7.3复数的三角表示 同步练习（含解析）2023——2024学年高中数学人教A版（2019）必修第二册

7.3 复数的三角表示 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设复数对应的向量分别为为坐标原点，且，若把绕原点顺时针旋转，把绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则在下列表达式中表示的是（ ）
A． B．
C． D．
3．法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，（，）则．设，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
4．复数的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
5．设为虚数单位，复数满足，则（ ）
A． B． C．2 D．4
6．已知i为虚数单位，则（ ）
A． B．1 C． D．i
7．棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667－1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，已知复数，则的值是（ ）
A． B． C． D．
8．任意一个复数都可以表示成三角形式，即．棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667－1754年）创立的，指的是：设两个复数，，则，已知复数，则（ ）
A． B． C． D．1
二、多选题
9．已知复数，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．若，且，则
10．下列结论中错误的是（ ）．
A．复数Z的任意两个辐角之间都差的整数倍；
B．任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个；
C．实数0不能写成三角形式；
D．复数0的辐角主值是0．
11．已知复数，则（ ）
A． B．
C． D．
12．已知复数 (为虚数单位)，复数的共轭复数为，则下列结论正确的是（ ）
A．在复平面内复数所对应的点位于第一象限
B．
C．
D．
三、填空题
13．设复数满足的辐角的主值为，的辐角的主值为，则 （用代数形式表示）．
14．棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667－1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，已知复数，则的值是 ．
15．设，且满足，则的辐角的主值的取值范围是 .
16．复数的虚部是 ；若复数满足为虚数单位，则的取值范围为 .
四、解答题
17．分别指出下列复数的模和辐角的主值，并将复数表示成代数形式．
(1)；
(2)
18．已知复数，，求当满足什么条件时，
(1)在复平面内对应的点关于实轴对称；
(2).
19．欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，数学史上称十八世纪为“欧拉时代”．1735年，他提出公式：复数：（是虚数单位）．已知复数，，．
(1)当时，求的值；
(2)当时，若且，求的值．
20．已知复数z满足，的虚部是2，z对应的点A在第一象限，
(1)求z的值；
(2)若在复平面上对应点分别为A，B，C，求cos∠ABC.
21．设非零复数满足关系，且的实部为，其中．
(1)当时，求复数，使在复平面上对应的点位于实轴的下方；
(2)是否存在正整数，使得对于任意实数，只有最小值而无最大值？若存在这样的的值，请求出此时使取得最小值的的值；若不存在这样的的值，请说明理由．
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参考答案：
1．B
【分析】把化为复数的三角形式，根据复数对应的向量旋转所得向量，求解即可.
【详解】由已知得，
所以绕原点顺时针旋转得
，
由绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合得，
所以.
故选：B.
2．A
【分析】根据题设的表达式求出的表达式，再代入选项逐一检验即得.
【详解】因，则，
对于A，，故A项正确；
对于B， ，故B项错误；
对于C，，故C项错误；
对于D，由B项知，，故D项错误.
故选：A.
3．C
【分析】根据题意化简即可得解.
【详解】根据题意，由，
可得
.
故虚部为.
故选：C
4．D
【分析】由复数的三角形式定义以及诱导公式即可求解.
【详解】.
故选：D.
5．A
【分析】根据复数除法的几何意义求复数的模.
【详解】.
故选：A
6．D
【分析】
根据诱导公式以及复数的乘法运算即可化简求值.
【详解】
故选：D
7．C
【分析】
利用棣莫弗公式及三角函数的特殊值，结合三角函数的诱导公式即可求解.
【详解】依题意知，，
由棣莫弗公式，得，
所以.
故选：C.
8．B
【分析】
将化为三角形式，根据棣莫弗定理可求得的值，即可求得答案.
【详解】由题意可得，
故，
所以
.
故选：B
9．BCD
【分析】对于B,C,D选项，，可以选设复数的代数形式或者三角形式，利用复数的运算法则和共轭复数的定义运算判断结果；对于A选项，可以考虑举反例说明其错误.
【详解】对于A项，当时，而故A项错误；
对于B项，设其中，
则，则；
而
，故B项正确；
对于C项，设其中，
，则，而，故C项正确；
对于D项，设其中，,依题，不全为零，
则由可得，化简得
，即
因不全为零，不妨设，则有，即,
故得，即，故D项正确.
故选：BCD.
10．ACD
【分析】根据复数辐角、辐角主值定义及复数0的辐角性质判断各项的正误即可.
【详解】A：复数0的辐角为任意值，其两个辐角之差不一定为整数倍，错误；
B：任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个，正确；
C：其中，故实数0能写成三角形式，错误；
D：复数0的辐角主值不唯一，错误.
故选：ACD
11．ABC
【分析】
根据同角三角函数关系和复数模的运算即可判断A，根据复数乘方运算即可判断B，根据复数乘法代数运算即可判断C，根据复数模的计算和余弦函数的有界性即可判断D.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，因为复数，则，
则，而，则，故B正确；
对于C，，C正确；
对于D，由题意得，
，
因为，则当，故D错误.
故选：ABC．
12．AC
【分析】通过复数中，对复数进行化简，就可判断A选项的正误；并通过共轭复数的定义得到，就可判断B选项的正误；然后通过复数的乘法和除法公式，分别计算和，即可判断选项C和D的正误.
【详解】因为，所以，故复数，而共轭复数
对于选项A，复数，对应点坐标为，所以在复平面内复数所对应的点位于第一象限，故A正确；
对于选项B，，故B错误；
对于选项C，，故C正确；
对于选项D，，故D错误.
故选：AC
13．
【分析】
根据题意，得到设，，列出方程组，求得，即可求解.
【详解】
由题意，设，
，
所以，可得，
解得，所以.
故答案为：.
14．
【分析】
根据棣莫弗公式直接计算即可.
【详解】因为，由棣莫弗公式可得：
.
故答案为：.
15．
【分析】
根据表示的几何意义即可得到主值的范围.
【详解】如图，表示的点在圆心为，半径为的圆内，
为向右平移一个单位长度得到的圆内的点，，
故的辐角的主值的取值范围是.
故答案为：.

16．
【分析】
借助复数的运算法则及复数的三角形式运算即可得.
【详解】
，故复数的虚部是；
因为复数满足，则设，有，
因此
，
而时，，则，
即，
于是，所以的取值范围为.
故答案为：；.
17．(1)4，，
(2)2，，
【分析】根据复数的相关概念即可求得模和辐角主值，化简计算即可求得复数的代数形式.
【详解】（1）的模为4，辐角主值为，
；
（2），
故的模为2，辐角主值为，
.
18．(1)
(2).
【分析】（1）由题意可得，从而可求得答案，
（2）由题意得，化简可得答案.
【详解】（1）因为在复平面内，与对应的点关于实轴对称，
所以，即，
解得，
所以.
（2）由，得，即，
整理得，所以.
19．(1)
(2)
【分析】
（1）当时，为实数，可求出；
（2）由先求出，再根据，得到，，进而可得.
【详解】（1）因为虚数不能比较大小，所以为实数，
又因为，
所以
解得
（2）当时，，．
所以，
所以，
所以，，
因为，所以．
20．(1)
(2)
【分析】（1）设出，利用复数的模和的虚部列出方程组，求出z的值；
（2）在（1）的基础上，得到和对应的复数，利用复数的除法运算的三角表示及其几何意义求出答案.
【详解】（1）设，，则，
由题意得，
故，
因为z对应的点A在第一象限，所以，
解得，故；
（2）由（1）知，，，
对应的复数为，对应的复数为，
因为，且的辐角为，
所以
21．(1)，其中
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题意得，在复平面上对应的点位于实轴的下方得，即可解得结果.
（2）根据，可设，，，
，要满足题意需对任意实数均不成立，可推断，进而解得取得最小值的的值.
【详解】（1）因为，且，所以，进而得．
设．
由，得．
又在复平面上对应的点位于实轴的下方，因此．
由此得，其中，
所以，其中．
（2）由，可设，
则，
得
当，即，时，．
因为，所以当时，有最大值，
此时，整理得．
欲使此等式对任意实数均不成立，则，即，
又为正整数，因此只能．
当时，对任意实数，都使无最大值，只有最小值，
此时．
所以，存在，使得只有最小值，而无最大值，
且当取最小值时，的值为．
答案第1页，共2页
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