6.4平面向量的应用 同步练习（含解析）2023——2024学年高中数学人教A版（2019）必修第二册

6.4平面向量的应用 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，且，则b的值为（ ）
A． B． C． D．
2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，边上的高等于，则（ ）
A． B． C． D．
3．在中，，，，则点A到边的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，四边形中，，，，，记与的长度和为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量某山峰的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走了90米到达B点（A，B，P，Q在同一个平面内），在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高PQ为（ ）米
A． B． C． D．
6．在中，角，，对应的边分别为，，，已知，，，则（ ）
A． B． C． D．2
7．如图，圆和圆外切于点，，分别为圆和圆上的动点，已知圆和圆的半径都为1，且，则的最大值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
8．如图，已知是的垂心，且，则等于（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．在中，，点是等边（点与在的两侧）边上的一动点，若，则有（ ）
A．当时，点必在线段的中点处 B．的最大值是
C．的最小值是 D．的范围是
10．下列命题中，正确的是（ ）
A．；
B．在中，是的充要条件；
C．在中，若，则必是等腰直角三角形；
D．在锐角中，不等式恒成立.
11．下列说法正确的是（ ）
A．已知，均为单位向量．若，则在上的投影向量为
B．是所在平面内的一动点，且，则点的轨迹一定通过的重心；
C．已知为的外心，边长为定值，则为定值；
D．若点满足，则点是的垂心.
12．在锐角中，角的对边分别为，且满足，，则下列说法正确的有（ ）
A．外接圆面积是 B．面积的最大值是
C．周长的取值可以是 D．内切圆半径的取值范围是
三、填空题
13．在中，三个内角的对边分别为.若，则 .
14．在中，、、分别是角、、的对边，若，则 .
15．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若为锐角三角形，则的取值范围是 .
16．如图，测量队员在山脚处测得山顶的仰角为，沿着倾斜角为的斜坡向上走400米到达处，在处测得山顶的仰角为与在同一水平面上，四点在同一铅垂面上，则山的高度OP为 米．
四、解答题
17．在中，，，.
(1)求的面积；
(2)求的长.
18．在△ABC中，内角所对的边分别为，且．
(1)证明：；
(2)若外接圆的面积为，且，求△ABC的面积．
19．在中，D是线段BC上的一点（不含端点），.
(1)若，求AD的长；
(2)若，求的取值范围.
20．在三角形中，内角对应边分别为且.
(1)求的大小；
(2)如图所示，为外一点，，，，，求及的面积.
21．如图所示，是海面上位于东西方向的两个观测点，海里，点位于观测点北偏东，且观测点北偏西的位置，点位于观测点南偏西，且海里．现点有一艘轮船发出求救信号，点处的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时．求：
(1)的距离；
(2)该救援船到达点所需要的时间．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．D
【分析】利用内角和化简，再由正弦定理角化边，联立余弦定理和已知求解可得.
【详解】，
由正弦定理角化边得，
又，所以①，
由余弦定理得②，
联立①②求解得，所以.
故选：D
2．D
【分析】在中，利用已知求出即可判断为的中点，然后可知为等腰三角形，可得，然后可得，或用余弦定理求解.
【详解】作，垂足为D，
在中，，，
所以，，，，
由可知，为的中点，为的垂直平分线，
所以为等腰三角形，，所以.
故选：D
3．A
【分析】依题意，根据求出，根据余弦定理求出，设点到边的距离为，然后根据三角形面积公式，求出答案.
【详解】
在中，由，所以，解得，.
由余弦定理有，故.
设点到边的距离为，由三角形面积公式得：，
故，
故选：A.
4．B
【分析】先利用正弦定理求出边，在△中利用正弦定理将表示为∠的函数，通过三角变换结合三角函数有界性进而求解.
【详解】在中，，，，
由正弦定理得，
所以 ，
在中，，，
设，则，且
由正弦定理得，
所以，
因为，所以当时，取得最大值.
故选：B.
5．B
【分析】在中，利用正弦定理求，进而在中求山的高度.
【详解】依题意，，，则，，
又，则，即有，，
在中，， 由正弦定理得，
且，
则，
在中，，
所以山高为米.
故选：B
6．A
【分析】由正弦定理可得，求解即可.
【详解】在中，由正弦定理可得，
所以，所以，解得.
故选：A.
7．D
【分析】由，化简得到，两边平方化简可得：，由化简即可得到答案.
【详解】
，
所以，
所以，即，
解得.
.
故选：D
8．A
【分析】延长，，分别交边，，于点，，，利用同底的两个三角形面积比推得，从而得解.
【详解】是的垂心，延长，，分别交边，，于点，，，如图，
则，，，，，
因此，，
同理，
于是得，
又
由“奔驰定理”有
即，所以，
故选：A
9．BCD
【分析】A选项，过中点作的平行线，根据平行线与的交的个数判断；B选项，建系，利用余弦定理得到各点的坐标，然后分点在上三种情况考虑；C选项，根据数量积的几何意义判断；D选项，将转化为，然后求范围即可.
【详解】
如图，过中点作的平行线与的三边有两个交点，所以时，点有两种情况，故A错；
在三角形中由余弦定理得,
解得，则，，
，
以为原点，为轴，过点垂直向上的方向为轴建系，
，，，，，，，，，
当点在上时，，
当点在上时，设，，
，
则，，，
所以当时，最大为，
当点在上时，设，，
，
则，，，
当时，最大为，
综上可得，当点在点处时最大为，故B正确；
根据数量积的几何意义可得，当点在点处时最小，
此时，故C正确；
取中点，则，
因为，所以，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：数量积的求法：
（1）公式法：；
（2）坐标法；
（3）几何意义法；
（4）转化法：将向量利用线性运算转化.
10．ABD
【分析】由诱导公式和二倍角的正弦公式可得A正确；由正弦定理结合充要条件的定义可得B正确；由正弦定理和二倍角正弦公式可得C错误；由诱导公式及正弦函数单调性可得D正确.
【详解】A：，故A正确；
B：在中，由正弦定理可得，
所以，
所以是的充要条件，故B正确；
C：在中，若，
由正弦定理可得，所以，
所以或，即或，
所以是等腰或直角三角形，故C错误；
D：在锐角中，，且，所以，
所以，故D正确；
故选：ABD.
11．ABC
【分析】A选项，根据数量积的运算律得到，然后求投影向量即可；BCD选项，根据平面向量四心的结论判断即可.
【详解】A选项，，因为为单位向量，所以，
所以在上的投影向量为，故A正确；
B选项，设中点为，则，
又，所以点三点共线，且点为射线上的动点，通过三角形的重心，故B正确；
C选项，，
因为、为定值，所以为定值，故C正确；
D选项，表示在、上的投影相等，即点到、的距离相等，所以点在角的角平分线上，
同理可得点在角的角平分线上，即点为内心，故D错.
故选：ABC.
12．ABD
【分析】根据，结合正弦定理，可求，结合，可求角.根据三角形外接圆半径满足，可判断A的真假；结合余弦定理和基本（均值）不等式，可判断B的真假；利用为锐角三角形，求出角的取值范围，利用正弦定理表示出，可求周长的取值范围，判断C的真假；根据BC的结论，结合三角形的面积、三角形周长、三角形内切圆半径之间的关系，判断D的真假.
【详解】由，结合正弦定理，可得：
.
因为在锐角三角形中，，
所以.
由，又为锐角，所以.
对A：设的外接圆半径为，由，所以，所以外接圆面积为：.故A正确.
对B：由余弦定理（当且仅当时取“”）.
所以.故B正确；
对C：因为为锐角三角形，所以，，，所以.
由正弦定理：，
所以，，
所以，
因为，所以，所以，
所以周长的取值范围为.
因为，故C错误；
对D：设内切圆半径为，则.
又， ，，
所以，
由，所以.故D正确.
故选：ABD
【点睛】思路点睛：
（1）涉及三角形周长或面积的取值范围，可将问题转化为利用基本（均值）不等式求最值或转化为三角函数求值域的问题解决.
（2）本题的关键是三角形式锐角三角形，由此确定三角形角的取值范围，是该题的一个关键点.
13．
【分析】根据正弦定理计算可得.
【详解】由正弦定理，即，解得.
故答案为：
14．
【分析】结合正弦定理可得和，即可求出、的值，从而得解.
【详解】由正弦定理可知（为外接圆的半径），
又，所以和，
即，又，所以，
所以，又，所以，
所以.
故答案为：
15．
【分析】利用正弦定理边化角，借助三角恒等变换可得，结合锐角三角形得，再利用正弦定理边化角并借助正切函数性质求出范围.
【详解】在中，由及正弦定理得，
即
而，则，而是锐角三角形，则，
于是或，
当时，，则与矛盾，
即有，则，解得，
此时，解得，，
.
故答案为：
16．
【分析】通过作出两条垂线，利用解直角三角形求出,再利用等角证明等边求出，再利用解直角三角形求出，最后可得高度.
【详解】
过点作,垂足为,过作,垂足为，
在直角中，,可得,
在直角中，,可得：,
在直角中，,可得：,
所以可得：,
,即,
所以,再由,
再由图中三个直角可知四边形是矩形，所以,
即,
故答案为：.
17．(1)
(2)或
【分析】（1）利用诱导公式求出，再由面积公式计算可得；
（2）首先求出，再由余弦定理计算可得.
【详解】（1）因为，
所以，
又，，
所以.
（2）因为，且，
所以，
当时，由余弦定理
；
当时，由余弦定理
；
综上可得或.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）运用正弦定理化边为角，整理得，再利用化简成，再利用正弦定理即可证明；
（2）由正弦定理，结合已知可得，，代入可得，借助于（1）的结论，可求得三角形面积.
【详解】（1）因为，所 以，
由正弦定理得，即，
因为，所以，
再由正弦定理可得.
（2）因为外接圆的面积为，所以外接圆的半径，
由正弦定理得，所以，
由（1）知，故，即，
因为，
所以，，
由余弦定理可得，
所以，所以，
所以的面积为.
19．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理求解三角形即可；
（2）在两个三角形中分别用正弦定理得到的表达式，作比值后化简，转化为三角函数的值域问题求解即可.
【详解】（1）在中，，，
由正弦定理得：，所以.
（2）设，则，，
在三角形中，由正弦定理得：，
所以.
在三角形中，由正弦定理得：，
所以,
所以，
即，
因为，所以，所以，
所以的取值范围为：.
20．(1)
(2)，
【分析】（1）利用正弦定理边化角可得，根据式子特点，变换，从而可以化简三角恒等式为，最后利用辅助角公式求出；
（2）设，可知用表示，，利用正弦定理可得公共边的式子，最后可得一个关于角的三角方程求解出角的大小，然后求出求出和，最后利用面积公式即可求出面积.
【详解】（1），由正弦定理边化角得：
，由三角形内角和为可得：，
即，
即，
又，
即，又，，即.
（2）设，在中，，
，，
，
在中，，，，
，
即，
，
，又，
，解得，
，
又由
，
于是.
21．(1)海里
(2)1小时
【分析】（1）结合已知图形，在中利用正弦定理转化求解的长.
（2）在中利用余弦定理求出，然后求解出该救援船到达D点所需的时间．
【详解】（1）由题意可知，，，
则，
而，
在中，，由正弦定理可得，
即，即，解得（海里）．
（2）在中，，
由余弦定理可得
，
所以，则时间为（小时），
所以该救援船到达点需要的时间为1小时.
答案第1页，共2页
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