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（人教版）七年级下册数学《第八章 二元一次方程组》
8.4 三元一次方程组
★1、三元一次方程的定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做三元一次方程.
【注意】三元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有三个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫三元一次方程．
★2、三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
【注意】（1）三元一次方程组需满足三个条件：①一共有三个未知数；② 未知数的项的次数是1； ③ 方程组中一共有三个方程.
（2）组成三元一次方程组的某个方程，可以是一元一次方程或二元一次方程或三元一次方程.只要保证方程组一共有三个未知数即可.
★1、解三元一次方程组的基本思路：消元，先消去一个未知数，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.
★2、解三元一次方程组的一般步骤：
①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．
②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．
③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．
④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．
⑤最后将求得的三个未知数的值用大括号合写在一起即可．
【注意】解三元一次方程组时，先观察三个方程中各未知数系数的特点及整个式子的特点，然后确定先消去的未知数，再灵活选择代入消元法或加减消元法将“三元”化为“二元”.
★列三元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出题中的等量关系，列出方程组．
（4）解方程组：解方程组求出未知数的值.
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
题型突破·典例精析
【例题1】（2023春 遵化市期中）下列是三元一次方程组的是（ ）
A．
B．
C．
D．
解题技巧提炼 三元一次方程组必须满足的条件： ①方程组含有三个未知数，即“三元”； ②每个方程中含未知数的项的次数都是1，即一次“”； ③方程中一共有三个整式方程. 特别提醒：（1）三元一次方程组含有三个未知数指的是方程组整体上含有三个未知数，并不要求组成方程组的每一个方程中都必须含有三个未知数； （2）不能把“含有未知数”的项的次数都是“1”，误以为是未知数的次数为1.
【变式1-1】下列方程组不是三元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】下列方程组中是三元一次方程组的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】下列方程组中，不是三元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-4】下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【例题2】（2023春 昆明期中）解方程组，如果要使运算简便，那么消元时最好应（ ）
A．先消去x B．先消去y
C．先消去z D．先消常数项
解题技巧提炼 解三元一次方程组时，消去哪个未知数都是可以的，得到的结果都一样，但我们应通过观察方程组选择最为简便的解法，要根据方程组中各方程的特点，灵活地确定消元步骤和方法，不要盲目消元.
【变式2-1】（2024春 南安市期中）解方程组时，要使解法较为简便，应（ ）
A．先消去x B．先消去y
C．先消去z D．先消去常数
【变式2-2】（2024 拱墅区一模）已知方程组，则x+y+z的值是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【变式2-3】（2023春 岚山区期末）解三元一次方程组，若先消去z，组成关于x、y的方程组，则应对方程组进行的变形是（ ）
A．①﹣②，②+③ B．①×2+③，②×2+③
C．①+②，②×2+③ D．①+③，②+③
【变式2-4】（2023春 秦州区校级期中）下列四组数值中，是方程组的解的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-5】（2024春 西湖区校级期中）实数x，y，z满足2x+y+3z＝5，x+2y﹣z＝﹣4，则x、z之间具有哪个等量关系（ ）
A．3x+7z＝14 B．3x+5z＝14 C．3x+7z＝6 D．3x+5z＝6
【变式2-6】（2023春 绍兴期末）若关于x、y的二元一次方程组的解为，则方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-7】（2023春 宝山区期末）解方程组：．
【变式2-8】（2023春 牟平区期中）解三元一次方程组：
【变式2-9】（2023春 东莞市校级月考）解方程组：
【变式2-10】解下列三元一次方程组：
（1）； （2）
【例题3】（2024春 台江县校级期中）若方程组的解x、y的值相等，则a的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．2 D．1
解题技巧提炼 本题运用了“待定系数法”，将已知的x,y值代入，联立方程组求解即可.
【变式3-1】（2023春 如东县期中）三个二元一次方程3x﹣y＝7，2x+3y＝1，y＝kx﹣9有公共解，则k的值是（ ）
A．3 B． C．﹣2 D．4
【变式3-2】（2023 拱墅区三模）若方程组的解也是方程3x+ky＝10的解，则k的值是（ ）
A．6 B．10 C．9 D．
【变式3-3】（2023春 荣县校级期中）对于实数x，y定义新运算：x y＝ax+by+c，其中a，b，c均为常数，且已知3 5＝15，4 7＝28，则2 3的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式3-4】（2023春 碾子山区期末）如果方程组的解x、y的值相同，则m的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【变式3-5】（2023春 秀峰区校级期中）关于x，y的方程组的解互为相反数，则k的值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【变式3-6】（2023春 东城区校级期末）已知关于x、y的方程组的解x与y的和是2，那么m的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8
【变式3-7】如果方程组的解使代数式kx+2y﹣z的值为10，那么k的值为（ ）
A． B．3 C． D．﹣3
【变式3-8】（2023春 米易县校级月考）已知代数式ax2+bx+c，当x＝0时，它的值为﹣3；当x＝﹣3时，它的值为0；当x＝2时，它的值为5．
（1）求a，b，c的值．
（2）求当时代数式的值．
【例题4】（2023春 荣县校级期中）若（y≠0），则（ ）
A． B． C．﹣12 D．
解题技巧提炼 若出现两个方程，三个未知数，则可将其中一个字母当作常数，然后解这个“二元一次方程组”，再代入求比值即可.
【变式4-1】（2023春 巴东县期末）已知，且y≠0，则的值为（ ）
A． B． C．﹣12 D．12
【变式4-2】设，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2023春 环翠区期中）设，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-4】（2023春 广安区校级期末）已知（xyz≠0），则x：y：z的值为（ ）
A．1：2：3 B．3：2：1 C．2：1：3 D．不能确定
【变式4-5】（2022春 海勃湾区校级期中）已知方程4x+3y﹣6z＝0与方程x+3y﹣3z＝0有相同的解．那么x：y：z为（ ）
A．3：2：3 B．1：2：3 C．2：3：2 D．3：2：1
【变式4-6】（2023秋 海淀区校级期末）已知x+y+7z＝0，x﹣y﹣3z＝0（xyz≠0），则 ．
【变式4-7】已知x，y，z满足方程组，求x：y：z．
【变式4-8】已知x、y、z都不为零，且，求式子的值．
【例题5】已知x，y，z满足|x﹣2﹣z|+（3x﹣6y﹣7）2+|3y+3z﹣4|＝0．求x，y，z的值．
解题技巧提炼 根据绝对值和平方数的性质，即几个非负数的和为0，每个非负数的都为0，得出三个等式联立方程组是解题的关键.
【变式5-1】已知|x﹣8y|+2（4y﹣1）2+3|8z﹣3x|＝0，求x+y+z的值．
【变式5-2】若|x﹣3y+5|+（3x+y﹣5）20，求的值．
【变式5-3】已知（a﹣2b﹣4）2+（2b+c）2+|a﹣4b+c|＝0，求3a+b﹣c的值．
【变式5-4】若|3x﹣2y﹣8|+（2y+3z﹣1）2+|x+5z﹣7|＝0，求x+y+z的值．
【变式5-5】已知x，y，z满足|x﹣z﹣2|+|3x﹣3y﹣3|＝﹣（3y+2z﹣13）2，求xyz的值．
【变式5-6】已知实数x，y，z满足|4x﹣4y+1|（z）2＝0，求（y+z）2 x2的值．
【变式5-7】（2023 丰顺县校级开学）若有理数a，b，c满足（a+2c﹣2）2+|4b﹣3c﹣4|+|4b﹣1|＝0，试求a3n+1b3n+2﹣c4n+2．
【例题6】（2023春 西湖区校级期中）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，对应密文a+1，﹣a+2b+4，b+3c+9，如果接收方收到密文7，12，22，则解密得到的明文为（ ）
A．6，2，7 B．2，6，7 C．6，7，2 D．7，2，6
解题技巧提炼 在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程． （1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础． （2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性．
【变式6-1】（2023秋 青山区校级月考）小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选择3件甲，2件乙，1件丙时显示的价格为420元；当购物车内选择2件甲，3件乙，4件丙时显示的价格为580元，那么购买甲、乙、丙各两件应该付款（ ）
A．200元 B．400元 C．500元 D．600元
【变式6-2】（2023 沂水县二模）某商店将巧克力包装成甲、乙两种礼盒出售，且每盒甲种礼盒的价钱相同，每盒乙种礼盒的价钱相同，晓雨原先想购买2盒甲种礼盒和5盒乙种礼盒，但他身上的钱还差3元，如果改成购买5盒甲种礼盒和2盒乙种礼盒，他身上的钱会剩下3元，若晓雨最后购买7盒甲种礼盒，则他身上剩下的钱数是（ ）
A．1元 B．3元 C．5元 D．7元
【变式6-3】（2022 天河区开学）甲、乙，丙三人合买一台电视机，甲付的钱数等于乙付的钱数的2倍，也等于丙付的钱数的3倍．已知甲比丙多付了680元，请问：
（1）甲、乙、丙三人所付的钱数之比是多少？
（2）这台电视机的售价是多少元？
【变式6-4】一个三位数，个位、百位上的数字的和等于十位上数字的2倍，百位上的数字的3倍等于个位、十位上的数字的和，个位、十位、百位上的数字的和是12．求这个三位数．
【变式6-5】（2023春 宜阳县期中）已知某个三角形的周长为18cm，其中两条边的长度之和等于第三条边长度的2倍，而它们的差等于第三条边长度的，求这个三角形三边的长度．
【变式6-6】某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表：
农作物品种 每公顷需劳动力 每公顷需投入资金
水稻 4人 1万元
棉花 8人 1万元
蔬菜 5人 2万元
已知该农场计划在设备投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工有工作，而且投入的资金正好够用？
【变式6-7】甲地到乙地全程是3.3km，一段上坡，一段平路，一段下坡，如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需51min，从乙地到甲地需53.4min，从甲地到乙地时，上坡、平路、下坡的路程各是多少？
【变式6-8】（2023秋 莲湖区期末）问题提出
已知实数x，y满足，求7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y）的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由①+②×2可得7x+5y＝19．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”．
利用上面的知识解答下面问题：
（1）已知方程组，则x﹣y的值为 ．
问题探究
（2）请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，x+y的值始终不变．
问题解决
（3）某步行街分别摆放有甲．乙、丙三种造型的盆景x，y，z盆，甲种盆景由15朵红花、8朵黄花和25朵紫花搭配而成；乙种盆景由10朵红花、6朵黄花和20朵紫花搭配而成；丙种盆景由10朵红花、7朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景﹣共用了2900朵红花，3750朵紫花，求黄花一共用了多少朵．
【例题7】（2022春 嘉鱼县期末）现有1元，5元，10元纸币各10张混在一起，从中任意抽取21张纸币合计100元，则抽取的纸币中10元纸币有（ ）张
A．7 B．6 C．5 D．3
解题技巧提炼 求三元一次方程组的特殊解的方法：可类比求二元一次方程组特殊解的方法，即在把方程组转化为用一个未知数表示另一个未知数的形式之后，利用方程组特殊解的特点，尽量缩小未知数的取值范围，然后再通过具体计算得到方程组的特殊解.
【变式7-1】（2024春 东城区校级月考）有一份选择题试卷共六道小题．其得分标准是：一道小题答对得8分，答错得0分，不答得2分．某同学共得了20分，则他（ ）
A．至多答对一道小题 B．至少答对三道小题
C．至少有三道小题没答 D．答错两道小题
【变式7-2】（2023春 灌南县期末）一个宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团25人准备同时租用这三种客房共9间，如果每个房间都住满，则租房方案共有（ ）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
【变式7-3】（2023春 黄岩区期末）已知a，b，c是非负整数，且同时满足a+b+2c＝50，a﹣b﹣c＝10，则a+b﹣4c＝ ．
【变式7-4】（2022秋 北碚区校级月考）双11期间，超市以20元/袋、30元/袋、40元/袋的价格购进板栗、核桃、腰果三种干果若干袋．计划分别以30元/袋、50元/袋、60元/袋的价格售出．第一天三种干果都卖出了若干袋；第二天卖出的板栗数量是第一天板栗数量的3倍，卖出的核桃数量是第一天的4倍，卖出的腰果数量是第一天的2倍；第三天卖出的板栗数量是前两天卖出板栗总数量的，卖出的核桃数量和第一天一样多，卖出的腰果是三天卖出腰果总数的．若第三天三种干果的销售额比第一天多2250元，三天共盈利2920元，则超市购进这一批干果共用 元．
【变式7-5】（2023春 西湖区期末）实验室需要购买A，B，C三种型号的盒子存放材料，盒子容量和单价如下表所示：
盒子型号 A B C
盒子容量（单位：升） 2 3 4
盒子单价（单位：元） 5 6 9
其中A型号盒子做促销活动：购买3个及以上可一次性优惠4元，现有28升材料需要存放，要求每个盒子都要装满且三种盒子都至少买一个．
（1）若购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为1，6，2，则购买总费用为 元；
（2）若一次性购买所需盒子且购买总费用为58元，则购买A，B，C三种型号的盒子的总数为 个．
【变式7-6】某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．
（1）若商场同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请研究一下商场的进货方案；
（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售时获利最多，你选择哪种进货方案；
（3）若商场准备用9万元同时购进三种不同的电视机50台，请你设计进货方案．中小学教育资源及组卷应用平台
（人教版）七年级下册数学《第八章 二元一次方程组》
8.4 三元一次方程组
★1、三元一次方程的定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做三元一次方程.
【注意】三元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有三个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫三元一次方程．
★2、三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
【注意】（1）三元一次方程组需满足三个条件：①一共有三个未知数；② 未知数的项的次数是1； ③ 方程组中一共有三个方程.
（2）组成三元一次方程组的某个方程，可以是一元一次方程或二元一次方程或三元一次方程.只要保证方程组一共有三个未知数即可.
★1、解三元一次方程组的基本思路：消元，先消去一个未知数，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.
★2、解三元一次方程组的一般步骤：
①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．
②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．
③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．
④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．
⑤最后将求得的三个未知数的值用大括号合写在一起即可．
【注意】解三元一次方程组时，先观察三个方程中各未知数系数的特点及整个式子的特点，然后确定先消去的未知数，再灵活选择代入消元法或加减消元法将“三元”化为“二元”.
★列三元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出题中的等量关系，列出方程组．
（4）解方程组：解方程组求出未知数的值.
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
题型突破·典例精析
【例题1】（2023春 遵化市期中）下列是三元一次方程组的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】如果方程组中含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是一次，并且方程组中一共有两个或两个以上的方程，这样的方程组叫做三元一次方程组；利用三元一次方程组的定义逐项判断即可得到答案．
【解答】解：对于A选项，第二个方程中未知数x的次数是2，
故A选项中方程组不是三元一次方程组；
对于B选项，第一个方程中分母含有未知数，
故B选项中方程组不是三元一次方程组；
对于C选项，第二个方程中每个未知数的次数都是1，但对于整个方程而言，次数是3，
故C选项中的方程组不是三元一次方程组；
对于D选项，方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，
故D选项中的方程组是三元一次方程组．
故选D．
【点评】此题考查了解三元一次方程组的定义，熟练掌握三元一次方程组的定义是解本题的关键．
解题技巧提炼 三元一次方程组必须满足的条件： ①方程组含有三个未知数，即“三元”； ②每个方程中含未知数的项的次数都是1，即一次“”； ③方程中一共有三个整式方程. 特别提醒：（1）三元一次方程组含有三个未知数指的是方程组整体上含有三个未知数，并不要求组成方程组的每一个方程中都必须含有三个未知数； （2）不能把“含有未知数”的项的次数都是“1”，误以为是未知数的次数为1.
【变式1-1】下列方程组不是三元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三元一次方程组的定义来求解，对A、B、C、D四个选项进行一一验证．
【解答】解：由题意知，含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次，并且一共有三个方程，叫做三元一次方程组．
A、满足三元一次方程组的定义，故A选项错误；
B、x2﹣4＝0，未知量x的次数为2次，∴不是三元一次方程，故B选项正确；
C、满足三元一次方程组的定义，故C选项错误；
D、满足三元一次方程组的定义，故D选项错误；
故选：B．
【点评】主要考查三元一次方程组的定义：含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次，并且一共有三个方程（有时会有特例，但是所有的三元一次方程组都有3个未知数），叫做三元一次方程组，二元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d＝0其中a、b、c不为零．
【变式1-2】下列方程组中是三元一次方程组的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可．
【解答】解：下列方程组中是三元一次方程组的是．
故选：B．
【点评】此题考查了解三元一次方程组的定义，熟练掌握三元一次方程组的定义是解本题的关键．
【变式1-3】下列方程组中，不是三元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三元一次方程组的定义判断求解．
【解答】解：A：含有三个未知数x，y，z，且最高次数是1，都是整式方程，所以A是三元一次方程组；
B：含有三个未知数x，y，z，且最高次数是1，都是整式方程，所以B是三元一次方程组；
C：含有三个未知数x，y，z，且最高次数是1，都是整式方程，所以C是三元一次方程组；
D：含有三个未知数x，y，z，但是4xyz的次数是3，所以D不是三元一次方程组；
故选：D．
【点评】本题考查了三元一次方程组的定义，理解三元一次方程的定义是解题的关键．
【变式1-4】下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C．
【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可．
【解答】解：A选项：方程的次数为2，错误；
B选项：有分式方程，错误；
C选项，有三个未知数，每个方程的次数是1，均为整式方程，正确；
D选项，有4个未知数，错误；
故选：C．
【点评】本题考查了三元一次方程组的定义，理解三元一次方程的定义是解题的关键．
【例题2】（2023春 昆明期中）解方程组，如果要使运算简便，那么消元时最好应（ ）
A．先消去x B．先消去y
C．先消去z D．先消常数项
【分析】观察发现，未知数y的系数具有相同，或互为相反数，从而可确定先消去y．
【解答】解：观察未知数x，y，z的系数特点发现：
未知数y的系数要么相等，要么互为相反数，
所以要使运算简便，那么消元时最好应先消去y，
故选：B．
【点评】本题考查的是解方程组时，消元的技巧，掌握“根据相同未知数的系数特点进行消元”是解本题的关键．
解题技巧提炼 解三元一次方程组时，消去哪个未知数都是可以的，得到的结果都一样，但我们应通过观察方程组选择最为简便的解法，要根据方程组中各方程的特点，灵活地确定消元步骤和方法，不要盲目消元.
【变式2-1】（2024春 南安市期中）解方程组时，要使解法较为简便，应（ ）
A．先消去x B．先消去y
C．先消去z D．先消去常数
【分析】根据第一个方程缺少未知数y，所以利用第二个，第三个方程消去y，解方程组比较简单．
【解答】解：第二个，第三个方程消去y，把三元方程组转化为二元方程组，比较简单．
故选：B．
【点评】本题考查解三元方程组，解题的关键是熟练掌握解三元方程组的方法．
【变式2-2】（2024 拱墅区一模）已知方程组，则x+y+z的值是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【分析】利用解方程中的整体思想，进行计算即可解答．
【解答】解：，
①+②+③得：2x+2y+2z＝4+6+8，
解得：x+y+z＝9，
故选：A．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键．
【变式2-3】（2023春 岚山区期末）解三元一次方程组，若先消去z，组成关于x、y的方程组，则应对方程组进行的变形是（ ）
A．①﹣②，②+③ B．①×2+③，②×2+③
C．①+②，②×2+③ D．①+③，②+③
【分析】利用加减消元法进行计算，即可解答．
【解答】解：，
①+②得：5x﹣2y＝16，
②×2得：4x﹣2y﹣2z＝24④，
③+④得：5x﹣y＝30，
即，
故选：C．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
【变式2-4】（2023春 秦州区校级期中）下列四组数值中，是方程组的解的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用加减消元法，进行计算即可解答．
【解答】解：，
①+②得：
3x+y＝1④，
①+③得：
4x+y＝2⑤，
⑤﹣④得：
x＝1，
把x＝1代入④中，
3+y＝1，
解得：y＝﹣2，
把x＝1，y＝﹣2代入①中，
1﹣4+z＝0，
解得：z＝3，
∴原方程组的解为：，
故选：D．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
【变式2-5】（2024春 西湖区校级期中）实数x，y，z满足2x+y+3z＝5，x+2y﹣z＝﹣4，则x、z之间具有哪个等量关系（ ）
A．3x+7z＝14 B．3x+5z＝14 C．3x+7z＝6 D．3x+5z＝6
【分析】利用加减消元法求解即可．
【解答】解：，
①×2﹣②得，3x+7z＝14．
故选：A．
【点评】此题主要考查了解三元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键．
【变式2-6】（2023春 绍兴期末）若关于x、y的二元一次方程组的解为，则方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先将所求的方程组化简为，再结合已知方程组的解可得，求解即可．
【解答】解：化简方程组为方程组，
∵二元一次方程组的解为，
∴，
解得，
故选：B．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法，利用整体思想解题是关键．
【变式2-7】（2023春 宝山区期末）解方程组：．
【分析】利用加减消元法进行计算，即可解答．
【解答】解：，
②+③得：3x﹣y＝7④，
③×2得：2x﹣4y﹣2z＝﹣4⑤，
①+⑤得：3x﹣3y＝3，
即：x﹣y＝1⑥，
④﹣⑥得：2x＝6，
解得：x＝3，
把x＝3代入④得：9﹣y＝7，
解得：y＝2，
把x＝3，y＝2代入①得：3+2+2z＝7，
解得：z＝1，
∴原方程组的解为：．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
【变式2-8】（2023春 牟平区期中）解三元一次方程组：．
【分析】利用加减消元法进行计算，即可解答．
【解答】解：，
②×3得：9y﹣6z﹣3＝0④，
①﹣④得：4x+6z﹣9＝0⑤，
③×4得：28x+20z﹣19＝0⑥，
⑤×7得：28x+42z﹣63＝0⑦，
⑦﹣⑥得：22z﹣44＝0，
解得：z＝2，
把z＝2代入②得：3y﹣4﹣1＝0，
解得：y，
把y代入①得：4x+15﹣12＝0，
解得：x，
∴原方程组的解为：．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
【变式2-9】（2023春 东莞市校级月考）解方程组：
【分析】①+②得出5x+2y＝16④，③+②得出3x+4y＝18⑤，由④和⑤组成一个二元一次方程组，求出x、y的值，再求出z即可．
【解答】解：，
①+②，得5x+2y＝16④，
③+②，得3x+4y＝18⑤，
由④和⑤组成一个二元一次方程组，
解得：，
把代入①，得6﹣3+z＝4，
解得：z＝1，
所以原方程组的解是．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，能把三元一次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．
【变式2-10】解下列三元一次方程组：
（1）； （2）
【分析】（1）由①+②和①+③分别消去y，再解关于x和z的二元一次方程组，再将解得的x和z值代入③，解出y即可；
（2）先将①和②分别用y表示出x和z，再代入③即可解出y，进而求出x和z即可．
【解答】解：（1）
①+②得5x﹣z＝14 ④
①+③得4x+3z＝15 ⑤
④×3+⑤得19x＝57
∴x＝3 ⑥
将⑥代入④得15﹣z＝14
∴z＝1 ⑦
将⑥⑦代入③得y＝8
∴原方程组的解为：．
（2）
由①得x④
由②得z⑤
将④⑤代入③得y60
∴y＝20 ⑥
将⑥分别代入④⑤得x＝30，z＝10
∴原方程组的解为：．
【点评】本题是三元一次方程组的求解问题，分别可以用加减消元法和代入消元法化简成二元一次方程组，进而得解．
【例题3】（2024春 台江县校级期中）若方程组的解x、y的值相等，则a的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．2 D．1
【分析】根据题意可得x＝y，将此方程和原方程组联立，组成三元一次方程组进行求解，即可求出x，y，a的值．
【解答】解：由题意可得方程x＝y，将此方程代入原方程组的第二个方程得：4x+3x＝14，则x＝y＝2；
然后代入第一个方程得：2a+2（a﹣1）＝6；
解得：a＝2．
故选：C．
【点评】本题关键在于根据题意等出第三个方程，此方程和原方程组的第二个方程可得出x，y的值，将x，y的值代入第一个方程即可得出a值．
解题技巧提炼 本题运用了“待定系数法”，将已知的x,y值代入，联立方程组求解即可.
【变式3-1】（2023春 如东县期中）三个二元一次方程3x﹣y＝7，2x+3y＝1，y＝kx﹣9有公共解，则k的值是（ ）
A．3 B． C．﹣2 D．4
【分析】利用方程3x﹣y＝7和2x+3y＝1组成方程组，求出x、y，再代入y＝kx﹣9求出k值．
【解答】解：，
把①式两边乘3，得9x﹣3y＝21③，
②+①得11x＝22，得x＝2，
把x＝2代入①得6﹣y＝7，
解得y＝﹣1，
将代入y＝kx﹣9得2k﹣9＝﹣1，
解得k＝4．
故选：D．
【点评】本题考查二元一次方程组和三元一次方程组的解法，有加减法和代入法两种，一般选用加减法解二元一次方程组较简单．
【变式3-2】（2023 拱墅区三模）若方程组的解也是方程3x+ky＝10的解，则k的值是（ ）
A．6 B．10 C．9 D．
【分析】由题意知方程组，可将方程3x+5y＝6乘以2减去方程6x+15y＝15，得到一个关于y的方程从而解出y值，再代入方程3x+5y＝6求出x的值，又方程组的解也是方程3x+ky＝10的解，把方程组的解代入即可求出k值．
【解答】解：由题意知，，
将方程①×2﹣②得，
﹣5y＝﹣3，
∴y，
把y代入①得，
3x+3＝6，
∴x＝1，
把代入方程3x+ky＝10，得
3+k10，
∴k；
故选：D．
【点评】此题考查二元一次方程解的定义和解法，解二元一次方程首先要消元，然后再求解，同时也考查的方程的同解，比较简单．
【变式3-3】（2023春 荣县校级期中）对于实数x，y定义新运算：x y＝ax+by+c，其中a，b，c均为常数，且已知3 5＝15，4 7＝28，则2 3的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根据所给的条件，可得到3a+5b+c＝15，4a+7b+c＝28，从而可求得a+2b＝13，7a+12b+2c＝43，整理可求得b﹣c＝24，从而可求解．
【解答】解：∵3 5＝15，4 7＝28，
∴3a+5b+c＝15①，4a+7b+c＝28②，
②﹣①得：a+2b＝13，
①+②得：7a+12b+2c＝43，
则7（a+2b）﹣2（b﹣c）＝43，
整理得：b﹣c＝24，
∴2 3
＝2a+3b+c
＝2（a+2b）﹣（b﹣c）
＝2×13﹣24
＝26﹣24
＝2．
故选：A．
【点评】本题主要考查解三元一次方程组，整体思想，解答的关键是由所给的条件得出：a+2b＝13，b﹣c＝24．
【变式3-4】（2023春 碾子山区期末）如果方程组的解x、y的值相同，则m的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【分析】由题意将方程组中的两个方程相减，求出y值，再代入求出y值，再根据x＝y求出m的值．
【解答】解：由已知方程组的两个方程相减得，
y，x＝4，
∵方程组的解x、y的值相同，
∴4，
解得，m＝﹣1．
故选：B．
解法2、∵方程组的解x、y的值相同，
∴联立得，，
解得，，
将x＝2，y＝2代入x﹣（m﹣1）y＝6，
解得，m＝﹣1，
故选：B．
【点评】此题主要考二元一次方程组的解法，一般先消元求出x，再代入其中一个方程求出y值，比较简单．
【变式3-5】（2023春 秀峰区校级期中）关于x，y的方程组的解互为相反数，则k的值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】理解清楚题意，运用三元一次方程组的知识，把x，y用k表示出来，代入方程x＝﹣y求得k的值．
【解答】解：由x，y互为相反数得x＝﹣y，
代入（1）得y＝﹣1，
则x＝1，
把x＝1，y＝﹣1，
代入（2）得：2k﹣k﹣1＝10，
则k＝11．
故选：D．
【点评】本题的实质是解三元一次方程组，用加减法或代入法来解答．
【变式3-6】（2023春 东城区校级期末）已知关于x、y的方程组的解x与y的和是2，那么m的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8
【分析】本题首先求出方程组的解，根据x与y的和是2，可进一步得到2m﹣6+4﹣m＝2，解出即可．
【解答】解：∵关于x、y的方程组，
解得：．
又∵x与y的和是2，
∴2m﹣6+4﹣m＝2，
解得m＝4．
故选：A．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的解法，关键是熟练掌握二元一次方程组的解法即代入消元法和加减消元法．注意：在运用加减消元法消元时，两边同时乘以或除以一个不为0的整数或整式，一定注意不能漏项．
【变式3-7】如果方程组的解使代数式kx+2y﹣z的值为10，那么k的值为（ ）
A． B．3 C． D．﹣3
【分析】方程组中前两个方程相减消去y得到x与z的方程，与第三个方程联立求出z与x的值，进而求出y的值，将x，y及z的值代入已知的等式中，即可求出k的值．
【解答】解：，
①﹣②得：x﹣z＝2④，
③+④得：2x＝6，
解得：x＝3，
将x＝3代入④得：z＝1，
将z＝1代入②得：y＝5，
∴，
代入kx+2y﹣z中得：3k+10﹣1＝10，
解得：k．
故选：A．
【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法；加减消元法．
【变式3-8】（2023春 米易县校级月考）已知代数式ax2+bx+c，当x＝0时，它的值为﹣3；当x＝﹣3时，它的值为0；当x＝2时，它的值为5．
（1）求a，b，c的值．
（2）求当时代数式的值．
【分析】（1）根据题意得：，然后按照解三元一次方程组的步骤，进行计算即可解答；
（2）把x的值代入x2+2x﹣3，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：
，
解得：；
（2）当x时，x2+2x﹣3＝（）2+2×（）﹣3
（﹣1）﹣3
＝﹣3．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，求代数式的值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【例题4】（2023春 荣县校级期中）若（y≠0），则（ ）
A． B． C．﹣12 D．
【分析】先观察所给方程组与所求代数式的特点可发现，所求代数式中不含未知数y，故可用代入法把y消去，直接求出x、z的比值．
【解答】解：①可变形为y③，
把③代入②得，4z＝0，
去分母、移项得，x＝﹣12z，
两边同除以12得12．
故选：C．
【点评】本题考查三元一次方程组，解答此题的关键是注意观察方程组中的方程与所求代数式之间的关系，消去所求代数式中不含有的未知数，利用等式的性质直接求出x、z的比值．
解题技巧提炼 若出现两个方程，三个未知数，则可将其中一个字母当作常数，然后解这个“二元一次方程组”，再代入求比值即可.
【变式4-1】（2023春 巴东县期末）已知，且y≠0，则的值为（ ）
A． B． C．﹣12 D．12
【分析】由②得出y＝﹣4z③，把③代入①得出x＝3×（﹣4z），求出x＝﹣12z，再等式两边都除以z即可．
【解答】解：，
由②，得y＝﹣4z③，
把③代入①，得x＝3×（﹣4z），
即x＝﹣12z，
等式两边都除以z得：12，
故选：C．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，能求出y＝﹣4z是解此题的关键．
【变式4-2】设，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】设已知等式等于k，表示出x，y，z，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：设k，得到x＝2k，y＝3k，z＝4k，
则原式．
故选：C．
【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式4-3】（2023春 环翠区期中）设，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】设已知等式等于k，表示出x，y，z，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：设k，得到x＝2k，y＝3k，z＝4k，
则原式．
故选：C．
【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式4-4】（2023春 广安区校级期末）已知（xyz≠0），则x：y：z的值为（ ）
A．1：2：3 B．3：2：1 C．2：1：3 D．不能确定
【分析】把原方程组看作为关于x、y的二元一次方程组，先利用加减消元法解得yz，再利用代入消元法解得xz，然后计算x：y：z．
【解答】解：，
①﹣②×4得﹣5y﹣16y+2z+12z＝0，
解得yz，
把yz代入②得xz﹣3z＝0，
解得xz，
所以x：y：zz：z：z＝1：2：3．
故选：A．
【点评】本题考查了解三元一次方程组：利用代入消元或加减消元把解三元一次方程组的问题转化为解二元一次方程组．
【变式4-5】（2022春 海勃湾区校级期中）已知方程4x+3y﹣6z＝0与方程x+3y﹣3z＝0有相同的解．那么x：y：z为（ ）
A．3：2：3 B．1：2：3 C．2：3：2 D．3：2：1
【分析】根据方程4x+3y﹣6z＝0与方程x+3y﹣3z＝0有相同的解，用x表示出y和z，然后求比即可．
【解答】解：∵方程4x+3y﹣6z＝0①与方程x+3y﹣3z＝0②有相同的解，
∴①﹣②得：3x﹣3z＝0，即x＝z，
①﹣②×2得：2x﹣3y＝0，即，
∴3：2：3，故A正确．
故选：A．
【点评】本题主要考查了解三元一次方程组，解题的关键是将其中一个字母看作已知数，进行解方程组．
【变式4-6】（2023秋 海淀区校级期末）已知x+y+7z＝0，x﹣y﹣3z＝0（xyz≠0），则 ．
【分析】在x+y+7z＝0，x﹣y﹣3z＝0中，未知数 系数相同，xy的系数互为相反数，通过两个式子相减或相加，即可用z的代数式表示出x、y，进而得出答案．
【解答】解：x+y+7z＝0①，
x﹣y﹣3z＝0②，
①﹣②，得4y+10z＝0，即y＝﹣2.5z，
①+②，得2x+4z＝0，即x＝﹣2z，
∴11．
故答案为：11．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，正确用z的代数式表示出x、y是解答本题的关键．
【变式4-7】已知x，y，z满足方程组，求x：y：z．
【分析】把原方程组看作是关于y和z的二元一次方程组，解得z＝3x，y＝2x，然后计算x、y、z的比值．
【解答】解：，
①×2+②得9x﹣3z＝0，
解得z＝3x，
把z＝3x代入①得x﹣2y+3x＝0，
解得y＝2x，
所以x：y：z＝x：2x：3x＝1：2：3．
【点评】本题考查了解三元一次方程组：利用消元法把三元一次方程组转化为二元一次方程组求解．
【变式4-8】已知x、y、z都不为零，且，求式子的值．
【分析】先通过消元用z表示出x，y的值，再把x，y的代入要求的式子，最后进行约分即可．
【解答】解：，
①﹣②得：2x＝4z，
解得：x＝2z，
把x＝2z代入②得：yz，
把x＝2z，yz代入得：
．
【点评】此题考查了解三元一次方程组，关键是通过消元用z表示出x，y的值，再把x，y的代入要求的式子，用到的知识点是代入法和加减法．
【例题5】已知x，y，z满足|x﹣2﹣z|+（3x﹣6y﹣7）2+|3y+3z﹣4|＝0．求x，y，z的值．
【分析】已知等式为三个非负数的和为0的形式，只有这几个非负数都为0，可组成方程组，求x、y、z的值．
【解答】解：根据非负数的性质，得
①×3+③，得3x+3y﹣10＝0④
④﹣③，得y，
把y代入④得x＝3，
把x＝3代入①得z＝1．
∴原方程的解为．
故x＝3，y，z＝1．
【点评】本题是方程组的运用，根据已知等式的特点，结合非负数的性质，组成方程组求解．
解题技巧提炼 根据绝对值和平方数的性质，即几个非负数的和为0，每个非负数的都为0，得出三个等式联立方程组是解题的关键.
【变式5-1】已知|x﹣8y|+2（4y﹣1）2+3|8z﹣3x|＝0，求x+y+z的值．
【分析】先根据非负数的性质列出方程组，求出x、y、z的值，再代入代数式求值即可．
【解答】解：由题意得，
解得，
故x+y+z＝23．
【点评】本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：
（1）绝对值；
（2）偶次方；
（3）二次根式（算术平方根）．
当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．
【变式5-2】若|x﹣3y+5|+（3x+y﹣5）20，求的值．
【分析】先根据非负数性质得出x、y、z的三元一次方程组，解之求得x、y、z的值，代入计算可得．
【解答】解：∵若|x﹣3y+5|+（3x+y﹣5）20，
∴，
解得：，
∴2．
【点评】本题主要考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握非负数的性质、解方程组的能力．
【变式5-3】已知（a﹣2b﹣4）2+（2b+c）2+|a﹣4b+c|＝0，求3a+b﹣c的值．
【分析】根据题意列出三元一次方程组，再根据解三元一次方程组的步骤求出a，b，c的值，再把它代入3a+b﹣c中，进行计算即可．
【解答】解：∵（a﹣2b﹣4）2+（2b+c）2+|a﹣4b+c|＝0，
∴a﹣2b﹣4＝0，2b+c＝0，a﹣4b+c＝0，
∴，
解得：，
则3a+b﹣c＝3×6+1﹣（﹣2）＝21．
【点评】此题考查了解三元一次方程组和绝对值，偶次方，解题的关键是根据绝对值，偶次方列出三元一次方程组，求出a，b，c的值．
【变式5-4】若|3x﹣2y﹣8|+（2y+3z﹣1）2+|x+5z﹣7|＝0，求x+y+z的值．
【分析】利用非负数的性质列出关于x、y、z的三元一次方程组，通过解方程组求得x+y+z的值．
【解答】解：∵|3x﹣2y﹣8|+（2y+3z﹣1）2+|x+5z﹣7|＝0，
∴，
解得 ，
∴x+y+z＝2﹣1+1＝2，即x+y+z＝2．
【点评】本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：
（1）绝对值；
（2）偶次方；
（3）二次根式（算术平方根）．
当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．
【变式5-5】已知x，y，z满足|x﹣z﹣2|+|3x﹣3y﹣3|＝﹣（3y+2z﹣13）2，求xyz的值．
【分析】利用非负数的性质，将所给的绝对值方程转化为三元一次方程组，解方程组即可解决问题．
【解答】解：∵|x﹣z﹣2|+|3x﹣3y﹣3|＝﹣（3y+2z﹣13）2，
∴|x﹣z﹣2|+|3x﹣3y﹣3|+（3y+2z﹣13）2＝0，
∵|x﹣z﹣2|≥0，|3x﹣3y﹣3|≥0，（3y+2z﹣13）2≥0，
∴，
由②÷3得：x﹣y﹣1＝0④，
由①﹣④得：y﹣z﹣1＝0⑤，
由③+2×⑤得：5y＝15，y＝3；
将y＝3代入④得：x＝4；
将y＝3代入⑤得：z＝2，
∴xyz＝24．
【点评】该题主要考查了非负数的应用、三元一次方程组的解法及其应用问题等重要代数知识点；对求解运算能力、整体代换思想等均提出了较高的要求．
【变式5-6】已知实数x，y，z满足|4x﹣4y+1|（z）2＝0，求（y+z）2 x2的值．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y、z的值，代入所求代数式计算即可．
【解答】解：根据题意得：，
解得：．
则（y+z）2 x2．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
【变式5-7】（2023 丰顺县校级开学）若有理数a，b，c满足（a+2c﹣2）2+|4b﹣3c﹣4|+|4b﹣1|＝0，试求a3n+1b3n+2﹣c4n+2．
【分析】根据非负数的性质得到，再解方程组得到，所以a3n+1b3n+2﹣c4n+2＝43n+1 （）3n+2﹣（﹣1）4n+2＝（4）3n+1 1，然后根据积的乘方进行计算．
【解答】解：根据题意得，
②+③得a﹣3c﹣5＝0，
所以a＝6c+10，
把a＝6c+10代入①得6c+10+2c﹣2＝0，、
解得c＝﹣1，
所以a＝﹣6+10＝4，
把c＝﹣1代入②得4b+3﹣4＝0，
解得b，
所以方程组的解为，
所以a3n+1b3n+2﹣c4n+2＝43n+1 （）3n+2﹣（﹣1）4n+2
＝（4）3n+1 1
1
．
【点评】本题考查了解三元一次方程组：利用代入法或加减法，把解三元一次方程组的问题转化为解二元一次方程组的问题．也考查了非负数的性质．
【例题6】（2023春 西湖区校级期中）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，对应密文a+1，﹣a+2b+4，b+3c+9，如果接收方收到密文7，12，22，则解密得到的明文为（ ）
A．6，2，7 B．2，6，7 C．6，7，2 D．7，2，6
【分析】根据“加密规则为：明文a，b，c，对应密文a+1，﹣a+2b+4，b+3c+9”，即可得出关于a，b，c的三元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：依题意得：，
解得：．
故选：C．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
解题技巧提炼 在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程． （1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础． （2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性．
【变式6-1】（2023秋 青山区校级月考）小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选择3件甲，2件乙，1件丙时显示的价格为420元；当购物车内选择2件甲，3件乙，4件丙时显示的价格为580元，那么购买甲、乙、丙各两件应该付款（ ）
A．200元 B．400元 C．500元 D．600元
【分析】设购买甲、乙、丙三种商品需付款x元，y元，z元，根据题意列出方程组，计算即可求出x，y，z的值，即可得到结果．
【解答】解：设购买甲、乙、丙三种商品需付款x元，y元，z元，
根据题意得：，
①+②得：5x+5y+5z＝1000，即x+y+z＝200，
∴2x+2y+2z＝400，
则购买甲、乙、丙各两件应该付款400元．
故选：B．
【点评】此题考查了三元一次方程组的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．
【变式6-2】（2023 沂水县二模）某商店将巧克力包装成甲、乙两种礼盒出售，且每盒甲种礼盒的价钱相同，每盒乙种礼盒的价钱相同，晓雨原先想购买2盒甲种礼盒和5盒乙种礼盒，但他身上的钱还差3元，如果改成购买5盒甲种礼盒和2盒乙种礼盒，他身上的钱会剩下3元，若晓雨最后购买7盒甲种礼盒，则他身上剩下的钱数是（ ）
A．1元 B．3元 C．5元 D．7元
【分析】设每盒甲种礼盒的价钱为x元，每盒乙种礼盒的价钱为y元，晓雨身上有z元钱，根据购买2盒甲种礼盒和5盒乙种礼盒，但他身上的钱还差3元，如果改成购买5盒甲种礼盒和2盒乙种礼盒，他身上的钱会剩下3元，列出三元一次方程组，解之得出z﹣7x的值即可．
【解答】解：设每盒甲种礼盒的价钱为x元，每盒乙种礼盒的价钱为y元，晓雨身上有z元钱，
由题意得：，
（①+②）÷2得：z（x+y）③，
（①﹣②）÷3得：y﹣x＝2，
∴y＝x+2④，
将④代入③中得：z（x+x+2），
∴z﹣7x＝7，
即晓雨最后购买7盒甲种礼盒，则他身上剩下的钱数是7元，
故选：D．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
【变式6-3】（2022 天河区开学）甲、乙，丙三人合买一台电视机，甲付的钱数等于乙付的钱数的2倍，也等于丙付的钱数的3倍．已知甲比丙多付了680元，请问：
（1）甲、乙、丙三人所付的钱数之比是多少？
（2）这台电视机的售价是多少元？
【分析】（1）设甲付了x元，乙付了y元，丙付了z元，根据“甲付的钱数等于乙付的钱数的2倍，也等于丙付的钱数的3倍，且甲比丙多付了680元”，可列出关于x，y，z的三元一次方程组，解之可得出x，y，z的值，相比后即可得出结论；
（2）将三人所付钱数相加，即可求出结论．
【解答】解：（1）设甲付了x元，乙付了y元，丙付了z元，
根据题意得：，
解得：，
∴x：y：z＝1020：510：340＝6：3：2．
答：甲、乙、丙三人所付的钱数之比是6：3：2；
（2）根据题意得：1020+510+340＝1870（元）．
答：这台电视机的售价是1870元．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
【变式6-4】一个三位数，个位、百位上的数字的和等于十位上数字的2倍，百位上的数字的3倍等于个位、十位上的数字的和，个位、十位、百位上的数字的和是12．求这个三位数．
【分析】设个位、十位、百位上的数字分别是x，y，z，因为个位、百位上的数字的和等于十位上数字的2倍可列x+z＝2y，因为百位上的数字的3倍等于个位、十位上的数字的和可列3z＝x+y，因为个位、十位、百位上的数字的和是12可列x+y+z＝12，再用消元法求出x，y，z即可．
【解答】解：设个位、十位、百位上的数字分别是x，y，z．
由题意可列：，
将②代入③得：4z＝12，
∴z＝3，
将z代入①，②得：，
⑤﹣④，得：3y＝12，
解得：y＝4，
将y＝4代入⑤，得：x＝5，
∴方程组的解为，
答：这个数是543．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，分析题意列出方程组是解题的关键．
【变式6-5】（2023春 宜阳县期中）已知某个三角形的周长为18cm，其中两条边的长度之和等于第三条边长度的2倍，而它们的差等于第三条边长度的，求这个三角形三边的长度．
【分析】设这个三角形的三边长分别为a、b、c．根据题意列出方程组并解答．
【解答】解：设这个三角形的三边长分别为acm、bcm、ccm．
依题意得：，
解得．
答：这个三角形的三边长分别为7cm、5cm、6cm．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用．在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．
【变式6-6】某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表：
农作物品种 每公顷需劳动力 每公顷需投入资金
水稻 4人 1万元
棉花 8人 1万元
蔬菜 5人 2万元
已知该农场计划在设备投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工有工作，而且投入的资金正好够用？
【分析】首先种植水稻x公顷，棉花y公顷，蔬菜为z公顷，根据题意可得等量关系：①三种农作物的投入资金＝67万元；②三种农作物所需要的人力＝300名职工；③三种农作物的公顷数＝51公顷，根据等量关系列出方程组即可．
【解答】解：设种植水稻x公顷，棉花y公顷，蔬菜为z公顷，由题意得：
，
解得：，
答：种植水稻15公顷，棉花20公顷，蔬菜为16公顷．
【点评】此题主要考查了三元一次方程组的应用，关键是弄懂题意，抓住题目中的关键语句，找出等量关系，设出未知数，列出方程组．
【变式6-7】甲地到乙地全程是3.3km，一段上坡，一段平路，一段下坡，如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需51min，从乙地到甲地需53.4min，从甲地到乙地时，上坡、平路、下坡的路程各是多少？
【分析】设甲地到乙地，上坡、平路、下坡路各是x千米，y千米，z千米，根据全程3.3km，甲到乙要51分钟，乙到甲要53.4分钟．分别列出方程，组成方程组，再求解即可．
【解答】解：设甲地到乙地，上坡、平路、下坡路各是x千米，y千米，z千米，根据题意得：
，
解得．
答：甲地到乙地，上坡路1.2千米、平路0.6千米、下坡路1.5千米．
【点评】此题考查了三元一次方程组的应用，解答此题的关键是找出题目中的等量关系，列出方程组，用代入消元法或加减消元法求出方程组的解．
【变式6-8】（2023秋 莲湖区期末）问题提出
已知实数x，y满足，求7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y）的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由①+②×2可得7x+5y＝19．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”．
利用上面的知识解答下面问题：
（1）已知方程组，则x﹣y的值为 ．
问题探究
（2）请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，x+y的值始终不变．
问题解决
（3）某步行街分别摆放有甲．乙、丙三种造型的盆景x，y，z盆，甲种盆景由15朵红花、8朵黄花和25朵紫花搭配而成；乙种盆景由10朵红花、6朵黄花和20朵紫花搭配而成；丙种盆景由10朵红花、7朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景﹣共用了2900朵红花，3750朵紫花，求黄花一共用了多少朵．
【分析】（1）由①﹣②，即可求解；
（2）由①×3+②，可得4x+4y＝12，即可求解；
（3）黄花一共用了M朵．则M＝8x+6y+7z，根据题意，列出方程组，即可求解．
【解答】解：（1）①﹣②得，x﹣y＝﹣1
故答案为：﹣1．
（2），
由①×3+②，得4x+4y＝12，
∴x+y＝3，
∴无论a取何值，x+y的值始终不变．
（3）设黄花一共用了M朵．则M＝8x+6y+7z，
由题意，得，
由①+③，得40x+30y+35z＝6650④，
由，得8x+6y+7z＝1330，即M＝1330．
答：黄花一共用了1330朵．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，三元一次方程组的应用，关键是找到等量关系式．
【例题7】（2022春 嘉鱼县期末）现有1元，5元，10元纸币各10张混在一起，从中任意抽取21张纸币合计100元，则抽取的纸币中10元纸币有（ ）张
A．7 B．6 C．5 D．3
【分析】根据题意列三元一次方程组，再分情况讨论出结果或把选项中的数值一一代入验证即可．
【解答】解：设1元、5元、10元的纸币分别为x张、y张、z张，根据题意得：
，
由①得：x＝21﹣y﹣z，
把x＝21﹣y﹣z代入②得：
21﹣y﹣z+5y+10z＝100，
得：9z+4y＝79，
∵x、y、z都是正整数，
∴把z＝7、6、5、3分别代入等式，
只有当z＝7时，y是正整数，
∴选项A符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了三元一次方程组，做题关键是能根据题意列出方程组，解方程组，分情况讨论确定答案．
解题技巧提炼 求三元一次方程组的特殊解的方法：可类比求二元一次方程组特殊解的方法，即在把方程组转化为用一个未知数表示另一个未知数的形式之后，利用方程组特殊解的特点，尽量缩小未知数的取值范围，然后再通过具体计算得到方程组的特殊解.
【变式7-1】（2024春 东城区校级月考）有一份选择题试卷共六道小题．其得分标准是：一道小题答对得8分，答错得0分，不答得2分．某同学共得了20分，则他（ ）
A．至多答对一道小题 B．至少答对三道小题
C．至少有三道小题没答 D．答错两道小题
【分析】假设答对x题，答错的有y题，不答的有z题．
依题意得，满足6≥x≥0，6≥y≥0，6≥z≥0，且都为整数
分x＝0时；x＝1时；x＝2时三种情况讨论．
【解答】解：设答对x题，答错的有y题，不答的有z题．
依题意得，满足且6≥x≥0，6≥y≥0，6≥z≥0都为整数
当x＝0时，z＝10，不合题意舍去；
当x＝1时，z＝6，y＝﹣1，不合题意舍去；
当x＝2时，z＝2，y＝2．
故选：D．
【点评】解答此题的关键是列出方程组，就x的取值讨论得到方程组的解．
【变式7-2】（2023春 灌南县期末）一个宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团25人准备同时租用这三种客房共9间，如果每个房间都住满，则租房方案共有（ ）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
【分析】首先设宾馆有客房：二人间x间、三人间y间、四人间z间，根据题意可得方程组：，解此方程组可得y+2z＝7，又由x，y，z是非负整数，即可求得答案．
【解答】解：设宾馆有客房：二人间x间、三人间y间、四人间z间，根据题意得：
，
解得：y+2z＝7，
y＝7﹣2z，
∵x，y，z都是小于9的正整数，
当z＝1时，y＝5，x＝3；
当z＝2时，y＝3，x＝4；
当z＝3时，y＝1，x＝5
当z＝4时，y＝﹣1（不符合题意，舍去）
∴租房方案有3种．
故选：B．
【点评】此题考查了三元一次不定方程组的应用．此题难度较大，解题的关键是理解题意，根据题意列方程组，然后根据x，y，z是整数求解，注意分类讨论思想的应用．
【变式7-3】（2023春 黄岩区期末）已知a，b，c是非负整数，且同时满足a+b+2c＝50，a﹣b﹣c＝10，则a+b﹣4c＝ ．
【分析】将式子整理为a﹣3b﹣3c＝30设为①，式子a+b+2c＝50为②，由②﹣①得4b+5c＝20，当b＝5时，又a，b，c是非负整数，c＝4，b＝0，根据a+b+2c＝50得a＝42，计算得a+b﹣4c＝26，或当c＝4时，b＝5，c＝0，计算得a＝45，则a+b﹣4c＝50．
【解答】解：由式子得：a﹣3b﹣3c＝30①，
设a+b+2c＝50为②，
由②﹣①得：4b+5c＝20，
∴b＝5或c＝4．
∵a，b，c是非负整数，
∴c＝4，b＝0或b＝5，c＝0．
∵a+b+2c＝50．
∴a＝42或a＝45．
∵a＝42，b＝0，c＝4或a＝45，b＝5，c＝0，
∴a+b﹣4c＝42+0﹣16＝26或a+b﹣4c＝45+5﹣0＝50．
故答案为：26或50．
【点评】本题考查了数的运算和分类讨论思想，解题的关键点根据a，b，c是非负整数讨论其取值．
【变式7-4】（2022秋 北碚区校级月考）双11期间，超市以20元/袋、30元/袋、40元/袋的价格购进板栗、核桃、腰果三种干果若干袋．计划分别以30元/袋、50元/袋、60元/袋的价格售出．第一天三种干果都卖出了若干袋；第二天卖出的板栗数量是第一天板栗数量的3倍，卖出的核桃数量是第一天的4倍，卖出的腰果数量是第一天的2倍；第三天卖出的板栗数量是前两天卖出板栗总数量的，卖出的核桃数量和第一天一样多，卖出的腰果是三天卖出腰果总数的．若第三天三种干果的销售额比第一天多2250元，三天共盈利2920元，则超市购进这一批干果共用 元．
【分析】设第一天三种干果板栗、核桃、腰果的销售量分别为x，y，z，根据题意，分别用x，y，z表示出后两天的三种干果的销售量，然后列出关于x，y，z的方程组，再由x，y，z都是正整数分别求得x，y，z值即可解答．
【解答】解：设第一天三种干果板栗、核桃、腰果的销售量分别为x，y，z，则第二天销售量分别为3x，4y，2z，第三天销售量分别为2x，y，4z，
根据题意，得：，
整理得，，
由①得：x＝75﹣6z，代入②中，
得6y﹣11z＝﹣79，即，
∵x，y，z是正整数，
∴x＝9，y＝7z＝11，
∴超市购进这一批干果共20×6×9+30×6×7+40×7×11＝5420（元），
故答案为：5420．
【点评】本题考查三元一次方程组的应用，理解题意，正确列出方程组，利用x，y，z为正整数求解是解答的关键．
【变式7-5】（2023春 西湖区期末）实验室需要购买A，B，C三种型号的盒子存放材料，盒子容量和单价如下表所示：
盒子型号 A B C
盒子容量（单位：升） 2 3 4
盒子单价（单位：元） 5 6 9
其中A型号盒子做促销活动：购买3个及以上可一次性优惠4元，现有28升材料需要存放，要求每个盒子都要装满且三种盒子都至少买一个．
（1）若购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为1，6，2，则购买总费用为 元；
（2）若一次性购买所需盒子且购买总费用为58元，则购买A，B，C三种型号的盒子的总数为 个．
【分析】（1）根据盒子的个数乘以盒子的单价即可得购买费用；
（2）设购买A种型号盒子x个，购买B种型号盒子y个，购买C种盒子型号z个，根据题意列出方程组，然后求正整数解即可．
【解答】解：（1）购买费用为：1×5+6×6+2×9＝59（元），
故答案为：59；
（2）设购买A种型号盒子x个，购买B种型号盒子y个，购买C种盒子型号z个，
根据题意得：2x+3y+4z＝28，
①当0＜x＜3时，5x+6y+9z＝58，
∵x，y，z都为正整数，
∴方程组无解；
②当3≤x时，5x+6y+9z﹣4＝58，
∵x，y，z都为正整数，
∴x＝4时，y＝4，z＝2，
综合所述，购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别4，4，2，
∴4+4+2＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，分类讨论思想及列出方程求整数解是解题的关键．
【变式7-6】某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．
（1）若商场同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请研究一下商场的进货方案；
（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售时获利最多，你选择哪种进货方案；
（3）若商场准备用9万元同时购进三种不同的电视机50台，请你设计进货方案．
【分析】（1）本题的等量关系是：两种电视的台数和等于50台，买两种电视花去的费用等于9万元．然后分进的两种电视是甲乙，乙丙，甲丙三种情况进行讨论，求出正确的方案；
（2）根据（1）得出的方案，分别计算出各方案的利润，然后判断出获利最多的方案；
（3）本题可先设两种电视的数量为未知数，然后根据三种电视的总量为50台，表示出另一种电视的数量，然后根据购进电视的费用总和为9万元，得出所设的两种电视的二元一次方程组，然后根据自变量的取值范围，得出符合条件的方案．
【解答】解：（1）设购进甲种x台，乙种y台．
则有：，
解得；
设购进乙种a台，丙种b台．
则有：，
解得；（不合题意，舍去此方案）
设购进甲种c台，丙种e台．
则有：，
解得：．
通过列方程组解得有以下两种方案成立：
①甲、乙两种型号的电视机各购25台．
②甲种型号的电视机购35台，丙种型号的电视机购15台；
（2）方案①获利为：25×150+25×200＝8750（元）；
方案②获利为：35×150+15×250＝9000（元）．
所以为使销售时获利最多，应选择第②种进货方案；
（3）设购进甲种电视x台，乙种电视y台，则购进丙种电视的数量为：z＝（50﹣x﹣y）台．
1500x+2100y+2500（50﹣x﹣y）＝90000，
化简整理，得5x+2y＝175．
又因为0＜x、y、z＜50，且均为整数，
所以上述二元一次方程只有四组解：
x＝27，y＝20，z＝3；
x＝29，y＝15，z＝6；
x＝31，y＝10，z＝9；
x＝33，y＝5，z＝12．
因此，有四种进货方案：
1、购进甲种电视27台，乙种电视20台，丙种电视3台，
2、购进甲种电视29台，乙种电视15台，丙种电视6台，
3、购进甲种电视31台，乙种电视10台，丙种电视9台，
4、购进甲种电视33台，乙种电视5台，丙种电视12台．
【点评】本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．要注意本题中自变量的取值范围．
