．100° C．40°或70° D．40°或100°
2.下列命题:①等腰三角形的角平分线、中线和高重合;②等腰三角形两腰上的高相等;③等腰三角形的最短边是底边;④等边三角形的高、中线、角平分线都相等;⑤等腰三角形都是锐角三角形.其中正确的有(　　)
A.1个　　　　B.2个　　　　C.3个　　　　D.4个
3.如图,点E是等边三角形ABC中AC边上的点,∠1=∠2,BE=CD,且AD∥BC,则对△ADE的形状最准确的判断是(　　)
A.等腰三角形　　　　B.等边三角形　　　C.直角三角形　　　D.等腰直角三角形
4.如图,P是等边△ABC的边BC上任意一点，PE⊥AB，PF⊥AC，E、F为垂足，则∠EPF=　　　　.
5.如图在△ABC中，∠C＝∠ABC，BE⊥AC，△BDE是等边三角形．求∠C的度数．
6.如图，AD⊥BC于点D，∠B＝∠DAC，点E在BC上，△AEC是以EC为底边的等腰三角形，AB＝4，AE＝3．
（1）判断△ABC的形状，并加以证明；
（2）求△ABC的面积．
7.如图，已知△ABC中，AB＝BD＝DC，∠ABC＝105°，求∠A，∠C的度数．
直角三角形
性质：（1） ；
。
判定：（1） ；
（2） 。
重要结论：（1） ；
（2） 。
1.某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图如图.其中AB,CD分别表示一楼、二楼地面的水平线,∠ABC=150°,BC的长是8 m,则乘电梯从点B到点C上升的高度h是(　　)
A.1 m　　　　B.2 m　　　　C.4 m　　　　D.8 m
2.某市在旧城改造中,计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米的售价为a元,则购买这种草皮至少需要　　　　元.
3.如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动　 分钟后△CAP与△PQB全等．
4.如图，已知∠AOD=30°，点C是射线OD上的一个动点．在点C的运动过程中，△AOC恰好是直角三角形，则此时∠A所有可能的度数为　 　°．
课后练习：
1.等腰三角形中一个外角等于100°，则另两个内角的度数分别为（　　）
A．40°，40° B．80°，20°
C．50°，50° D．50°，50°或80°，20°
2.如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（　　 ）
A．44° B．66° C．88° D．92°
3.如图，O是△ABC中的∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若△ODE的周长为10厘米，那么BC的长为(　　)
A.8厘米　　　　 B.9厘米　　　　C.10厘米　　 D.11厘米
4.已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF．
求证：BE = DF
5.如图,在△ABC中，已知∠B和∠C的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC交 AB于D，交AC于E,若BD+CE=9，求线段DE的长.
6.如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A=70°，∠BCE=30°，求∠EBF与∠FBC的度数．
出门考 姓名： 日期：
1.等腰三角形的一个角是110°,则它的底角为_____.
2.等腰三角形的周长为13cm,其中一边长为3cm,则该等腰三角形的腰边长为 ____cm.
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=75°,从顶点B作BD,与CA交于点D,且∠CDB=30°,若BC=6,则AD=　　　　.
4.如图, ∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF， 则∠FEM=______.
5.如图,在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，若AE=2，则BE=(　 　)
A.3　　　　B.4　　　　C.6　　　　D.8
6．若，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为　 　．
7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则它的顶角为 ．