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湘教版八年级数学下册课件
第4章 一次函数
4.3 一次函数的图象
第1课时 正比例函数的图象
自主学习
自主导学
1.正比例函数图象的性质：直线为常数， 是一条经过
______的直线.
2.画 的图象时，一般选______和______两点，然后过这两个点画
直线，简称两点法.
原点
3.当时,直线经过第________象限从左向右上升，随 的增
大而______；当时，直线 经过第________象限从左向右下
降，随 的增大而______.
三、一
增大
二、四
减小
典例分享
例 已知函数 .
（1） 为何值时，函数为正比例函数？
[答案] 解 根据题意得，解得 .
（2） 为何值时，函数的图象经过第一、三象限？
[答案] 根据题意得，解得 .
（3）为何值时，随 的增大而减小？
[答案] 根据题意得，解得 .
（4）为何值时，函数图象经过点 ？
[答案] 把代入得，解得，即为 时，
函数图象经过点 .
方法感悟
1.正比例函数的图象是一条经过原点的直线，并非线段.
2.正比例函数表达式中的 影响图象经过的象限，
时经过第一、三象限， 时经过第二、四象限.
轻松达标
1.关于函数 ，下列说法错误的是( ) .
D
A.它是正比例函数 B.图象经过点
C.图象经过第一、三象限 D.当时，
2.点和点都在直线上，则与 的关系是
( ) .
C
A. B. C. D.
3.已知正比例函数的图象经过第一、三象限，则 的取值范围是
( ) .
D
A. B. C. D.
图4.3-1
4.如图4.3-1，在矩形中,，，点 在
轴上，点在轴上，正比例函数图象经过点 ，
则 的值为( ) .
B
A. B. C.2 D.
5.如果正比例函数的图象经过第二、四象限，那么函数值随 的增大而
______.
减小
6.已知正比例函数的图象经过点 .
（1）求 的值，画出这个函数的图象.
[答案] 图略
（2）点 是否在此函数图象上？
[答案] 不在
（3）若点在这个函数图象上，求点 的坐标.
[答案]
能力提升
7.在同一平面直角坐标系中，画出函数，， 的图象，
然后比较哪一个与 轴正方向所成的锐角最大，由此你得到什么猜想？
再选几个图象验证你的猜想．
[答案] 正比例函数中，越大，图象与 轴正方向所成的
锐角越大
中考链接
8.（2021·成都）在正比例函数中，的值随着 值的增大而增大，
则点 在第____象限.
9.（2019·本溪）函数 的图象经过的象限是______________.
一
第一、三象限
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第4章 一次函数
4.3 一次函数的图象
第2课时 一次函数的图象
自主学习
自主导学
1.一次函数图象的平移：一次函数，为常数， 的图象
可以看作由直线平移____个单位长度而得到（当 时，向___
平移；当 时，向____平移）.
上
下
2.一次函数,为常数， 图象的性质:
（1）当时，随 的增大而______；
（2）当时，随 的增大而______.
增大
减小
3.画一次函数 的图象，只要描出图象上的两个点（0，___），
（1，______），然后过这两个点作一条直线即可.
典例分享
例 已知一次函数 .
（1）画出函数的图象.
[答案] 解 如图4.3-2是一次函数 的图象.
图4.3-2
（2）求图象与轴，轴的交点， 的坐标.
[答案] 当时，，所以一次函数与 轴的交点坐标是
；
当时，，所以一次函数与轴的交点坐标是 .
（3）求, 两点间的距离.
[答案] 在中，由勾股定理得 .
（4）求 的面积.
[答案] .
（5）利用图象求当为何值时， ？
[答案] 由图象可知,当时， .
方法感悟
1.一次函数的图象是一条直线， 的值影响直线的走向
（时，直线从左到右上升；时，直线从左到右下降）， 的
值决定直线与 轴交点的位置.
2.一次函数的图象可以由正比例函数 的图象平
移 个单位长度得到.
轻松达标
1.在平面直角坐标系中，一次函数 的图象是( ) .
C
A B C D
2.一次函数 的图象不经过( ) .
C
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
图4.3-3
3.在平面直角坐标系中，函数 的图象
如图4.3-3所示，则 的取值范围是( ) .
C
A. B.
C. D.
4.（易错题）将直线 向左平移2个单位长度，再向上平移3个
单位长度，则两次平移后此直线的函数关系式为( ) .
A
A. B. C. D.
5.一次函数的值随的增大而减小，则常数 的取值范
围是________.
图4.3-4
6.小敏上午8:00从家里出发，骑车去一家超市购
物，然后从这家超市返回家中．小敏离家的路
程和所经过的时间 之间的函数图象
如图4.3-4所示．请根据图象回答下列问题：
（1）小敏去超市途中的速度是多少？在超市逗留了多长时间？
[答案] ，
（2）小敏几时几分返回到家？
[答案] ，
，所以小敏8时55分返回到家
能力提升
图4.3-5
7.用描点法在图4.3-5中作出函数 的图象.
步骤1：列表；
步骤2：描点；
步骤3：连线.
并根据图象回答：
（1）直线______点 ；
（填“经过”或“不经过”）
经过
（2）当______时， .
中考链接
8.（2023· 台湾）坐标平面上，一次函数 的图象通过下列哪
一个点 ( )
B
A. B. C. D.
9.（2023·广西）函数的图象经过点，则 ___.
1
图4.3-6
10.（2022·宁夏）如图4.3-6，点的坐标是 ，将
沿轴向右平移至，点的对应点 恰好
落在直线上，则点 移动的距离是___.
3
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第4章 一次函数
4.2 一次函数
自主学习
自主导学
1.一次函数的概念：像， 一样，它们都是关于自
变量的________，像这样的函数称为__________.它的一般形式是
_____________________________.
一次式
一次函数
，为常数，
2.一次函数与正比例函数：在，为常数， 中，特别
地，当时，一次函数为常数， 也叫作____________，
其中 叫作比例系数.
正比例函数
3.一次函数的特征是：______________________________［即自变量每
增加1个最小单位，因变量都增加（或都减少）相同的数量］.
因变量随自变量的变化是均匀的
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例 已知函数，当取什么值时，是 的一次
函数？当取什么值时，是 的正比例函数？
[答案] 解 由函数是一次函数可得，，解得 ，所以，
当时，是的一次函数.当函数为正比例函数时， 且
，解得，所以当时，是 的正比例函数.
方法感悟
1.一次函数的定义条件是，为常数， ，自变量的
次数为1.
2.两个变量，之间的关系可以表示成时， 就叫作
的正比例函数.
3.正比例函数是特殊的一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.
轻松达标
1.下列关于 的函数中，是正比例函数的是( ) .
C
A. B. C. D.
2.若关于的函数是正比例函数，则 的值是( ) .
A
A.0 B.1 C.2 D.3
3.在中，若是的正比例函数，则 的值为
( ) .
A
A.2 B. C. D.无法确定
4.以下几何关系中，是 的正比例函数的是( ) .
D
A.圆的半径为，面积为
B.矩形的面积为100，两邻边长分别为和
C.正方体的棱长为，体积为
D.含 角的直角三角形的斜边长为， 角所对的直角边长为
5.下列函数中，是一次函数的是( ) .
B
A. B.
C. D.
6.下列说法不正确的是( ) .
C
A.正比例函数是一次函数的特殊形式
B.一次函数不一定是正比例函数
C. 是一次函数
D. 是正比例函数
7.珍惜水，节约水，保护水是每个公民应尽的义务．据测试，某拧不紧
的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约 ．小亮洗手后，没有把
水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小亮离开 后，水龙头
滴出的水．与 之间的函数关系式是( ) .
B
A. B.
C. D.
8.已知等腰三角形的周长为12，设腰长为，底边长为 .
（1）试写出关于的函数表达式，并直接写出自变量 的取值范围；
[答案] ，
（2）当 时，求出函数值.
[答案]
能力提升
9.当为何值时，函数 是一次函数？
[答案]
中考链接
图4.2-1
10.［2022·济南（改编）］某学校要建一块矩形菜地
供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边
用木栏围成，木栏总长为如图4.2-1所示，设矩
形一边长为，另一边长为，当 在一定范围内
B
A.正比例函数关系 B.一次函数关系
C.非一次函数关系 D.非函数关系
变化时，随的变化而变化，则与 满足的函数关系是( ) .
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第4章 一次函数
4.5 一次函数的应用
第2课时 建立一次函数模型解决预测类型的实际问题
自主学习
自主导学
1.在具体情境中，分析变量间的关系，抽象出一次函数模型并运用所建
立的模型进行预测.
2.根据数据确定一次函数的表达式.
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例 小明练习短跑，训练时间与 短跑成绩记录如下表.
时间/月 1 2 3 4
成绩/ 15.6 15.4 15.2 15
（1）请你为小明的短跑成绩与训练时间 （月）的关系建立
函数模型.
[答案] 解 设函数表达式为，依题意得 得
.
（2）用所求出的函数表达式预测小明训练6个月的 短跑成绩.
[答案] 当时， .
（3）能用所求出的函数表达式预测小明训练3年的 短跑成绩吗？
为什么？
[答案] 不能，因为短跑的成绩在短时间内可能呈某种趋势，但在较长的
时间内，受自身的身体极限的限制，不会有如此快的提高.
方法感悟
1.观察表格所给数据，若数据呈现均匀变化规律的，则为一次函数模型.
2.在解决实际问题时，根据待定系数法求出函数表达式是关键.
轻松达标
1.大拇指与小拇指尽量张开时，两指间的距离称为指距．根据人体构造学
的研究成果表明，一般情况下人的身高是指距 的一次函数．下表是测
得的指距与身高的一组数据.
指距 20 21 22 23
身高 160 169 178 187
根据上表解决下面这个实际问题：一名运动员的身高是 ，可预测
他的指距为( ) .
D
A. B. C. D.
图4.5-8
2.如图4.5-8表示“龟兔赛跑”时路程与时间的关系，
已知乌龟、兔子8时从同一地点出发，请你根据
图中给出的信息预测，乌龟在____时追上兔子.
18
3.在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量 的一次函数，当所挂物
体的质量分别为和时，弹簧的长度分别为和 ，当所
挂物体的质量为时，弹簧长_____ .
16.5
4.4月初，某地连续降雨导致该地某水库水位持续上涨，下表是该水库4
月1日 日的水位变化情况.
日期 1 2 3 4
水位 20.00 20.50 21.00 21.50
（1）请建立该水库水位与日期 之间的函数模型.
[答案]
（2）请用求出的函数表达式预测该水库4月6日的水位.
[答案] 当时，
（3）你能用求出的函数表达式预测该水库12月1日的水位吗？并写出理由.
[答案] 不能．因为12月与4月时间跨度太大，所以所建立的函数模型远
离已知数据，所做预测不可靠
5.某公司生产的一种时令商品每件成本为20元，经过市场调研，预测这
种商品在未来20天内的日销售量（件）与时间 （天）的关系如下表.
时间 /天 1 3 6 10 16 …
日销售量 /件 94 90 84 76 64 …
通过认真分析上表的数据，用学过的函数知识解决下列问题.
（1）确定满足这些数据的（件）与 （天）之间的函数表达式；
[答案] 设预测（件）与（天）之间的函数模型为 ，将
和代入一次函数中，有 解得
（2）判断求出的函数表达式是否符合预测函数模型.
[答案] 经检验，表中其他组数据均满足（1）中求得的表达式，所以符
合预测函数模型
能力提升
图4.5-9
6.杆秤是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一
种，它制作轻巧、经典，使用便利，作为商品
流通的主要度量工具，代代相传，其大致示意
图如图4.5-9所示．当秤钩上不挂重物且秤杆处于
水平位置时，秤砣到秤纽的水平距离为 ，
当秤杆处于水平位置时，秤钩所挂重物每增加 ，秤砣到秤纽的水平
距离就增加 .
（1）当秤杆处于水平位置时，写出秤砣到秤纽的水平距离 与秤钩
所挂重物之间的函数关系式，并判断是否为 的一次函数；
[答案] ，是 的一次函数
（2）当秤钩所挂重物为时，求秤砣到秤纽的水平距离 ；
[答案]
（3）当秤砣到秤纽的水平距离为时，求秤钩所挂重物 .
[答案]
中考链接
图4.5-10
7.（2023·朝阳）甲、乙两人骑自行车分别从，
两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到 地，乙匀
速骑行到 地，甲的速度大于乙的速度，两人分别
到达目的地后停止骑行．两人之间的距离 和骑
行的时间 之间的函数关系图象如图4.5-10所示，
C
A.①② B.①③ C.②④ D.③④
现给出下列结论：；；③甲的速度为 ；④当
甲、乙相距时，甲出发了或 ．其中正确的结论有( ) .
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第4章 一次函数
4.1 函数和它的表示法
4.1.2 函数的表示法
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1.（1）建立平面直角坐标系，以自变量取的每一个值为横坐标，以相
应的函数值（即因变量的对应值）为纵坐标，描出每一个点，由所有这
些点组成的图形称为这个____________.这种表示函数关系的方法称为
________.
函数的图象
图象法
（2）列一张表，第一行表示自变量取的各个值，第二行表示相应的函
数值（即因变量的对应值），这种表示函数关系的方法称为________.
（3）用式子表示函数关系的方法称为________，这样的式子称为_____
_________.
列表法
公式法
函数的表达式
2.________、________和________是函数的三种常用的表示方法.
图象法
列表法
公式法
3.用图象法表示函数关系，可以直观地看出________________________
_____；用列表法表示函数关系，可以很清楚地看出_________________
_____________；用公式法表示函数关系，可以方便地____________.
因变量如何随着自变量而变化
自变量取的值与因变量的对应值
计算函数值
典例分享
例 我们知道距离地面越高，温度越低.下表给出了距离地面的高度与所
在位置的温度之间的大致关系. 根据下表，请回答以下几个问题：
距离地面的高度/ 0 1 2 3 4 5
所在位置的 温度/ 20 14 8 2
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？
[答案] 解 表格中的数据反映了距离地面的高度与所在位置的温度之间
的关系，距离地面的高度是自变量.
（2）由表可知，距离地面高度每上升，温度降低___ .
6
（3）如果用表示距离地面的高度，用表示所在位置的温度，则与
之间的关系式是什么？
[答案] .
（4）某航班在执行任务的飞行途中，在距离地面约 的高空，驾
驶舱右侧的挡风玻璃突然破裂，机长在超低压、超低温的紧急情况下，
高度冷静应对，最终飞机成功迫降. 请你计算出飞机发生事故时所在高
空的温度. （假设当时所在位置的地面温度为 ）
[答案] 由题意知， ，则飞机发生事故
时所在高空的温度为 .
方法感悟
1.列表法、公式法、图象法都反映了变量间的对应关系.
2.关于函数图象的意义，要注意“把自变量与函数的每对对应值分别
作为点的横、纵坐标”.
3.用图象法表示函数时，往往因为条件所限，只会画出图象中的一
部分.
轻松达标
1.小明带了2元去买笔，每支笔的价格是0.5元，那么小明买完笔后剩下
的钱数（元）与买到的笔的数量 （支）之间的函数图象大致是
( ) .
D
A B C D
2.某汽车的油箱一次加满汽油，可行驶 （假设汽车能行驶至油
用完），设该汽车每行驶耗油，则关于 的函数表达式为
( ) .
A. B. C. D.
D
3.下面的表格列出了一个实验的统计数据，表示将皮球从高处落下时，
弹跳高度与下降高度 的关系，下列能表示这种关系的式子是( ) .
50 80 100 150
25 40 50 75
C
A. B. C. D.
4.某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时
间后继续骑行，按时赶到了学校．图4.1-5描述了他上学的情景．下列说
法错误的是( ) .
A
图4.1-5
A.修车时间为
B.学校离家的距离为
C.到达学校时共用时间为
D.自行车发生故障时与家的距离为
5.下表是小华做观察水的沸腾实验时所记录的数据.
时间/ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
温度/ 60 65 70 75 80 85 90 95 100 100 100 100
（1）时间是 时，水的温度为_______.
（2）此表反映了变量______和______之间的关系，其中______是自变
量，______是因变量.
（3）在__________时间内，温度随时间增加而增加；___________时间
内，水的温度不再变化.
温度
时间
时间
温度
6.（易错题）等腰三角形的周长为6，底边长与一条腰长 之间的函数
关系式为，自变量 的取值范围是__________.
能力提升
图4.1-6
7.如图4.1-6，某品牌自行车每节
链条的长度为 ，交叉重叠
部分的圆的直径为 .
（1）观察图形，填写下表：
链条节数 /节 2 3 4 …
链条长度 4.2 ____ ____ …
5.9
7.6
（2）上表的两个变量中，自变量是___________，因变量是___________；
链条节数
链条长度
（3）请你写出与 之间的函数表达式；
[答案]
（4）如果一辆自行车的链条（安装前）共由60节链条组成，那么链条
的总长度是多少？
[答案]
中考链接
8.（2022·齐齐哈尔）如图4.1-所示（图中各角均为直角），动点 从
点出发，以每秒1个单位长度的速度沿 路线匀速运
动，的面积随点运动的时间 之间的函数关系图象如图4.1-
所示，下列说法正确的是( ) .
B
图4.1-7
A. B.
C. D.
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第4章 一次函数
4.5 一次函数的应用
第3课时 一次函数与二元一次方程的联系
自主学习
自主导学
一元一次方程,为常数且是一次函数
当时的特殊情形；一元一次方程 的解是一次函数
的图象与 轴交点的横坐标.
典例分享
图4.5-11
例 如图4.5-11，根据函数
，是常数， 的图象，求：
（1）方程 的解；
[答案] 解 根据图象知，当时， .故方程
的解是 .
（2）式子 的值；
[答案] 根据图象知，该直线经过点和点 ，则
解得
故 .
（3）方程 的解.
[答案] 根据图象知，当时，.故方程 的解是
.
方法感悟
1.一般地，如果一个二元一次方程组有唯一的解，那么这个解就是
方程组对应的两条直线的交点.
2.二元一次方程能写成 的形式，因此一个二
元一次方程组对应一个一次函数.
轻松达标
1.将方程全部的解写成坐标 的形式，那么这些坐标描出
的点都在直线( ) 上.
C
A. B. C. D.
图4.5-12
2.如图4.5-12，直线过点， ，则方
程 的解为( ) .
D
A. B. C. D.
图4.5-13
3.一次函数，是常数, 的图象如
图4.5-13所示，则关于的方程 的解是
( ) .
A
A. B. C. D.
4.若关于的方程的解为，则直线 一定经过某
点的坐标为______.
5.已知一次函数的图象与轴的交点坐标是，则关于
的一元一次方程 的解是________.
能力提升
图4.5-14
6.小聪和小慧去某风景区游览．小聪步行先从
景区入口处出发，中途休息片刻后继续以原速
度前行，此时小慧乘观光车从景区入口处出发，
他们沿相同路线先后到达观景点．如图4.5-14，
， 分别表示小聪与小慧离景区入口的路程
与时间 之间的关系．请根据图象解决下列问题：
（1）直接写出小聪的步行速度；
[答案]
（2）求小慧离景区入口的路程关于时间 的函数表达式；
[答案]
（3）当小慧到达观景点时，小聪离观景点还有多少千米？
[答案]
中考链接
7.（2023·武汉）皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以
格点为顶点的多边形的面积，其中， 分别表示这个多
边形内部与边界上的格点个数．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是
整数的点为格点.已知，，，则 内部的格
点个数是( ) .
C
A.266 B.270 C.271 D.285
8.（2023·郴州）第11届中国（湖南）矿物宝石国际博览会在我市举行，
小方一家上午9:00开车前往会展中心参观.途中汽车发生故障，原地修
车花了一段时间．车修好后，他们继续开车赶往会展中心．以下是他们
家出发后离家的距离 与时间的函数图象．分析图中信息，下列说法正
确的是( ) .
D
图4.5-15
A.途中修车花了
B.修车之前的平均速度是
C.车修好后的平均速度是
D.车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍
9.（2023·山西）一种弹簧秤最大能称不超过 的物体，不挂物体时
弹簧的长为，每挂重物体，弹簧伸长 ．在弹性限度内，
挂重后弹簧的长度与所挂物体的质量 之间的函数关系式为
( ) .
B
A. B. C. D.
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第4章 一次函数
专题练习 一次函数知识综合
一、正比例函数图象及性质
1.正比例函数的图象是经过原点的一条直线.
2.正比例函数的性质.
（1）当时，正比例函数的图象过第三、一象限，随 的增大而增大；
（2）当时，正比例函数的图象过第二、四象限，随 的增大而减小.
二、一次函数图象及性质
（1）当时，图象主要经过第一、三象限，此时，随 的增大而增大；
（2）当时，图象主要经过第二、四象限，此时，随 的增大而减小；
（3）当时，直线交 轴于正半轴；
（4）当时，直线交 轴于负半轴.
三、正比例函数与一次函数之间的关系
一次函数的图象是一条直线，它可以看作是由直线 平移
个单位长度而得到的（当时，向上平移；当 时，向下平移）.
四、用一次函数解决实际问题的一般步骤
（1）设定实际问题中的自变量与因变量；
（2）通过列方程（组）与待定系数法求一次函数关系式；
（3）确定自变量的取值范围；
（4）利用函数性质解决问题；
（5）检验所求解是否符合实际意义，并作答.
题型1 一次函数性质综合应用
1.设关于的一次函数与 ，则称函数
（其中 ）为此两个函数的生成
函数.
（1）当时，求函数与 的生成函数的值；
[答案] 当 时，
，
，
（2）若函数与的图象的交点为，判断点 是
否在此两个函数的生成函数的图象上，并写出理由.
[答案] 点在此两个函数的生成函数的图象上.设点的坐标为 ，
，，
当时，
题型2 一次函数的实际应用
图1
2.搜救人员乘一冲锋舟从 地逆流而上，
前往地营救受困群众，途经 地时，由
所携带的救生艇将地受困群众运回 地，
冲锋舟继续前进，到 地接到群众后立刻
（1）冲锋舟从地到地所用的时间为________ .
返回地，途中曾与救生艇相遇.冲锋舟和救生艇与地的距离 和
冲锋舟出发后所用时间 之间的函数图象如图1所示.假设营救群众
的时间忽略不计，水流速度和冲锋舟在静水中的速度不变.
（2）求水流的速度.
[答案] 设水流速度为，冲锋舟在静水中的速度为 ，
根据题意得,解得 故水流速度是
（3）冲锋舟将地群众安全送到 地后，又立即去接应救生艇．已知救生
艇与地的距离和冲锋舟出发后所用时间 之间的函数关系
式为，假设群众上下船的时间不计，求冲锋舟在距离
地多远处与救生艇第二次相遇.
答图4
[答案] 如答图4，因为冲锋舟和水流的速
度不变，
所以设线段 所在直线的函数表达式为
，把点 代入，解得
， 线段所在直线的函数表达式为 ．由
,
求出两条直线的交点坐标为． 冲锋舟在距离 地
处与救生艇第二次相遇
题型3 一次函数与几何综合应用
图2
3.如图2，在平面直角坐标系中，直线 是第
一、三象限的角平分线.
【实验与探究】
（1）由图观察易知点关于直线 的对
称点的坐标为 ，请在图中分别标明点
，关于直线的对称点，
的位置，并写出它们的坐标：______，
________.
[解析] 如答图5，，
答图5
【归纳与发现】
（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点
关于第一、三象限的角平分的对称点 的坐标为______
（不必证明）.
【运用与拓广】
（3）已知两点，，试在直线上确定一点，使点
到，两点的距离之和最小，并求出点 的坐标.
[答案] 由（2）得，
点关于直线的对称点的坐标为，连接交直线 于点
，此时点到，两点的距离之和最小，设过点，
的直线的函数表达式为，则有
. 由解得 所求点
的坐标为.（说明：由点关于直线 的对称点也可完成求解）
题型4 一次函数与新定义
4.我们给出如下定义：如图3（a），平面内的两条直线，相交于点 ，
对于平面内的任意一点，若，分别是点到直线 和
的距离，称有序非负实数对是点 的距离坐标.
根据上述定义，请解答下列问题：
如图3（b），在平面直角坐标系内，直线的关系式为 ，直线
的关系式为， 是平面直角坐标系内的点.
图3
（1）若，求距离坐标为时，点 的坐标.
[答案] ， 点是和的交点．故
（2）若，且 ，利用图3（b），在第一象限内，
求距离坐标为时，点 的坐标.
答图6
[答案] ， 点在 上．如答图6，在
第一象限内取点，过点 作
交于点 ，
过点作轴，分别交，轴于点， ，则
， ，
，，由 得
，，解得点
（3）若，，则坐标平面内距离坐标为时，点 可以有几
个位置？并用三角尺在图3（c）中画出符合条件的点 .（简要说明画法）
答图7
[答案] 点 有4个．画法：①如答图7，分别过
点，作与直线 平行的直线
，（与 的距离均为1）；②分别过点
，作与直线平行的直线 ，
；③直线， ，
，的4个交点，，， 就是
符合条件的点
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第4章 一次函数
4.5 一次函数的应用
第1课时 利用一次函数解决实际问题
自主学习
自主导学
常用的关系式:
路程 ___________
工作总量 ___________________
售价 ____________________
速度×时间
工作效率×工作时间
单价×数量 轻松达标
典例分享
例 某游泳馆普通票价为20元/次，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：
①金卡售价为600元/张，每次凭卡不再收费；
②银卡售价为150元/张，每次凭卡另收10元.
暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假期间使用，不限次数.
设游泳次时，所需总费用为 元.
（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，与 之间的函数关系式；
[答案] 解 由题意可得，选择银卡消费时总费用 ，选择普
通票消费时总费用 .
图4.5-1
（2）在同一平面直角坐标系中，若三种消费方式对
应的函数图象如图4.5-1所示，求出点，， 的坐标；
[答案] 由题意可得，，当 时，
，故 .
当时，解得，则 ，
故 .
当时，解得，则，故 .
（3）根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更划算.
[答案] 由图4.5-1和点，， 的坐标可得，
当 时，选择普通票消费更划算；
当 时，选择银卡、普通票消费的总费用相同，均比金卡划算；
当 时，选择银卡消费更划算；
当 时，选择金卡、银卡消费的总费用相同，均比普通票划算；
当 时，选择金卡消费更划算.
方法感悟
1.在解决实际问题时要根据实际问题建立一次函数模型，并应用相关性
质解决问题.
2.与学习数学概念、数学事实原理不同，解决实际问题需要建立函数模
型，通过函数图象进行数形结合分析问题、解决问题.
轻松达标
1.已知A,B两地相距，小黄从A地到B地，平均速度为 ，若用
表示行走的时间，表示余下的路程，则关于 的函数表达式
是( ) .
D
A. B.
C. D.
2.甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面 高的楼顶起飞，两架
无人机同时匀速上升 .甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度
（单位：）与无人机上升的时间（单位： ）之间的关系如图4.5-2
所示.下列说法正确的是( ) .
B
图4.5-2
A.时，两架无人机都上升了
B.时，两架无人机的高度差为
C.乙无人机上升的速度为
D.时，甲无人机距离地面的高度是
图4.5-3
3.（易错题）甲、乙两人进行跑步训练，他们所
跑的路程与时间 之间的关系如图4.5-3
所示，则下列说法错误的是( ) .
B
A.离终点 处，乙追上甲
B.甲比乙迟 到达终点
C.甲跑步的速度是
D.乙跑步的速度是
4.下表记录了一次实验中时间和温度的数据.若温度的变化是均匀的，则
时的温度是____ .
时间/ 0 5 10 15 20 25
温度/ 10 25 40 55 70 85
52
5.漏刻是我国古代的一种计时工具．小明依据漏刻的原理制作了一个简
单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间 的一次函
数，下表是小明记录的部分数据，其中有一个 的值记录错误，请排除
后利用正确的数据确定当为时，对应的时间为____ .
… 1 2 3 5 …
… 2.4 2.8 3.4 4 …
15
6.如下表，给出甲、乙两种上网收费方式：
收费方式 月租费/元 包月上网时间/ 超时费/ （元/ ）
甲 30 20 3
乙 60 不限时 无超时费
假设月上网时间为，收费方式甲、乙的收费分别是（元），
（元）.
（1）请写出，分别与 的函数关系式，并写出自变量的取值范围
（注意结果要化简）.
[答案] ，
图4.5-4
（2）在图4.5-4给出的坐标系中画出这两个函数的图象.
[答案] 图略
（3）结合图象与表达式填空.
当上网时间 的取值范围是___________时，选择方式甲较省钱；
当上网时间 的取值范围是_______时，选择方式乙较省钱.
能力提升
图4.5-5
7.如图4.5-5，大拇指与小拇指尽量张开时，两指间的距离
称为指距．如下表是测得的指距与身高的一组数据：
指距 20 21 22 23
身高 160 169 178 187
请确定身高与指距之间的函数关系式．若某人的身高为 ，一般
情况下他的指距应是多少？
[答案]
中考链接
图4.5-6
8.（2023·随州）甲、乙两车沿同一
路线从城出发前往 城，在整个行
程中，汽车离开城的距离与时刻
的对应关系如图4.5-6所示，关于下
列结论：，两城相距 ；
②甲车的平均速度是 ，乙车
D
A. B.①③ C.②④ D.①④
的平均速度是；③乙车先出发，先到达 城；④甲车在9：30
追上乙车．正确的有( ) .
图4.5-7
9.（2023·镇江）小明从家出发到商场购物后返
回，如图4.5-7表示的是小明离家的路程 与
时间 之间的函数关系，已知小明购物用
时 ，返回速度是去商场的速度的1.2倍，
则 的值为( ) .
D
A.46 B.48 C.50 D.52
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第4章 一次函数
4.4 用待定系数法确定一次函数表达式
自主学习
自主导学
1.待定系数法：通过先设定函数________（确定函数______），再根据
条件确定表达式中的__________，从而求出函数的表达式的方法称为
____________.
表达式
模型
未知系数
待定系数法
2.利用待定系数法确定一次函数表达式的步骤：
（1）______________________________；
（2）_________________________________________________________
___________________；
（3）____________________________；
（4）______________________________________.
设出含有待定系数的函数表达式
将已知条件（自变量与函数的对应值）代入表达式，得到关于待定系数的方程（组）
解方程（组），求出待定系数
将求得的待定系数的值代入所设的表达式
典例分享
例 如图4.4-1，过点 的一次函数的图象与正比例函数
的图象相交于点 .
（1）求该一次函数的表达式.
图4.4-1
[答案] 解 在中，令，解得，则点 的
坐标是 .
设一次函数的表达式是，将点, 代入表达式即
可得
解得
则一次函数的表达式是 .
（2）判断点 是否在该一次函数图象上，并说明理由.
[答案] 当时，，所以点 不在该一次函数图象上.
（3）若该一次函数的图象与轴交于点，求 的面积.
[答案] 由（1）得一次函数的表达式为，令 ，解得
，则点的坐标是 .
.
方法感悟
1.要确定一个一次函数的表达式，即要确定表达式 中
， 的值.
2.若与成正比例关系，可设，其中， 可以是单项式，
也可以是多项式.
轻松达标
1.若正比例函数的图象经过点 ，则这个函数图象必经过点
( ) .
D
A. B. C. D.
2.若点在一次函数的图象上，则 的值是( ) .
D
A.5 B.4 C.3 D.1
3.直线与轴的交点是，则 的值是( ) .
D
A.3 B.2 C. D.
4.（易错题）已知与成正比例，且时，，则与 的关
系式是( ) .
A. B. C. D.
D
5.甲、乙、丙三名同学观察某个一次函数的图象后，各叙述如下.
甲：函数的图象经过点 .
乙：随 的增大而减小.
丙：函数的图象不经过第三象限.
根据他们的叙述，写出满足上述性质的一个函数表达式为
______________________________.
（答案不唯一）
6.如图4.4-2，，两点的坐标分别为，，在轴上找一点 ，
使线段的值最小，则点 的坐标是______.
图4.4-2
7.已知一次函数的图象经过， 两点.
（1）求这个一次函数的表达式；
[答案]
（2）设图象与轴、轴交点分别是点，，求点， 的坐标；
[答案] ，
（3）求此函数图象与轴、 轴所围成的三角形的面积.
[答案]
图4.4-3
8.某汽车客运公司规定旅客可以随身携带一定质量
的行李，若超过规定的质量，则需要购买行李票，
行李票费用（元）与行李质量 之间的函数关
系的图象如图4.4-3所示.
（1）求与 之间的函数关系式；
[答案]
（2）旅客最多可以免费携带多少千克的行李？
[答案]
能力提升
9.设一次函数，为常数，且，图象过 ，
两点.
（1）求该一次函数的表达式；
[答案]
（2）若点在该一次函数图象上，求代数式
的值.
[答案]
中考链接
图4.4-4
10.（2023·沈阳）已知一次函数 的图象如图4.4-
4所示，则， 的取值范围是( ) .
B
A.， B.，
C.， D.，
图4.4-5
11.（2023·鄂州）象棋起源于中国，中国象棋
文化历史悠久．如图4.4-5所示是某次对弈的
残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”
位于点 的位置，则在同一坐标系下，
经过棋子“帅”和“馬”所在的点的一次函数解析
式为( ) .
A
A. B. C. D.
12.（2023·郴州）在一次函数中，随 的增大而增大，
则 的值可以是_________________（任写一个符合条件的数即可）.
3（答案不唯一）
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第4章 一次函数
4.1 函数和它的表示法
4.1.1 变量与函数
自主学习
自主导学
1.变量之间的关系：在讨论的问题中，取值会发生变化的量称为______，
取值固定不变的量称为______（或常数）.
变量
常量
2.函数的概念：一般地，如果变量随着变量而变化，并且对于 取的
每一个值，都有______________与它对应，那么称是 的______，记
作_____.这时把叫作________，把叫作________.对于自变量 取
的每一个值，因变量 的对应值称为函数值，记作_____.
唯一的一个值
函数
自变量
因变量
3.自变量取值范围的确定：自变量取值范围的确定必须考虑两个方面，
首先，自变量的取值必须使得含自变量的________有意义；其次，自变
量的取值应使__________有意义.
代数式
实际问题
典例分享
例 在函数中，自变量 的取值范围是________.
[解析] 根据题意得，解得 .
方法感悟
认识函数的关键是认识变量之间的对应关系：当一个变量取定一个
值时，另一变量有对应值且对应值只有一个.
轻松达标
图4.1-1
1.刘师傅到加油站加油，如图4.1-1是所用的加
油机上的数据显示屏，则其中的变量是
( ) .
D
A.金额 B.单价
C.加油量 D.金额和加油量
2.下列图象中，表示是 的函数的是( ) .
C
A B C D
3.函数中， 的取值范围是( ) .
A. B. C. D.
D
4.一辆汽车以 的平均速度在公路上行驶，则它所行驶的路程
与所用的时间 的函数表达式为( ) .
D
A. B. C. D.
5.如图4.1-2，数轴上表示的是某个函数自变量的取值范围，则这个函数
表达式为( ) .
C
图4.1-2
A. B. C. D.
6.按图4.1-3所示的运算程序输入一个实数，便可输出一个相应的实数 ，
写出与 之间的关系式：___________.
图4.1-3
能力提升
图4.1-4
7.棱长为 的小正方体按照如图4.1-4的方法
继续摆放，自上而下分别叫第一层、第二
层……第层，若第 层的小正方体的个数
记为 ，解答下列问题：
（1）填写表格：
1 2 3 4 …
S 1 3 ___ ____ …
6
10
（2）研究上表可以发现随的变化而变化，请你用式子表示与 的关系.
[答案]
中考链接
8.（2022·广东）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为 ，则
圆周长与的关系式为 .下列判断正确的是( ) .
C
A.2是变量 B. 是变量 C.是变量 D. 是常量
9.（2023·哈尔滨）在函数中，自变量 的取值范围是______.
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第4章一次函数
知识梳理
函数 函数 相关 概念 在讨论的问题中，取值会发生变化的量称为______，取值
固定不变的量称为______（或常数）.
一般地，如果变量随着变量而变化，并且对于 取的每一
个值，都有______________与它对应，那么称是 的函
数，记作_________，叫作________， 叫作________.对
于自变量取的每一个值，因变量 的对应值称为函数值，
记作_____.
函数的表示方法：________、________、________.
变量
常量
唯一的一个值
自变量
因变量
图象法
列表法
公式法
函数 一次 函数 概念 关于自变量的________，像这样的函数称为一次函
数.它的一般形式是___________， 为常数，
.
图象 与性 质 1.一次函数的特征是：因变量随自变量的变化是
________.
一次式
均匀的
续表
函数 一次 函数 图象 与性 质 2.正比例函数为常数， 的图象是
__________.一般地，直线为常数，
是一条经过原点的直线.当时，直线 经过
第三、一象限从左向右上升,随 的增大而增大；当
时，直线 经过第二、四象限从左向右下
降，随 的增大而减小.
一条直线
续表
函数 一次 函数 图象 与性 质 3.一次函数，为常数， 的图象可
以看作由直线 平移_____个单位长度而得到
（当时，______平移；当 时，______平
移）.
求表 达式 通过先设定函数表达式（确定函数模型），再根据
条件确定表达式中的未知系数，从而求出函数的表
达式的方法称为____________.
向上
向下
待定系数法
续表
函数 一次 函数 应用 1.利用一次函数解决实际问题.
2.利用一次函数解决预测性问题.
3.一次函数与二元一次方程的联系.
续表
真题剖析
考点1 函数的图象与概念
图1
例1 （2021·玉林）如图1（a），
在中， ，点
从点 出发，沿三角形的边以
的速度逆时针运动一周，
C
A. B. C. D.
图1（b）是点运动时，线段的长度随运动时间 变化的关
系图象，则图1（b）中点 的坐标是( ) ．
图2
[解析] 由题意及图象可得，当点在线段 上时，有
，的长不断增大，当点到达点
时，最大，所以此时；当点 在线段
上时，由图象可知线段的长度先随运动时间 的增
大而减小，再随运动时间的增大而增大，当点到达点 时，则有
，即，由图象可知，当时间为 时，则
，此时点为 的中点，如图2所示.因为
，所以.故点的坐标是故选C．
考点1 变式
图3
（2023·聊城）甲、乙两地相距 ，小亮8:00
乘慢车从甲地去乙地， 后小莹乘快车从
乙地赶往甲地．两人分别距甲地的距离 与
两人行驶时刻 （ ×时×分）的函数图象如图3
所示，则小亮与小莹相遇的时刻为( ) .
A
A.8:28 B.8:30 C.8:32 D.8:35
考点2 一次函数的性质
例2 （2021·柳州）若一次函数 的图象如图4所示，则下列说
法正确的是( ) .
B
图4
A. B.
C.随的增大而增大 D.时，
[解析] 首先根据图象经过两点， ，求出一次函数的表达式，然
后根据函数的性质进行判断即可．将， 代入一次函数表达式
，得解得所以表达式为 A
选项，由求出的，可知此选项错误；B选项，由求出的 ，可
知此选项正确；C选项中，因为，所以随 的增大而减小，故此选
项错误；D选项中，将代入表达式 得
，故此选项错误．故选B．
考点2 变式
图5
（2022·柳州）如图5，直线分别与 轴、
轴交于点和点，直线分别与 轴、
轴交于点和点，点是 内部
（包括边上）的一点，则 的最大值与最小值之差
为( ) .
B
A.1 B.2 C.4 D.6
考点3 用待定系数法求函数解析式
图6
例3 （2021·桂林）如图6，与图中直线关于
轴对称的直线的函数表达式是__________．
[解析] 与直线关于 轴对称的直线的函数表
达式为，即 ．故答案为
．
考点3 变式
图7
（2021·乐山）如图7，已知直线 与坐标轴分
别交于，两点，那么过原点且将 的面积平分的直
线 的解析式为( ) .
D
A. B. C. D.
单元练习
一、选择题
1.以下是关于的函数关系式：； ；
； .其中一次函数的个数是( ) ．
C
A.4 B.3 C.2 D.1
2.若正比例函数的图象经过点，则 的值为( ) .
D
A. B. C. D.2
3.若一次函数的函数值随的增大而减小，则 的取
值范围是( ) .
A. B. C. D.
D
4.若正比例函数的图象经过点 ，则该函数图象经过
( ) ．
C
A.第一、二象限 B.第二、四象限 C.第一、三象限 D.第三、四象限
5.若点在函数 的图象上，则下列各点在此函数图象上
的是( ) .
A
A. B. C. D.
图1
6.李大爷要围一个矩形菜园，菜园的一边利用
足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长恰
好为 ，要围成的菜园是如图1所示的矩形
，设边的长为，边的长为 ，
则与 之间的函数关系式是( ) .
B
A. B.
C. D.
图2
7.某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量
与其运费 （元）由如图2所示的一次函数
图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质
量为( ) .
A
A. B. C. D.
8.一次函数和的图象都经过点，且与 轴分
别交于，两点，那么 的面积是( ) ．
B
A.2 B.4 C.6 D.8
9.已知正比例函数的函数值随 的增大而减小，则一次函
数 的图象大致是( ) ．
B
A. B. C. D.
10.若点，，在同一条直线上，则 的值是( ) .
B
A.6或 B.6 C. D.6和3
二、填空题
11.若函数是正比例函数，则常数 的值是___.
12.在一次函数中，若随 的增大而增大，则它的图象不经过
第____象限.
13.若直线经过点，，则， 的大小关系是
_______．（用“ ”号连接）
14.将直线向上平移个单位长度后恰好经过原点，则 的值
是___．
0
四
4
图3
15.一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始
的内只进水不出水，在随后的 内既进水又
出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完．假设每
分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量
与时间 之间的部分关系如图3所示，那么，
从关闭进水管起___ 后该容器内的水恰好放完.
8
图4
16.如图4，在平面直角坐标系中，菱形 的一个顶点在
原点处，且 ，点的坐标是，则直线
的表达式是_ _____________.
三、解答题
17.已知函数 ．
（1）若这个函数经过原点，求 的值；
[答案]
（2）若这个函数是一次函数，且随的增大而减小，求 的取值范围；
[答案]
（3）若这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、三象限，求 的
取值范围．
[答案]
图5
18.甲、乙两辆摩托车从相距的， 两
地相向而行，图5中, 分别表示甲、乙两辆
摩托车离地的距离与行驶时间 之
间的函数关系．
（1）哪辆摩托车的速度较快？
[答案] 乙摩托车
（2）经过多长时间，甲车行驶到， 两地的中点？
[答案]
19.某游泳池有水 ，现放水清洗池子.工作人员记录放水的时间
与池内水量 对应变化的情况如下表.
时间 … 10 20 30 40 …
水量 … 3 750 3 500 3 250 3 000 …
（1）根据上表提供的信息，当放水到第 时，池内有水多少立方
米？
[答案]
（2）请你用函数表达式表示与的关系，并写出自变量 的取值范围.
[答案]
图6
20.如图6，直线与直线交于点 ，
直线与轴交于点，点从点出发沿 向
终点运动，速度为每秒1个单位，同时点从点
出发以同样的速度沿向终点运动，作
轴，交于点，作轴，交于点 ，设
运动时间为 .
（1）求直线 的表达式.
[答案]
（2）在点， 运动过程中：
①当点，分别在，上时，求证：四边形 是矩形.
[答案] ，，
轴，轴， ，．
由点， 的运动可知，
四边形是平行四边形．
， 平行四边形 是矩形
（3）点是平面内一点，在点的运动过程中，问是否存在以点， ，
，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存
在，请写出理由.
[答案] 点的坐标为或或
②当四边形是正方形时，请直接写出 的值.
[答案] 的值为或
图7
21.水龙头关闭不严会滴水，现
探究容器内盛水量 与滴水时
间 的关系．用可以显示水量的
容器做如图7（a）所示的实验，
并根据实验数据绘制出如图7（b）
所示的函数图象，结合图象解答
下列问题.
（1）容器内原有水多少升？
[答案]
（2）求与 之间的函数关系式，并计算在这种滴水状态下一天的滴水
量是多少升.
[答案]
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