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第五章 生活的轴对称能力提升测试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一．单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．如图，直线l与直线a，b分别相交于点A，B，点C在直线b上，若a∥b，CA＝CB，∠2＝74°，则∠1的度数为（ ）
A．74° B．37° C．32° D．16°
2．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为50°，那么这个等腰三角形的顶角等于（ ）
A．20°或70° B．40° C．140° D．40°或140°
3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点O是∠CAB、∠ACB平分线的交点，且BC＝4cm，AC＝5cm，则点O到边AB的距离为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
4．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（ ）
A．25° B．20° C．15° D．7.5°
5．如图，点P为∠AOB内一点，分别作点P关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OB于M，交OA于N，P1P2＝15，则△PMN的周长为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
6．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（ ）
A．16 B．32 C．64 D．128
7．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝10，则点P到BC的距离是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．5
8．东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，△ABC是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路AB、AC的距离相等，且使得S△ABH＝S△BCH，则凉亭H是（ ）
A．∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点
B．∠BAC的角平分线与AB边上中线的交点
C．∠ABC的角平分线与AC边上中线的交点
D．∠ABC的角平分线与BC边上中线的交点
9．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E．如果AC＝5cm，BC＝4cm，那么△DBC的周长是（ ）
A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm
10．如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则CE的长等于 ．
12．等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则该等腰三角形的底边长为 ．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是 ．
14．已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是：∠BOC＝ ．
15．如图，在△ABC中，∠B＝39°，点D是AB的垂直平分线与BC的交点，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE的度数是 ．
16．如图，点E在等边三角形ABC的边BC上，BE＝4，射线CD⊥BC，垂足为C，P是射线CD上一动点，F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝6，则AB的长为 ．
三．解答题（本题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（8分）图1是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，FD＝FE．
（1）如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是∠BAC的平分线吗？请判断并说明理由．
（2）如图3，在（1）的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ＝6，AC＝9，△ABC的面积是60，求AB的长．
18．（8分）将△ABC的顶角A沿直线DE折叠（如图），点A的对应点为点A'，记∠CDA'为∠1，∠BEA′为∠2．
（1）如图1，当点A的对应点A'落在△ABC内部时，试探求∠1，∠2与∠A的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当点A的对应点A'落在△ABC外部时，∠1，∠2与∠A又有怎样的数量关系呢？请写出猜想，并给予证明．
19．（8分）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD是BC边上的中线，点E是AB边上一动点，点P是AD上的一个动点．
（1）若∠BAD＝37°，求∠ACB的度数；
（2）若BC＝6，AD＝4，AB＝5，且CE⊥AB时，求CE的长；
（3）在（2）的条件下，请直接写出BP+EP的最小值．
20．（8分）如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．请分别在下列图中画一个位置不同、顶点都在格点上的三角形，使其与三角形ABC成轴对称图形，并用虚线标出你设计图形的所有对称轴．
21．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．
（1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；
②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．
22．（10分）直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F．
（1）如果∠AFE＝65°，求∠CDF的度数；
（2）若折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形．中小学教育资源及组卷应用平台
第五章 生活的轴对称能力提升测试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一．单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．如图，直线l与直线a，b分别相交于点A，B，点C在直线b上，若a∥b，CA＝CB，∠2＝74°，则∠1的度数为（ ）
A．74° B．37° C．32° D．16°
【答案】C
【解答】解：∵a∥b，∠2＝74°，
∴∠CBA＝∠2＝74°，
∵CA＝CB，
∴∠1＝180°﹣74°﹣74°＝32°，
故选：C．
2．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为50°，那么这个等腰三角形的顶角等于（ ）
A．20°或70° B．40° C．140° D．40°或140°
【答案】D
【解答】解：如图1，三角形是锐角三角时，∵∠ACD＝50°，
∴顶角∠A＝90°﹣50°＝40°；
如图2，三角形是钝角时，∵∠ACD＝50°，
∴顶角∠BAC＝50°+90°＝140°，
综上所述，顶角等于40°或140°．
故选：D．
3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点O是∠CAB、∠ACB平分线的交点，且BC＝4cm，AC＝5cm，则点O到边AB的距离为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】A
【解答】解：∵点O为∠CAB与∠ACB的平分线的交点，
∴点O在∠ACB的角平分线上，
∴点O到△ABC的三边的距离相等，
过O作OP⊥AB，连接OB，
S△ABC＝＝OP （AB+BC+AC），
又∵AC＝5，BC＝4，△ABC为直角三角形，∠B＝90°
∴AB＝3，
∴×3×4＝ OP（3+4+5），
解得：OP＝1．
故选：A．
4．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（ ）
A．25° B．20° C．15° D．7.5°
【答案】C
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°．
∵∠ACB＝∠CGD+∠CDG，
∴∠CGD+∠CDG＝60°．
∵CG＝CD，
∴∠CGD＝∠CDG＝30°．
∵∠CDG＝∠DFE+∠E，
∴∠DFE+∠E＝30°．
∵DF＝DE，
∴∠E＝∠DFE＝15°．
故选：C．
5．如图，点P为∠AOB内一点，分别作点P关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OB于M，交OA于N，P1P2＝15，则△PMN的周长为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
【答案】B
【解答】解：∵P点关于OB、OA的对称点为P1，P2，
∴P1M＝PM，P2N＝PN，
∴△PMN的周长＝MN+PM+PN＝MN+P1M+P2N＝P1P2，
∵P1P2＝15，
∴△PMN的周长为15．
故选：B．
6．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（ ）
A．16 B．32 C．64 D．128
【答案】C
【解答】解：∵△A1B1A2为等边三角形，
∴∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，
∴∠A1B1O＝∠B1A1A2﹣∠MON＝60°﹣30°＝30°，
∴∠A1B1O＝∠MON，
∴A1B1＝OA1，
∴A1B1＝A1A2＝OA1，
同理可得A2B2＝A2A3＝OA2＝2OA1，
∴A3B3＝A3A4＝OA3＝2OA2＝22 OA1，
A4B4＝A4A5＝OA4＝2OA3＝23 OA1，
…
∴AnBn＝AnAn+1＝2n﹣1 OA1＝2n，
∴△A6B6A7的边长：A6B6＝26＝64，
故选：C．
7．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝10，则点P到BC的距离是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．5
【答案】D
【解答】解：过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，AD⊥AB，
∴AD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD⊥AB，AD⊥CD，PE⊥BC，
∴PA＝PE＝PD，
∵AD＝10，
∴PE＝5，即点P到BC的距离是5，
故选：D．
8．东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，△ABC是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路AB、AC的距离相等，且使得S△ABH＝S△BCH，则凉亭H是（ ）
A．∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点
B．∠BAC的角平分线与AB边上中线的交点
C．∠ABC的角平分线与AC边上中线的交点
D．∠ABC的角平分线与BC边上中线的交点
【答案】A
【解答】解：如图：
∵AD平分∠BAC，点H在AD上，
∴点H到AB、AC的距离相等，
∵BE是AC边上的中线，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积，△AHE的面积＝△CHE的面积，
∴△ABE的面积﹣△AHE的面积＝△BCE的面积﹣△CHE的面积，
∴△ABH的面积＝△CBH的面积，
∴凉亭H是∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点，
故选：A．
9．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E．如果AC＝5cm，BC＝4cm，那么△DBC的周长是（ ）
A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm
【答案】C
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∵AC＝5cm，BC＝4cm，
∴△DBC的周长是：BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC＝5+4＝9（cm）．
故选：C．
10．如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
【答案】D
【解答】解：连接AD．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC AD＝×4×AD＝12，解得AD＝6cm，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短＝（BM+MD）+BD＝AD+BC＝6+×4＝6+2＝8cm．
故选：D．
二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则CE的长等于 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接AE，
∵DE为AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，
由勾股定理得BC＝4，
设CE的长为x，则BE＝AE＝4﹣x，在Rt△ACE中，
由勾股定理得：x2+32＝（4﹣x）2，
解得：x＝，
故答案为：．
12．等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则该等腰三角形的底边长为 6或4 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：当腰为6时，则底边4，此时三边满足三角形三边关系；
当底边为6时，则另两边长为5、5，此时三边满足三角形三边关系；
故答案为：6或4．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是 15 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，作DE⊥AB于E，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝3，
∴△ABD的面积＝×AB×DE＝×10×3＝15，
故答案为：15．
14．已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是：∠BOC＝ 4∠BPC﹣360° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）
＝180°﹣（ ∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠BAC）
＝90°+∠BAC，
即∠BAC＝2∠BPC﹣180°；
如图，连接AO．
∵点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB，
∴∠AOB＝180°﹣2∠OAB，∠AOC＝180°﹣2∠OAC，
∴∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠AOC）
＝360°﹣（180°﹣2∠OAB+180°﹣2∠OAC），
＝2∠OAB+2∠OAC
＝2∠BAC
＝2（2∠BPC﹣180°）
＝4∠BPC﹣360°，
故答案为：4∠BPC﹣360°．
15．如图，在△ABC中，∠B＝39°，点D是AB的垂直平分线与BC的交点，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE的度数是 24° ．
【答案】24°．
【解答】解：∵点D是AB的垂直平分线与BC的交点，
∴DA＝DB，
∴∠BAD＝∠B＝39°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝78°，∠ADB＝180°﹣∠ADC＝102°，
将△ABD沿着AD翻折得到△AED，
∴∠ADE＝∠ADB＝102°，
∴∠CDE＝∠ADE﹣∠ADC＝102°﹣78°＝24°．
故答案为：24°．
16．如图，点E在等边三角形ABC的边BC上，BE＝4，射线CD⊥BC，垂足为C，P是射线CD上一动点，F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝6，则AB的长为 8 ．
【答案】8．
【解答】解：如图所示，作点E关于CD的对称点E′，连接PE′，
∴PE＝PE′，CE＝CE′，
∴EP+FP＝PE′+PF≥E′F，
当点E′，P，F三点共线，E′F⊥AB时，EP+FP的值最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60，AB＝BC＝AC，
∵E′F⊥AB，
∴∠FE′B＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴BE′＝2BF，
∵BF＝6，BE＝4，
∴BE′＝2BF＝12，
∵CE＝CE′，
∴12＝2CE+BE＝2CE+4，
解得，CE＝4，
∴AB＝BC＝4+4＝8，
故答案为：8．
三．解答题（本题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．图1是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，FD＝FE．
（1）如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是∠BAC的平分线吗？请判断并说明理由．
（2）如图3，在（1）的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ＝6，AC＝9，△ABC的面积是60，求AB的长．
【答案】（1）AP是∠BAC的平分线，理由见解析部分；
（2）11．
【解答】解：（1）AP是∠BAC的平分线，理由如下：
在△ADF和△AEF中，
，
∴△ADF≌△AEF（SSS）．
∴∠DAF＝∠EAF，
∴AP平分∠BAC．
（2）如图，过点P作PG⊥AC于点G．
∵AP平分∠BAC，PQ⊥AB，
∴PG＝PQ＝6．
∵S△ABC＝S△ABP+S△APC＝AB PQ+AC PG，
∴AB×6+×9×6＝60．
∴AB＝11．
18．将△ABC的顶角A沿直线DE折叠（如图），点A的对应点为点A'，记∠CDA'为∠1，∠BEA′为∠2．
（1）如图1，当点A的对应点A'落在△ABC内部时，试探求∠1，∠2与∠A的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当点A的对应点A'落在△ABC外部时，∠1，∠2与∠A又有怎样的数量关系呢？请写出猜想，并给予证明．
【答案】（1）∠1+∠2＝2∠DAE，理由见解析；
（2）∠1﹣∠2＝2∠DAE，证明见解析．
【解答】解：（1）∠1+∠2＝2∠DAE，理由如下：
如图1，连接AA'，
∵∠1是△ADA'的外角，
∴∠1＝∠DAA′+∠DA′A．
同理，∠2＝∠EAA′+∠EA′A．
∴∠1+∠2＝∠DAA'+∠DA'A+∠EAA'+∠EA'A．
由折叠性质得∠DAE＝∠DA′E．
∴∠1+∠2＝2∠DAE．
（2）∠1﹣∠2＝2∠DAE，证明如下：
如图2，连接AA'，
∵∠1是△ADA'的外角，
∴∠1＝∠DAA′+∠DA′A．
同理，∠2＝∠EAA′+∠EA′A．
∴∠1＝∠DAE+∠EAA'+∠EA'A+∠DA'E．
由折叠性质得∠DAE＝∠DA′E．
∴∠1＝2∠DAE+∠2，
∴∠1﹣∠2＝2∠DAE．
19．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD是BC边上的中线，点E是AB边上一动点，点P是AD上的一个动点．
（1）若∠BAD＝37°，求∠ACB的度数；
（2）若BC＝6，AD＝4，AB＝5，且CE⊥AB时，求CE的长；
（3）在（2）的条件下，请直接写出BP+EP的最小值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∵AD是BC边上的中线，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝37°，
∴∠ABC＝53°，
∴∠ACB＝53°．
（2）∵CE⊥AB，
∴ BC AD＝ AB CE，
∵BC＝6，AD＝4，AB＝5，
∴CE＝．
（3）连接PC．
∵AD垂直平分线段BC，
∴PB＝PC．
∴PB+PE＝PE+PC≥CE，
∴PE+PB的最小值为．
20．如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．请分别在下列图中画一个位置不同、顶点都在格点上的三角形，使其与三角形ABC成轴对称图形，并用虚线标出你设计图形的所有对称轴．
【答案】作图见解析过程．
【解答】解：所求图形，如图所示．
21．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．
（1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；
②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图，点D，射线AE即为所求．
（2）∵DF垂直平分线段AB，
∴DB＝DA，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
∵∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°，
∴∠CAD＝110°﹣30°＝80°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠DAC＝40°．
22．直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F．
（1）如果∠AFE＝65°，求∠CDF的度数；
（2）若折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）根据翻折不变性可知：∠AFE＝∠DFE＝65°，
∴∠CFD＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∵∠C＝90°，
∴∠CDF＝90°﹣50°＝40°．
（2）∵△CDF中，∠C＝90°，且△CDF是等腰三角形，
∴CF＝CD，
∴∠CFD＝∠CDF＝45°，
设∠DAE＝x°，由对称性可知，AF＝FD，AE＝DE，
∴∠FDA＝∠CFD＝22.5°，∠DEB＝2x°，
分类如下：
①当DE＝DB时，∠B＝∠DEB＝2x°，
由∠CDE＝∠DEB+∠B，得45°+22.5°+x＝4x，
解得：x＝22.5°．此时∠B＝2x＝45°；
见图形（1），说明：图中AD应平分∠CAB．
②当BD＝BE时，则∠B＝（180°﹣4x）°，
由∠CDE＝∠DEB+∠B得：45°+22.5°+x＝2x+180°﹣4x，
解得x＝37.5°，此时∠B＝（180﹣4x）°＝30°．
图形（2）说明：∠CAB＝60°，∠CAD＝22.5°．
③DE＝BE时，则∠B＝（）°，
由∠CDE＝∠DEB+∠B得，45°+22.5°+x＝2x+，
此方程无解．
∴DE＝BE不成立．
综上所述∠B＝45°或30°．
