7.2复数的四则运算 同步练习（含解析）2023——2024学年高中数学人教A版（2019）必修第二册

7.2 复数的四则运算 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设复数，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知是关于复数z的方程（m，）的一根，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．已知，是两个虚数，则“，均为纯虚数”是“为实数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数的虚部是（ ）
A．1 B． C． D．
5．复数，满足，则（ ）
A． B． C． D．
6．若为纯虚数，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
7．若复数满足，则（ ）．
A．1 B． C． D．
8．复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设复数，其中是虚数单位，下列判断中正确的是（ ）
A． B．在复平面内对应的点在第一象限
C．是方程的一个根 D．若复数z满足，则最大值为2
10．已知复数，是的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A．的实部为
B．复数在复平面中对应的点在第四象限
C．
D．
11．下列说法中正确的是（ ）
A．若复数，则复数在复平面内对应的点位于第一象限
B．已知复数z满足，则
C．是关于x的方程（m，n为实数）在复数集内的一个根，则实数n的值为26
D．若复数z满足若，且，则的最小值为4
12．下列说法正确的是（ ）
A．
B．，
C．若，，则的最小值为2
D．若是关于的方程的根，则
三、填空题
13．已知，若，则 .
14．已知复数，若为纯虚数，则实数 .
15．已知复数满足，其中是虚数单位，则 ．
16．已知复数，若为纯虚数，则的虚部为 ；若在复平面内对应的点位于第四象限，则的取值范围是 ．
四、解答题
17．设复数（其中），．
(1)若是实数，求的值；
(2)若是纯虚数，求的虚部以及
18．已知复数的实部分别为，虚部分别为，其中.
(1)求的取值范围；
(2)能否为纯虚数，若能，求；若不能，请说明理由.
19．已知为虚数单位，复数．
(1)当实数取何值时，是纯虚数；
(2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数的值．
20．已知复数，，（，是虚数单位）．
(1)若在复平面内对应的点落在第一象限，求实数的取值范围；
(2)若是实系数一元二次方程的根，求实数的值；
(3)若，且是实数，求实数的值．
21．已知复数满足和均为实数．
(1)求复数；
(2)若在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．B
【分析】由复数的乘法和除法运算对选项一一判断即可得出答案.
【详解】，，
，
，故B正确；
而，故A错误；
，故C错误；
，故D错误.
故选:B.
2．C
【分析】根据一元二次方程的复数根互为共轭复数，再利用韦达定理结合复数的加法运算和乘法运算计算即可.
【详解】因为是关于复数z的方程的一根，
所以也是关于复数z的方程的一根，
则，，
所以，
所以.
故选：C.
3．A
【分析】设且,可得，如，可得结论.
【详解】若均为纯虚数，设且,
则，所以“均为纯虚数”是是实数的充分条件，
当，，
所以“均为纯虚数”是是实数的不必要条件，
综上所述：“均为纯虚数”是是实数的充分不必要条件.
故选：A.
4．C
【分析】根据复数的除法和共轭复数以及复数的虚部概念即可,
【详解】，则其共轭复数为，其虚部为，
故选：C.
5．C
【分析】利用复数乘法运算法则计算左右两边，再结合复数相等求出即可求解.
【详解】因为，
所以，
所以，，
所以，
故选：C.
6．A
【分析】由复数的乘法和除法运算化简复数，由题意可得且，解方程即可得出答案.
【详解】由题得，
因为为纯虚数．所以且，
解得．
故选：A．
7．C
【分析】根据复数的除法求出复数，然后根据模的公式求解即可
【详解】，
所以，
故选：C．
8．B
【分析】根据复数的除法运算和共轭复数定义计算即可
【详解】由题知，复数．
故选:B．
9．BCD
【分析】根据复数的运算律即可判断A选项，根据复数在复平面内的性质即可判断B选项，将代入方程即可判断C选项，先设出，根据圆的相关知识即可判断D选项.
【详解】因为，所以，故A错误；
在复平面内对应的点在第一象限，故B正确；
因为，所以，
是方程的一个根，故C正确；
设，则，
则，
所以，所以复数可看做复平面内的点，
该点在圆心为，半径的圆上，
连接原点与圆心并延长，与圆的交点即为的最大值，
此时.
故D正确.
故选：BCD.
10．ABD
【分析】先化简得到，然后用实部和共轭实数的定义判断A和B选项；由于虚数不能比较大小，故C错误；直接计算即知D正确.
【详解】我们有，故的实部为，A正确；
由知，所以在复平面中对应的点是，在第四象限，B正确；
都不是实数，它们不能比较大小，C错误；
，D正确.
故选：ABD.
11．BCD
【分析】对于A：求出复数的代数形式即可判断；对于B：求出复数的代数形式，然后求模即可；对于C：求出另一个根，然后利用韦达定理求解；对于D：利用复数的几何意义，转化为圆外的点到圆上的点的距离最小值来求解.
【详解】对于A：，则，其在复平面对应的点为，在第四象限，A错误
对于B：，
所以，B正确.
对于C：因为是关于x的方程（m，n为实数）在复数集内的一个根，则另一个根为，
则，解得，C正确.
对于D：由得复数在复平面对应的点的轨迹为以原点为圆心，为半径的圆，
表示点到点的距离，
则最小值为，D正确；
故选：BCD.
12．BCD
【分析】对于A，由的乘方的周期性解出即可；对于B，设分别求出等式两边比较即可；对于C，求出，由，求出最小值即可；对于D，由是关于x的方程的根，则也是关于x的方程的根，由根与系数的关系求出值即可.
【详解】对于A，因为，所以，故A错误；
对于B，设，则，
由，所以，故B正确；
对于C，设，则，
所以，因为，
所以当时，的最小值为2，故C正确；
对于D，是关于x的方程的根，
则也是关于x的方程的根，
故，
解得，故D正确.
故选：BCD.
13．
【分析】配方求出一元二次方程的根，得出共轭复数，由模的定义求解即可.
【详解】，
，
故答案为：
14．8
【分析】根据复数的相关概念和四则运算求解.
【详解】因为为纯虚数，
所以且，得.
故答案为：8.
15．
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，从而求出，最后求出其模.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以.
故选：
16．
【分析】先根据复数的乘方化简，再根据纯虚数的定义求出，再根据虚部的定义求解即可；根据复数的几何意义即可求出的取值范围.
【详解】，
若为纯虚数，则，解得，
所以，的虚部为，
若在复平面内对应的点位于第四象限，
则，解得，
所以的取值范围是．
故答案为：；．
17．(1)；
(2) ，
【分析】（1）根据复数的分类即可求解，由复数的乘法运算即可求解，
（2）根据纯虚数的定义即可求解即可根据模长公式求解.
【详解】（1）∵是实数，
∴，
∴；.
（2）∵是纯虚数，
∴，故，
故的虚部为 ，．
18．(1)
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）根据题意，得到，结合复数模的运算，即可求解；
（2）根据题意，利用复数的运算法则，结合复数的分类，列出方程，得到，进而的得到结论.
【详解】（1）解：由复数的实部分别为，虚部分别为，
可得，
可得，
因此的取值范围是.
（2）解：因为，
所以，
因此，且，
化简得，即，可得，
此时，故不能为纯虚数.
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用纯虚数的定义列方程组求解即可；
（2）当时，，再将其代入方程，利用复数相等列方程组，解得参数即可.
【详解】（1）若复数z是纯虚数，则，
解得， 所以得.
（2）当时，，
把代入方程，
得，
整理得，，
所以，解得.
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据复数的减法运算和几何意义建立关于a的不等式组，解之即可求解；
（2）将代入方程，根据相等复数的条件建立关于a的方程组，解之即可求解；
（3）由共轭复数的概念与运算求出a，结合复数的有关概念即可求解.
【详解】（1）∵，
则在复平面对应的点坐标为，在复平面对应的点落在第一象限，
∴，解得．
（2）∵是方程的根，
则，即，
所以，解得．
（3）因为，则．于是，
代入，得，
即是实数，
，解得．
21．(1)
(2)
【分析】（1）设，化简和，根据其为实数列方程求解即可；
（2）化简，根据其在复平面内对应的点的位置列不等式求解.
【详解】（1）设，则，
所以，
因为和均为实数，
所以，解得，
故；
（2），
因为在复平面内对应的点在第四象限，
所以，
解得或，
即实数的取值范围为.
答案第1页，共2页
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