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人教版八年级数学下册课件
第十八章 平行四边形
专题练习2 四边形的动点问题
解决动点问题时，要仔细分析给定条件中哪些量是运动的，哪些量
是不动的．针对运动的量，要分析它是如何运动的，运动过程是否需要
分段考虑，分类讨论.动点问题定点化是主要思想．比如以某个速度运动，
设出时间后即可表示该点位置．特殊平行四边形中的动点问题，还要考
虑特殊平行四边形本身的性质.
题型1 平行四边形中的动点问题
图1
1.如图1所示，在梯形中， ，
，．动点从点 出
发沿方向向点以的速度运动，动点从点
开始沿着方向向点以的速度运动．点， 分
（1）当___时，四边形 是平行四边形.
（2）当___时，四边形 是平行四边形.
6
别从点和点 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运
动．设运动时间为 .
（3）当四边形是平行四边形时，连接，若 ，求
的长.
[答案] 四边形 是平行四边形，
， ，
题型2 矩形中的动点问题
图2
2.在矩形中，，，， 是对角线
上的两个动点，分别从， 同时出发相向而行，
速度均为每秒1个单位长度，运动时间为 ，其中
.
（1）若，分别是，的中点，则四边形
一定是怎样的四边形（， 相遇时除外）？
答：____________.（直接填空，不用说明理由）
平行四边形
（2）在（1）条件下，若四边形为矩形，求 的值.
[答案] 如答图16，连接，由题意得， ，
， 四边形是矩形． ，
①如答图16，当四边形是矩形时， ，
.
答图16
②如答图17，当四边形是矩形时， ，
，， ．综上，四边形
为矩形时，或
答图17
（3）在（1）条件下，若向点运动，向点运动，且与点， 以相
同的速度同时出发，若四边形为菱形，求 的值.
答图18
[答案] 如答图18，和分别是和 的中点，连接
，，，与交于点， 四边形 为菱
形，，， ，
四边形 为菱形.
， ，
，由勾股定理可得 ，即
，解得． 当时，四边形 为菱
形
题型3 菱形中的动点问题
图3
3.如图3，在中， ，
， ，点从点 出发沿
方向以的速度向点 匀速运动，同
时点从点出发沿方向以 的速度向
点 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另
一个点也随之停止运动．设点， 运动的时间
是．过点作于点 ，
连接， .
（1）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的 值；如果不
能，请说明理由.
[答案] 能．
（2）当为何值时， 为直角三角形？请说明理由.
[答案] ①当 时，由（1）知四边形 为平行四边形，
． ， .
．又，即，解得
②当 时，四边形为矩形，中， ，
则 ，，即，解得
若 ，则与重合，与 重合，此种情况不存在.综上，
当或时， 为直角三角形
题型4 正方形中的动点问题
图4
4.如图4，已知四边形 为正方形，
，点为对角线上一动点，连接 ，
过点作，交于点，以， 为邻
边作矩形，连接 .
（1）求证：矩形 是正方形.
[答案] 如答图19所示，过作于点，过作于点 ，
答图19
四边形是正方形， ，． .
又 ， 四边形 为正方形.
四边形 是矩形，
． ．又
，在和中， ，
，，
矩形 为正方形
（2）探究： 的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，
请说明理由.
[答案] 的值为定值．理由： 矩形 为正方形，
，． 四边形 是正方形，
，．．
在 和中，，，，
是定值
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第十八章 平行四边形
18.1.2 平行四边形的判定
第2课时 平行四边形的判定
自主学习
自主导学
一组对边____________的四边形是平行四边形.
平行且相等
典例分享
图18.1-35
例 如图18.1-35，在中，点，分别是 ，
的中点.
（1）求证： .
证明 在中，，， ，
又 点，分别为， 的中点，
，
.
在和 中，
.
（2）求证：四边形 是平行四边形.
[答案] ， ，
四边形 为平行四边形.
方法感悟
利用平行四边形的判定定理来证明四边形是否是平行四边形，应该
从已知条件出发，选择合适的定理.
轻松达标
图18.1-36
1.如图18.1-36，在四边形中， ，要使
四边形 成为平行四边形，则应添加的条件是
( ) .
D
A. B.
C. D.
2.为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的夹在铁
轨之间的枕木长相等就可以了．这其中的数学道理是( ) .
D
A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B.两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C.对角线互相平分的四边形是平行四边形
D.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
图18.1-37
3.如图18.1- ，已知线段
，， 为锐角，求作：
平行四边形 ．如图18.1-
是淇淇的作图方案，其
依据是( ) .
C
A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D.对角线互相平分的四边形是平行四边形
图18.1-38
4.如图18.1-38，在四边形中， ，
．求证：四边形 是平行四边形.
以下是排乱的证明步骤：
证明步骤正确的顺序是( ) .
A
，； 四边形 是平行四边形
（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；③连接 ，
，，； .
A. B.
C. D.
图18.1-39
5.如图18.1-39，在中， ，
，将沿向右平移得到 ，
若平移距离为2，则四边形 的面积等于
( ) .
D
A.2 B.4 C.6 D.8
图18.1-40
6.小阳在单位长度为1的网格纸上画了一艘小船，
如图18.1-40所示.图中标记字母的点中，点 ，
在格点上，点，，在格线上， ，
点，关于船舷对称，则 的值
为( ) .
B
A.4 B.5 C.6 D.7
图18.1-41
7.如图18.1-41，四边形 的两条对角线相交于点
，，且， ，则四边形
的面积为____.
20
图18.1-42
8.如图18.1-42，，， 都是等边
三角形，则图中的平行四边形有___个.
2
图18.1-43
9.如图18.1-43，在中， ，
，，点在上，以 为对角线的
所有平行四边形中， 的最小值是___.
5
图18.1-44
10.如图18.1-44，在中，过点作，
是的中点，连接并延长，交于点 ，连接
， .
（1）求证：四边形 是平行四边形；
提示：证明
（2）若， ， ，求 的长.
[答案] .
提示：过点作，交于点
能力提升
图18.1-45
11.如图18.1- ，四边形
是平行四边形，延长 至
点，使得，连接 和
.
（1）求证：四边形 是平
行四边形；
[答案] 四边形是平行四边形， 延长至点 ，
，，， 四边形 是平行四边形
（2）如图18.1-，将沿直线翻折，点刚好落在线段
的中点处，延长与的延长线相交于点，并且和交于点 ，
试求线段，， 之间的数量关系.
[答案] 四边形是平行四边形，
点是线段的中点，．又 ，
．由翻折性质可得
，由（1）得四边形 是平行四边形，
，
即
中考链接
图18.1-46
12.（2022·河池）如图18.1-46，点，，，
在同一直线上，，， .
（1）求证： ；
提示：证明
（2）连接，，直接判断四边形 的形状.
[答案] 四边形 是平行四边形．理由：由（1）可知，
，．又， 四边形 是平行四边
形
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第十八章 平行四边形
18.2 特殊的平行四边形
18.2.3 正方形
自主学习
自主导学
1.正方形的定义：有一组__________的矩形叫做正方形；有一个角是
______的菱形叫做正方形.
邻边相等
直角
2.正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质：（1）正方形的四
个角都是______；（2）正方形的四条边都______；（3）正方形的两条
对角线____________________，每条对角线平分一组______；（4）正
方形是________图形.
直角
相等
相等且互相垂直平分
对角
轴对称
3.正方形的判定：（1）对角线互相______的矩形是正方形；（2）一组
邻边______的矩形是正方形；（3）对角线______的菱形是正方形；（4）
有一个角是______的菱形是正方形；（5）有一组邻边______且有一个
角是______的平行四边形是正方形；（6）对角线______且互相_______
___的四边形是正方形.
垂直
相等
相等
直角
相等
直角
相等
垂直平分
典例分享
图18.2-46
例 如图18.2-46，在 中，
，平分，过点 分别
作，，垂足分别为， .
（1）求证：四边形 为正方形；
[答案] 解 ， ,
.
又 ,
四边形 是矩形.
平分 ,
.
又 , ,
.
.
四边形 是正方形.
（2）若，，求四边形 的面积.
[答案] ,
.
,， ，
.
.
方法感悟
1.解有关正方形的问题时，要充分利用正方形的四条边都相等，四
个角都相等，对角线相等且互相垂直平分等性质．在正方形中求线段长
度和角度时，常转化到由对角线所分的等腰直角三角形中，有时要借助
等腰直角三角形、全等三角形和勾股定理综合解决问题.
2.正方形的判定方法较多，要根据已知条件来选择恰当的方法．证
明一个四边形是正方形，可以先证明它是矩形，然后证明一组邻边相等；
或者先证明它是菱形，然后证明一个角是直角.
轻松达标
1.菱形、矩形和正方形共同具有的性质是( ) .
C
A.对角线相等且互相平分 B.对角线相等且互相垂直平分
C.对角线互相平分 D.四条边都相等，四个角也都相等
2.已知四边形中， ，如果添加一个条件，即
可推出四边形是正方形，那么这个条件是（ ) ．
D
A. B. C. D.
图18.2-47
3.如图18.2-47，在正方形外侧作等边 ，
则 的度数为( ) .
A. B. C. D.
A
图18.2-48
4.如图18.2-48，正方形和正方形 中，
点在上，，，是 的中点，
那么 的长是( ) .
B
A.2.5 B. C. D.2
图18.2-49
5.如图18.2-49，在正方形中，连接，是
的中点，，是边上的两点，连接， ，并
分别延长交于点， ，则图中的全等三角形共
有( ) .
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
C
图18.2-50
6.如图18.2-50，在菱形中，对角线， 相
交于点 ，不添加任何辅助线，请添加一个条件
____________________________，使四边形
是正方形.（填一个即可）
（答案不唯一）
图18.2-51
7.如图18.2-51，平面直角坐标系中，正方形 边
长为1个单位长度，轴，且点的坐标是 ，
则点 的坐标为______.
8.如图18.2-52，边长为的正方形先向上平移 ，再向右平
移，得到正方形，此时阴影部分的面积为____ .
40
图18.2-52
图18.2-53
9.（易错题）如图18.2-53，已知平行四边形 中，
对角线，交于点，是 的延长线上一点，
且 是等边三角形.
（1）求证：四边形 是菱形.
[答案] 在中，，互相平分， 为
的中点．又 为等边三角形，
四边形 为菱形
（2）若，求证：四边形 是正方形.
[答案] 为等边三角形，，
又，．．
又 为菱形，．
四边形 为正方形
能力提升
10.菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的
接近程度称为菱形或矩形的“接近度”.
（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为 ， ，若我们将菱形的
“接近度”定义为，于是 越小，菱形就越接近正方形.
①当菱形的一个内角为 时，“接近度” ____；
②当菱形的“接近度” ___时，菱形就是正方形.
30
0
（2）若我们将菱形的“接近度”定义为 ，则：
①当菱形的一个内角为 时，“接近度” __；
②当菱形的“接近度” ___时，菱形就是正方形.
1
（3）小军同学仿照菱形的“接近度”的定义，给出了如下矩形的“接近度”
的定义：设矩形相邻两条边长分别是和 ，将矩形的“接近度”
定义为，于是 越小，矩形越接近于正方形.你认为他的定义________.
（填“合理”或“不合理”）
不合理
中考链接
图18.2-54
11.（2023·广东）综合与实践.
主题：制作无盖正方体纸盒.
素材：一张正方形纸板.
步骤1：如图18.2- ，将正
方形纸板的边长三等分，画出九个
相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图18.2- ，把剪好的纸板折成无盖正方体纸盒.
猜想与证明：
（1）直接写出纸板上与纸盒上 的大小关系.
[答案]
（2）证明（1）中你发现的结论.
[答案] 为正方形对角线，．连接 （图略），
设每个方格的边长为1，则 ，
．， 是等腰直角三
角形．．
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第十八章 平行四边形
18.1.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定（1）
自主学习
自主导学
1.__________分别相等的四边形是平行四边形.
2.__________分别相等的四边形是平行四边形.
3.________互相平分的四边形是平行四边形.
两组对边
两组对角
对角线
典例分享
图18.1-24
例 如图18.1-24，在中，对角线上有 ，
两点，
且，求证:四边形 是平行四边形.
证明 连接交于点 .
在中，，交于点 ，
， .
又 ，
，即 .
又 ，
四边形 是平行四边形.
方法感悟
要证明一个四边形是平行四边形，需要得到一些边、角和对角线的等
量关系，此时可以利用三角形的全等和平行线的性质等得到这些等量关系.
轻松达标
1.（易错题）下面给出四边形中，，， 的度数比，其
中能判断:该四边形为平行四边形的是( ) .
B
A. B. C. D.
2.如图18.1-25，在四边形中，对角线和相交于点 ，下列条
件不能判断四边形 是平行四边形的是( ) .
C
图18.1-25
A.， B.，
C.， D.，
3.如图18.1-26，在四边形中， ，若添加一个条件，使四边
形 为平行四边形，则下列正确的是( ) .
D
图18.1-26
A. B.
C. D.
图18.1-27
4.如图18.1-27，在平面直角坐标系中，点，， 的
坐标分别是，， ，再找一点
，使它与点，， 构成的四边形是平行四边形，
则点 的坐标不可能是( ) .
D
A. B. C. D.
图18.1-28
5.如图18.1-28，某校区内有甲、
乙两块大小一样的长方形地块，
地块长，宽 ，现要在
长方形地块内分别修筑如图所示
的两条平行四边形小路
（图中阴影部分），余下的部分
C
A. B. C. D.无法确定
绿化.现已知， ，记甲、乙地块的绿化面
积分别为，，则， 的大小关系是( ) .
图18.1-29
6.如图18.1-29，将 向右平移4个单位长度，得
到，连接，， ，则图中有___个平行
四边形.
3
7.以不共线的三点为顶点，再确定一个点画平行四边形，可以画出___
个平行四边形.
3
8.如图18.1-30，在四边形中，，交于点 .
图18.1-30
（1）若,,那么当___ ，
___时，四边形 为平行四边形.
8
4
（2）若，，那么当 ___
，___时，四边形 为平行四边形.
5
4
图18.1-31
9.如图18.1-31，四边形的对角线， 相交
于点，，过点且与， 分别相交
于点，， .
（1）求证:四边形 是平行四边形；
提示:证明，再证明
（2）连接，若，的周长是15，求四边形 的周长.
[答案] 30
能力提升
10.阅读下列材料，并完成相应的学习任务.
施泰纳-雷米欧斯定理
对于命题“等腰三角形的两个底角的平分线相等”，利用全等三角形
的知识很容易获得证明，1840年德国数学家雷米欧斯 在给
斯图姆 的信中提出了它的逆命题“如果三角形中两内角平分线
相等，三角形必为等腰三角形”，并要求给出这一命题的几何证明.后来
瑞士数学家施泰纳 给出了证明，因此把这一定理叫做施泰纳-
雷米欧斯定理.
下面给出该定理的一种证明方法（不完整）.
如图18.1-32，在中，，分别是， 的平分线，
且 .
求证: .
证明:如图18.1-33，作，取，连接 ，且使
点，在的两侧，过点作，垂足为，过点作 ，
交的延长线于点 .
，
.
， .
，， ，
.
（依据1）， ，
.
.
.
（依据2）.
学习任务:
（1）分别写出上述证明过程中的“依据1”和“依据2”.
依据1:______________________________________________.
依据2:_______________________________________________________
_____.
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
或角角边或两角及其中一角的对边分别相等的两个三角形全等
（2）在上面证明过程的基础上，求证:四边形 是平行四边形.
[答案] 连接（图略）．由材料可知，， ，
，．又 ，，
.
又， 四边形 是平行四边形
（3）请结合材料和（2）中的证明过程，完成该定理的证明.
[答案] 由（2）可知，四边形是平行四边形， ．
由材料可知，，
中考链接
图18.1-34
11.（2022· 贺州）如图18.1-34，在平行四边形
中，点，分别在， 上，且
，连接，，，，且 与
相交于点 .
求证:四边形 是平行四边形.
提示:证明
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第十八章 平行四边形
18.1.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形的边角特征
自主学习
自主导学
1.平行四边形的定义：两组______分别平行的四边形叫做平行四边形.
对边
2.平行四边形边、角的性质：
（1）平行四边形的对边____________；
（2）平行四边形的对角______，邻角______.
平行且相等
相等
互补
3.如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都
______.两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的______，
叫做这两条平行线之间的距离.
相等
距离
典例分享
[解析] 解 已知平行四边形的周长和一边长，可以利用平行四边形对边
相等，求解另外三边.已知平行四边形中一个角的度数，可以利用平行
四边形对角相等、邻角互补求其他三个角.故答案为：（1）, ,
（2）
例（1）用一根长的绳子围成一个平行四边形的场地，一条边 的长
为 ，另外三边的长分别为_______________.
（2）在中, ,则______,____, ______.
,,
方法感悟
1.利用平行四边形的性质可以在知道周长和一边长时求另外三边长，
也可以解决知道一个内角求另外三个内角的问题.解答此类问题时，注
意分清对边、对角、邻边、邻角.
2.当题目中平行线和角平分线同时出现时，极有可能出现等腰三角形.
轻松达标
1.如图18.1-1，在中， ，则 ( ) .
D
图18.1-1
A. B. C. D.
图18.1-2
2.如图18.1-2，在中，过点作 ，交
的延长线于点，若 ，则 的度
数为( ) .
B
A. B. C. D.
3.如图18.1-3，在中， ，则 的度数是
( ) .
C
图18.1-3
A. B. C. D.
4.在中，若，则 的度数为( ) .
C
A. B. C. D.
5.已知为的边上一点，若，则 等于
( ) .
C
A. B. C. D.
图18.1-4
6.如图18.1-4，在中，， ，
的平分线交于点，则 的长是( ) .
A
A.5 B.6 C.7.5 D.10
图18.1-5
7.如图18.1-5，在中，于点 ，
于点，则直线与 间的距离是线段____
的长度.（填图中已有线段）
8.已知平行四边形的两邻边长度之比为，周长为 ，则这个平行
四边形较长的边为____ .
10
图18.1-6
9.如图18.1-6,在中，，， 与
相交于点 ，那么图中共有___个平行四边形.
9
图18.1-7
10.如图18.1-7，在中，点是 上的一
点，在线段上，且 .
（1）若 ， ，求
的大小；
[答案]
（2）若，求证： .
[答案] 四边形是平行四边形，， ，
，
， ，
．又，
能力提升
图18.1-8
11.图18.1-、图18.1- 分别
是 的网格，网格中每个小
正方形的边长均为1，每个网格中
画有一个平行四边形，请分别在
图18.1-、图18.1- 中各画
一条线段，各图均满足以下要求：
（1）线段的一个端点为平行四边形的顶点，另一个端点在平行四边形
一边的格点上（每个小正方形的顶点均为格点）；
（2）将平行四边形分割成两个图形，都要求其中一个是轴对称图形，
图18.1-、图18.1- 的分法不相同.
[答案] 如答图5，答图6所示
答图5
答图6
中考链接
图18.1-9
12.（2023·通辽）如图18.1-9，用平移方法说明平行四
边形的面积公式时，若平移到 ，
，，则 的平移距离为( ) .
B
A.3 B.4 C.5 D.12
图18.1-10
13.（2023·株洲）如图18.1-10所示，在平行四边形
中，，，的平分线 交线
段于点，则 ___.
2
图18.1-11
14.（2023·凉山州）如图18.1-11，的顶点 ，
，的坐标分别是，，，则顶点 的
坐标是______.
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第十八章 平行四边形
18.2.1 矩形
第1课时 矩形的定义和性质
自主学习
自主导学
1.矩形的定义：________________的平行四边形叫做矩形.
2.矩形的性质：矩形的对边____________；矩形的四个角都是______；
矩形的对角线______且__________；矩形是________图形.
3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的______.
有一个角是直角
平行且相等
直角
相等
互相平分
轴对称
一半
典例分享
例 如图18.2-1，在矩形中，对角线和相交于点， 平分
交于点，且 .
图18.2-1
（1）求证： 为等边三角形；
[答案] 解 四边形 是矩形，
，，， ，
.
平分 ，
，
又 ，
.
是等边三角形.
（2）求 的度数.
[答案] 是等边三角形，
， .
.
由（1）得 ，
.
.
.
.
.
方法感悟
矩形的每条对角线把矩形分成两个直角三角形，矩形的两条对角线
将矩形分成四个等腰三角形，因此，有关矩形的计算问题经常转化到直
角三角形和等腰三角形中去解决.
轻松达标
1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( ) .
A
A.对角线相等 B.对边相等
C.对角相等 D.对角线互相平分
2.如图18.2-2，在中， ，，是 边上的
中线，则 的长是( ) .
B
图18.2-2
A.1
B.2
C.4
D.8
3.如图18.2-3，在矩形中，对角线，交于点 .若
，，则 的长为( ) .
图18.2-3
B
A.3 B.4 C. D.5
4.如图18.2-4，在矩形中，点在上，且平分 ，
， ，则 的长为( ) .
图18.2-4
A
A. B. C. D.
5.如图18.2-5，矩形的顶点的坐标为，则 的长为( ) .
D
图18.2-5
A.4 B. C.5 D.
6.如图18.2-6，一架梯子斜靠在竖直墙上，点为梯子 的中点，当
梯子底端向左水平滑动到位置时，滑动过程中 的变化规律是
( ) .
C
图18.2-6
A.变小
B.变大
C.不变
D.先变小再变大
7.如图18.2-7，在中，为边上一点，以为边作矩形 .
若 ， ，则____ .
图18.2-7
65
图18.2-8
8.如图18.2-8，在中， ，
，是的中点，则____ .
36
9.如图18.2-9，在矩形中，对角线与相交于点， 垂直且
平分线段，垂足为点，，则的长为___ .
图18.2-9
6
10.如图18.2-10，在矩形中，对角线，相交于点 ，分别过
点，作于点，于点，连接， .
图18.2-10
（1）求证：四边形 是平行四边形.
提示：证明
（2）若，，求 的长.
[答案]
能力提升
11.如图18.2-11，在四边形中，， ，
，．点从点出发，以的速度向点 运动；
点从点出发，以的速度向点 运动．规定其中一个点到达终点
时，另一点也随之停止运动，设点运动的时间为．若， 两点同时
出发.
图18.2-11
（1）当四边形为矩形时，求 的值.
[答案] ，．由题意得， ，
，． 四边形 为矩形，
，解得
（2）若，求 的值.
[答案] 如答图11所示，作于点，作于点 ，则四边
形为矩形，四边形 为矩形，
， ，．又 ，
.
，
，解得．
答图11
如答图12所示，作于点 ，作于点，
同理可证 ，．
.
，解得．
综上所述，的值为或
答图12
中考链接
12.（2023·兰州）如图18.2-12，在矩形中，点为 延长线上一
点，为的中点，以为圆心，长为半径的圆弧过与 的交点
，连接．若，，则 ( ) .
C
图18.2-12
A.2
B.2.5
C.3
D.3.5
13.（2023·呼和浩特）如图18.2-13，矩形中，对角线 的垂直平
分线分别交，于点，.若，，则 的长为
( ) .
A
图18.2-13
A. B.3 C. D.
14.（2023·十堰）如图18.2-14，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架
，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断错误的
是( ) .
C
图18.2-14
A.四边形 由矩形变为平行四边形
B.对角线 的长度减小
C.四边形 的面积不变
D.四边形 的周长不变
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第十八章 平行四边形
18.2.2 菱形
第2课时 菱形的判定
自主学习
自主导学
1.有一组__________的平行四边形是菱形.
2.对角线互相______的平行四边形是菱形.
3.________相等的四边形是菱形.
邻边相等
垂直
四条边
典例分享
图18.2-38
例 如图18.2-38，在四边形中，，
平分，交于点 .
（1）求证：四边形 是菱形.
[答案]解 ， ，
四边形 为平行四边形.
.
又平分 ，
.
.
.
为菱形.
（2）若点是的中点，试判断 的形状，并说明理由.
[答案] 为直角三角形．理由如下：
连接交于点 ,
四边形 是菱形，，， .
又为 的中点，为 的中位线． .
， .
． 为直角三角形.
方法感悟
1.牢记菱形的判定定理，根据已知条件选择合适的判定方法是解题
的关键.
2.由于菱形的对角线互相垂直且平分，因此菱形的这一重要性质常
用于证明两条直线垂直、两条直线平行、线段的垂直平分以及三角形的
中位线等问题.
轻松达标
1.下列说法正确的是( ) .
C
A.有一组邻边相等的四边形是菱形
B.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
C.四条边相等的四边形是菱形
D.有一组对边相等的平行四边形是菱形
图18.2-39
2.如图18.2-39，以为圆心， 长为半径画弧别
交，于，两点，再分别以为， 为圆
心，以长为半径画弧，两弧交于点 ，分别
连接，，则四边形 一定是( ) .
B
A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
图18.2-40
3.如图18.2-40，四边形内有一点 ，
， ，若
，则 的大小是( ) .
B
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是 ，
，，，则四边形 是( ) .
B
A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.平行四边形
图18.2-41
5.如图18.2-41，在菱形中，，，， 分别
是菱形四边的中点，连接与交于点 ，则图中
的菱形共有( ) .
B
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
图18.2-42
6.如图18.2-42，在中，平分 ，
交于点，交于点 ，若
，则四边形 的周长是( ) .
A
A.24 B.28 C.32 D.36
7.在中，对角线，交于点，若， ，
，则 是______.
8.连接矩形各边中点所成的图形是______.
菱形
菱形
9.在四边形中，对角线，交于点.从（1） ，（2）
，（3），（4），（5），（6）
平分这六个条件中，选取三个推出四边形 为菱形.如
四边形 为菱形，再写出两个符合的条件：_________
_______________ 四边形是菱形；__________ 四边形
是菱形.
答案不唯一，如
图18.2-43
10.如图18.2-43，两张等宽的矩形纸条交叉重叠在一
起，重叠部分 是菱形吗？为什么？若已知纸条
宽为1，量得，则四边形 的面积是多少？
[答案] 是菱形，理由略．面积是
能力提升
图18.2-44
11.如图18.2-44，在四边形中， ，
，， ，
，动点从点出发，以 的速度向
终点运动，同时动点从点出发，以 的速
（1）用含的式子表示 .
[答案]
度沿折线向终点 运动，其中一个动点到达终点时，另一个动
点也随之停止运动，设运动时间为 .
（2）当为何值时，直线把四边形 分成两个部分，且其中的一
部分是平行四边形？
答图13
[答案] 如答图13，
过点作于点，， ，
四边形是矩形． ，
． ，
． 在 中，根据勾股定理可得
，则在 上运动时间为
，
运动时间最长为，
时，在边上，此时，直线把四边形 分成两
个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况：①四边形
是平行四边形，如答图14所示．即， 只需
即可，由（1）知．
以沿折线向终点运动，
运动时间为时，．
，解得 .
答图14
②四边形是平行四边形，如答图15所示．同理，，
只需，四边形是平行四边形，由（1）知 ，
，，解得 ．
综上，当或时，直线把四边形 分成两个部分，
且其中的一部分是平行四边形
答图15
（3）只改变点的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形 为菱
形，则点 的运动速度应为多少？
[答案] 设的速度为，由（2）可知在 边上，此时四边形
可为菱形．， 只需满足 即可．由（1）
知，由（2）知， ，
，．解得，． 当点 的速
度为时，可使四边形 为菱形
中考链接
图18.2-45
12.（2022·舟山）小惠自编一题：“如图18.2-45，在
四边形中，对角线，交于点 ，
，．求证：四边形 是菱形．”
并将自己的证明过程与同学小洁交流.
小惠： 证明： ， ， 垂直平分 . ， ， 四边形 是菱形. 小洁：
这个题目还缺少条
件，需要补充一个条
件才能证明.
若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“ ”；若赞成小洁的说法，
请你补充一个条件，并证明.
[答案] 赞成小洁的说法，补充条件：．
证明： ，， 四边形是平行四边形．
又， 平行四边形 是菱形
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第十八章 平行四边形
18.1.1 平行四边形的性质
第2课时 平行四边形的对角线性质
自主学习
自主导学
平行四边形的对角线__________.
互相平分
典例分享
图18.1-12
例 如图18.1-12，已知的周长是28，与
交于点，的周长比 的周长长4，则
___， ___.
9
5
[解析] 解的周长， 的周长
，，．又 的
周长比的周长长4，，而 ，
， ．故答案为：9 5
方法感悟
1.平行四边形的对角线互相平分，再结合中线的性质，可发现这两
条对角线将平行四边形分成了两组全等三角形，且这四个三角形的面积
相等.
2.当问题中出现面积差或者周长差时，可寻找被比较的两个图形的
面积和周长相关量的关系，注意相等的边的转换.
轻松达标
1.平行四边形不具有的性质是( ) .
D
A.对边平行 B.对边相等
C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直
图18.1-13
2.如图18.1-13，如果的对角线， 相交
于点 ，那么图中的全等三角形有( ) .
D
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
3.如图18.1-14，平行四边形的两条对角线将平行四边形的面积分成四部
分，分别记作，，， ，下列关系式成立的是( ) .
B
图18.1-14
A. B.
C. D.
图18.1-15
4.如图18.1-15，在中，对角线， 相交
于点，将平移至 的位置，则图中与
相等的其他线段有( ) .
B
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
5.在中，，交于点 ，下列结论正确的个数有( ) .
；； ；
.
C
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
图18.1-16
6.如图18.1-16，在中，对角线， 交于
点， ，若，，则 的
长为( ) .
A
A.10 B.12 C. D.
7.平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则它的另一条对角线长
的取值范围为____________.
图18.1-17
8.如图18.1-17，在中，对角线 ，
，，则 ____.
13
图18.1-18
9.如图18.1-18，的对角线相交于点 ，且
，过点作交于点．若 的
周长为，则的周长为____ .
16
图18.1-19
10.如图18.1-19，，是的对角线 上的两
点，且，，连接， .
（1）求证： .
提示：证明
（2）连接交于点，若，，求 的长.
[答案]
能力提升
图18.1-20
11.探究：如图18.1-，在
中，，相交于点，过点 的直线
交于点，交于点 .
（1）求证： .
提示：证明
（2）直线是否将 的面积二等分？若是，请说明理由.
[答案] 直线将的面积二等分．理由： 四边形 是平行四边形，，， ．由（1）可知，，同理得， ，
， .
直线将 的面积二等分
（3）应用：张大爷家有一块平行四边形的菜园，园中有一口水井 ，如
图18.1- 所示，张大爷计划把菜园平均分成面积相等的两块，分别
种植西红柿和茄子，且使两块地共用这口水井，即两块地的分割线经过
点 ，请你作图帮助张大爷把地分开.
[答案] 如答图7所示
答图7
中考链接
12.（2023·成都）如图18.1-21，在中，对角线与 相交于点
，则下列结论一定正确的是( ) .
B
图18.1-21
A. B.
C. D.
图18.1-22
13.（2023·福建）如图18.1-22，在中， 为
的中点，过点且分别交，于点， .若
，则 的长为____.
10
图18.1-23
14.（2022·广州）如图18.1-23，在 中，
，对角线与相交于点 ，
，则 的周长为____.
21
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第十八章 平行四边形
18.2.2 菱形
（2课时）
第1课时 菱形的定义和性质
自主学习
自主导学
1.菱形的定义：有一组__________的平行四边形叫做菱形.
2.菱形的性质：菱形的四条边都______，菱形的两条对角线__________，
并且每一条对角线______一组对角.
3.菱形的面积 对角线乘积的______.
邻边相等
相等
互相垂直
平分
一半
典例分享
图18.2-25
例 如图18.2-25，在菱形中，，分别是 ，
上的点，且 .
（1）求证： .
证明 在菱形中， ，
，
，
.
.
（2）若 ，点，分别为，的中点，求证： 为等
边三角形.
[答案] 连接 四边形是菱形， ，
为等边三角形， .
又 点是 的中点，
.
，同理 .
.
由（1）得 ，
为等边三角形.
方法感悟
菱形与一般平行四边形不同的是，菱形四条边都相等、对角线互相
垂直且每条对角线平分一组对角，可以利用对角线长度乘积的一半来计
算面积.特别地，当菱形的一个内角为 时，连接其中一条对角线，可
将其分成两个等边三角形.
轻松达标
1.菱形不具有的性质是( ) .
B
A.对角线互相平分 B.对角线相等
C.对角线互相垂直 D.每一条对角线平分一组内角
图18.2-26
2.如图18.2-26，在菱形中，是的中点，
是的中点，若，则 的长为( ) .
D
A. B. C. D.
3.如图18.2-27，在菱形中， ，则 的度数是
( ) .
C
图18.2-27
A. B. C. D.
图18.2-28
4.菱形 在平面直角坐标系中的位置如图18.2-28
所示，点的坐标是，点的纵坐标为1，则点
的坐标是( ) .
A. B. C. D.
B
图18.2-29
5.如图18.2-29，菱形的对角线， 相交
于点，过点作于点，连接 ，若
，，则 的长为( ) .
A
A.3 B.4 C.4.8 D.5
6.菱形的周长为16，两邻角度数比为 ，此菱形的面积为( ) .
B
A. B. C. D.
图18.2-30
7.如图18.2-30，在菱形中，对角线与 相
交于点，若，，则 的长
为___ .
4
图18.2-31
8.如图18.2-31，菱形 的对角线的长分别为12和1
5，是对角线上任一点（点不与点， 重合），
且交于点，交于点 ，那么
阴影部分的面积是____.
45
图18.2-32
9.如图18.2-32，在菱形中， ，
，垂足分别为点， .若
，则 ____.
图18.2-33
10.如图18.2-33，在菱形中， ，
于点，交于点，于点 ，
.
（1）求的度数以及 的长；
[答案] ，
（2）求菱形 的面积.
[答案]
能力提升
图18.2-34
11.如图18.2-34，将矩形沿对角线折叠，点
的对应点为点，与交于点，过点 作
交于点 .
（1）小明和小白为四边形 是什么特殊四边形发生了争议，小明说
四边形是菱形，小白说四边形 不是菱形，只是平行四边形.
请你指出谁的说法是正确的，并说明理由.
[答案] 小明的说法是正确的．理由： 四边形是矩形， .
又， 四边形是平行四边形． ，
．由折叠得 ，
四边形 是菱形
（2）若 ，求 的度数.
[答案]
中考链接
12.（2022·河池）如图18.2-35，在菱形中，对角线， 相交于
点 ，下列结论中错误的是( ) .
C
图18.2-35
A. B.
C. D.
图18.2-36
13.（2023·大庆）将两个完全相同的菱形按图18.2-36
方式放置，若 ， ，则
( ) .
D
A. B. C. D.
图18.2-37
14.（2023·河北）如图18.2-37，直线 ，菱
形和等边在，之间，点， 分
别在，上，点，，， 在同一直线上.若
， ，则 ( ) .
C
A. B. C. D.
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第十八章 平行四边形
知识梳理、真题剖析
单元练习
知识梳理
平 行 四 边 形 平 行 四 边 形 1.平行四边形的定义：两组__________________的四边形.
2.平行四边形的性质：平行四边形对边____________，对角
____________，邻角____________，对角线____________.注意
平行四边形有关线段之间的长度和位置关系，角之间的数量关
系.
平 行 四 边 形 平 行 四 边 形 3.平行四边形的判定：
（1）两组对边分别____________的四边形是平行四边形.
（2）两组对角分别____________的四边形是平行四边形.
（3）对角线____________的四边形是平行四边形.
（4）一组对边平行且相等的四边形是________________.
4.三角形中位线的定义：连接三角形__________中点的线段.
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的______
______，并且等于__________的一半.
注意三角形中位线与第三边的对应性以及数量和位置关系.
续表
平 行 四 边 形 矩 形 1.矩形的定义：有一个角是__________的平行四边形是矩形.
2.矩形的性质：矩形的__________平行且相等，__________个
角都是直角，对角线____________；矩形是__________对称图
形.
3.矩形的判定：
（1）有__________个角是直角的平行四边形是矩形.
（2）对角线相等的________________是矩形.
（3）有____________个角是直角的四边形是矩形.
续表
平 行 四 边 形 菱 形 1.菱形的定义：有一组邻边__________的平行四边形是菱形.
2.菱形的性质：菱形的四条边都__________，两条对角线互相_
_________，并且每一条对角线平分______________；菱形是_
_________图形.
3.菱形的判定：
（1）有一组邻边______________的平行四边形是菱形.
（2）____________互相垂直的平行四边形是菱形.
（3）四条边__________的四边形是菱形.
续表
平 行 四 边 形 正 方 形 1.正方形的定义：有一组邻边相等的______________；有_____
___个角是直角的菱形.
2.正方形的性质：具有菱形和矩形的一切性质（边、角、对角
线）.
3.正方形的判定：可先证明一个四边形是矩形，再证明其
是菱形，也可调换证明顺序.
续表
真题剖析
考点1 平行四边形的性质与判定
图1
例1 （2020·玉林）已知：点，分别是的边 ，
的中点，如图1所示.
求证：，且 .
证明：延长到点，使，连接， ，
，又，则四边形 是平行四边形.以下是排
序错误的证明过程：
//；.即； 四边形 是平行四
边形；，且 .则正确的证明顺序应是( ) .
A. B.
C. D.
A
[解析] 延长到点，使，连接，， ，
点，分别是的边， 的中点，
， .
四边形 是平行四边形.
.即 .
四边形 是平行四边形.
.
，且 .
正确的证明顺序是 .
故选A.
考点1 变式
（2021·河北）如图2，中，， 为锐
角.要在对角线上找点，，使四边形 为平行四
边形，现有图3中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案
( ) .
A
A.甲、乙、丙都是 B.只有甲、乙才是
C.只有甲、丙才是 D.只有乙、丙才是
考点2 三角形中位线定理的应用
例2 （2022·毕节）如图4（a），在四边形中，和 相交于点
，， .
图4
（1）求证：四边形 是平行四边形.
[解析] ， .
在与中，
.
.
四边形 是平行四边形.
（2）如图4（b），，，分别是，，的中点，连接 ，
，，若，，，求 的周长.
图5
[解析] 如图5，连接， 四边形 是平行四边
形，，， ，
， ，
是 的中点.
，．在 中，
，是 的中点，
，
分别是、 的中点，
是的中位线．
， ，
四边形是平行四边形．
的周长
的周长为24.
考点2 变式
（2022·德阳）如图6，在四边形中，点，，，分别是 ，
，， 边上的中点，则下列结论一定正确的是( ) .
C
图6
A.四边形 是矩形
B.四边形的内角和小于四边形 的内角和
C.四边形的周长等于四边形 的对角线
长度之和
D.四边形的面积等于四边形 的面积的
单元练习
一、选择题
图1
1.如图1，在中，点，分别是， 的中点，
， ，则 的度数为( ) .
B
A. B. C. D.
2.在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，是轴对称图形的有( ) .
C
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.已知菱形的两条对角线长分别是4和8，则菱形的面积是( ) .
C
A.32 B.64 C.16 D.8
图2
4.如图2，下列能判定四边形 为平行四边形的条件
是( ) .
C
A.， B.，
C.， D.，
5.添加下列一个条件，能使矩形 成为正方形的是( ) .
B
A. B. C. D.
6.观察图3中的三个平行四边形，你认为说法正确的是( ) .
C
图3
A.它们形状相同，面积相等 B.它们形状相同，面积不相等
C.它们形状不相同，面积相等 D.它们形状不相同，面积不相等
7.如图4，在中，对角线，相交于点，如果 ，
，，则 的取值范围是( ) .
图4
A
A. B. C. D.
8.如图5，在菱形中， ，的垂直平分线 交对角
线于点，为垂足，连接，则 等于( ) .
D
图5
A.
B.
C.
D.
图6
9.如图6，点，为定点，定直线，是 上一
动点，，分别为， 的中点，有下列各值：
①线段的长；的周长； 的
面积；④直线，之间的距离； 的大
小.其中会随点 的移动而变化的是( ) .
B
A.②③ B.②⑤ C.①③④ D.④⑤
图7
10.如图7，矩形的边长， ，将矩形
沿折叠，使点与点重合，则折痕 的长是
( ) .
A
A.7.5 B.6 C.10 D.5
二、填空题
11.在中， ，则______， ____.
12.平行四边形的周长为，相邻两边长的比为 ，那么这个平行
四边形较短的边长为___ .
13.矩形的两条对角线的夹角为 ，较短的边长为 ，则对角线长
为____ .
3
24
14.如图8，在正方形中，延长到点，使，则
______.
图8
15.如图9，在中， ，为的中点， 垂直平分
，则 ____.
图9
图10
16.如图10，四边形的面积为 ，顺次连接
各边中点得到四边形 ，再顺次连接
四边形各边中点得到四边形 ，
重复同样的方法直到得到四边形 ，则四
边形 的面积为___.
三、解答题
17.请在图11中用三种不同的方法把平行四边形的面积四等分.
（在所给的图形中，画出你的设计方案，画图工具不限）
图11
[答案] 答案不唯一
图12
18.如图12，在矩形中，与 交于点
，于点，于点 .求证：
.
提示：证明
图13
19.如图13，在四边形中，对角线 与
交于点，已知， ，过点
作，分别交，于点， ，连
接，， .
（1）求证：四边形 是菱形.
[答案] ，， 四边形 为平行四边形.
．
在和中， ，， ，
， 四边形 是平行四边形．
， 四边形 是菱形
（2）若，，，求 的长.
[答案] 过点作于点（图略）， ，
． 在 中，
， ，
，解得，
.
四边形是菱形，． 是等边三角
形．，，
， .
在中，， ，根据勾股定理得，
．在中， ，
20.【操作示例】
对于边长为的两个正方形和 ，按
图14所示的方式摆放，在沿虚线， 剪开后，
可以按图中所示的移动方式拼接为图14中的四边形
.
从拼接的过程容易得到结论：
①四边形 是正方形；
.
【实践与探究】
（1）对于边长分别为，的两个正方形和 ，按图15
所示的方式摆放，连接，过点作，交于点，过点
作，过点作，与相交于点 .
①证明四边形是正方形，并用含，的代数式表示正方形
的面积；
[答案] 由作图的过程可知四边形是矩形．在与
中，， ．又
， 四边形
是正方形．， 正方形 的面
积为
②在图15中，将正方形和正方形 沿虚线剪开后，能够拼接为
正方形 ，请简略说明你的拼接方法（类比图14，用数字表示对应
的图形）.
答图20
[答案] 过点作，垂足为 ，如答图20．可
以证明图中6与5位置的两个三角形全等，4与3位置
的两个三角形全等，2与1位置的两个三角形也全等.
所以将6放到5的位置，4放到3的位置，2放到1的位
置，恰好拼接为正方形
（2）对于是大于2的自然数 个任意的正方形，能否通过若干次拼接，
将其拼接成为一个正方形？请简要说明你的理由.
[答案] 能．理由：由上述的拼接过程可以看出，对于任意的两个正方形
都可以拼接为一个正方形，而拼接出的这个正方形可以与第三个正方形
再拼接为一个正方形，依此类推．由此可知：对于是大于2的自然数
个任意的正方形，可以通过 次拼接，得到一个正方形
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第十八章 平行四边形
18.2.1 矩形
第2课时 矩形的判定
自主学习
自主导学
1.有一个角是______的平行四边形是矩形.
2.____________的平行四边形是矩形.
3.有______________的四边形是矩形.
直角
对角线相等
三个角是直角
典例分享
图18.2-15
例 如图18.2-15，在平行四边形中， 为
的中点，连接并延长交 的延长线于点
.
（1）求证： .
[答案] 解在平行四边形中， ，
.
又为 的中点，
.
在和 中，
.
.
（2）当与满足什么数量关系时，四边形 为矩形？说明理由.
[答案] 当时，四边形 为矩形.
， ，
四边形 为平行四边形.
当时， 为矩形.
方法感悟
矩形的判定方法要根据实际情况灵活选择，如果已知条件给出的是
线段相等，就可以优先考虑证明四边形是平行四边形，再证明对角线相
等；如果已知条件是直角，那么可以考虑证明三个角是直角，或先证明
有一个角是直角，再证明四边形是平行四边形.
轻松达标
1.下列说法正确的是( ) .
D
A.有一组对角是直角的四边形一定是矩形
B.有一组邻角是直角的四边形一定是矩形
C.对角线互相平分的四边形是矩形
D.对角互补的平行四边形是矩形
2.如图18.2-16，要使平行四边形 成为矩形，需要添加的条件是
( ) .
图18.2-16
B
A. B.
C. D.
3.如图18.2-17，在中，对角线，相交于点， ，若
要使平行四边形为矩形，则 的长度为( ) .
B
图18.2-17
A.4
B.3
C.2
D.1
4.如图18.2-18，要使 成为矩形，需添加的条件是( ) .
图18.2-18
B
A. B. C. D.
5.如图18.2-19，在四边形中，顺次连接各边中点得到四边形 .
在下列条件中，可使四边形 为矩形的是( ) .
C
图18.2-19
A.
B.
C.
D.
6.如图18.2-20，在中， ，，.点 是
边上的动点，过点作边，的垂线，垂足分别为，.连接 ，
则 的最小值为( ) .
图18.2-20
B
A.3 B.2.4 C.4 D.2.5
7.在中，,,若，则 的面积
是________.
8.过的斜边上一点，作于点，于点 ，
则 ____.
图18.2-21
9.如图18.2-21，在矩形中， ，点
和点分别从点和点 出发，按逆时针方向沿矩
形的边运动，点和点的速度分别为
和，则最快___后，四边形 成为矩形.
4
图18.2-22
10.如图18.2-22，四边形中，对角线， 相
交于点，，，且 .
（1）求证：四边形 是矩形.
提示：先证明四边形是平行四边形，再证明
（2）若，求 的度数.
[答案]
能力提升
11.请阅读下列材料，完成相应的任务.
×年×月×日 星期日
只用卷尺也能判断矩形
今天，我在一本数学课外书上看到这样一个有趣的问题，工人师
傅在做门窗或矩形零件时，他是这样做的：首先利用卷尺（有刻度）
测量两组对边的长度是否分别相等；其次利用卷尺测量该门窗的两条
对角线是否相等，以确保图形是矩形．我有如下思考：工人师傅的做法究竟是依据什么原理得到四边形是矩形？
如图18.2-23，已知在四边形中，， ，
．求证：四边形 是矩形．证明：……
_____________________________________________________________
图18.2-23
任务：
（1）上述做法是依据了矩形的一个判定定理：_____________________
_________.
对角线相等的平行四边形是矩形
（2）补全材料中的证明过程.
[答案] ，， 四边形 是平行四边形.
， 四边形 是矩形
（3）利用卷尺（有刻度）能否用另外一种方法判定四边形是矩形？
（写出简要的测量方法）
[答案] 工人师傅利用卷尺测量对边长度相等，是为了确保它的形状是平
行四边形.然后再量一下对角线的长度，两条邻边的平方和等于对角线
的平方时，就确保了它是矩形（有一个角是直角的平行四边形为矩形）
中考链接
图18.2-24
12.（2023·内江）如图18.2-24，在中， 是
的中点，是的中点，过点作交
的延长线于点 .
（1）求证： .
提示：证明
（2）连接，若，求证：四边形 是矩形.
[答案] ，， 四边形 是平行四边形.
，为的中点， ， 四边形
是矩形
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第十八章 平行四边形
18.1.2 平行四边形的判定
第3课时 三角形中位线
自主学习
自主导学
1.三角形中位线的定义：连接三角形两边______的线段叫做三角形的中
位线.
2.三角形中位线定理：三角形的中位线______于三角形的第三边，且等
于第三边的______.
中点
平行
一半
典例分享
图18.1-47
例 如图18.1-47，四边形 为任意一个四边形，
将其四边的中点依次连接起来得到一个新的四边形，
这个新四边形的形状有什么特征？请证明你的结论.
证明：四边形为平行四边形．如图18.1-47所示，连接 ，
，分别为， 的中点，
， .
又，分别为， 的中点，
， .
， .
四边形 为平行四边形.
方法感悟
三角形的中位线为证明线的平行关系和线段的倍分关系提供了新的
方法，当题目中出现中点的个数超过一个时，可以考虑构造中位线来解
决问题.
轻松达标
1.如图18.1-48，在中，，分别是边， 的中点，若
，则 的长为( ) .
D
图18.1-48
A.6
B.7
C.8
D.9
2.如图18.1-49，在中，对角线，相交于点，为 的中
点，，则 的长为( ) .
图18.1-49
B
A.2 B.3 C.4 D.5
3.如图18.1-50，数学活动课上，某兴趣小组要测量池塘两端， 的距离，
他们先在平地上取一点，从点不经过池塘可以直接到达点和点 ，
连接，，并分别找出，的中点，，连接 ，并量出
，则， 的距离为( ) .
A
图18.1-50
A.
B.
C.
D.不能确定
4.如图18.1-51，点，，分别为三边的中点.若 的周长为
10，则 的周长为( ) .
图18.1-51
A
A.5 B.6 C. D.8
5.如图18.1-52，在中，，， 分别是三边中点，则图中平行四
边形共有( ) .
图18.1-52
C
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
图18.1-53
6.如图18.1-，在中，， 分别
是，的中点，将沿线段 向
下折叠，得到图18.1- ，下列关于图
18.1- 的结论中，不一定成立的是
( ) .
C
A. B. 是等腰三角形
C.点落在边的中点 D.
7.如图18.1-54，在中，，分别是边，的中点， ，
则 ___.
图18.1-54
4
8.如图18.1-55，点，，分别是三边上的中点，若 的面
积是12，则 的面积是___.
图18.1-55
3
9.已知一个三角形三边长之比为 ，由这个三角形的三边中点连线
所围成的三角形的周长为27，则原三角形三边的长分别为____________.
12，18，24
图18.1-56
10.如图18.1-56，在 中，
平分，于点 ，
点是 的中点.
（1）如图18.1-，的延长线与边相交于点 ，求证：
；
[答案] 在和中，， ，
， ，
．又 点是 的中点，
（2）如图18.1-，在中，，，求线段 的长.
[答案] 分别延长，交于点，如答图8所示．在和
中，，， ，
答图8
， ，
，
能力提升
图18.1-57
11.如图18.1-，在四边形
中，，，， 是各边中点，连接
，，， ，可得到以下结论.
结论1：四边形 是平行四边
形.
结论2：四边形 的面积是四
边形 的一半.
（1）试证明结论1.
[答案] 连接，（图略），，，， 是各边中点，
，，，，
四边形 是平行四边形
（2）探究与应用：（提示：以下问题可以直接使用上述结论）
①如图18.1-，在四边形中，，分别为边， 的中点，
连接．已知，.求出线段 的取值范围.
答图9
[答案] 如答图9，连接，取的中点，连接 ，
，，，分别为边，， 的中点，
，， ，
， ．根据三角形三边关系可知
，
②如图18.1-，在四边形中，点，，，分别是 ，
，，的中点，连接，交于点.若， ，
，试求出四边形 的面积.
[答案] 如答图10，连接，，，，由结论1可知 是平行
四边形，，．过点作交 于点
， ，． ．
答图10
．
.
又， ．
由结论2可知
中考链接
12.（2022·丽水）如图18.1-58，在中，，，分别是 ，
，的中点.若，，则四边形 的周长是( ) .
B
图18.1-58
A.28
B.14
C.10
D.7
13.（2022·沈阳）如图18.1-59，在中， ，点， 分
别是直角边，的中点，连接，则 的度数是( ) .
图18.1-59
B
A. B. C. D.
图18.1-60
14.（2023·金华）如图18.1-60，把两根钢条，
的一个端点连在一起，点，分别是， 的中
点，若，则该工件内槽宽的长为___ .
8
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